割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

割平面算法
割平面算法是一种计算几何的算法，主要用于求解多边形的内部或外部区域。

该算法的基本思想是通过构造一些直线（称为割平面）将多边形划分成一些简单的区域（称为小区域），然后根据小区域的情况确定多边形的内部或外部区域。

具体而言，该算法的步骤如下：首先确定一个多边形和一些割平面，然后将多边形和割平面进行求交，得到一些线段和点。

接着，根据这些线段和点将多边形划分成一些小区域，再根据每个小区域的情况判断其是否在多边形的内部或外部。

最后将所有在多边形内部的小区域合并在一起，就得到了多边形的内部区域。

割平面算法的优点是可以处理一些复杂的多边形，而且算法复杂度比较低。

不过该算法也存在一些缺点，比如对于一些具有孔洞的多边形，需要额外的处理，并且对于一些不规则的多边形，该算法的结果可能不准确。

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§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

gomory割平面法一、概述Gomory割平面法是一种用于解决整数规划问题的算法。

它的基本思想是将线性规划问题转化为整数规划问题，通过不断添加割平面来逐步逼近整数解。

二、线性规划与整数规划1. 线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。

它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$其中，$c$、$x$、$b$均为向量，$A$为矩阵。

2. 整数规划整数规划（Integer Programming，IP）是指在线性规划的基础上，要求$x$取值必须为整数的最优化问题。

它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x\in Z^n_+ \end{aligned} $$其中，$Z^n_+$表示$n$维非负整数集合。

三、Gomory割平面法的基本思想1. 割平面法概述割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。

它的基本思想是通过添加割平面来逐步逼近整数解。

割平面法的核心是确定割平面的方法。

2. Gomory割平面法Gomory割平面法是一种经典的割平面法，由Ralph Gomory于1958年提出。

其基本思想是通过将松弛线性规划问题转化为整数规划问题，并不断添加新的约束条件（即割平面），来逼近整数解。

Gomory割平面法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为松弛线性规划问题，即将$x$取值限制为非负整数变量改为非负实数变量，得到如下形式：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$（2）求解松弛线性规划问题，得到最优解$x^*$。

gomory割平面法gomory割平面法是一种在线性规划中常用的方法，旨在通过添加割平面约束来逐步逼近最优解。

它是由美国数学家Ralph E. Gomory于1958年提出的，被广泛应用于解决线性规划问题。

1. 背景介绍线性规划是一种在数学和运筹学中广泛应用的优化问题，旨在寻找最大化或最小化一组线性约束条件下的目标函数值。

它具有广泛的应用领域，如生产规划、资源分配、运输问题等。

2. 基本原理gomory割平面法的基本原理是通过添加新的割平面约束来逼近整数约束条件下的最优解。

该方法基于单纯形法，通过检测当前解中的分数解，确定需要添加的割平面约束，并将其添加到线性规划模型中。

3. 算法步骤gomory割平面法的具体步骤如下：步骤1: 初始化线性规划问题，求解得到初始解。

步骤2: 检测解中是否存在分数解，即解中某些变量取非整数值。

步骤3: 如果解中存在分数解，根据当前解计算一个新的割平面约束，并将其添加到线性规划模型中。

步骤4: 使用单纯形法求解新的线性规划问题，得到新的解。

步骤5: 重复步骤2至步骤4，直到最优解满足整数约束条件。

4. 优点和局限性gomory割平面法在解决整数线性规划问题方面具有以下优点：- 通过添加割平面约束逐步逼近整数线性规划问题的最优解。

- 可以有效减少搜索空间，提高计算效率。

- 可以用于处理具有大规模约束条件和变量的问题。

然而，gomory割平面法也有其局限性：- 该方法在处理具有较大维度的问题时计算复杂度较高。

- 在某些情况下，该方法可能需要添加大量的割平面约束才能达到最优解。

- 对于某些特殊问题，该方法可能无法找到最优解。

5. 总结与回顾gomory割平面法是一种常用的用于解决整数线性规划问题的方法。

它通过添加割平面约束逐步逼近最优解，并具有一定的计算效率和准确性。

然而，在实际应用中需要根据具体问题评估其适用性，并结合其他方法进行求解。

在本文中，我们对gomory割平面法的基本原理进行了介绍，并给出了其算法步骤。

§3.2Gomory割平⾯法§3.2 G o m o r y 割平⾯法1、G o m o r y 割平⾯法的基本思想≥=为整数向量x x bAx t s xc T 0..min （P ） ≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0）称（P 0）为（P ）的松弛问题。

记（P ）和（P 0）的可⾏区域分别为D 和D 0 , 则（1）0D D ?；（2）若（P 0）⽆可⾏解，则（P ）⽆可⾏解；（3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的⼀个下界；（4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

基本思想：（1）⽤单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

计算结束。

(2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加⼀个线性约束条件（称它为割平⾯条件），新增加的约束条件将（P 0）的⾏区域D 0割掉⼀块，且这个⾮整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，⽽原问题（P ）的任何⼀个可⾏解（格点）都没有被割去。

记增加了割平⾯的问题为（P 1），称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。

（3）⽤对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x是（P ）的最优解。

计算结束。

否则转（2）割平⾯的⽣成：对给定的（P ），⽤单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基本可⾏解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，⾮基变量的下标集合为 S 。

则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为∑∈=+Sj j j z x z 0ξm i b x a x Sj i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈（3.2.1）为了使符号简便，令000,,0z b a z x j j B ===ξ。

组合优化中的割平面法高效实现方案组合优化问题是在给定一组约束条件下，寻找最优解或者近似最优解的问题。

割平面法（Cutting Plane Method）是一种常用的解决组合优化问题的方法。

本文将介绍割平面法的基本原理，并提出一种高效实现方案。

一、割平面法基本原理割平面法是一种分步优化策略，通过逐步增加割平面约束来逼近求解组合优化问题的最优解。

其基本思想是在每一步迭代中，利用已经得到的可行解，构造一个新的割平面约束，将问题的可行域进一步缩小，从而得到更加接近最优解的解。

割平面法的核心是如何构造有效的割平面约束。

常用的割平面约束包括线性不等式约束、支撑平面约束和锥形约束等。

这些约束可以通过问题的特定结构和性质进行构造，从而提高算法的效率和收敛速度。

二、高效实现方案为了提高割平面法的实现效率，以下是一种高效的实现方案：1. 初始解的选择割平面法需要一个初始解作为起点。

可以利用问题的特点或者其他启发式算法得到一个较好的初始解。

这有助于缩小求解空间，提高算法的收敛速度。

2. 割平面约束的选择在每一步迭代中，需要选择合适的割平面约束来进一步缩小可行域。

可以利用启发式方法或者问题的特性来选择约束。

例如，可以选择与当前可行解相对应的割平面约束，或者选择与目标函数线性化程度较高的割平面约束。

3. 割平面约束的有效性检验在选择割平面约束后，需要验证该约束是否有效。

一般可以通过求解一个子问题来判断约束是否能够把当前可行域进一步缩小。

如果约束是无效的，则需要重新选择割平面约束。

4. 割平面约束的添加与求解一旦确定了有效的割平面约束，需要将其添加到问题的约束集合中，并重新求解问题。

可以使用线性规划等方法来求解问题，得到一个新的可行解。

然后，再次选择合适的割平面约束，并进行有效性检验，直到满足终止条件。

5. 收敛判据与终止条件割平面法通常需要设置终止条件以避免无限循环。

可以通过设置最大迭代次数、目标函数改进的阈值或者目标函数值的变化率来判断算法是否收敛。