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![新课标人教B版 选修1-2] [整理]人教B版选修1-2直接证明](https://uimg.taocdn.com/65b18fd5ad51f01dc281f1e1.webp)
2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法与分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．必修五中基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证a＋b2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件要点一综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路；(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋b a≥a ＋b . 证明 要证a b ＋b a ≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ，也就是要证a ＋b ≥2ab ，即(a －b )2≥0.该式显然成立，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )． 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c的等差中项，试证：a x ＋c y ＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。
5.综合法与分析法
教学目标 班级______姓名________
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法.
2.理解综合法与分析法的特点，并能运用解决问题.
教学过程
一、综合法：
1.定义：从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论.
2.结构：Q Q Q Q P n ⇒⇒⇒⇒⇒......21.
3.特点：条件⇒结论. （综合法又叫顺推证法或由因导果法）
例1：已知a 、0>b ，求证：abc a c b c b a 4)()(2222≥+++.
练1：在ABC ∆中，角A 、B 、C 成等差数列，边a 、b 、c 成等比数列，求证：ABC ∆为等边三角形.
二、分析法：
1.定义：从结论Q 出发，反推回去，寻求Q 的充分条件1P ，在寻求1P 的充分条件2P ......直到找到一个明显成立的条件P （已知条件、定义、定理、公理等）为止.
2.结构：P P P Q ⇐⇐⇐⇐......21.
3.特点：结论⇒条件.
例2：求证：
ab b a ≥+2（0>a ，0>b ）.
练2：求证：321---<--a a a a .
作业：1.在ABC ∆中，C
B c b cos cos =，求证：
C B =. 2.求证：5273<+.。
人教版高中选修(B版)1-22.2.1综合法与分析法课程设计1. 课程简介本课程是人教版高中选修(B版)的综合法与分析法课程设计，主要涉及的内容为综合法与分析法的基本概念、原理、方法和应用，具体包括概括法、对比法、分类法、差异法、联系法、统计法、因果法、逻辑法等，通过课程的学习，学生将能够掌握综合法与分析法的基本理论和方法，运用综合法与分析法解决实际问题，提高综合分析和解决问题的能力。
2. 教学目标1.理解综合法与分析法的基本概念、原理、方法和应用；2.掌握综合法与分析法的具体方法和步骤；3.运用综合法与分析法解决实际问题；4.培养学生的综合分析和解决问题的能力。
3. 教学内容1.综合法与分析法的基本概念、原理和分类；2.综合法的具体方法和步骤，包括概括法、对比法、分类法、差异法、联系法等；3.分析法的具体方法和步骤，包括统计法、因果法、逻辑法等；4.运用综合法与分析法解决实际问题的案例分析。
4. 教学方法本课程采用讲授、案例分析、讨论、实践等多种教学方法相结合，重点采用案例分析和实践教学，以实际问题为载体，让学生通过思考和实践来熟悉和掌握综合法与分析法的具体方法和步骤。
5. 教学进度安排本课程分为5个教学单元，预计需要5周时间完成：教学单元教学内容教学时间第一单元综合法与分析法的基本概念、原理和分类1周第二单元综合法的具体方法和步骤1周第三单元分析法的具体方法和步骤1周第四单元运用综合法与分析法解决实际问题的案例分析1周第五单元综合复习和综合评价1周6. 主要参考教材1.《综合法与分析法》，人民出版社，2015年2.《综合分析与决策》，北京大学出版社，2017年7. 作业和评分方法1.完成课堂笔记，撰写一份课程学习笔记，重点总结课程内容和思考；2.完成一份小组作业，选择一个实际问题进行综合分析和解决；3.完成一份个人作业，选择一个自己感兴趣的课题进行综合分析和解决；4.参加课堂讨论和交流，积极发表意见和提问；5.最终成绩评定：笔记和作业占70%；课堂表现和参与度占30%。
2．2．1 综合法和分析法（学案）一、知识梳理1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法____________和_____________.⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论_______________，这种证明方法叫综合法。
框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
⑵分析法：从要证明的____________出发，逐步寻找使它成立的_______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。
框图表示：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。
二、情境导学探究任务一：综合法问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因三、典例解析例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 求证+>变式：求证:+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.练习 ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=.四、当堂检测1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<<C.22x y x xy y +<<<D.22x y x xy y +<<< 4. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥ B ．22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 5. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④6.已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件. 。
综合法和分析法教材精析在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理〔归纳、类比等〕所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑〔演绎〕推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.其推理方式可用框图表示为：其中P表示条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，12Q Q，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P∵，1Q∴；又∵，2Q∴；，nQ∴；又∵，Q∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论，1230Q Q Q Q，，，，分别表示使12nQ Q Q Q，，，，成立的充分条件，Q表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为：要证Q，只需证1Q，只需证2Q，，只需证Q，由于Q显然成立，所以Q成立．综合法、分析法都是直接利用条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导〔综合法〕，甚至难于寻求到使之成立的充分条件〔分析法〕的“疑难〞证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致〞，即：“P Q⇒〞⇔“Q P⌝⇒⌝〞．用反证法证题的格式一般为：假设Q不成立，假设()Q⌝，，那么p⌝，这与P〔定义、公理、定理等〕相矛盾，∴假设()Q⌝不成立，Q∴成立．1．综合法的每一步都是三段论〔或其简略形式〕，大前提一定要正确，否那么证明易出错.2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析〞的语气对待的，因而证明格式上应表达出“分析〞探讨性〔“要证…，只需证…〞〕，而非直接肯定结论. 例1 求证3725+<．错证：3725+<∵，22(37)(25)+<∴，1022120+<∴，215<∴，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成条件来用了. 正：只需将“∵〞改为“要证〞，“∴〞 改为“只需证〞.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明〔教科书99P 例3〕.一般是先用综合法由条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++， 只需证22222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-， 即证224sin 2sin 1αβ-=③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将中的①②代入上式， 即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.例3证明〔一〕：假设成等差数列，即=，下面〔用分析法〕证明只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．证明〔二〕：假设成等差数列，即=，下面〔用综合法〕证明2125≠∵，5，10≠∴，即3720+≠，即2≠，≠不成等差数列．。
2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法与分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．必修五中基本不等式a＋b2≥ab(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证a＋b2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件要点一综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C 成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路；(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4. 证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4. 法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y ＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14， 则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。
2.2.1 综合法和分析法教学设计一、内容及其解析：本节课要学的内容是综合法和分析法，其核心是会用分析法和综合法思考问题，掌握它关键就是要了解分析法和综合法的思考过程、特点。
由于根据综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，占有重要的地位。
教学的重点是了解综合法和分析法的思考过程，会用分析法和综合法的思考问题。
解决重点的关键是通过学生熟悉的实例，观察、概括分析法和综合法的特点。
二、目标及其解析目标定位：1、了解直接证明的两种方法：综合法和分析法。
2、会用分析法和综合法解决相关问题。
目标解析：1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
是由已知到未知，由因导果。
2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。
由未知看已知，执果索因。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。
要解决这一问题，教学中通过让学生独立分析、再进行讨论，从而明确两种证明方法的特点。
四、教学过程设计例1、（1）求证：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca（2）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥（设计意图：综合法的简单运用）师生活动： 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？运用什么知识来解决？（基本不等式）？ 例2、求证：5273<+（设计意图：分析法的运用）例3、求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大（设计意图：熟练运用分析法）师生活动：如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？【当堂检测】1． 求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+2．已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥五、本课小结1．综合法、分析法的特点。
综合法与分析法教学目的：1掌握综合法、分析法证明不等式；2熟练掌握已学的重要不等式；3增强学生的逻辑推理能力教学重点：综合法、分析法教学难点：不等式性质的综合运用一、复习引入：1．重要不等式：如果2．定理：如果a,b是正数，那么3公式的等价变形：ab≤，ab≤〔〕24．≥2〔ab＞0〕，当且仅当a＝b时取“＝〞号；5．比拟法之一〔作差法〕步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比拟法之二〔作商法〕步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论二、讲解新课：〔一〕1．综合法：利用某些已经证明过的不等式〔例如算术平均数与几何平均数定理〕和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：3．综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法〔二〕1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：3．分析法的思维特点是：执果索因4．分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而A为真，故命题B必为真二、探索新知1、综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫由因导果法或顺推证法特点:“执因索果〞推理过程：用P表示条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论那么综合法用框图表示为:二、例题分析练习：a>0,b>0,c>0求证ab2c2bc2a2c≥4abc证明：因为 b2c2≥2bc,a>0所以 ab2c2≥2abc又因为 c2b2 ≥2bc,b>0所以 bc2a2≥ 2abc因此例1练习下面的四个不等式：①a2b23≥ab〔ab〕；②a1-a≤；③≥2；④〔a2b2〕c2d2≥〔acbd〕2其中恒成立的有①②④评注：用综合法证明不等式时常用的结论：〔1〕〔〕22、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点：执果索因推理过程：例3求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L,依题意得,圆的面积为正方形的面积为因此此题只需证明为了证明上式成立,只需证明两边同乘以正数得因此只需证明因为上式是成立的，所以练习1用分析法证明：欲使①A>B只需② C＜D ,这里②是①的〔〕A充要条件 B充分条件 C必要条件 D既不充分也不必要条件练习2 利用分析法证明⑴求证：三、归纳小结1、综合法处理问题的三个步骤：分析条件，选择方向→转化条件，组织过程→适当调整，回忆反思。
2.2.1 综合法和分析法在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法. 其推理方式可用框图表示为：其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，12Q Q ，，表示中间结论．综合法常用的表达格式为：P ∵，1Q ∴；又∵，2Q ∴；，n Q ∴；又∵，Q ∴．2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法. 其推理方式可用框图表示为：其中Q 表示要证明的结论，1230Q Q Q Q ，，，，分别表示使12n Q Q Q Q ，，，，成立的充分条件，0Q 表示最后寻求到的一个明显成立的条件． 分析法常用的表达格式为： 要证Q ，只需证1Q ，只需证2Q ，，只需证0Q ，由于0Q 显然成立，所以Q 成立．综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.二、反证法是间接证明的一种基本方法.对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“P Q ⇒”⇔“Q P ⌝⇒⌝”． 用反证法证题的格式一般为： 假设Q 不成立，若()Q ⌝，，则p ⌝，这与已知P （定义、公理、定理等）相矛盾，∴假设()Q ⌝不成立，Q ∴成立．1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错. 2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论.例1错证：22<∴，1020+∴，5<，2125<∴，显然原不等式成立．错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了. 正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书99P 例3）.一般是先用综合法由已知条件P 推出一个中间结论M ，再用分析法探求，发现M 正是使所要证结论Q 成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q 成立的充分条件M ，再用综合法由已知条件P 推出M .证明过程用框图2表示.或例2 教科书中对99P 例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证. 证明：要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++，只需证2222222sin sin 11cos cos sin sin 121cos cos βαβααβαβ--=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 即证22221cos sin (cos sin )2ααββ-=-即证22112sin (12sin )2αβ-=-，即证224sin 2sin 1αβ-= ③．另一方面，因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将已知中的①②代入上式， 即得224sin 2sin 1αβ-=与③相同，于是问题得证．4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用. 例3证明（一）：假设成等差数列，即，下面（用分析法）证明≠只需证22≠，即证105，即证2125≠，而该式显然成立，证明（二）：假设成等差数列，即，下面（用综合法）证明∵，52125≠∴，≠≠，10即3720+≠，即2≠，≠。
