整数规划割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。

整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。

下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。

1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。

纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。

通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。

2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。

这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。

3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。

它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。

分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。

分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。

定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。

4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。

启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。

常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。

5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。

面对这种情况，可以采取接近最优的策略。

即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。

6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。

通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。

问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。

7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。

对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。

本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。

一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。

具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。

具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。

（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。

（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。

常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。

这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。

（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。

（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。

（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。

四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。

由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。

整数规划割平面法 Written by Peter at 2021 in January割平面法求解整数规划问题：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2144x 1+2x 218x 1,x 20，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。

从而有：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9x 1,x 20，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2(1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4)(2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。

又因为x 3,x 40，所以必有：1/2-(1/2x 3+1/2x 4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x 3+1/2x 4)0(3)或x 3+x 41(4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x 1+2x 211(5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。

图1在(3)式中加入松弛变量x 5，得：-1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2(6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x 1+2x 22x 1+3x 2+x 3=142x 1+x 2+x 4=9-1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2x i 0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。

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