年全国大联考高三第六次联考数学(文)试卷

一、单选题二、多选题1.将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数图象的解析式是A．B．C．D．2. 已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，若为等边三角形，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A ．25B ．40C ．44D ．554.已知，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，若若直线l 的斜率为k ，则k =（ ）A．B．C ．或D．或7. 全集，，，则（ ）A．B．C．D．8. 双曲线的焦距为A．B．C．D．9.某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：）变化情况：对比数据，关于这名肥胖者，下面结论正确的是A ．他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了人B．他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化C．他们健身后，人的平均体重大约减少了D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少10. 已知，，且，则（ ）全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．11. 举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）A ．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B ．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C ．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D ．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220012.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（ ）A．B ．Z C ．Q D ．R13.已知函数，则______．14.已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________．15. 曲线在处的切线方程为______.16. 世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.17.如图，在四棱锥中，，，的中点是，面，，，（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求面与平面所成二面角的大小．18. 已知圆A：，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作AC的平行线交AD于点E.(1)求点E的轨迹的方程；(2)设轨迹的上、下顶点分别为G、H，过点的直线交轨迹于M、N两点（不与G、H重合），直线GM与直线交于点，求证：P、H、N三点共线.19. 已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为．（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记，，的面积分别为，，，试证明为定值．20. 如图，在三棱柱中，，，平面平面分别为的中点．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若平面平面，且，求的长度．21. 某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查．2017年12月随机抽取500户销售石金钱龟幼苖的平均价格，得到如下不完整的频率分布统计表：组号价格分组（元/只）频数（户）频率第1组第2组第3组第4组第5组合计(1)完成统计表．(2)为了向石金钱龟养殖户提供更好的幼苖销售参考，协会决定2018年1月份从第1，3，5组中用分层抽样方法取出7户出售幼龟价格跟踪调查，求第1，3，5组1月份接受调查的户数．(3)在（2）的前提下，协会决定从选出的7个养殖户中随机抽取3户总结销售经验．为了鼓励养殖户支持调查工作，协会决定：发给第1组被抽到的每户幸运奖奖金210元，第3组被抽到的每户幸运奖奖金70元，第5组被抽到的每户幸运奖奖金140元．记发出的幸运奖总奖金额为元，求的分布列和数学期望．。

全国版天一大联考2025届高考压轴卷语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

1、阅读下面的文字，完成下面小题。

“隶变”是古汉字演变为现代汉字的起点，也是汉字发展史上的一个重要转折点。

汉字形态逐渐由线条圆转、“依类象形”的篆书，转向点画顿挫、笔性丰富、渐趋平直的隶书，变得更容易辨识。

一般认为，隶变始于秦国文字，是俗体流行所推动的结果。

然而，隶变这一过程具有长期性、复杂性，我认为，从战国楚简中亦可追寻到部分“隶变”的踪迹以及书法艺术的自觉演变。

学界曾有观点认为，在秦朝推行“车同轨，书同文，行同伦”后，楚文或毁于秦火，或葬于地下。

楚文的消失似乎显得顺理成章，但事实却没有那么简单。

“书同文”所统一的主要是公文用语和用字规范，六国多样化的书写习惯是难以同一的，因此楚文的融合、转化、演进具备一定可能性。

从现有文献、文物来看，楚简的书体、字体和笔法形态呈现出多样性特征，具备了毛笔书写、多面出锋、用墨自然、笔性灵动、点画多样、提按顿挫、平直折转等书法艺术元素。

这些包含篆、草、隶、楷、行点画的楚简文字，极富人文笔性，其点画的多样性成为一种生生不息的书法艺术母体。

楚国简帛文字的多样性亦造就了不同书风，各个篇目，自成系统。

仅以部分郭店楚墓竹简为例，《唐虞之道》温润静穆、淳朴内敛；《尊德义》苍茫奔放、起伏跌宕；《老子·甲》整齐严谨、雅致精微。

高三第六次联考文科数学试题一、选择题（每小题5分；共50分）1、不等式x x 2|12|≥-的解集为A 、}41|{-≤x xB 、}41|{-≥x xC 、}41|{≤x xD 、}41|{≥x x 2、圆心为(1；2)且与x 轴相切的圆的方程为A 、4)2(1)(22=-+-y xB 、1)2(1)(22=-+-y xC 、1)1(2)(22=-+-y xD 、4)1(2)(22=-+-y x3、在ΔABC 中；若2cos 2sinB A B +=；则ΔABC 为 A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形D 、正三角形4、已知b>a ；且a ；1；b 依次成等差数列；(a+bx)6的展开式中x 3项系数为540；则a 等于A 、－3B 、－2C 、－1D 、05、将容量为100的样本数据；按从小到大的顺序分成8个组；如下表则第6组的频率为A 、0.14B 、0.15C 、14D 、15 6、若曲线x x y -=4在点P 处的切线平行于直线y=3x ；则点P 的坐标为A 、(0；1)B 、(－1；2)C 、(－1；－3)D 、(1；0)7、设)1(32)1(2-≤++=+x x x x f ；则函数)(1x f-的图象为8、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；O 为正方形ABCD 的中心；则D 1O 与AB 所成的角为A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°9、如图；在一个田字形区域A 、B 、C 、D 中栽种观赏植物； 要求同一区域中种同一种植物；相邻两区域中种不同的 植物(A 与D 、B 与C 为不相邻)；现有4种不同的植物可供选择；则不同的种植方案种数为A 、24B 、36C 、48D 、84C D10、在直角坐标平面上；向量OA =(4；1)；OB =(2；－3)在直线l 上的射影长度相等；则l 的斜率为A 、2B 、21-C 、3或21-D 、2或21-二、填空题（每小题4分；共20分）11、︒+︒-15tan 175cot 1= 12、过点A(-1,0)作抛物线)0(22>=p px y 的两切线；切点分别为B 、C ；且ΔABC 为正三角形；则抛物线的方程为13、设球O 的半径为R ；A 、B 、C 为球面上三点；A 与了、A 与C 的球面距离都是2R π；B 与C 的球面距离是3R π；则二面角B-OA-C 的平面角等于 14、10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定；工薪所得减除费用标准从800元提高到1600元；也就是说原来月收入超过800元的部分都要纳税；1月1日开始；超过1600元的部分才纳税；若税法修改前后超过部分的税某人9月交纳个人所得税123元；则按照新税法只要交税 元15、一个项数为偶数的等比数列；它的偶数项的和是奇数项的和的2倍；它的首项为1；且中间两项的和为24；则此等比数列的公比为 ；项数为 。

金太阳江西省2025届开学大联考高三语文试卷及答案解析一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：根据第四次中国城乡老年人生活状况抽样调查数据，2015年中.国空巢老人占老年人口的比重为51.3%，其中农村地区略高，为51.7%。

《2020中国农村养老现状国情调研报告》统计，大约有50%的农村老人处于空巢状态。

专家预测，到2030年，中国空巢老人比例将高达90%，预计将有超过2亿老年人成为空巢老人，农村地区空巢老人数量显著高于城市。

2020年第七次全国人口普查数据显示，中国留守老年人数量超过1亿。

老龄化与数字化相伴而生，相向而行。

信息化、数字化、智能化为人口老龄化社会发展提供支持和帮助。

将信息技术运用到养老产业、医疗领域，大力发展智慧养老，完善养老服务体系，提供全面的智慧养老解决方案，同时要看到老年人面临的“数字鸿沟”。

人口老龄化为经济发展带来新的增长点。

老年人的健康、养老、医疗需求及对于休闲娱乐、文化教育的需求都会给经济发展带来新的活力。

虽然老年人口的增多会增加社会保障支出，但是老年人并不是“负担”，而是一座“金矿”；不是“人口负债”，而是“人口红利”。

数字经济时代，消费升级，互联网市场下沉，依托数字技术开拓老年人消费市场，发展银发产业，既有利于社会的和谐发展，又有利于社会经济高质量发展。

老年人的消费结构与其他消费群体有显著区别。

首先，饮食方面，老年人更加注重健康饮食，对保健食品和营养品有较大的消费需求；其次，医养护理方面，随着年龄的增加，老年人的身体机能逐步下降，对医疗保健、日常护理服务的需求增加；再次，随着社会的进步及消费观念的改变，老年人在满足物质需求的基础上，更加注重社交、尊重等精神层面的需求，包括体育健身、文化旅游、休闲服务、社交活动等；最后，老年人对家居用品和辅助器具的需求也与年轻人有显著区别，例如老花镜、助听器、按摩椅等。

绝密★启用前2020届全国大联考高三第六次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤答案：D首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 解：解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 点评：本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 答案：B设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 解：解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 点评：本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.3．若双曲线22214x y a -=）A ．B ．C ．6D ．8答案：A依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 解：解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 点评：本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180答案：A因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 解：Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 点评：本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17答案：C首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 解：解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8.故选：C 点评：本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u u u r （ ）A 51+u urB 51RQ +u u urC 51-u urD 51RC -u ur答案：A利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 解：解：515122AT ES SD SR RD QR -=-==u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 7．“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-，∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．8．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 解：∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.点评：本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.9．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．32答案：B因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.解：Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D推导出PM PN a +=，且PM PN =，22MN a =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知， 22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴23122272232424P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D点评：本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.11．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为。

2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷）文 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A. (){}1,1 B.(){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x+=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-.故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离是( )A. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．【详解】双曲线2213x y -=的渐近线为y x =，23a =，21b =，222314c a b =+=+=，即2c =，设一个焦点(2,0)F0x y +=， 则焦点F到其渐近线的距离1d ===， 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．4.已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】D 【解析】 【分析】对3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭按照两角差的余弦公式进行展开，再平方结合二倍角公式即可得结果. 【详解】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得3cos 225x x +=， ∴()2219sin sin 2cos 225x x x ++=，即181sin 225x +=， ∴7sin 225x =-，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题. 5.把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)12πD. (0,0)【答案】D 【解析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D.考点：三角函数的图象与性质.6.已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是A. [-1，0)B. [0，1]C. [-1,1]D. [-2,2]【答案】C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤.7.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A. 13- B.13C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 【详解】因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+，那么G 为ABC ∆的重心． 8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A. 16216πB. 1628πC. 8216πD. 828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 9.设a ，b ，c 为锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 23sin A B Ca b +=若2b =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 3 C.33D.12【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin 23sin C B C =，进而得到3sin B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解.【详解】因为cos cos A B a b +=3cos 3cos sin b A a B C +=，由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin sin C B C =， 又由(0,)2C π∈，则sin 0C >，所以sin B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立， 所以4ac ≤，所以ABC ∆的面积的最大值为11sin 4222S ac B ==⨯⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A.mm n+ B.nm n+ C.4mm n+ D.4nm n+ 【答案】C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求． 【详解】总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221x y +=内，则211411+m m nπ⨯=⨯，即4+m m n π=，故选C ．【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．11.设抛物线22(0)2x pt p y pt ⎧=>⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为（ ）B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题，可得),Ap ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为ACF S ∆=，然后通过求132ACF S p ∆=⨯=. 【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-， 由||2||CF AF =，得3||2AF p =， 不妨设点(,)A x y 在第一象限， 则322p y p +=，即y p =，所以x =， 易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =， 所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即ACF S ∆=132ACF S p ∆=⨯=p =. 故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力，属于中档题目.12.已知函数()1ln b a f x x x =--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（ ） A.21e + B.221e e e +++ C. 1e +D.22e + 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根，令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，利用导数判断函数的单调性，进而求出()g x 的最值，根据0b e ≤≤，可得21a e e ≤≤+，再根据不等式的性质即可求解.【详解】由题意函数()1ln b af x x x =--（0a >，0b e ≤≤） 在区间[]1e ，内有唯一零点，即1ln 0b ax x--=在区间[]1e ，内有唯一实数根， 即ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根， 令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，()ln 10g x b x b '=++=，解得1ln 1b x b +=-<-，1x e<， ∴函数()g x 在区间[]1e ，上单调递增，()11g =，()g e be e =+，0b e ≤≤，21a e e ∴≤≤+，则222b e ≤+≤+，2211a e e ≤+≤++，则21b a ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 1斜率存在过定点1,0A ．若1l 与圆相切，则1l 的方程_________． 【答案】3430x y --= 【解析】 【分析】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-根据圆心到直线1l 的距离等于圆的半径，求得34k =，即可求得直线1l 的方程.【详解】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=， 由圆C ：2268210x y x y +--+=，可得圆心(3,4)C ，半径为2R =， 因为直线1l 与圆相切，则圆心到直线1l的距离等于圆的半径，即2d ==，解得34k =，所以直线1l 的方程为3(1)4y x =-即3430x y --=.故答案为：3430x y --=【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的切线方程的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14.设n S 为等比数列{}n a 前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】 【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =，则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题. 15.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数； ②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意条件，利用函数的奇偶性、周期性等性质对每一项进行逐项分析. 【详解】解：命题①：由()()2f x f x +=- 得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确； 命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确； 命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确； 命题④：()()()2220f f f -=--+=-， 无法判断其值，故④错误. 综上，正确论断的序号是：①②③. 故答案为：3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，解题的关键是能将抽象函数利用相关条件进行转化，还考查了数形结合的思想方法.16.金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．【答案】233a 【解析】 【分析】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，34OR SO a ==，设SR x =利用勾股定理222OM MR OR +=即可解得x ，从而可得正四面体SPQR 的外接球的半径，进而可求出体积.【详解】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，如图：连接SO ，延长交平面PQR 于点M ，则M 为△PQR 的中心， 所以设SR x =，233323MR x x =⨯=， 因为11344OR SO ST a ===3=，所以22223()3SM SR MR x x =-=-6x =， 由222OM MR OR +=，得222()SM SO MR OR -+=，得2226333()()()x x -+=，解得2x =， 所以正四面体SPQR 的棱长为22a . 依题意可知，正四面体SPQR 的外接球的圆心为O ，半径为34a ， 所以正四面体SPQR 的外接球的体积是343()3π⨯3316a =.故答案为：22a 33a . 【点睛】本题考查了正四面体与球，考查了球的体积公式，属于中档题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：352a a +=，125a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 取得最大值时n 的值．【答案】（Ⅰ）17355n a n =-（n *∈N ）；（Ⅱ）10． 【解析】 【分析】（1）由已知条件根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而得出通项公式；（2）根据等差数列前n 项和公式，求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由1001nn S n S n +⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪+⎩，即可解出n 的值．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，依题意1125262a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得114535a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则()14317315555n a n n ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭． 故数列{}n a 的通项公式为17355n a n =-（n *∈N ）； （Ⅱ）由()12n n n a a S +=得3311010n S n n =-+． 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为145公差为310-的等差数列，令()33101010331101010n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++≤⎪⎩，解得283133≤≤n ， 由于n *∈N ，所以10n ≤，故n T 取得最大值时n 的值为10．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的求法，解题的关键是熟练掌握并运用等差数列的性质．18.如图，正方形ABCD的边长为以AC 为折痕把ACD 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结POBO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅=，解得43AMNS =，由面积公式解得λ的值.【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥.POB 中，122PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥， 又ACOB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC .（2）因为面PAC ⊥面ABC ， 又面PAC面ABC AC =，且BO AC ⊥，所以OB ⊥面PAC ， 所以13A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅.又因为2OB =，89A BMN V -=， 所以43AMNS=. 因为PN PA λ=，所以()112AMNAPMPACS SS λλ-=-=.又142PACSPA PC =⋅=， 所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.19.已知在()2222:10x y C a b a b+=>>上任意一点00(,)M x y 处的切线l 为00221xx yy a b +=，若过右焦点F 的直线l 交椭圆C :22143x y +=于P 、Q 两点，在点,P Q 处切线相交于G ．（1）求G 点的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于,E H 两点，证明：11PQ EH+为定值． 【答案】（1）4x =；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意按照直线PQ 斜率是否为0分类，当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程求出点G 横坐标，化简即可得解；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得2212(1)34t PQ t +=+，同理可得2212(1)34t EH t+=+，即可得解. 【详解】（1）由题意点()1,0F ，当直线PQ 斜率为0时，在点,P Q 处的切线不相交，不合题意；当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，易得在P 点处切线为11143x x y y+=，在Q 点处切线为22143x x y y +=， 由1122143143x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1122124()y y x x y x y -=-，又11221,1x ty x ty =+=+， 所以()()12211221212121214()4()4()141y y y y y y x y x y ty x y ty y y y --====----++，所以G 点的轨迹方程为4x =；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+．则221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，>0∆，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+．所以PQ == 2212(1)34t t +=+； 将t 换为1t -可得2222112(1)12(1)13434t t EH t t++==+⋅+，所以()()2222113443712121121t t PQ EH t t +++=+=++． 【点睛】本题考查了新概念在椭圆中的应用及轨迹方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力，属于中档题.20.BIM 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BIM 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 我们说身高较高，身高小于170cm 我们说身高较矮．（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号12345678身高(cm)x 166 167 160 173 178 169 158 173体重(kg)y 57 58 53 61 66 57 50 66根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为0.8 75.9=-y x ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求2R （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58(kg)．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出0.675y x a ∧∧=+，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程． 参考数据：2222222(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)8.95+++-+-+-+-=，168=x ，()821226i i y y=-=∑，0.675168113.4⨯=，参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x yy x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i i e y bx a =--，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响；（Ⅱ）①残差表详见解析，2R 约为0.91；②ˆ0.67555.9yx =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图完善列联表，求出2K 与表中对应临界值比较即可判断；（Ⅱ）①求出编号为8的数据的残差，相应值代入公式()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑计算即可；②求出,x y ，代入a y bx =-中即可求得a ，从而求得回归方程.【详解】（Ⅰ）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．（Ⅱ）①对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=，完成残差表如下所示：()22228222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2iii y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()221218821.2110.91226iii i i y y R y y==-=-=-≈-∑∑． 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91． ②由①可知，第八组数据的体重应为58．此时，易知，168=x ，57.5=y ，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-． 【点睛】本题考查线性回归方程及独立性检验的应用，考查考生的运算求解能力、数据处理能力及实际应用意识，属于中档题. 21.已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）． （1）若0b =，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在a 满足题意，其值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负分布求解函数单调性； （2）若()f x 有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+利用待定系数法求解参数的取值. 【详解】（1）若0b =，则()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+． 若0a ≥，则函数()f x 在()0∞，+上单调递增，若0a <，令()220f x x ax =+='，得10x =，22x a =-．在()02a -，上，()'0f x <，()f x 单调递减，在()2a -+∞，上，()'0f x >，()f x 单调递增．（2）因为20a b +=，则()322113f x x ax a x =+-+，若()f x 有三个不同零点，且成等差数列， 可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+ ()3222321333x mx m d x m md ⎡⎤=-+--+⎣⎦， 故m a -=，则()0f a -=，故3331103a a a -+++=，3513a =-，335a =-．此时，335m =，d =，故存在三个不同的零点，故符合题意的a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查求利用导数求函数的单调性，根据函数零点特征求解参数的取值，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+．（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 的坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．【答案】（1）曲线1C ：cos ρθ=；2:C 2214x y += （2）3． 【解析】【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ρθθ=+，化为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线极坐标方程为0θθ=，代入1C ，2C ，表示出,P Q ρρ，再由||2||OP OQ = 从而求得P ρ及0cos θ，0sin θ，再利用01sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅求解. 【详解】解：（1）依题意，曲线1C ：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y x +-=，故cos ρθ=．由2224cos 4sin ρθθ=+得2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即2244x y +=，即2214x y += （2）作示意图如图所示，设直线l的极坐标方程为0θθ=，分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得0cos P ρθ=，222200044cos 4sin 13sin Q ρθθθ==++．由2OQ OP =得()202cos θ20413sin θ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ= 又002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以03cos P ρθ==，06sin 3θ=． 故012sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题. 23.已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）(][),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞；（2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<.所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。

一、单选题1. 设，则的定义域为．A ．（－4,0)∪（0,4)B ．（－4，－1)∪（1,4)C ．（－2，－1)∪（1,2)D ．（－4，－2)∪（2,4)2.函数的图像大致是A．B．C．D．3. 设x ，，则“”是”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）A．B．－C ．±D．－5.已知等比数列满足，，则其前6项的和为A．B．C．D．6. 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，则函数的图象大致为A．B．全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题二、多选题三、填空题C．D．9. 已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）A ．和均为数列中的项B ．数列为等差数列C ．仅有有限个整数使得成立D ．记数列的前项和为，则恒成立10. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A．B．C．不存在极值D ．与的图象相切的直线的斜率不可能为-411. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C．点到面的距离为D ．四面体的体积是12. 定义在的函数满足，且．都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ）A．B ．若数列为等差数列，则公差为6C ．若，则D ．若．则13. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为______；若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为______．四、解答题14. 已知，且，则的最小值___________.15.已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）．直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为__________16. 某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号分 组频数频率第一组5第二组35第三组30a第四组b c第五组10（1）请写出频率分布表中a ，b ，c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试.从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X 表示来自第四组的学生人数，求X 的分布列和数学期望；17.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角､､的对边分别为､､，若，，求周长的取值范围.18. 如图，在四棱维中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19. 已知是定义在R上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与x轴交于，两点，与y轴交于．(1)求的解析式；(2)若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．20. 设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．(1)求的通项公式．(2)证明：．21. 已知函数，其中.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的极值点的个数；(3)若对任意的，关于的方程仅有一个实数根，求实数的取值范围.。

2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得 【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（ ）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（ ）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断 【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称 故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ； 又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（ ） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可 【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可 【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（ ） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。

绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。

2020 届全国大联考高三第六次联考数学试题（文科）一、单选题11 ．已知集合 A x |1 x24 ，B x| y，则2e A B （）x 6x 5A．x|x 5 B．x|5 x 24C．x|x 1 或x 5 D．x|5 x 24【答案】 D【解析】首先求出集合 B ，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵x2 6x 5 0 ，解得1 x 5∴ B x|1 x 5 ，∴ e A B x|5 x 24 .故选： D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z满足z 2i z 1 ， z 在复平面内对应的点为（x, y），则（）A．2x 4y 3 0 B．2x 4y 3 0 C．4x 2y 3 0D．2x 4y 3 0【答案】 B【解析】设z x yi ，根据复数的几何意义得到x、y的关系式，即可得解；【详解】解：设z x yi∵ | z 2i | | z 1| ，∴ x2（y 2）2（x 1）2 y2，解得2x 4y 3 0 .故选： B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.223．若双曲线x2 y 1 的离心率为 3 ，则双曲线的焦距为（）a2 4【解析】 依题意可得b24，再根据离心率求出 a 2，即可求出 c ，从而得解； 【详解】22解： ∵ 双曲线 x y 1 的离心率为 3 ，a 24所以 e 21 42 3， ∴ a 22， ∴ c 6 ，双曲线的焦距为 2 6 .a故选： A【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 4．在等差数列 a n 中，若 S n 为前 n 项和， 2a 9求得答案 . 【详解】a 7 12 ，13 a 1 a 13S 131 1313a 7 13 12 156 .故选： A.本题主要考查了求等差数列前 n 项和， 解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 .55．已知a log 374，b log 2 m ，c ，若 a b c ，则正数m 可以为（ ）2【答案】a 11 12，则 S 13的值是（A ． 156 【答案】B ． 124C ． 136D ． 180因为 a 7 a 112a 9 a 11 12 ，可得 a 7 12 ，根据等差数列前 n 项和，即可Q a 7 a 11 2a 9 a 11 12，n 项【答案】 C【解析】首先根据对数函数的性质求出 a 的取值范围，再代入验证即可；解： ∵ 3 log 327 a log 374 log 381 4， ∴ 当 m 8时， b log 2 m 3满足a b c ， ∴ 实数 m 可以为 8. 故选： C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题 6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所 示的正五角星中，以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 为顶点的多边形为正五边形，且5 1uuur 5 1 uuur5 1 AP ，则 AT 5 1ES 22【解析】 利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解 决问题． 【详解】uuur uur uuur 5 1 uuurSD SR RD QR .2 故选： A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．47． “ tan 2”是 “ tan2 ”的（ ）PT5 1uuur C ． 5 1 RDuuur 5 1 uuur 解：AT ES 2AD ．uu ur RC3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不 必要条件 【答案】 A要条件的定义判断即可； 首先利用二倍角正切公式由 tan 24，求出tan41 ， ∴ 可解得 tan 2或4”的充分不必要条件 .3 【答案】 C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由 y 5log 3|x | 的图象沿 x 轴向左平x移 1个单位而得到， 因为 y 5log 3| x| 为奇函数， 即可得到函数图象关于( 1,0) 对称，x即可排除 A 、 D ，再根据x 0时函数值，排除 B ，即可得解. 【详解】∵y5log3 |x 1|的定义域为x|x 1 ，x1其图象可由 y 5log 3| x | 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到，x2tan解： ∵ tan 2 2 1 tan 2“tan 2”是 “tan2故选： A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题属∵ y 5log 3 | x| 为奇函数，图象关于原点对称，x∴ y 5log 3 | x 1| 的图象关于点( 1,0) 成中心对称.x12g(x) sin xsin x33k 1k 1, k 2 Z ，k 2可排除 A 、 D 项 .当x 0时，y5log 3 | x 1| 0， ∴B 项不正确 .x1故选： C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力， 一般根据四个选择项来判断对应的函数性质， 即可排 除三个不符的选项，属于中档题 . 9．已知将函数f(x)sin(x)(6，)的图象向右平移单位长度后得到函数g(x) 的图象，若 f (x)和 g(x) 的图象都关于x 对值为( )A ． 2B ．3C ． 4D ．因为将函数 f (x) sin( x )( 0 6，2)的图移个单位长度后g(x) 的图象，可得 g(x) sin xsin xQ 将函数 f (x) sin( x ) ( 06 ，)的图象向右平移个单位又 Q f (x) 和 g(x)的图象都关于 x对称，4得k1 k2 ，k1, k2 Z 3又 Q6， 3.故选： B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数， 解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 . 10．将一块边长为 acm 的正方形薄铁皮按如图（ 1）所示的阴影部分裁下，然后用余下 的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（ 2）放置，若 3 k 1 k 2 k 1,k 2 Z ，72 2cm 3，则a 的值为（ ）C ． 10D ． 12推导出 P M PN a ，且 PM PN ， MN2a ， 2aPM ，设 MN 中点为 O ，则 PO平面 ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：如图（ 4） ， P MN 为该四棱锥的正视图，由图（ 3）可知， PM PN a ，且PM PN a 2 PMN 为等腰直角三角形可知， MN2 a ，设2MNO ，则 P O1平面 ABCD ， ∴ PO MN2a ，故选：V PABCD23 a 24 72 2 ，解得 a 12 .其A ．B ．6e 第 12 页 共 20 页11 1A ．2 ,0 B ．,0 C ． 0,6e6e6e【答案】 Clnx【解析】令 F(x) f (x) 3kx 20，可得 k 2 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，3x 2lnx即 y k 和 g (x) 2 有两个交点，结合已知，即可求得答案 .3x2令 F (x) f (x) 3kx 20 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，即 y k 和 g(x) 1 2ln x3， 3x令 1 2ln x 0，可得 x e ， 当 x (0, e) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 (0, e)上单调递增； x ( e, ) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 ( e, )上单调递减 1 当 x e 时， g (x) max ，6e可得 k ln x 3x 2本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题 11．已知函数 f(x) ln x ，若 F(x)2f (x) 3kx 2有 2 个零点，则实D ．0, 126eln xQ g (x)若直线y k 和g(x) ln 2x 有两个交点，则k 0, .3x 6e1实数k 的取值范围是0,故选： C.0，40，4 x 18kx 2 22 1 2k 2x 1 x 262， 2k 2Q0 POQ uu ur OP uuur OQ 0， uu ur OP uu ur OQx 1x 2 y 1y 2 x 1x 2 kx 1 2 kx 2 2解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根 据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .2x212． 设过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C ： x y 2 1 交于不同的两点P ， Q ， 若原点 O2在以 PQ 为直径的圆的外部，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为( ) A ．5, 6B ．5,6U 6, 5233C ．6, 5 D ．5,6U 6, 5 222【答案】 D 【解析】设直线 l ： ykx 2 ， P x 1 , y 1 ， Q x 2 , y 2 ，由原点O 在以 PQ 为直径的uuur uuur圆的外部，可得OP OQ 0 ，联立直线 l 与椭圆 C 方程，结合韦达定理，即可求得答 案.解得 k 或 k2本题主要考查了根据零点求参数范围， 显然直线0 不满足条件，故可设直线 l ：ykx 2 ， P x 1, y 1Q x 2 , y 2 ，由kx1 ，得 122k 28kx 6 0 ，Q64k 224 1 2k 20，直线l 的斜率k 的取值范围为k 5, 6 U 6 , 5 .22故选： D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、填空题13 ．已知盒中有 2 个红球， 2 个黄球，且每种颜色的两个球均按A，B 编号，现从中摸出 2 个球 (除颜色与编号外球没有区别) ，则恰好同时包含字母A，B 的概率为2【答案】 23【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共C42种情况，其中有C21C21种情况是两个球颜色不相同；11故其概率是P C2C222 2 2C42 6 32故答案为： 2 ．3【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．已知函数_____________________________________ f(x) 2 (x 0) ，则f ( 2) ；满足f(x) 0的x的取12 3x(x 0)值范围为______ .1【答案】 1 ( ,4)4【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到 f ( 2) ，分x 0 和x 0 两种情况讨论可得；【详解】21 所以 f ( 2)2 2，4∵ f (x) 0 ，∴ 当 x 0时， 0 f (x) 2x1 满足题意， ∴ x 0；x 0时，由 f (x) 12 3x 0，解得 x 4.综合可知：满足 f (x) 0 的 x 的取值范围为(,4) .1故答案为： 1 ； ( ,4) .4【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题 .a 3 a 2 5 ，则 a 4 8a 2的最小值405a 2 5，可得 a 1 ，因为q(q 1)答案 .解：因为 f (x)2x(x 0)12 3x(x 0)15 ．已知数列 a n 是各项均为正数的等比数列，若设等比数列 a n 的公比为q ，根据 a 3a 4 8a 23a 1q 5 q 28 8a 1 q5q9 2 ， 根据均值不等式， 即可求得q1设等比数列 a nq ，Q a 3 a 2 5，a 15 q(q 1)Q 等比数列 a nq 1，a 4 8a 22 a 1q qq 28 q195 q 1 2 40 ，当且仅当q 1 3 ，q1即q 4时，a4 8a2取得最小值40.故答案为：40 .【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．已知边长为 4 3 的菱形ABCD中， A 60 ，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C 为120 ，此时点A，B ，C，D 在同一个球面上，则该球的表面积为【答案】112【解析】分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O，半径为R，ON x，由勾股定理可得x、R2，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，则易得AM CM 6，MN 3，MD 2 3，CN 3 3 ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，R2设球心为O，半径为R，ON x，可得2R2故该球的表面积为S 4 R2112 .x2271 ，R228.2 (x3)212【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题17 ．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进获得了一个容量为行了调查，200 的样本，其中城镇居民140 人，农村居民60 人 .在这些居民中，经常阅读的城镇居民有 100 人，农村居民有30 人 .1）填写下面列联表，并判断能否有99% 的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（ 2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7 位居民中随机选取 2 人作交流发言，求被选中的 2 位居民都是经常阅读居民的概率 .K2 (a b)(c n(a d d)(a bc)c2)(b d)，其中 n a b c d附：10（ 1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（ 2）1021（ 1）根据题中数据得到列联表，然后计算出K2，与临界值表中的数据对照后可得结论；（ 2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求1）由题意可得：2200 （100 30 40 30）2则 K2（ ）8.477 6.635，140 60 130 70所以有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关 . （ 2）在城镇居民 140 人中，经常阅读的有 100 人，不经常阅读的有40 人 .采取分层抽样抽取7 人，则其中经常阅读的有 5 人，记为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ；不经常阅读的有 2 人，记为 X 、 Y .从这 7 人中随机选取2 人作交流发言， 所有可能的情况为 AB ， AC ，AD ， AE ， AX ，AY ， BC ， BD ， BE ， BX ， BY ， CD ， CE ， CX ， CY ， DE ， DX ， DY ，EX ， EY ， XY ，共 21 种，被选中的2 位居民都是经常阅读居民的情况有 10 种，【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算， 以及独立性检验的应用， 利用列举法是解决本题的 关键，考查学生的计算能力 .对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题 .318．已知在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ， c 4 2 ， cosC .5（ 1）若 B ，求 a 的值；4（ 2）若b 5 ，求 ABC 的面积 .【答案】 （ 1） 7（ 2） 14 34【解析】（ 1）在 ABC 中， cosC ，可得 sin C ，结合正弦定理，即可求得答 55案；（ 2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案 . 【详解】所求概率为 P 10 213 （ 1）Q 在ABC中，cosC ，54 sinC ，5Q A （B C），acsin A sin Cc a sin A 7.sin C2)Q c 2a 2b 22abcosC ，32 a 225 6a ，2a 6a 7 0，解得 a 7，1 14absinC 7 5 14.2 2519．如图，在三棱锥P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， ABBC ， PA PC .点 E ， F ， O 分别为线段 PA ， PB ， AC 的中点，点G 是线段CO 的中点 .2）判断 FG 与平面 EBO 的位置关系，并证明（ 1）见解析（2） FG / /平面 EBO .见解析（ 1 ）要证 PA 平面 EBO ，只需证明 BO PA ， OE PA ，即可求得答案；2） 连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO ， 根据已知条件求证 FG/ /QO ，即可判断 FGsinA sin( B C) sin BcosC cosBsin C 2324 722 5 2 5 10S ABC 本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角， 考查1）求证： PA 平面EBO .与平面EBO的位置关系，进而求得答案【详解】（ 1）PAC 平面 ABC ，平面 PAC I 平面 ABC AC ， BO 平面 ABC ，Q 在 PAC 内， O ， E 为所在边的中点，OE //PC ，又 QPA PC ， OE PA ，PA 平面 EBO .2）判断可知，FG / / 平面 EBO ，证明如下： 连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO .Q E 、 F 、 O 分别为边 PA 、 PB 、 AC 的中点， AO2. OGFG//QO ，Q FG 平面 EBO ， QO 平面 EBO ， FG //平面 EBO .本题主要考查了求证线面垂直和线面平行， 解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平 行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题 20．已知抛物线 M ： x 22 py （ p 0）的焦点 F 到点 N （ 1, 2） 的距离为 10 .1）求抛物线 M的方程；Q AB BC ， O 为边 AC 的中点，BO AC ，Q 平面 BO 平面 PAC ，BO PA ，又 QQ 是PAB的重心，AQ 2QFAO OG2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A，B ，点A、B 分别在第一和第二象限内，求ABN 的面积 .2 27【答案】（ 1）x24y（ 2）2【解析】（1）因为F 0, p ，可得| FN | 1 p 2 10 ，即可求得答案；（2）分别设NA、NB 的斜率为k1 和k2，切点A x1, y1 ，B x2 , y2 ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：y k（x 1） 2，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0 ，求得k1，k2，进而求得切点 A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得| AN | ，根据点到直线距离公式求得点 B 到切线AN 的距离d ，进而求得ABN 的面积 .【详解】1) Q F 0, p ，2|FN | 1 p 2 10，解得p 2 ，抛物线M 的方程为x2 4y .NA、NB的斜率都存在，分别设为k1和k2，切点 A 2）由题意可知，x1, y1 ，B x 2, y 2又Q 由x 24y ，1 得 y x ，过点 Nl ： y k(x 1) 2，k(x 1)4y2,消掉 可得x 24kx 4k 8 0，Q16k 216k232 0 ，即 k 20，解得k 1 1 ， k 2 2，12 2 x 1 2k 1 2 ，y 1x 1 k 1 1 ，4x 2 2k 2 4， y 2A(2,1)， B( 4,4) ，点 B 到切线AN 的距离为| 4 4 1| 9 2即 ABN 的面积为 27 .2本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，和圆锥曲线与直线交点问题时 ,通常用直线和圆锥曲线联立方程组sin x21 ．已知函数f (x) ， 0 x π . x1）求函数 f （x ） 在 x 处的切线方程； 2| AN | (2 1)2 (1 2)23 2，切线 AN 的方程为 x y 0，S ABN1329227， 2解题关键是掌握抛物线定义,通过韦达定理建立起2）当0 m 时，证明： f （x ） mln x 对任意 x(0, ） 恒成立 .（ 1） y4 2x4 （ （ 1）因为f (x) xcosx sin x2 ，可得 x42，2）要证 f （x ） mlnx 对任意 x (0, x ） 恒成立，即证 mxln x sin x 对任意x (0, )恒成立 .设 g(x) m xln x ，h(x) sin x ，当x (0, )时，h(x) sin x ,11) Q f (x)xcosx2 xsin x244函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程为 y 2 x .( 2)要证 f (x) mln x 对任意 x (0, ) 恒成立 .x即证 mxln x sin x 对任意 x(0,) 恒成立 . 设 g(x) mxln x ， h(x) sin x ， 当 x (0, ) 时， h(x) sin x,1 ，Q g (x) m(ln x 1)，10 ，解得x ， eg(x)min本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求Qf2，，令 g (x) 0x1 时，eg (x) 0 ，函数 1g （x ） 在 0, 上单调递减； e 1x e 时， g（x ） 0 ，函数 1 g(x) 在上单调递增 . Qm(0, ），时， m xln x sinx 对任意 x （0, ） 恒成立，即当 0时，f(x) mln x 对任意x(0, ) 恒成立 .2切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，于难题 .22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求圆C 的极坐标方程；（ 2）直线l 的极坐标方程是sin6考查了分析能力和计算能力，属x 2 2cos（为参数），以O 为y 2sin3 ，射线OM : 与圆C 的交点为O 、6P ，与直线l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 .（ 1） 4cos （ 2） 2 3 2（ 1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；（ 2）设 P 1, 1 ， Q 2, 2 ，由 12 ，即可求出 1, 2，则 | PQ |126计算可得； 【详解】4 cos 0 ，即圆C 的极坐标方程为 4cosf （x ）min a 3 7，即可求出参数的值；112）由m 4n4，可得 m 4（n 1） 8，再利用基本不等式求出的最小解： （ 1 ）圆 C 的参数方程x 2 2cosy 2sin为参数）可化为 （x 2）2 y 24，2）设 P 1, 1 ，由14cos 1，解得123设 Q 2 , 2 ，由 2sin 22 26322，解得26∴ |PQ| 122 3 2.本题考考查了推理能力与计算能力， 属于中档23．已知 a 0，函数 f （x ） | x a|（ 1）求 a 的值；（ 2）设 m, n 0， m 4n a ，求证：【答案】 （ 1） a 4 .（ 2）见| 2x 6 | 有最小值 7.119.m n1 8f （x ） a 3 | x 3| ，所以当1)mn1 值，即可得证；解：1)f (x) |x a| |2x 6| |x a| |x 3|a 3 | x 3| ，当 x 3 时， f (x)mina 3 7 ，解得 a4(nm 1) nm1 ，即 m 83， n 13 时，等号成立119 mn182) ∵ m 4n 4 ， ∴ m4(n 1)8，11 mn111 mn1m 4(n 1)1 4(n 1) m5 8 m n1本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．|x 3| |(x a) (x 3)| |x 3|4.。

2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，B 是偶数集，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,2-C ．{}0,2D ．{}2,0,2-2．已知复数z 满足i i 1zz +=-，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,1--D ．33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．函数()2exx xf x +=的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =- ，()1,1b = ，则AB与a b - 的夹角的余弦值为（）A ．5-B ．5-C D 5．已知M 是双曲线C 上的一个动点，且点M 到C 的两个焦点距离的差的绝对值为6，C 的焦点到渐近线的距离为4，则C 的离心率为（）A ．35B ．53C ．45D ．546．某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于30C 的月份有3个B ．平均高温的中位数是21CC ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有5个7．若实数x ，y 满足约束条件10,20,0,x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =--的最大值为（）A ．4B．5C ．2D8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．记数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+．若等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．332n-B ．1332n +-C ．1511623n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D ．111223n⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭10．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是1BB ，11B C ，1AA 的中点，M 是线段BF 上的动点，则下列结论中正确的个数是（）①1BF B C ⊥；②1//BF C D ；③11A E B C ⊥；④1//C M 平面1A DE ．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点均在半径为2的球的O 球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形．若三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r ，则r =（）A ．1B ．14C ．32D ．)3114二、填空题13．记函数()()n f x x nx n n *=+-∈N 在1x =处的导数为n a ，则()4216log a a =________．14．写出以原点为圆心且与圆C ：22430x y y +-+=相切的一个圆的标准方程为________．15．已知实数a ，b ，m ，n 满足20a b --=，240m n -=，则()()22m a n b -+-的最小值为________．三、双空题16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222x xf x -=+，当0x <时，()22x x f x m n -=⋅+⋅，则m n +=________；若方程()()R f x a a =∈有两个不同的实数根，则a 的取值范围是________．四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．18．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82819．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．20．已知函数()()ln R f x x ax a =+∈，()f x 的导函数为()f x '．(1)讨论()f x 的极值点的个数；(2)当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E 有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB=．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin xy αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()22sin sin 12m m θρθ⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)写出1C 的普通方程；(2)若曲线1C 与2C 有两个交点,M N ，则当m 为何值时，MN 最大？并求出MN 的最大值．23．已知a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=．证明：(1)3331113a b c ++≥；(2)()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．参考答案：1．D【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.【详解】因为在集合{}2,1,0,1,2A =--中，－2，0，2是偶数，所以{}2,0,2A B =- ．故选：D.2．B【分析】根据复数的运算求出z ，即可得出z 在复平面内所对应的点.【详解】由i i 1zz +=-，得()()()()i 1i 2i 1i 2i 2i 2z +++===--+13i 55--，所以z 在复平面内所对应的点是13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选：B.3．C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由1110242f ⎛⎫⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎭，故D 错误，当x →+∞时，()0f x →，A ，B 错误．故选：C.4．A【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，a b - ，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =- ，()3,0a b -=-，则AB与a b - 的夹角的余弦值为()AB a b ABa b ⋅-==- ．故选：A ．5．B【分析】不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得到3a =，再利用点到直线的距离公式求出b ，从而求出c ，即可得解.【详解】解：不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，由双曲线的定义知，26a =，所以3a =，由双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为44b ==，所以5c =，所以C 的离心率53ce a==．故选：B 6．C【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，平均高温不低于30C 的月份有2021年6,7,8月和2022年6月，共4个，A 错误；对于B ，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C 2+= ，B 错误；对于C ，平均高温的极差为36630C -= ，平均低温的极差为()24327C --=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正确；对于D ，月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D 错误.故选：C.7．C【分析】目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=的距离l 的距离最大的点，求解即可.【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为()1,0A -，且点A 到直线l 的距离d ==则22z x y =--的最大值为4．故选：C.8．C【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.【详解】执行第一次循环，[]3.141 3.14 5.14b =-+=，[]5.1414a =-=，2n =，5.14 1.14110.2850.0544b a -=-==>；执行第二次循环，[]41 5.148.14b =-+=，[]8.1417a =-=，3n =，8.14 1.14110.1630.0577b a -=-=≈>；执行第三次循环，[]718.1414.14b =-+=，[]14.14113a =-=，4n =，14.14 1.14110.0880.051313b a -=-=≈>；执行第四次循环，[]13114.1426.14b =-+=，[]26.14125a =-=，5n =，26.14 1.14110.04560.052525b a -=-==<，退出循环，输出5n =.故选：C.9．D【分析】由1113b a S ===，24439b a S S ==-=，求出等比数列{}n b 的公比q 及n b ，数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为1113b a S ===，24439b a S S ==-=，所以等比数列{}n b 的公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=，则113nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11113n n b b +=⋅，可知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，13为公比的等比数列，所以111111333122313nnn T ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-．故选：D ．10．C【分析】连接1BC ，即可得到111A E B C ⊥，再由正三棱柱的性质得到1A E ⊥平面11BB C C ，即可得到11A E B C ⊥，从而得到1B C ⊥平面1A DE ，再由线面垂直的性质得到11B C A D ⊥，即可说明1BF B C ⊥，即可判断①、②、③，连接1C F ，通过证明平面1//A DE 平面1BFC ，即可说明④.【详解】解：连接1BC ，因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，所以111A E B C ⊥，11B C BC ⊥．又D ，E 分别是1BB ，11B C 的中点，所以1//DE BC ，所以1B C DE ⊥．因为11A E CC ⊥，1111B C CC C ⋂=，11B C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ．又1B C ⊂平面11BB C C ，所以11A E B C ⊥．又1DE A E E ⋂=，DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以1B C ⊥平面1A DE ．又1A D ⊂平面1A DE ，所以11B C A D ⊥．由题意知1//A F BD 且1A F BD =，所以四边形1A FBD 是平行四边形，所以1//BF A D ，所以1BF B C ⊥，故①、③正确；BF 与1C D 是异面直线，故②错误；连接1C F ，因为1//BF A D ，BF ⊂平面1BFC ，1A D ⊄平面1BFC ，所以1A D //平面1BFC 又1//DE BC ，同理可证//DE 平面1BFC ，又1A D DE D ⋂=，1,A D DE ⊂平面1A DE ，所以平面1//A DE 平面1BFC ．因为M 是线段BF 上的动点，所以1C M ⊂平面1BFC ，所以1//C M 平面1A DE ，故④正确．故选：C 11．D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为2M =，最小值为2m =，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．B【分析】设底面ABC 的中心为Q ，根据题意可知，当三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，PQ ⊥底面ABC ，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面ABC 的中心为Q ，连接BQ ，OQ ，则233BQ ==OQ ⊥底面ABC ，如图，延长QO 交球面于点P ，连接OB ，此时三棱锥P －ABC 的体积取得最大值，因为球O 的半径为2，所以2OB =，在Rt OQB 中，1OQ ==，所以三棱锥P －ABC 的体积的最大值为()213213V =⨯+=此时PB =所以2133312P ABCS -=+⨯⨯=，所以11434r =⨯⨯，解得r =故选：B.13．72【分析】求导后可得n a ，结合对数运算法则可求得结果.【详解】()1n f x nx n -'=+ ，()12f n '∴=，即2n a n =，()()274216427log log 432log 22a a ∴=⨯==.故答案为：72.14．221x y +=或229x y +=【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.【详解】圆C ：22430x y y +-+=的圆心为()0,2，半径为1．因为两圆圆心距为2，故若两圆外切，则所求圆的半径为211-=，其标准方程为221x y +=；若两圆内切，则所求圆的半径为213+=，其标准方程为229x y +=．故答案为：221x y +=或229x y +=15．12##0.5【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，即可求得()()22m a n b -+-的最小值.【详解】由题意知，(),a b 是直线l ：20x y --=上的点，(),m n 是抛物线21:4C y x =上的点，()()22m a n b -+-的几何意义是抛物线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．设0x y c -+=与抛物线相切，切点为0,0()P x y 则12y x '=，即0112x =，所以直线与C 切于点()2,1，所以()()22m a n b -+-的最小值为212=．故答案为：1216．5-()()5,44,5--È【分析】由()()f x f x -=-可求出m n +的值；画出()y f x =的图象，由方程()()f x a a R =∈有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与y a =的图象由两个交点，结合图象即可得出答案.【详解】令0x <，则0x ->，所以()222x xf x -+-=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()222422x x x xf x +--=--=-⨯-，所以4m =-，1n =-，则5m n +=-，故()42,020,0,14202x x x x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-⋅+< ⎪⎝⎭⎩，当0x >时，()422xx f x =+，令2xt =，则()41y t t t=+>．因为当()0,1x ∈时，2x t =单调递增，且()1,2t ∈，此时4y t t=+单调递减，所以由复合函数的单调性可知()422xx f x =+在区间()0,1上单调递减；因为当()1,x ∈+∞时，2x t =单调递增，且()2,t ∈+∞，此时4y t t=+单调递增，所以由复合函数的单调性可知()422xxf x =+，在区间()1,+∞上单调递增．由奇函数图象的特点作出()y f x =与y a =的图象如下：由图知，若()f x a =有两个不同的实数根，相当于()y f x =与y a =有两个不同的交点，则54a -<<-或45a <<．故答案为：－5；()()5,44,5--È.17．(1)π3(2)2⎛ ⎝【分析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项可得2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求出A ﹔（2）由正弦定理表示出13sin 2tan a B C ⎛==+ ⎝，结合tan y x =的单调性即可得出答案.【详解】（1）是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3a b B C ==，所以2π3sin 2sin sin C B a B b CC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===3cos 132sin 2tan C C C C+⎛==+⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ032π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan C >所以sin a B的取值范围是⎝．18．(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)35【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1））根据列联表代入计算可得：()221004030201050604050503K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯16.667 6.635>，所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙，{}4,A 甲，{}4,A 乙，{},甲乙，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{},甲乙，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率93155P ==．19．(1)证明见解析12【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=由此可确定E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠==，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯四棱锥四边形20．(1)答案见解析(2)(),ln 25-∞-【分析】（1）对()f x 求导，分0a ≥和a<0，讨论()f x 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；（2）当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，化简为1ln 22m x x x -=+++，即y m =-与1ln 22y x x x =+++的图象有两个交点，令()1ln 22h x x x x=+++，对()h x 求导，得出()h x 的单调性及最值即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1f x a x'=+．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；当a<0时，令()0f x '=，解得1x a=-，所以当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a-1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x 单调递增极大值单调递减所以()f x 有一个极大值点，无极小值点．综上，当0a ≥时，()f x 无极值点；当a<0时，()f x 有一个极值点．（2）当2a =时，方程()()0f x f x m '++=，即1ln 220x x m x++++=，则1ln 22m x x x-=+++．令()1ln 22h x x x x =+++，0x >，则()()()22121112x x h x x x x +-'=+-=．令()0h x '=，解得12x =或=1x -（舍去）．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()min 15ln 22h x h x h ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，又x 趋近于0时()h x 趋近正无穷；x 趋近于正无穷时()h x 趋近正无穷，所以5ln 2m ->-，即ln 25m <-，故m 的取值范围是(),ln 25-∞-．21．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得332p-=-，从而得出椭圆C 的焦点()11,0F -，()21,0F ，由线段1PF 的中点为()2,0-求得2a =，23b =，可得C 的方程；（2）直线l 的斜率存在，设为k ，分两种情况讨论：当0k =时，直接验证结论；当0k ≠时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的垂直平分线的方程，求得M 坐标及1F M ，利用弦长公式求得AB ，从而证得结论．【详解】（1）抛物线E 的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于其准线2p x =-的对称点为3,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以332p-=-，即12p =．因为椭圆C 与抛物线E 有一个共同的焦点，所以()11,0F -，()21,0F ，所以线段1PF 的中点为()2,0-，所以2a =，222213b =-=．故C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ．当0k =时，点A ，B 恰为椭圆C 的左、右顶点，y 轴为线段AB 的垂直平分线，()0,0M ，24AB a ==，11F M c ==，则114F M AB=．当0k ≠时，直线l 的方程为()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,x y ，(),0M M x ．联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()2222438430k x k x k +++-=，则2122843k x x k +=-+，()21224343k x x k -=+，所以212024243x x k x k +==-+，则()2002243114343k ky k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭．由题意知，线段AB 的垂直平分线的方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得200243M kx x ky k =+=-+，则221223314343k k F M k k +=-+=++．又12AB x =-=()2212143k k +=+，所以114F M AB=．综上，114F MAB =．22．(1)()(2221x y -+-=(2)当2m =-时，max 2MN =【分析】（1）消去参数方程中的参数α即可得到普通方程；（2）根据极坐标与直角坐标互化原则可确定1C 为直线，则当直线过圆心时，MN 最大，由此可求得结果.【详解】（1）由2cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：()(2221x y -+-=，即1C 的普通方程为：()(2221x y -+-=.（2）由22sin sin 12m θρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：()sin cos sin cos m ρθθρθρθ-=-=，2C ∴的直角坐标方程为：0x y m -+=；当0x y m -+=过圆1C 的圆心(时，MN 取得最大值，即MN 为圆1C 的直径，20m ∴=，解得：2m =，则当2m =时，max 2MN=.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式依次证得01abc <≤与3331113a b c ++≥即可，要特别注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式依次证得2223a b c ++≥与1113a b c++≥，从而证得()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，要特别注意等号成立的条件.【详解】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=，所以3a b c =++≥01abc <≤，所以11abc≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立，故33311133a b c abc++≥≥，当且仅当333111a b c ==且1a b c ===，即1a b c ===时，等号成立，所以3331113a b c ++≥.（2）因为()()22222222223a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，3a b c ++=，所以2223a b c ++≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立；又()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭11113a a b b c c b c ac a b ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭113a b c a c b b a a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113⎛≥++ ⎝3=，当且仅当,,a b c a c b b a a c b c ===且3a b c ++=时，即1a b c ===时，等号成立，所以1113a b c++≥；故()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。

绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。

2024年8月浙江省普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分第1至3页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈D. {|3,}x x k k =∈Z2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12B. 5C. 5-D. 12-3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,24. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测是海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y ->D. 1->x y7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x 在(0,)+∞上单调递增B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________. 13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ； （2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆的的2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.18 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．（1）求数列{b n }通项公式； （2）证明：数列{a n }是等差数列；.的（3）记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂是（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈ D. {|3,}x x k k =∈Z【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义直接判断即可.【详解】因为A B ⋂是6倍数，所以{|6,}A B x x k k Z ⋂==∈， 故选：C.2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12 B. 5C. 5-D. 12-【答案】D 【解析】【分析】先求复数z ，再求复数2z ，再求它的虚部.【详解】由题意，得2232i (32i)512i z z =-⇒=-=-，所以它的虚部为12-. 故选：D3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示，求解即可．【详解】()()()1,23,42,2CB AB AC =-=-=--，故选：C ．的4. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-【答案】A 【解析】【分析】将已知等式切化弦可求得sin cos θθ，根据二倍角公式可求得结果.【详解】1tan 4tan θθ+= ，22sin cos cos 14cos sin sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ+∴+===， 解得：1sin cos 4θθ=，21cos 21111112cos sin 2sin cos 42222424πθπθθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+==-⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-+=-+=． 故选：A .5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π【答案】C 【解析】【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米， 所以半球的表面积为214π8128π2⨯⋅=（平方米），圆柱的侧面积为2π813208π⋅⋅⨯=（平方米），圆台的侧面积为()π81225π+=（平方米），故该组合体的表面积为2128π+208π+225π+π1562π⨯=（平方米）． 故选：C6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y -> D. 1->x y【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性得出01a <<，再构造函数结合函数单调性求解即可. 【详解】因为0a >，又函数3log y x =单调递增，所以3241a a +>+，即01a <<， 对于不等式x y a a x y -<-，移项整理得x ya x a y -<-，构造函数()xh x a x =-，由于ℎ(x )单调递减，所以x y >，即0x y ->，故选:C.7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于π，第六个正根大于等于π可得.【详解】由()sin 2sin()13f x x x x πωωω==-=-，得：5236x k ππωπ-=-+或2,36x k k Z ππωπ-=-+∈，即22k x ππωω=-+，或2,6k x k Z ππωω=+∈， 易知由小到大第5、6个正根分别为256πω，112πω. 因为方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，所以有256ππω<且112ππω≥，解得251162ω<≤.故选：C.8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】【详解】易知21()(log 3xf x x =-为两个减函数的和，所以其为减函数，又正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，所以0c b a <<<，又()()()0f a f b f c ⋅⋅<，所以()0,()0,()0f a f b f c <<<或()0,()0,()0f a f b f c <>>，所以总有()0f a <，又()0f d =，()()f a f d <，所以d a <成立，故选A ．点睛：本题考查函数的零点及等差数列，属于中档题．解决问题的角度从函数值的大小来判断自变量的大小，因此首先要分析函数的单调性，其次判断函数值的大小要通过分析()()()0f a f b f c ⋅⋅<来实现，结合等差数列判断出()0f a <，从而零点对应的函数值要大于()f a ，再结合单调性即可判断出d a <．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A ：因为()22,N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)(24)(4)(2)0.80.50.3ξξξξ<<=<<=<-<=-=P P P P ，故A 正确； 对于B ：因为()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)(2)(02)0.50.40.9P P P ξξξ>=>+<<=+=，故B 正确； 对于C ：因为()0,1X N ，且(1)P X m >=，所以()()1(10)(01)012P X P X P X P X m -<<=<<=>->=-，故C 正确； 对于D ：因为()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-， 所以()22a b a b ++-=⨯，解得2a =，故D 错误. 故选：ABC10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x (0,)+∞上单调递增 B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 【答案】BD 【解析】【分析】根据导函数的正负，可判断原函数的单调性，故可判断A ，由单调性的考查可知()f x 的最小值点，进而可求最小值，进而可判断B ，根据函数图像的交点以及极值点的定义即可判断个数，即可判断C ，根据最大极值点的范围，结合函数图像的周期性，即可求解D.【详解】()e sin 2()e 2cos 2xx f x x f x x '=-∴=- ，,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 2x 单调递减，e x 单调递增，所以()f x '单调递增,且()π6π010,e 106f f ⎛⎫''=-<=->-> ⎪⎝⎭,所以存在00π0,,()06x f x ⎛⎫'∈= ⎪⎝⎭,当()00,,()0x x f x '∈<,此时()f x 单调递减,故A 错误.()e 2cos 20e 2cos 2x x f x x x ='=-=⇒,在同一个直角坐标系中画出21e 2c s 2,o x y x y ==.当在π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，因此,当0π,6x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,此时()0f x '<，()f x 单调递减,当()0,x x ∈+∞，()f x 单调递增，0x 满足00e =2cos 2x x 且0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()()00000min e sin 2=2cos2sin 2x f f x x x x x -=-=，()n 00mi 2cos2i =s n 2f x x x -在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00min πs π=2cos2sin 22cos 2in 2661f x x x ⎛⎫⎛⎫->⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >B 正确. 由21e 2c s 2,o x y x y ==的图象可知，存在3ππ,4x *⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，当 πx x *-<<时，e 2cos 2,xx <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，当π2x x *<<-，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，所以当π-π,-2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极小值点x * ，由于22cos 2y x = 是以周期为π 的周期函数，故当(2022π,0)-，()f x 有2022个极小值点，当()0,πx ∈时，()f x 有一个极小值点，而当πx >，e 2cos 2x x >恒成立，故该区间无极值点，所以()f x 在(2022π,2022π)-存在2023个极小值点，故C 错误.由21e 2c s 2,o xy x y ==图象可知，存在1-,0π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当 1π4x x -<<时，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，当10x x <<，e 2cos 2,x x <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，所以当π-,04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极大值点1x .当π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，由图像可知：1ππ,-46x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由22cos 2y x =是以周期为π 的周期函数，因此ππ+π,π46i x k k ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，其中k 为非正整数.101π7π13πππ109140+--9π10π=π6666623i i x =⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，故D 正确. 的故选：BD【点睛】11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，将原点坐标代入方程判断，对于B ，对曲线方程以x -代x ，y -代y 进行判断，对于C ，利用曲线方程求出x 取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，然后由120PF PF ⋅=化简计算即可判断.【详解】对于A ，将(0,0)O 代入方程，得22c a =，所以当a c =时，原点O 在曲线C 上，所以A 错误， 对于B ，以x -代x，得222()x y c -++=，得222x y c ++=，所以曲线关于y 轴对称，y -代y，得222()x y c +-+=，得222x y c ++=x 轴对称，以x -代x ，y -代y，得222()()x y c -+-+=，得222x y c ++=，所以曲线关于原点对称，所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B 正确，的对于C ，当a c =时，由222x y a ++=，得2220y x a --≥=，解得222x a ≤，所以2222222OP x y a a a =+=≤-=，所以OP ≤，所以OP 的最大值为，所以C 正确，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为12(,),(,)PF c x y PF c x y =---=-- ，所以2220x c y -+=，所以222x y c +=，所以由222x y c ++=22c =，所以222c a ≥，所以0a <≤，反之也成立，所以当0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥，所以D 正确，故选：BCD非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.【答案】2⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ， 可知直线2PF 的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即2222tan 6032ba b c a e a=⇒=-⇒< ， 设2PF n =，则12PF a n =+，根据1221PF F F PF ∠≥∠可知2122PF F F c ≥=， 在12PF F 中，由余弦定理可知()22222422cos12022b n c a n cn n a c+-+=⨯⇒=-， 即222222222202≥⇒≥-⇒--≥-b c b ac c c ac a a c，则22210--≥⇒≥e e e ，故2>≥e故答案为：2⎫⎪⎪⎭13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 【答案】11(,)24【解析】【分析】由切线的倾斜角求出切线的斜率，利用切线的斜率等于该点的导函数值，可求得切点坐标. 【详解】设()00,P x y ，由导数的定义易求得()002f x x '=， 由于P 在曲线()2y f x x ==上，函数()f x 为二次函数，过点P 的切线即是点P 处的切线，故0π2tan 14x ==，即012x =，则014y =.故答案为：11,24⎛⎫⎪⎝⎭14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 【答案】9 【解析】【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.【详解】设选出的是第k 个袋，连续四次取球的方法数为()(1)(2)3n n n n ---， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：4白，取法数为：()(1)(2)(3)n k n k n k n k -------， 1红3白，取法数为：13C ()(1)(2)k n k n k n k ⋅-----， 2红2白，取法数为：()23C 1()(1)k k n k n k ⋅----，3红1白：取法数为：(1)(2)()k k k n k ---， 所以第四次取出的是白球的总情形数为：13()(1)(2)(3)C ()(1)(2)n k n k n k n k k n k n k n k -------+⋅-----()23C 1()(1)(1)(2)()(1)(2)(3)()k k n k n k k k k n k n n n n k +⋅----+---=----，则在第k 个袋子中取出的是白球的概率为：(1)(2)(3)()(1)(2)(3)k n n n n k n kP n n n n n-----==---，因为选取第k 个袋的概率为1n，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ()211111112nn nk k k k n k n P P n k n n n n n===--=⋅=⋅=-=∑∑∑， 当1429n P n -==时，9n =. 故答案为：9．【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k 值情况下的抽取总数(可直接用k 值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k 的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n 与k 的关系可简化累加步骤.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ；（2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）35；（2）338．【解析】【分析】（1）解法一：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，利用同角三角函数平方关系可构造方程组求得sin B ；解法二：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，平方后可求得242sin cos 25B B ⋅=，由sin cos B B +=可求得sin cos B B +，由此构造方程组求得sin B ；（2）根据同角三角函数关系可求得sin A ，利用正弦定理可求得b ；根据两角和差正弦公式求得sin C 后，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）解法一：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= 又22cos sin 1B B +=，∴()()225sin 5sin 125sin 35sin 40B B B B +-=-+=，∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，解得：3sin 5B =. 解法二：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= …①， 平方可得：112sin cos 25B B -⋅=，242sin cos 25B B ∴⋅= ∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，cos 0B ∴>，7sin cos 5B B ∴+==…②， 由①②可得：3sin 5B =. （2） 5cos 13A =-，()0,A π∈，∴12sin 13A =，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 13sin 4a Bb A ==， 由（1）知：4cos 5B =，在ABC V 中，()1245333sin sin sin cos cos sin 13513565C A B A B A B =+=+=⨯-⨯=， 11133333sin 5224658ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯= ． 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，涉及到诱导公式、同角三角函数平方关系、两角和差公式的应用；求解三角形面积的关键是能够通过同角三角函数平方关系和两角和差正弦公式得到两边夹角的正弦值，代入三角形面积公式得到结果.16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）22143x y +=（2）43【解析】【分析】（1）利用长轴长求出a ，利用椭圆定义求出232PF =，进一步求出2b ，即可得椭圆方程；（2）设直线，联立方程求出M 、N 的坐标，把面积比转化为坐标比，进一步转化为分式函数求最值问题 【小问1详解】不妨设F 、2F 是椭圆的左焦点、右焦点， 则2PF x ⊥轴，又因为52PF =，24a =， 所以2232PF a PF =-=，即232b a =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】设()()4,0Q t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1QA ：()26ty x =+，2QA ：()22t y x =- 联立()22263412t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2227180t y ty +-=，解得121827t y t =+，同理，联立22223412x y tx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()22360t y ty ++=，解得2263t y t -=+， 所以121212121sin 0021sin 2QA QA Q QA A S t t S QN t y t y QM QN Q Q QM ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()22122218612108111110812(1,09m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2.（3）存在，PF =.【解析】【分析】（1）根据直角梯形可得AC BC ⊥，再根据AC PC ⊥即可得出AC ⊥平面PBC ，于是平面EAC ⊥平面PBC ；（2）PCE ∠为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算cos PCE ∠；（3）连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD ，可得PD 平面ACF ，利用相似三角形即可得出PF 的长.【详解】（1）证明：四边形ABCD 是直角梯形，222AB CD AD ===，∴AC BC ==，AC BC ⊥，∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥，又,,PC BC C PC BC =⊂ 平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）由（1）可知AC ⊥平面PBC ， ∴AC PC ⊥，A C C E ⊥，∴PCE ∠为二面角P AC E --的平面角，∵2PC =，BC =，∴1122CE PE PB ====，∴222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅.∴二面角P AC E --. (3)连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD 交PB 于F ，连接AF ，CF .则PD 平面ACF .∵AB CD ∥，∴2OB ABOD BC ==， 又OF PD ，∴2OB BFOD PF==，∴13PF PB ==.所以直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，且PF .【点睛】本题考查了空间面面垂直的判定和线面平行的判定，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18. 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； （3）①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭，理由见解析；②答案见解析. 【解析】【分析】（1）当e a =时，求得()e e x x f x k -'=-⋅，分0k ≤和0k >，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）根据题意，分别结合()()f x f x -=和()()f x f x -=-，列出方程求得k 的值，即可得到结论；（3）根据题意，得到当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 【小问1详解】解：当e a =时，函数 ()e e x x f x k -=+⋅，可得()e e x x f x k -'=-⋅，若0k ≤时，()0f x '>，故函数()y f x =在R 上单调递增，函数()y f x =在R 上无最值；若0k >时，令()0f x '=，可得1ln 2x k =， 当1,ln 2x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，函数()y f x =在1,ln 2k ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦上为严格减函数； 当1ln ,2x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，f ′(x )>0，函数()y f x =在1ln ,2k ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为严格增函数，所以，当1ln 2x k =时，函数取得最小值，最小值为1ln 2f k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无最大值．综上：当0k ≤时，函数()f x 在R 上无最值；当0k >时，最小值为 【小问2详解】解：因为“()y f x =为偶函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=” 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅； 即对于任意的x ∈R ，(1)()0x x k a a ---=，可得1k =， 所以1k =是()y f x =为偶函数的充要条件．因为“()y f x =为奇函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=-”， 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a ----⋅=+⋅， 即对于任意的x ∈R ，(01)()x x k a a -++=，可得1k =-， 所以1k =-是()y f x =为奇函数的充要条件， 当1k ≠±时，()y f x =是非奇非偶函数. 【小问3详解】解：①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 证明：当0k <时，令()0f x =，解得1log ()2a x k =-为函数()y f x =的零点， 由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log ())a f k x --=log ()(log ())a a k x k x a k a -----+⋅x x k a a -=-⋅-()f x =-；② 答案1：当0k >时，函数()y f x =有对称轴1log 2a x k =． 即当0k >时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log )a f k x -=()f x ，参考证明：当0k >时，由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log )a f k x -=log (log )a a k x k x a k a ---+⋅x x k a a -=⋅+()f x =，答案2：当1k =时，()y f x =的图象关于y 轴对称，即对于任意的R x ∈，都有()()f x f x -=，答案3：当0k <时，函数()y f x =的零点为1log ()2a x k =-，即1log ()0.2a f k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11． （1）求数列{b n }通项公式；（2）证明：数列{a n }是等差数列；（3）记c n =2n na S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）2(0log 3]，． 【解析】【分析】 (1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式.(2）利用递推关系式的应用和等差数列的定义的应用求出数列为等差数列.(3）利用分类讨论思想的应用和存在性问题的应用及假设法的应用求出实数a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，的因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. （2）由（1）知，1(1)2n n S n a =+，n N *∈， 即有2(1)n n S n a =+， ①所以112(2)n n S n a ++=+，② ②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+．两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n N *∈）， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列． 所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列．（3） 因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n N *∈时，2111223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭，． 显然10a ≠， ①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；②若12log 3a >，则11123a <， 11022a n n -<+恒成立，所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；③若21log 3=a ，则11123a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且n N *∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且n N *∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=． 综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． 【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。