2-1牛顿运动定律和质心运动定理

212211m m r m r m r c++=r r r 代表一特殊点的位置矢量，i M m =∑质心的位矢cP Mv =v rcF Ma =r r 外2.2 动量定理动量守恒定律12P P I r r r −=在冲击和碰撞过程中，物体间相互作用时间较短，相互作 用力往往很大，而且随时间改变。

这种力通常叫冲力。

平均冲力：冲力对作用时间的平均值r F =F1 t 2 − t1∫t2 t1r r I F dt = ∆t这时动量定理可以写成： F 0 t1It2tr r r r I = F ( t 2 − t 1 ) = P2 − P1由此可以估计冲力的大小例. 一质量为 0.1kg 的小钢球从 2.5m 处 自由下落,与地上水平钢板碰撞后回跳高度 为1.6m. 设碰撞时间为 0.01s, 求撞击力。

解 m h1 h2 y 碰前 v1 =2gh1碰后v 2 = 2gh2小球所受的撞击力 mv 2 − mv 1 m − 2 gh2 − 2 gh1 F= = ∆t ∆t() )r v2 r v10.1 × − 2 × 9.8 × 1.6 − 2 × 9.8 × 2.5 = 0.01 = −126 N (负号表示什么意思?) 质量1kg（=20两），重力约为10N；((小球0.1Kg(2两)，重力约为1N) 撞击力126N, 约等于126个小球的重力。

二、 质点系的动量定理 r r dp r 对系统内第i个质点: Fi + ∑ f ji = i , i = 1,2,.., n j ( j ≠i ) dt r对所有质点n dP r r n ∑ Fi + ∑ ∑ f ji = ∑ i i =1 i =1 j ( j ≠ i ) i =1 dt r n dP n r d n r ∑ Fi = ∑ i = ∑ Pi i =1 i =1 dt dt i =1 n内力和为零质点系的合外力r r F外 dt = dPI =t2质点系的总动量 微分形式 质点系动量定理 （积分形式）∫t1r r r F 外 d t = P2 − P1注意:内力只改变系统内单个质点的动量,不影响质点系的总动量！三、动量守恒定律v v v ∫t1 F外 ⋅ d t = P2 − P1 r r P = 常矢量 F外 = 0t2r r r P = ∑ Pi = ∑ mi vi = 常矢量i i动量守恒定律若质点系所受合外力为零时，则质点系的总动量不随时间 改变。

质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。

2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。

对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。

三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。

答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。

答案：三边中点构成的小三角形的内心。

3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。

今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。

答案：g。

4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。

用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。

5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。

让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。

撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。

多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。

质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。

这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。

牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。

对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。

此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。

因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。

具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。

又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。

这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。

将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。

因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。

总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。

通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。

第3讲 牛顿运动定律 转动定律一、质心力学（牛二定律）：C F ma =质心运动定律：质点系质心运动的加速度与质点系所受全部外力的合力成正比，与质点系各质点的总质量成反比，这一定律称质心运动定律．C F ma =，C a为质点系质心运动的加速度．该定理表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此时应有的运动．运动关联：绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，称为约束．每个约束条件可用一个运动方程描写，称为约束方程．可用小量分析方法（微元法）确定它们的大小关系：设想物系各部分从静止开始匀加速运动极短时间t ∆，由()212x a t ∆=∆可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同时间内的位移比，便确定了两者加速度的大小关系． 加速度关联举例：（1）如图a 所示A 和B 的加速度的关系：a B =a A cot α．（2）如图b 所示A 、B 、C 间的加速度关系：a C =21(a A +a B ) ． （3）如图c 所示的加速度关系：当A 不动时，a B =a C ，方向向上；当C 不动时，a B =21a A ，方向向下． 则B 的加速度是A 和C 的叠加，即a B =c a a a -2．1．质量为M 的不光滑三角形木块ABC ，放在粗糙的地面上，如图所示，已知角度θ1和θ2，在AB 和BC 上分别有质量为m 1和m 2的两个滑块，它们分别以加速度a 1和a 2滑下，而三角形木块保持静止不动．试求：地面对三角形木块的支持力和摩擦力．2．如图所示，用一细绳跨过光滑的定滑轮，而在绳的两端各悬质量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们的加速度以及绳子两端的张力F 1和F 2．M3．如图所示的系统中滑轮与细绳质量均可忽略不计，细绳不可伸长，且它与滑轮间无摩擦．图中三个物体A 、B 、C 的质量分别为m 1、m 2、m 3，它们的加速度方向按图示设取，试求这三个加速度量的大小．4．如图，质量为M ，倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有质量为m 的小物块沿斜面下滑．试求：斜面在水平桌面上运动的加速度的大小．二、刚体力学（转动定律）：M I α=转动定律：刚体在合外力矩M 作用下，所获得的角加速度α与合外力矩M 大小成正比，与转动惯量I 成反比，即M I α=（转动的牛二定律）．转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量i m 与该质点到转轴的距离i r 的平方的乘积的总和，即21lim n i i n i I m r →∞=≡∑．从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．在中学数学层面上，我们可以用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量．在此，我们先由类比法引入转动惯量I ．M5．如图所示，考虑到滑轮是有质量（滑轮的半径R ，质量M ，且质量只分布在圆的边缘）且是粗糙的．现用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端各悬质量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们的加速度以及绳子两端的张力F 1和F 2．假设细绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间没有相对滑动．6．一质量为m 半径为R 的均质圆筒，沿倾角为θ的粗糙斜面自静止无滑下滚，求静摩擦力、质心加速度，以及保证圆筒作无滑滚动所需最小摩擦系数？三、惯性力与惯性力矩牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立，简称惯性系．实验证明，地面已经是一个相当接近惯性系的参照系．一般情况下，相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系．牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动．为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，必须引入一个惯性力-F ma 惯．如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a ，那么可以假想非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma 、方向与a 的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用．例如，一物块A 放在倾角为θ 的光滑斜面B 上，问斜面B 必须以多大的加速度运动，才能保持A 、B 相对静止？可取B 作为参考系，A 在这个参照系中应静止．因为B 是相对地面有加速度的非惯性系，所以要加上一个惯性力F 惯=ma ，方向水平向右，a 的大小等于B 相对地面的加速度．由受力分析图可知：ma =mgtan θ , ∴a =gtan θ如在非惯性参考系中考虑物体的转动趋势，则应考虑惯性力的力矩——惯性力矩．7．在铅垂平面内有半径为R 的光滑圆环，另有小环m 套在大圆环上，可自由滑动，当大圆环以角速度ω绕过O 的竖直轴旋转时，求小环的平衡位置θ=？8．水平木板上有高度为H 的台阶，均质圆柱体放在面板上，自由地靠在台阶上，圆柱体的半径R ＞H ，木板在水平方向上以加速度a 向右运动，试问木板可能的最大加速度a max 为多大时，圆柱体尚未离开木板底座？（摩擦不计）9．如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面惯上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m′和m，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度．。

质心运动定律的公式表达
质心运动定律是指作用于一个物体的所有力的合力将会产生一个永远指向物体的质心的加速度，并且这个加速度可以通过质心的质量与作用于该物体的所有力的合力除以总质量来求得。

这个定律十分重要，因为它可以帮助我们预测一个系统的运动方式，无论是一个简单的物体还是一个复杂的系统。

根据牛顿第二定律F=ma，表示物体所受合力与其所受的加速
度之间的关系，我们可以得到质心运动定律的公式：
a = F / m
简单来说，这个公式表示，物体的质心所受的加速度等于作用在它身上的所有力的合力除以它的质量。

此外，由于质心既不是物体的最顶部，也不是物体的最底部，而是在其物理结构的中心，因此它是一个与物体外部某些物理属性无关的点。

因此，对于一个复杂的系统，我们可以使用质心运动定律来方便地处理问题，并预测预测系统的运动方式，即通过计算系统所有物体的质心位置和质心所受的加速度，并建立质心运动方程。

质心运动定律有着广泛的应用范围，它可以帮助我们处理从轨道卫星的运动到船只在海面上的运动等许多不同的问题。

举例来说，在船只的运动中，我们可以将船只看作一个复杂的系统，该系统由船体和引擎等多个部件组成。

我们可以将每一个部件的运动看作一个小问题，并通过计算所有部件质心的位置和质心的运动方程来解决整个系统的运动问题。

总之，质心运动定律是一个十分重要的物理定律，它可以帮助我们处理复杂的物理问题，并预测一个系统的运动方式。

它的公式表达简单明了，即物体质心所受的加速度等于物体所受的所有力的合力除以物体的质量。

因此，我们可以通过计算质心运动方程来解决实际问题。