第三节 割平面法

3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。

目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。

我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。

例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。

BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。

约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。

问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。

整数规划的割平面法计算流程与举例下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

组合优化中的割平面法高效实现方案组合优化问题是在给定一组约束条件下，寻找最优解或者近似最优解的问题。

割平面法（Cutting Plane Method）是一种常用的解决组合优化问题的方法。

本文将介绍割平面法的基本原理，并提出一种高效实现方案。

一、割平面法基本原理割平面法是一种分步优化策略，通过逐步增加割平面约束来逼近求解组合优化问题的最优解。

其基本思想是在每一步迭代中，利用已经得到的可行解，构造一个新的割平面约束，将问题的可行域进一步缩小，从而得到更加接近最优解的解。

割平面法的核心是如何构造有效的割平面约束。

常用的割平面约束包括线性不等式约束、支撑平面约束和锥形约束等。

这些约束可以通过问题的特定结构和性质进行构造，从而提高算法的效率和收敛速度。

二、高效实现方案为了提高割平面法的实现效率，以下是一种高效的实现方案：1. 初始解的选择割平面法需要一个初始解作为起点。

可以利用问题的特点或者其他启发式算法得到一个较好的初始解。

这有助于缩小求解空间，提高算法的收敛速度。

2. 割平面约束的选择在每一步迭代中，需要选择合适的割平面约束来进一步缩小可行域。

可以利用启发式方法或者问题的特性来选择约束。

例如，可以选择与当前可行解相对应的割平面约束，或者选择与目标函数线性化程度较高的割平面约束。

3. 割平面约束的有效性检验在选择割平面约束后，需要验证该约束是否有效。

一般可以通过求解一个子问题来判断约束是否能够把当前可行域进一步缩小。

如果约束是无效的，则需要重新选择割平面约束。

4. 割平面约束的添加与求解一旦确定了有效的割平面约束，需要将其添加到问题的约束集合中，并重新求解问题。

可以使用线性规划等方法来求解问题，得到一个新的可行解。

然后，再次选择合适的割平面约束，并进行有效性检验，直到满足终止条件。

5. 收敛判据与终止条件割平面法通常需要设置终止条件以避免无限循环。

可以通过设置最大迭代次数、目标函数改进的阈值或者目标函数值的变化率来判断算法是否收敛。

割平面法的解题步骤补充说明1. 引言1.1 概述:本文将介绍割平面法的解题步骤。

割平面法是一种常用的解决几何、优化和约束问题的数学工具。

通过确定割平面方程、求解割线与图形交点坐标以及确定割线与图形交点个数及位置关系，可以有效地求解各种复杂问题。

1.2 文章结构:本文主要分为四个部分：引言、割平面法的解题步骤、实例分析和结论。

在引言中，将简要介绍本文主题并提供一个概览。

然后，在割平面法的解题步骤部分，我们将详细讨论该方法的具体步骤。

接着，在实例分析部分，我们将通过三个不同领域的实例来展示割平面法在实际问题中的应用。

最后，在结论中，我们将总结该方法的优势和局限性，并对未来研究进行展望。

1.3 目的:本文旨在帮助读者了解割平面法并掌握其解题步骤。

通过阅读本文，读者将了解如何使用割平面法来解决各种几何、优化和约束问题，并对该方法在未来研究中的潜力和局限性有更深入的了解。

2. 割平面法的解题步骤：2.1 理解割平面法:割平面法是一种通过不断添加割平面（即直线或超平面）来逼近解集的方法。

它常用于几何问题中，以及某些最优化问题和约束条件下的求解过程中。

该方法通过将多个割线与待求图形进行交点计算，进而获得关于交点位置和数量的信息。

2.2 准备工作:在使用割平面法之前，我们需要先明确待求图形的性质和要求。

具体而言，在开始解题之前，我们应该详细了解如下内容：- 待求图形的类型和特征：对于几何问题，需要明确图形的类型（例如圆、矩形等）以及边界条件或限制。

- 目标函数或约束函数：对于最优化问题和带有约束条件的问题，需要定义目标函数和约束函数，并了解这些函数与待求图形之间的关系。

- 约束条件：如果存在限制条件，则需要明确这些约束对应的方程式或不等式。

2.3 步骤一：确定割平面方程:通过观察待求图形及其特征，并结合已知信息，我们可以推导出一条直线或超平面的方程。

这个割线将帮助我们定位图形的交点，从而逐步逼近解集。

为了确定割平面方程，我们可以采取不同的方法。

§3.2Gomory割平⾯法§3.2 G o m o r y 割平⾯法1、G o m o r y 割平⾯法的基本思想≥=为整数向量x x bAx t s xc T 0..min （P ） ≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0）称（P 0）为（P ）的松弛问题。

记（P ）和（P 0）的可⾏区域分别为D 和D 0 , 则（1）0D D ?；（2）若（P 0）⽆可⾏解，则（P ）⽆可⾏解；（3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的⼀个下界；（4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

基本思想：（1）⽤单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

计算结束。

(2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加⼀个线性约束条件（称它为割平⾯条件），新增加的约束条件将（P 0）的⾏区域D 0割掉⼀块，且这个⾮整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，⽽原问题（P ）的任何⼀个可⾏解（格点）都没有被割去。

记增加了割平⾯的问题为（P 1），称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。

（3）⽤对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x是（P ）的最优解。

计算结束。

否则转（2）割平⾯的⽣成：对给定的（P ），⽤单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基本可⾏解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，⾮基变量的下标集合为 S 。

则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为∑∈=+Sj j j z x z 0ξm i b x a x Sj i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈（3.2.1）为了使符号简便，令000,,0z b a z x j j B ===ξ。

割平面法例题及讲解割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

以下是使用割平面法求解整数线性规划问题的步骤和例题：首先，让我们简要介绍一下割平面法的概念。

割平面法的基本思想是在原始可行域的基础上，通过添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

割平面是通过考察非整数最优解的某一分量，并构造一个线性约束条件来得到的。

接下来，我们通过一个具体的例题来演示割平面法的应用。

例题：目标函数：最大化 Z = 3x1 + 4x2约束条件：1. x1 + x2 <= 42. x1 + 2x2 <= 63. x1, x2 属于整数集合首先，我们不考虑整数约束，使用单纯形法求解线性规划问题。

得到最优解为：x1 = 2, x2 = 1, Z = 11。

这个解不是整数解，因此我们需要使用割平面法来找到整数最优解。

观察最优解的x1分量为2，它不是整数。

我们可以根据x1的取值构造一个割平面：x1 >= 3。

这意味着我们可以添加一个线性约束条件来限制x1的值大于等于3。

现在，我们再次使用单纯形法求解线性规划问题，同时考虑新添加的割平面。

得到新的最优解为：x1 = 3, x2 = 1, Z = 14。

这个解是整数解，满足问题的整数约束条件。

通过上述步骤，我们成功地使用割平面法找到了整数最优解。

总结：割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

它通过在原始可行域上添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

在应用割平面法时，需要注意选择正确的变量和对应的线性约束条件来构造割平面。

此外，在使用单纯形法求解线性规划问题时，需要注意处理变量的取值范围和整数约束条件。