理论力学(第三版)第1章第4节质点运动定律

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第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。

动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。

即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。

第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；t d d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -7 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =t x 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为 2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图 1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -11 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得 v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -20 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω== 则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -21 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s 2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t (2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt =t ＝0.55ｓ。

理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解 __3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。

本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。

本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。

第一章 质点运动学填空1. 在平面极坐标系中，单位向量的微分为： ， ，速度的两个分量为 ， ，加速度的两个分量为 。

2. 在自然坐标系下，单位向量的微分为： ， 速度表示为： ，切向加速度为： ，法向加速度为： 。

3. 点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。

它走过的弧长与时间的一次方成正比，则点的加速度越来越 (填：大、小、不变)，点M 越跑越 (填：快、慢、不变)。

选择题1. 在直角坐标系下，某质点速度随时间的变化为：2234 (m/s)t i t j - ，则在1s 时，质点轨迹的曲率半径ρ= （ ） A. 0 m B. m ∞ C. 1 m D. 5 m计算和证明题：1. 有一作平面曲线运动的质点，其速度在y 轴上的投影于任何时刻均为常数c .试证：任何情况下，加速度的值可用下式表示3v a c ρ= ，其中v 为速率，ρ为轨道曲率半径.M·3. 质点作平面运动，其速率保持为常数.试证此质点速度矢量与加速度矢量相互垂直。

4. 一质点沿抛物线22y px =运动. 其切向加速度的量值为法向加速度量值的2k -倍.如此质点从弦的一端(,)2pp 以速率u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率.)p )p5，质点沿着半径为r 的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。

求：(1)，质点的速率随时间而变化的规律，(2)，质点速率关于速度与x 之间夹角θ之间的函数关系。

已知初始时，速率为0v ，速度与x 轴夹角为0θ。

6，如图所示，细长杆A 端沿半径为R 的半圆槽底滑动，杆紧靠槽边以角速度ω倒下。

求：当杆与x 轴的夹角为ϕ时，杆的端点A 和杆上与槽边的接触点C 的速度。

开始时A 点在半圆槽底端A 0处。

x第二章 质点动力学填空题1．如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一定点，我们称此力为有心力，而这个定点叫 。

2. 在直角坐标系下，某质点的动量为：32cos te i t j -- ，则作用在质点上的力F= 。

力学基础质点运动规律质点运动规律是力学基础的重要内容之一。

它描述了质点在不同力的作用下所呈现的规律性运动。

本文将介绍质点运动规律的基本概念、牛顿三定律以及质点在各种力下的运动规律。

一、基本概念质点是物理学中一个理论上的假设，假设物体可以被简化为不具有大小和形状的点。

质点运动规律则是研究质点在各种力作用下的运动状态和轨迹的学科。

二、牛顿三定律牛顿三定律是力学的基本定律，描述了质点在外力作用下的运动规律。

1. 第一定律（惯性定律）：质点在没有外力作用时将保持静止或匀速直线运动。

质点的运动状态只有在受到外力的作用时才会发生改变。

2. 第二定律（运动定律）：质点的加速度与作用在其上的合力成正比，与质点的质量成反比。

即F=ma，其中F为作用在质点上的合力，m为质点的质量，a为质点的加速度。

3. 第三定律（作用与反作用定律）：对于任意两个相互作用的物体，彼此施加的力大小相等、方向相反，且作用在彼此的物体上。

三、质点在不同力下的运动规律在实际问题中，质点并不总是受到单一的力作用，可能同时受到多个力的作用。

下面将介绍质点在不同力下的运动规律：1. 自由落体：当质点只受到重力作用时，其运动规律符合自由落体运动。

自由落体运动的规律是质点的竖直位移与时间的平方成正比，即s=h0+1/2gt^2，其中s为质点的位移，h0为初始高度，g为重力加速度，t为时间。

2. 斜抛运动：当质点同时受到重力和一个斜向的初速度时，其运动规律符合斜抛运动。

斜抛运动的规律是质点的水平位移与时间成正比，竖直位移与时间的平方成正比。

横向位移x=v0xt，竖直位移y=v0yt-1/2gt^2，其中v0x为初始水平速度，v0y为初始竖直速度。

3. 弹性碰撞：当质点在碰撞中受到弹力作用时，其运动规律符合弹性碰撞运动。

弹性碰撞运动的规律是质点的动量守恒和动能守恒。

即质点在碰撞前后的总动量和总动能保持不变。

四、总结质点运动规律是力学研究的基础之一，通过牛顿三定律可以描述质点在外力作用下的运动规律。

第一篇 力学力学的研究对象是机械运动，所谓机械运动就是物体的空间位置随时间变化的过程．地球绕太阳运动，火车在铁路上行驶，吊车吊起重物等都是机械运动的例子．力学就是研究机械运动的规律及其应用的学科．力学分为三部分：运动学——只从几何观点来研究物体的运动，不考虑产生或改变运动的原因．动力学——联系改变运动状态的原因(力)来研究运动．静力学——研究作用在物体上的力的平衡条件．本篇第一章是运动学的内容，第二至第五章是动力学内容．静力学内容本书不拟介绍。

第一章 质点运动学§1－1 参考系 质点一、参考系和坐标系宇宙间一切物体都在运动．桌子上的书对于桌子和房间里其他物体是静止的，但相对于太阳是运动的，因为地球绕它自己的轴转动，同时又绕太阳作椭圆运动，所以书和房间里其他物体也跟着地球绕太阳运动；太阳也在运动，它以每秒几百公里的速度绕着银河系的中心运动，地球随太阳一起绕银心运动一周约需2亿年；在浩瀚的宇宙中银河系相对于其他星系也在运动，直径大约有10万光年的银河系的巨大银盘在不停地旋转，在引力相互作用下，距离地球约230万光年有着美丽的旋涡状结构的仙女星系与银河系正在相互接近，此外，1923年美国天文学家哈勃用反射望远镜观察，发现距离我们更远的河外星系正在背离我们而去，速度与其距离成正比；绝对静止的物体是没有的，这就是运动的绝对性． 既然一切物体都在运动，为了描述一个物体的机械运动，必须另选一个物体作参考，然后研究这一物体相对于被选作参考的物体的运动，这个被选作参考的物体称为参考系．例如要研究物体A 相对于物体R 的运动（图1－1），就要选择R 作为参考系，然后研究物体A 相对于参考系的运动．参考系的选择可以任意，通常要看问题的性质和研究的方便．例如研究地面上物体的运动，通常选择地球作为参考系．研究地球或其他行星的运动，通常选择太阳作为参考系． 同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不相同．例如，对于铁路边的标志杆上一个脱落的螺丝，如图1－2所示，若以地面为参考系(即从地面上的人看来)，下落过程中螺丝作直线运动；如以沿水平方向作匀速直线运动的火车机车为参考系(即从机车中的人看来)，此过程中螺丝作平抛运动．选用不同的参考系对同一物体的运动有不同的描述，这个事实称为运动图l －1 图l －2描述的相对性．由于对运动的描述是相对的，所以描述物体的机械运动时必须指明或暗中明确所用的参考系．为了定量地描述物体相对于参考系的运动情况，只有参考系是不够的，还要有一种说明物体相对于参考系的位置的方法．用数值来说明位置的方法是在参考系上选择一个固定的坐标系，如图1－1中固定于物体R的正交坐标系Oxyz，坐标系选定以后，任一时刻物体A中任一点P的位置就可以用该时刻它在这个坐标系中的坐标来描述．例如在图1－2中可以分别选取固定于地面的正交坐标系Oxyz，或者固定于火车机车的正交坐标系O’x’y’z’，任一时刻螺丝的位置就可以用该时刻它在相应坐标系中的坐标来描述了．二、质点任何物体都有一定的大小和形状．在一般情况下，物体运动时，它内部各点的运动情况是各不相同的，而且物体的形状和大小也可能发生变化，例如地球上动物和植物的运动，潮汐的涨落，地震、火山爆发以及由此而引起的海啸等都是地球的大小和形状发生变化的例子．但在某些问题中物体的形状和大小不起作用或所起作用甚小，是次要因素．为了抓住主要因素和掌握它的基本运动情况，我们有必要忽略物体的形状和大小，而把它看作是一个具有质量而没有大小和形状的理想物体，这样的物体称为质点．图l－3质点是一个理想化的模型．物理学中常用理想模型来代替实际研究的对象，突出它的主要性质，忽略它的次要性质，以便简化问题的研究．这样做是必要的，否则即使是最简单的问题也会使我们感到非常复杂，无法下手．除质点外，以后要讲到的刚体、理想气体、绝对黑体等都是理想模型．一个物体能否看作质点要视所研究问题的性质来定．例如，研究地球绕太阳公转时，由于地球的平均半径（约为6.40×10３km）比地球与太阳间的距离（约为1.50×10８km）小得多（图1－3），地球上各点对太阳的运动可视为相同．这时，就可以忽略地球的大小和形状，把地球当作一个质点．但是研究地球的自转时，如果仍然把地球看作一个质点，显然就没有意义了．三、时间和时刻我们要区别“时间”和“时刻”这两个概念．什么是时刻？时刻就是时间的某一瞬时．例如火车八点钟从甲站开出，十点钟到达乙站，这个八点钟和十点钟就是时刻，从八点到十点经过两小时，这两小时就是时间间隔，或简称为时间．质点运动时，它所经过的某一位置对应于某一时刻，质点所走的某一段路程对应于某一时间间隔．§1－2 质点的位移、速度和加速度为了突出位置矢量和位移的矢量性，突出速度和加速度的瞬时性和矢量性，在这一节里我们将从曲线运动讲起，就曲线运动情形介绍位置矢量和位移以及瞬时速度和瞬时加速度概念，然后把所得结果应用于直线运动，求出直线运动的位置矢量、位移、速度和加速度的表示式．一、质点的运动方程 轨道为简单起见，我们讨论平面运动情形(很容易推广到空间运动)．设质点在一平面上运动，在这平面上取坐标系Oxy ，质点P 对于这坐标系的位置由两个正交坐标x 、y 确定，如图l －4．当质点运动时，它的坐标随时间而变化，是时间t 的函数：)()(t y y t x x == （1－1） （1－1）式给出质点在任一时刻t 的位置，所以它表示质点的运动规律，称为质点的运动方程．知道了质点的运动方程，就可以求出质点在各个时刻的坐标，因而就可以画出质点运动的路线．质点运动的路线称为质点运动的轨道，（1－1）式就是轨道的参数方程．由（1－1）式中两式消去t 便得到轨道的正交坐标方程：0),(=y x f如果质点的轨道是一直线，则其运动称为直线运动；如果质点的轨道是一曲线，则其运动称为曲线运动．质点P 的位置还可以用由原点O 到P 点的径矢r 表示，r 称为质点的位置矢量，简称位矢．质点的坐标x 、y 是r 在坐标轴Ox 、Oy 上的分量（图l －4），它们之间有如下关系： j i r y x += （1－2） 其中i 、j 为x 、y 轴上的单位矢．质点的运动方程亦可用矢函数表示如下式：)(t r r = （1－3）（1－3）式和（1－1）式是等效的．如果质点在一直线上运动，并取这直线为x 轴，则质点的位置由一个坐标x 确定．在此情形，质点的运动方程由一个函数表示为)(t x x =二、位移假设质点在如图1-5所示的曲线上运动，在时刻t 质点位于P 点，位矢为r ，在时刻t +Δt 质点运动到Q 点，位矢为r １，则从P 点到Q 点的径矢Δr 称为质点在Δt 时间内的位移．位移是矢量，其大小等于由P 点到Q 点的直线距离，其方向为由P 点到Q 点的方向．由图l-5得知r r r -=1Δ矢量差r １－r 就是位矢r 在Δt 时间内的增量，故用Δr 表示．应区别位移与路程．路程是标量，在Δt 时间内质点通过的路程是弧PQ 的图1—4长度Δs ．而位移是矢量，在Δt 时间内的位移的大小等于割线PQ 的长度r Δ，Δs 与r Δ一般不相等，只当0Δ→t 时，Δs 与r Δ才可视为相等．在直线运动情形，如果质点始终朝一个方向运动，则位移的大小和路程的长度相等，如果从P 点运动到Q 点，然后又回到P 点，则位移的大小为零，但路程的长度等于PQ 的两倍(图1－6)．三、速度假设质点在如图1－7所示的曲线上运动，其运动方程由矢函数)(t r r =表示，在时刻t 质点的位矢为)(t r ，在时刻t +Δt 质点的位矢为)Δ(1t t +=r r ，则在Δt 时间内质点的位移为r r r -=1Δ，位移r Δ与时间Δt 的比值tΔΔr ，称为质点在此时间内的平均速度，用v 表示，则 t ΔΔr =v 符号的上面加一横线“-”表示平均的意思．平均速度是矢量，其大小为t ΔΔr；其方向为r Δ的方向(图1－7)．平均速度(大小或方向或两者)一般与所取时间间隔有关，所以给出平均速度时必须说明是哪一段时间内的平均速度．平均速度不能说明质点在某一时刻或某一位置的运动情况．为了说明在时刻t 的运动情况，就要把Δt 取得很小．Δt 越小，比值tΔΔr 就越能表示时刻t 的运动情况．因此，我们用0Δ→t 时tΔΔr 的极限来描述质点在时刻t 的运动情况，图1－5 图1－6图1—7这个极限称为质点在时刻t 的瞬时速度，简称为速度或在位置P 的速度，用v 表示，即tt t d d ΔΔlim 0Δr r ==→v （1－4） 瞬时速度是矢量，它的方向为0Δ→t 时位移r Δ的极限方向．由图1－7看出，位移r Δ是沿割线PQ 的方向，当0Δ→t 时，Q 点趋近于P 点，而割线PQ 的方向趋近于P 点的切线PT 的方向．所以瞬时速度v 的方向是曲线于P 点的切线的方向．设Δs 为割线PQ 所对应的弧的长度，则速度v 的大小为ts s t s s t t t t t ΔΔlim ΔΔlim ΔΔΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ0Δ0Δ→→→→⨯===r r r v 因为 1ΔΔl i m 0Δ=→st r 所以 ts t st d d ΔΔl i m 0Δ==→v （1－5） 弧长Δs 为Δt 时间内质点所通过的路程的长度，比值ts ΔΔ称为质点在Δt 时间内的平均速率，而ts d d 则称为在时刻t 的瞬时速率．（1－5）式表示瞬时速度的大小等于瞬时速率．瞬时速度在x 、y 轴上的分量可求之如下：j i r y x +=将此式两边对时间t 求导数得j i r ty t x t d d d d d d +==v （1－6） 如果令x v ，y v 表示v 在x 、y 轴上的分量，则有j i y x v v +=v （1－7）比较（1－6）和（1－7）两式得ty t x y x d d ,d d ==v v （1－8） 所以速度的大小又可写为 2222d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x y x v v v （1－9）设θ角为速度v 与x 轴所成的角，则由图l －8得tx t y x y d d d d tan ==v v θ （1－10） 例题1－1 已知质点的运动方程为t R y t R x ωωsin ),cos 21(=+= （1－11） 其中R 及ω为常量，求质点的轨道及速度．解 将（1－11）式改写为t R y t R x ωωsin ,cos 2==-将以上二式两边平方及相加得 2222R y R x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 这就是轨道的正交坐标方程．上式表示质点的轨道是半径为R 的圆周，圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 处，如图1-9所示．由（1－11）式求得速度的分量为t R ty t R t x y x ωωωωcos d d ,sin d d ==-==v v 由此得速度的大小 R t t R ωωωω=+=22cos sin v （1－12）v 为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动．又当t 从零增加时，x v 为负，y v 为正，所以质点在圆周上以逆时针方向绕圆心运动．速度v 与x 轴所成的角θ由下式决定：t x yωθcot tan -==v v四、加速度图l －8 图l －9假设质点的运动方程由)(t r r =表示，在时刻t 质点在P 点，速度为v （图l －10），经过Δt 时间后，质点运动到Q 点，速度为1v ，则在Δt 时间内速度的增量为v v v -=1Δ，从O ’点作矢量v 及1v ，则由矢量v 的末点到矢量1v 的末点的矢量即为v Δ．速度增量v Δ与时间Δt 的比值t ΔΔv 称为质点在此时间内的平均加速度，用a 表示，即 tΔΔv =a 当0Δ→t 时，平均加速度趋近于一极限，这一极限称为质点在时刻t 的瞬时加速度，简称为加速度，用a 表示，则tt t d d ΔΔlim 0Δv v ==→a （1－13） 加速度是矢量，它的方向为v Δ的极限方向，因为v Δ总是指向曲线凹的一侧(当Δt 足够小时)，所以加速度a 总是指向曲线凹的一侧．因 td d r =v 故 22d d d d tt r a ==v （1－14） 又 j i r y x +=由微分得j i r a 222222d d d d d d ty t x t +== （1－15） 由此得瞬时加速度a 在x 、y 轴上的分量为2222d d ,d d ty a t x a y x == （1－16） 由此得加速度的大小：22222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a y x （1－17）图l －10设ϕ为加速度a 与x 轴所成的角，则有2222d d d d tan t x t y a a x y ==ϕ （1－18） 加速度等于速度对时间的变化率．不论速度的大小变化或方向变化，速度都发生变化（图1－10），因而都有加速度．例题1－2 设质点的运动方程仍由例题l －1中（1－11）式表示，求加速度． 解 利用（1－16）式及例题1－l 的结果可得t R tt y a t R t t x a y y x x ωωωωsin d d d d cos d d d d 222222-===-===v v 由此得加速度的大小：R R t t R a 22222 sin cos v ==+=ωωωω （1－19） 上式中最后等式是利用了(1—12)式得出的．如果把加速度写成矢量式，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-= 2 sin cos 222j i j i a y R x t R t R ωωωωω （1－20） 令ρ表示从圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 到质点（x ，y ）的径矢（图1－8），则 j i ρy R x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2 （1－21） 合并（1－20）及（1－21）式便得到ρa 2ω-=可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向．在以上两个例题中，假设已知运动方程，用微分法求速度和加速度．反之，如果已知加速度)(t a 及初始时刻的速度及坐标，用积分法可求出速度和运动方程．例题1－3 假设以初速度0v 把物体抛出去，0v 与水平方向成0θ角，忽略空气阻力，求物体的速度及运动方程．解 取y 轴竖直向上，0v 轴与x 成0θ角，在不考虑空气阻力的情况下，物体的加速度a 等于重力加速度，其大小为g ，方向竖直向下，即j a g -=用分量式表示则为g ty a t x a y x -====2222d d ,0d d 积分得21d d ,d d C gt ty C t x y x +-====v v （1－22) 其中C 1、C 2为积分常数．取抛出物体时为初始时刻，0=t ，有 0000sin ,cos θθv v v v ==y x代入（1－22）式可决定C 1及C 2：002001sin ,cos θθv v ==C C将C 1、C 2的值代入（1－22）式得gt t y t x y x -====0000sin d d cos d d θθv v v v （1－23)再积分得220010021)sin ()cos (C gt t y C t x +-=+=θθv v 取物体的初始位置为坐标原点，则当0=t 时，0==y x ，所以 0 ,021==C C代入上式得2000021)sin ( ,)cos (gt t y t x -==θθv v （1－24） （1－23）式给出物体的速度，（1－24）式为物体的运动方程．由(1—24)式中两式消去t 得轨道的正交坐标方程： 022020cos 2tan θθv gx x y -=此式表明物体的轨道为一抛物线，如图1—11所示． 五、直线运动情形以上就曲线运动情形介绍了位移、速度和加速度等概念，这些概念对于直线运动也是适用的．如图1－12，取运动所在的直线为x 轴，i 为x 轴上的单位矢量，设在时刻t 质点位于P 点，坐标为x ，经过t Δ时间后质点运动到Q 点，坐标为x 1，则在t Δ时间内质点的位移为i i i i r x x x x x Δ)(Δ11=-=-= （1－25)图l －11其中x x x -=1Δ，质点的位移r Δ或与i 同向，或与i 反向．如果x Δ为正，则r Δ与i 同向；如果x Δ为负，则r Δ与i 反向．所以在直线运动中，质点的位移r Δ的大小和方向完全可用x x x -=1Δ来表示．x Δ表示位移的大小，x Δ的正负号表示位移的方向．x Δ为正时位移沿x 轴的正方向；x Δ为负时，位移沿x 轴的负方向．由（1－4）式及（1－25）式得质点在t 时刻的瞬时速度：i i r tx t x t t t d d ΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→v （1－26） 瞬时速度v 或与i 同向或与i 反向，如果tx d d 为正，则v 与i 同向；如果t x d d 为负，则v 与i 反向．所以在直线运动中，质点的瞬时速度v 的大小和方向完全可以用t x d d 来表示，tx d d 表示速度的大小，t x d d 的正负号表示速度的方向，t x d d 为正时，速度沿x 轴的正方向；tx d d 为负时，速度沿x 轴的负方向．所以矢量式（1－26）可代以标量式：tx d d =v （1－27） 又由（1－13）式及（1－26）式得质点在时刻t 的瞬时加速度： i i a 22d d d d d d d d tx t x t t =⎪⎭⎫ ⎝⎛==v （1－28） 由(1-28)式看出，如果22d d tx 为正，则加速度a 与i 同向，如果 22d d t x 为负，则加速度a 与i 反向，所以在直线运动情形加速度的方。

第一章 质点力学第一章习题解答1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:{{SSt t 题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=-=221210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得11021at t s v +=再由此式得()()2121122t t t t t t s a +-=证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.题1.2.1图设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎭⎫ ⎝⎛+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标()t t x A 15150--=，0=A yB 船坐标0=B x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t y B 15211150则AB 船间距离的平方()()222B A B A y y x x d -+-=即()2021515t t d -=201521115⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++t t()202002211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=t t t t t2d 对时间t 求导()()67590090002+-=t t dtd d AB 船相距最近，即()02=dtd d ，所以 h t t 430=- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=s km1.3 解 ()1如题1.3.2图第1.3题图y题1.3.2图由题分析可知，点C 的坐标为⎩⎨⎧=+=ψψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有ϕψsin 2sin ar =（正弦定理）所以ry r a 2sin 2sin ==ψϕ联立以上各式运用1cos sin 22=+ϕϕ由此可得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ得12422222222=---++r y a x y a x r y 得22222223y a x r a x y -=-++化简整理可得()()2222222234r a y x y a x -++=-此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x其中ϕω = 又因为ψϕsin 2sin a r =对两边分别求导 故有ψϕωψcos 2cos a r = 所以22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()ψϕψϕϕψω++=sin cos sin 4cos cos 22r1.4 解 如题1.4.1图所示，A BOCLxθd 第1.4题图OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量22x d OC v +=⨯=⊥ωωC 点速度dx d d v v v 222sec sec cos +====⊥⊥ωθωθθ 又因为ωθ= 所以C点加速度 θθθω ⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()2222222tan sec 2d x d x d +==ωθθω1.5 解 由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得dtT t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D Ttc Tct v ++=2cos2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ，故cT D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ1.6 解 由题可知质点的位矢速度r λ=//v ①沿垂直于位矢速度μθ=⊥v又因为 r r λ== //v ， 即r rλ= μθθ==⊥r v 即rμθθ= ()()j i v a θ r dtd r dt d dt d +==（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以()j i i i θ r rdtd r i dt r d r dt d +=+= ()dtd r dt d r dt dr r dt d j j j j θθθθ ++=i j j 2r r r θθθ -+= 故()()j i a θθθr r r r 22++-= 即 沿位矢方向加速度()2θr r a -= 垂直位矢方向加速度()θθr r a 2+=⊥ 对③求导r rr 2λλ== 对④求导θμμθθ r r r +-=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λμμθr把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得rr a 222//θμλ-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⊥r a μλμθ1.7 解 由题可知⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ①② 对①求导θθθ sin cos r r x-= ③ 对③求导θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r rr x ---=④ 对②求导θθθcos sin r r y+=⑤ 对⑤求导θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r rr y -++=⑥ 对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图题1.7.1图即⎩⎨⎧+=+=θθθθθθcos sin sin cos a a y a a x r r⑦--⑧ 对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦θcos ⨯，⑧θsin ⨯ 即得⎩⎨⎧+=-=θθθθθθθθθθcos sin sin sin cos sin cos cos a a y a a x r r⑨--⑩ ⑨+⑩得θθsin cos yx a r += ⑾ 把④⑥代入 ⑾得2θr r a r -= 同理可得θθθ r r a 2+= 1.8解 以焦点F 为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]题1.8.1图则M 点坐标⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ）又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即()rer e a --=21cos θ 所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r e a --+--=-=θθ故有()2222224222sin 1ωθωr ea r e v +-=()2224221ea r e -=ω()()]1211[2222222e ar r ea --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω 即()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为j i v y x v v +=令为位矢与轴正向的夹角，所以dt d v dt dv dt d v dt dv dt d yy x x j j i i v a +++==j i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv 所以[]j i a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv ()j i y x v v +⋅ θθ y x y y y x xxv v dt dv v v v dt dv v ++-=dtdv v dt dv v y yx x += 又因为速率保持为常数，即C C v v y x ,22=+为常数对等式两边求导022=+dtdv v dt dv v y y xx所以0=⋅v a即速度矢量与加速度矢量正交.1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，题1.10.1图则质点切向加速度dtdv a t =法向加速度ρ2n v a =，而且有关系式ρ2v 2k dt dv -= ① 又因为()232y 1y 1'+''=ρ②2px y 2=所以ypy =' ③ 32yp y -='' ④ 联立①②③④2322322y p 1y p 2kv dtdv⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= ⑤又dydvydt dy dy dv dt dv =⋅= 把2px y 2=两边对时间求导得pyy x= 又因为222y xv += 所以22221py v y+= ⑥ 把⑥代入⑤23223222122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y p y p kv dydvp y v既可化为222py dykp v dv +-= 对等式两边积分222py dykp v dv p p vu+-=⎰⎰- 所以πk ue v -=1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示题1.11.1图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====ααcos sin 2a dt dv a a r v a t n 两式相比得dtdv r v ⋅=ααcos 1sin 2即2cot 1vdv dt r =α 对等式两边分别积分200cot 1v dv dt rv v t⎰⎰=α 即αcot 110rt v v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααcos sin 2a dtdv a r v ①② 所以 ωθθθd dv dt d d dv dt dv =⋅=，联立①②，有ααωθcos sin 2r v d dv = 又因为r v ω=所以 θαd vdv cot =，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t 时，0θθ=()αθθcot 00-=e v v1.13 证（a ）当00=v ，即空气相对地面上静止的，有牵相绝v v v +=.式中绝v 质点相对静止参考系的绝对速度， 相v 指向点运动参考系的速度， 牵v 指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度：绝v =v '，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间v l t '=20. （b ）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度01v v v +'=飞行时间1v v lt +'=当飞机向西飞行时速度0v v v v v -'=+=牵相飞行时间2v v lt -'=故来回飞行时间021v v l t t t +'=+=0v v l -'+222v v lv -''= 即2200220112v v t v v v lt '-='-'= 同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间2201v v t t '-= （c ）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图v 题1.13.1图v v v '+=0绝202v v v -'= 所以来回飞行的总时间222vv l t -'=2200220112v vt v v v l '-='-'=同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为2201v v t t '-=1.14解 正方形如题1.14.1图。

第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；t d d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；t r d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -7 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =t x 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为 2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图 1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为 222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -11 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得 v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -20 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω== 则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -21 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s 2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t (2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt =t ＝0.55ｓ。