届吉林省长春市高三质量监测模拟 数学 理 试题

一、单选题二、多选题1. 已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. 设函数f (x )＝则＝（ ）A ．－1B ．1C．－D．3. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的方式可供选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展程度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展）．A 市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本，因近视佩戴眼镜的有24人，其中佩戴角膜塑形镜的有8人．若从样本中随机选取一名小学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，他佩戴的是角膜塑形镜的概率是（ ）A．B．C．D．4.过点的直线经过圆的圆心，则直线的倾斜角大小为A ．150°B ．60°C ．30°D ．120°5. 已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数a =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-26. 某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为A ．6B ．12C ．18D ．247.已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设且，则（ ）A．B．C ．12D．9. 下列说法：①对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；③已知随机变量，若，则的值为；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．其中正确的选项是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在体积为的球上，动点在正方形内运动（包含边界），若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）A．B．点运动轨迹的长度为C．三棱锥体积的取值范围为吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题D．线段长度的最小值为11. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P 为圆上的动点，则（ ）A ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D ．点A 到平面距离的最大值为12.设函数________．13. 若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．14. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为________.15. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______．16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 化简或求值：（1）；（2）.19. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．八、解答题九、解答题十、解答题20. 如图，已知平面平面，平面平面，，，，.（1）求证：；（2）若是线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围.21.年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．(1)根据频率分布直方图，估计这人的第百分位数（中位数第百分位数）；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄），乙（年龄）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的平均数和方差．22. 为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝A.{6}B.{1，6}C.{2，3}D.{1，4，5，6}2.在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应向量OA与OB，则向量AB对应的复数是A.－1＋9iB.9＋iC.－9－iD.9－i3.在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏。

在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：从表中可以得出正确的结论为A.表中m的值为8B.估计观看比赛不低于5场的人数是860人C.估计观看比赛场数的众数为8D.估计观看比赛不高于3场的人数是280人4.如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝－log3x的一个是A.①B.②C.③D.④5.右面程序框图，输出的结果为S＝132，则判断框中应填A.i ≥10？B.i ≥11？C.i ≤11？D.i ≤12？6.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝94，a 4＋a 5＝18，则其前5项的积为 A.64 B.81 C.192 D.2437.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为 A.553 B.556 C.423 D.4268.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为 A.718 B.730 C.915 D.13 9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，S n ≤S 7，则数列{a n }的通项公式可能是A.a n ＝16－3nB.a n ＝15－2nC.a n ＝2n －14D.a n ＝2n －1510.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min 。

一、单选题1. 2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.2. 设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ）A．B．C．D．3. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）（附：若，则，A ．0.99865B ．0.97725C ．0.84135D ．0.658654.对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5. 已知，（为自然对数的底数），则a ，b ，的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 在公差为2的等差数列中，，则（ ）A．B．C．D．7.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.已知，则（ ）吉林省长春市2022届高三质量检测（四模）理科数学试题吉林省长春市2022届高三质量检测（四模）理科数学试题二、多选题三、填空题A ．7B ．-7C．D．9. 如图，在正三棱柱中，，D为棱上的动点，则（）A．三棱锥的外接球的最大半径为B ．存在点D ，使得平面平面C ．A 到平面的最大距离为D ．面积的最大值为10.已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（）A ．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是B．若在线段上运动，则的最小值为C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为D ．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为11. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n 比较大时，可视为X 服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x ，记，则（ ）A．B．当时，C ．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D ．随机变量，当，都增大时，概率单调增大12. 已知二项式的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有（ ）A ．展开式共有7项B ．所有二项式系数和为128C ．二项式系数最大的项是第4项D ．展开式的有理项共有4项13. 已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则______．14. 在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是___________；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为___________.四、解答题15. 已知函数，则的值为___________16. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是矩形，且，，点在上．（1）证明：．（2）若平面，求与平面所成角的正弦值．17.已知椭圆的离心率，左右焦点分别为是椭圆在第一象限上的一个动点，圆与的延长线，的延长线以及线段都相切，为一个切点.(1)求椭圆方程；(2)设，过且不垂直于坐标轴的动点直线交椭圆于两点，若以为邻边的平行四边形是菱形，求直线的方程.18. 已知，是的导函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．19. 如图所示，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M 是A 1B 1的中点．(1)求证：B 1C ∥平面AC 1M ；(2)求证：平面AC 1M ⊥平面AA 1B 1B.20. 已知椭圆，，分别为椭圆C 的左，右焦点，过且与x 轴不重合的直线l 交C 于P ，Q 两点，的周长为8，面积的最大值为2．（1）求C 的方程；（2）点，证明：内切圆的圆心在x 轴上．21. 已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.。

长春市2020届高三质量监测（三）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|4}A x Z x =∈…，{|42}B x x =-<< ，则A B =I （ ）A.{|22}x x -<≤ B. {|42}x x -<≤C.{2,1,0,1,2}--D.{2,1,0,1}--【答案】D 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤故可得{}2,1,0,1A B ⋂=--故选：D .【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A.1-B.-iC. 1D. i【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z ，由其实部即可求得参数a . 【详解】()(12)2(12)za i i a a i =+-=++-，231a a +=∴=∴121a -=-. 故选：A .【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.3.已知向量(1,2)=-r a ，(3,3)b =-r ，(1,)c t r =，若向量a r 与向量b c +r r共线，则实数t =（ ）A.5B. 5-C. 1D.1-【答案】B 【分析】根据向量的加法运算，求得b c +r r的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.【详解】因为b c +r r ()4,3t =-，又a r 与向量b c +r r共线故可得38t -=-，解得5t =-.故选：B .【点睛】本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题. 4.已知函数()cos 3sin 22x xf x =-的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ）A. 向左平移3π个单位B. 向左平移23π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向右平移23π个单位【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简()f x ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.【详解】由()cos 3sin 2cos()()2cos()2223223x x x x f x f x πϕπϕ=-=+⇒+=++为奇函数，得+=+=+22323k k Z k ϕππππϕπ∈∴，当0k =时，3πϕ=.故为得到关于原点对称的图像，只要把C 向左平移3π个单位即可. 故选：A【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题.5.函数3()x xx f x e e-=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】B 【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数， 排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A, 故选：B【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 6.在521()x x+的展开式中，一定含有（ ） A. 常数项 B. x 项C. 1x -项D. 3x 项【答案】C 【分析】利用二项式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】由通项公式5521()r rr C xx-535r rC x -=代入0,1,2,3r =验证， 当0r =时，可得其含有5x 项；当1r =，可得其含有2x 项；当2r =时，可得其含有1x -项； 故选：C . 【点睛】本题考查二项式的通项公式，属基础题.7.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ）A. 1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断. 【详解】①若,//m m αβ⊥，则一定有αβ⊥，故①正确；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则n α⊥，又因为n β⊂，故可得αβ⊥，故②正确； ③若,n n αβ⊥⊥，故可得α//β，又因为m α⊥，故可得m β⊥，故③正确； ④若,m m n α⊥⊥，则//n α或n α⊂，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若011223340.5m B B B B B B B B ====，008m A B =，则五层正六边形的周长和为（ ）A. 35mB.45mC.210m D. 270m【答案】C 【分析】根据题意，构造等差数列，即可由等差数列的前n 项和进行求解. 【详解】根据题意，设正六边形的中心为O ，容易知4433221100,,,,OA B OA B OA B OA B OA B n n n n n 均为等边三角形， 故4433221100,,,,A B A B A B A B A B 长度构成依次为6,6.5,7,7.5,8的等差数列 ∴周长总和为(68)562102+⋅⋅=， 故选：C【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求解，属基础题.9.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x -=，则圆E 的方程为（ ）A .22(3)2x y+-= B. 22(3)2x y ++= C. 22(3)3x y +-= D. 22(3)3x y ++=【答案】C 【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径. 【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为()0,a ，又圆2220x y x +-=的圆心为()1,0，半径为1，故113a ⨯=--，解得3a =.故所求圆心为()0,3. 直线30x y -=截得2220x y x +-=所成弦长212134-=， 圆心()0,3到直线30x y -=的距离为32， 所以直线30x y -=截得所求圆的弦长223232r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得3r =.故圆心坐标为(0,3)，半径为3， 故选：C .【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及两圆位置关系，属综合基础题.10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长. 【答案】D 【分析】根据统计图表，结合每个选项即可容易求得结果. 【详解】结合统计图表可知，除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加， 尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍，故A 正确； 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%， 综合实践最少，约占4% ，故B 正确；第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故C 正确； 对D 中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长， 而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数， 百分比随着学段数先减后增，故D 错误； 故选：D【点睛】本题考查统计图表的辨识和应用，属基础题.11.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足2*42 ()n n n S a a n N =+∈，设1(1)nn n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则20T =（ ）A. 110B. 220C.440 D. 880【答案】D 【分析】利用,n n a S 之间的关系，即可容易求得n a ，则n b 得解，再用并项求和法即可求得结果.【详解】由242 n n n S a a =+得211142 (2)n n n S a a n ---=+…，作差可得： 1 2n n a a --=，又1=2 a 得2n a n =，则(1)22(1)4(1)(1)nnn b n n n n =-⋅⋅+=-⋅+所以12+b b =4[(1)1223]82-⋅⋅+⋅=⋅，34+4[(1)3445]84,b b =-⋅⋅+⋅=⋅56+4[(1)5667]86,b b =-⋅⋅+⋅=⋅…，1920+4[(1)19202021]820,b b =-⋅⋅+⋅=⋅所以20(220)1088802T +⋅=⋅=.故选：D .【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前n 项和的求解，属综合中档题. 12.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A.12B.34C.57D.23【答案】C 【分析】根据题意，求得112,,PF F Q F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下：由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --=，23||2a cQF +=由221cos cos F PQ F PF ∠=∠即22222222211222122PF PQ F QPF PF F F PF PQPF PF +-+-=，整理得2271250c ac a -+=， 则()()570a c a c --=，得57e =故选：C .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88 【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=， 故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 14.等差数列{}n a 中，11a =，公差2[]1,d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的最大值为_________.【答案】13- 【分析】根据等差数列的基本量，用d 表示出λ，分离参数求得函数的值域，即可容易求得结果. 【详解】由391515a a a λ++=得()()121811415d d d λ+++++=，整理得()181316d d λ+=-，又2[]1,d ∈，故1316151912[,]1818173d d d λ-==-+∈--++.故实数λ的最大值为13-.故答案为：13-.【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，涉及分式函数值域的求解，属综合中档题. 15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24-【分析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果. 【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-. 故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为___________. 【答案】82π 【分析】根据题意，讨论球体体积最小时的状态，求得此时的球半径，则问题得解.【详解】根据题意，取AD 中点为F ，连接EF ，取EF 中点为O ，连接PO ，如下所示：因为PAD n为边长为2的等边三角形，故可得3PF =又因为1,2PE EF ==，满足勾股定理， 故可得PE PF ⊥，则EPF n 为直角三角形，则111222PO EF BD ==<=若要满足题意，只需满足ABCD 在球大圆上时，点P 在球内部即可， 此时球半径最小为282π故答案为：823π. 【点睛】本题考查棱锥外接球问题，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值X给宣纸确定质量等级，如下表所示：公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值X的频率，如下表所示：其中X为改进工艺前质量标准值X的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.【答案】（1）400万元；（2）应该购买，理由见解析【分析】（1）由频率分布直方图求得100张宣纸中各类宣纸的数量，结合每种宣纸的盈亏即可容易求得结果；（2）由频率分布直方图求得X，即可求得各区间的频率分布，据此即可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，有废品100×0.025×4×2=20张，所以该公司一刀宣纸的年利润为40×10+40×5+20×（-10）=400元，所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元;(2) 由频率分布直方图可得4(420.025460.05500.1540.05580.025)50X =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=这种机器生产的宣纸质量指标X 的频率如下表所示：(48,52](44,56]0.68260.9544X频率则一刀宣纸中正牌的张数为100×0.6826=68.26张， 副牌的张数约为100×（0.9544－0.6826）=27.18张，废品的张数约为100×（1－0.9544）=4.56张，估计一刀宣纸的利润为：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×9（－10）=582.02， 因此改进工艺后生产宣纸的利润为582.02－100=482.02元，因为482.02>400，所以该公式应该购买这种设备.【点睛】本题考查由频率分布直方图计算概率以及平均数，涉及由样本估计总体，属综合基础题.18.在△ABC 中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4cos a c B = .（1）求证：sin cos 3sin cos B C C B =；（2）求B C -的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）6π 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+，即可容易求得；（2）根据（1）中所求得到,tanB tanC 之间的关系，再将()tanB C -转化为关于tanC 的函数，利用均值不等式求得函数的最值，则B C -的最值得解.【详解】(1)在ABC ∆中，由4cos a c B =及正弦定理，得sin 4sin cos sin()4sin cos A C B B C C B =⇒+=则4sinBcosC cosBsinC sinCcosB +=，sin cos 3sin cos B C C B ⇒=.（2）由（1）知sin cos 3sin cos tan 3tan B C C B B C =⇒=，2tan tan 2tan 2tan()=11+tan tan 1+3tan+3tan tan B C C B C B C C C C--== 又因为3tanB tanC =，故可得0tanC >，由均值不等式可得2313+3tan tan C C ≤，当且仅当3tan =3C 时等号成立 因此23tan()=123+3tan tan B C C C-=… ， 即B C -的最大值为6π . 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，属综合中档题. 19.四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，//PA 平面BEF .（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60︒，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77-【分析】（1）通过线面平行，推证出点F 的位置，再结合面面垂直，推证出BF⊥平面PAD ，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）以F 点为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面角求得PF 长度，进而再由向量法求得二面角的大小即可.【详解】（1）连AC 交BF 于G ，连EG ，如下图所示：因为//PA 平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面BEFEG =， 所以//PA EG ，又E 为PC 中点，所以G 为AC 中点，由AFG ∆≌BCG ∆， ∴112AF BC AD === ∴F 为AD 中点，∵//BC FD ，且BC FD =，则DCBF 为平行四边形，∵AD DC ⊥∴BF AD ⊥，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， 故BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .即证.（2）连接PF ，∵PA PD =，F 为AD 的中点，∴PFAD ⊥， 又PF⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =， ∴PF ⊥底面ABCD ，又PF AD ⊥，以,,FA FB FC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.设(0,0,),(1,1,0)P t C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =u r ，又(1,1,)PC t =--u u u r，(0,1,0)B ∴1213sin ||632||||2n PC t n PC t π⋅=⇒=⇒=⋅+u r uu u r u r uu u r ∴6)P ，116(,22E - 设平面EBF 的法向量2(,,)n x y z =u u r 所以2200n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即可得11602220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩令21,6,(6,0,1)z x n =∴==u u r设二面角--E BF A 的平面角为θ ∴1212||||7|cos |7||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r ，又θ为钝角 ∴7cos 7θ=- ， 所以二面角E BF A --的余弦值为7. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，由线面角求线段长，以及用向量法求二面角的大小，属综合中档题. 20.已知点(0,1)A ，点B 在y 轴负半轴上，以AB 为边做菱形ABCD ，且菱形ABCD 对角线的交点在x 轴上，设点D 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点(,0)M m ，其中14m <<，作曲线E 的切线，设切点为N ，求AMN V 面积的取值范围.【答案】（1）24(0)xy x =≠；（2）(1,34) 【分析】（1）根据题意，求得菱形中心的坐标，进而由中心为,B D 中点，求得D 点坐标的参数形式，即可消参求得点D 的轨迹方程；（2）利用导数几何意义求得N 点处的切线方程，从而求得M 点坐标，据此求得,m a 之间的关系，再结合1MN AM k k ⋅=-，即可表示出面积，将其转化为关于a 的函数，利用函数单调性求函数值域即可.【详解】（1）设(0,)B t -，菱形ABCD 的中心设为Q 点，且x 在轴上，由题意可得2||||||OQ OA OB =则Q 又Q 为,B D 的中点，因此点)D t ，即点D 的轨迹为x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数且0t ≠） 化为标准方程为24(0)x y x =≠.（2）设点2(,)4a N a ，则点N 的切线方程为2()422a a a y x -=-. 可得(,0)2a M 因此2a m =由14m <<，可得28a << 又2,2MN AM a k k a ==-则1MN AM k k ⋅=- 即MN AM ⊥因此21(4)|||216a a S MN AM +=⋅= 令34y a a =+，则2340y a '=+>，故34y a a =+为单调增函数，故可知当(2,8)a ∈时，S 为关于a 的增函数，又当2a =时，1S =；当8a =时，34S =.因此S 的取值范围是(1,34).【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中三角形面积的范围问题，涉及导数的几何意义，以及利用导数判断函数的单调性，属综合中档题.21.已知函数1()ln , () (0)x f x m x g x x x-==>. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(0,+)∞上的单调性；（2）是否存在正实数m ，使()y f x =与g()y x =的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0m ≤时，()F x 区间()0,+∞上单调递减；当0m >时，()F x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）存在，1m = 【分析】（1）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的单调性；（2）利用导数的几何意义求得()(),f x g x 在任意一点处的切线方程，求得方程组，根据方程有唯一解，利用导数根据函数单调性，即可求得.【详解】(1)22111()()()ln ,()x m mx F x f x g x m x F x x x x x --'=-=-=-=， 当0m …时，()0F x '<，所以，函数()F x 在(0,)+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '<得10x m <<，由()0F x '>得1x m >， 所以，函数()F x 在1(0,)m 上单调递减；函数()F x 在1(,)m +∞上单调递增.(2)函数()=ln f x m x 在点(,ln )a m a 处的切线方程为ln ()m y m a x a a -=-，即ln m y x m a m a=+-； 函数1()x g x x -=在点1(,1)b b-处的切线方程为 211(1)()y x b b b --=-，即2121y x b b =-+ 由()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线，∴21 2ln 1?m a b m a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②，由①得2a m b =代入②消去m ， 整理得22ln 0b b a a a --+= ③则此关于(0)b b >的方程③有唯一解，令22()2ln (1)ln 1g b b b a a a b a a a =--+=--+-，令()ln 1h a a a a =-+-，()ln h a a '=-由()0'>h a 得01a <<；由()0h a '<得1a >所以，函数()h a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则()(1)0h a h =≤，（i ）当()0h a <时，二次函数2()(1)ln 1g b b a a a =--+-在(1,)b ∈+∞上显然有一个零点，(0,1)b ∈时，由方程2ln 1m a m b-=-可得 2(ln 1)0b m a b--=< 而0m >所以ln 10a -<则(0)ln (ln 1)0g a a a a a =-+=-->所以二次函数2()(1)ln 1g b b a a a =--+-在(0,1)b ∈上也有一个零点，不合题意.综上，1m =.所以存在正实数1m =，使()y f x =与()y g x =的图象有唯一一条公切线.【点睛】本题考查利用导数对含参函数单调性进行讨论，利用导数由方程根个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属压轴题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边长的取值范围.【答案】（1）C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2）1515⎡⎢⎣⎦ 【分析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x y y ++=，整理得223412x y +=，也即22143x y +=， 由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，故其参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；又直线的参数方程为235x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故可得其普通方程为280x y +-=.（2）不妨设点P的坐标为()2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=的距离d ==0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]6,4--，故可得55d ⎡∈⎢⎣⎦.则三角形PMN 的边长为3d ，故其范围为⎣⎦. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，() 3g x x =+．（Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围． （Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b +=【分析】 (I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可； (II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤Q 在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-， 又()()32235x x x x ++-≥--+=Q ，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立．5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈Q ，1m ∴=，∴综上所述：1m =，22ab a b ∴--=，221a b a +∴=-00a b >⎧⎨>⎩Q ，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。

2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。

一、单选题二、多选题1.已知平面向量满足，且，若，则向量夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2. 将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）A．B．C．D．3. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O 的体积为（ ）.A．B．C．D．4. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）A ．2B．C．D ．15. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种7. 已知双曲线C：，(,)的右顶点为A ，左焦点为F ，动点B 在C 上，当时，有，则C 的离心率是（ ）A．B．C．D ．28. 《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）A ．140斛B ．142斛C ．144斛D ．146斛9. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）A．数列是等差数列B ．数列是等差数列C．数列是递增数列D ．数列是递增数列10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（）A．圆台的体积为B．圆台的侧面积为C ．圆台母线与底面所成角为D ．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为511.若，，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．吉林省长春市2022届高三质量检测（四模）理科数学试题吉林省长春市2022届高三质量检测（四模）理科数学试题三、填空题四、解答题12. 已知平面向量，则（ ）A．B．C．与的夹角为钝角D．在上的投影向量的模为13. 已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．14.不等式的解集为____________．15.已知定义在上的奇函数，当时，，则使得成立的的取值范围为__________．16. 设数列满足：.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.17.若函数，的角，，的对边分别为，，，且.（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，，求的长.18.已知数列，前n 项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n 项和．19. 2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.分数区间频率0.10.40.2a(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.20. 已知，函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）求函数的最小正周期与单调递增区间.21. 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标，，，，，元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率．。

吉林省长春市文曲星名校2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( ) A ．409 B ．40 C ．16 D ．1632．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）A ．235B ．835C ．635D ．373．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62 5．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．20x ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） A ． B ． C ．D ．7．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人8．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -10．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件11．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13C ．12-D ．12 12．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．平均数约为38.6C ．第40百分位数约为10．已知1sin cos 5θθ+=，A ．3tan 4θ=-B ．D ．11．已知正方体1ABCD A -A ．若点P 为线段11CD B ．若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为C ．异面直线1A D 与1B D D ．若点Q 为体对角线12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为且(1)2g -=，(1)g x -为偶函数，下列结论正确的是（A ．()f x 的周期为4C ．20241()4048k f k ==∑三、填空题13．曲线12y x =在点(4,2)处切线的方程为14．某学校有A ，B 两家餐厅，某同学第去A 餐厅，那么第2天去A四、未知17．在ABC 中，AD 为BC 边上中线，3BD =，AD (1)求ABC 的面积；(2)若107AE AD =，求BEC ∠．18．已知首项为1的数列{}n a ，其前n 项利为n S ，且数列()*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()*14nn n n S c n a a +=∈⋅N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．如图，在三棱锥B ACD -中，AB BC =，DA AC ⊥，M 为BC 的中点．五、解答题22．已知()1()(2)e x f x x ax -=--为R 上的增函数.(1)求a ；(2)证明：若122x x +>，则()()121f x f x +>-.。

吉林省长春市2021届高三数学质量监测（四模）试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|1},{|0},A x x B x x =≤=<则()U C A B =.{||1}A x x .{|1}B x x >.{|101}C x x x <-≤≤或 D.{|101}x x x ≤-<≤或2．在等比数列{}n a 中36,3,6,a a ==则a 9= A 19 B ． 112 C ．9 D ．12 3．设复数(),,,R z x yi x y =+∈下列说法正确的是A ．z 的虚部是yi ；B ．22||z z =C ．若x=0，则复数z 为纯虚数;D ．若z 满足||1z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种5．sin ,sin 28341ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则 A ．29- B ．29 C ．79- D ．796．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛。

在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.9927．已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B . a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．已知直线a 和平面α、β有如下关系：,αβ⊥①②α∥β，③α⊥β，④α∥a ，则下列命题为真的是A ．①③④ B.①④③ C ．③④① D.②③④9．如图，为测量某公园内湖岸边A ，B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得A ，B 的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为()222cos 11.sin sin sin sin A h αβαβαβ-+- ()22\si 2cos 11.s n n in si sin B h αβαββα-++ ()22co 2cos 11c s s os co cos Ch αβαββα-+- ()22co 2cos 1o s 1.cos c s cos D h αβαββα-++ 10．过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则|||AF OF = A ．43 B ．34 C ．4 D ．5411．函数()()sin f x x ϕω=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是② 函数()f x 的图象关于点(43,0)成中心对称： ②函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增：; ③ 圆C 的面积为3136π A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 12．函数()2)(mx mx f x ee x mx m -=++-∈R 的图象在点()()()1111,,(,A xf x B x f x --处两条切线的交点00(,)P x y 一定满足0.0A x = 0.B x m = 0.0C y = 0.D y m =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知双曲线()222210,011x y a b a b-=>><的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ▲ 14．执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3,t ∈-则输出s 的取值范围是 ▲15．已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则△ABC 面积为 ▲16．已知正方体1111A A C B D C B D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C AM N --的余弦值为 ▲ ,若动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面,AMN 则线段1PA 的长度范围是 ▲ .(本小题第一空2分，第二空3分).三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17．(12分)(一)必考题：共60分已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足2n b n a =.(Ⅰ)求证：数列{b n }是等差数列;(Ⅱ)若12432,32,a a a a ==+求数列211log n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n . 18．(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB ∥,90,D A B C D ︒∠=点E 为PB 的中点，且 CD=2AD=2AB=4，点F 在CD 上，且13DF FC =.(Ⅰ)求证：EF ∥平面PAD ；(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面,D ABCD PA P P D PA =⊥且//PD ，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.19．(12分)已知椭圆C:2212x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点. (Ⅰ)求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程(Ⅱ)若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和(Ⅰ)中的圆E 分别相切于点P 和点Q(P ，Q 不重合)，求直线OP 与直线EQ 的斜率之积。

2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.22B.1C.D.23.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（）A.6B.8C.10D.124.命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（）A.2R,230x x x ∃∈-+>B.2R,230x x x ∀∈-+>C.2R,230x x x ∃∈-+≥ D.2R,230x x x ∀∈-+≥5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.326.已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.29-C.29D.797.已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f a f c <<C.()()()f b f c f a << D.()()()f c f b f a <<8.若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.12B.1- C.1D.12+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A.B.C. D.10.已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.21099f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11D A MN -的体积为定值12.已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处的切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12x x +有最大值是1B.()()12f x g x +有最小值是1C.12x x 有最小值是1eD.若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.14.在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbcab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D P PB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最小值.22.已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A 作答.【详解】解不等式2230x x --<，得13x -<<，因此{}3Z{0,1,12}A x x -<<=∈=∣，所以集合A 的子集个数为328=.故选：C2.设()()1i 21i z -=+，则z =（）A.2B.1C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及模长公式求解.【详解】由()()1i 21i z -=+可得()()()21i 1i 21i z -+=+，所以()21i 2i z =+=，故2z =，故选：D3.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（）A.6B.8C.10D.12【答案】A 【解析】【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n 次操作去掉的区间的长度和为123n n -，把n 次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前n 项和，求出前n 项和n S ，再求解不等式910n S ≥即可．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；⋯，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为112[1()]1222331()2393313n n nn n S --=++⋯+==--，由题意知：291()310n-≥，解得： 5.679n ≥，又n 为整数，可得n 的最小值为6，故选：A4.命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（）A.2R,230x x x ∃∈-+>B.2R,230x x x ∀∈-+>C.2R,230x x x ∃∈-+≥D.2R,230x x x ∀∈-+≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得，命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是“2R,230x x x ∀∈-+≥”.故选：D.5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32【答案】B 【解析】【分析】用棱台的体积公式(1213V h S S =+求解，其中h 为高，12,S S 分别为上下底面积.【详解】设正四棱锥为S ABCD -，截取的正四棱锥为1111S A B C D -，1,O O 分别为正四棱台1111A B C D ABCD -上下底面的中心，如图.因为114,2,AB A B ==，所以OA ===，11O A =，由于截面平行于底面得11112SO O A SO OA ===，又13SO =，所以16,3SO OO ==，所以正四棱台上下底面边长分别为2,4，高为3，所以(14163283V =⨯++⨯=，故选：B 6.已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.29-C.29D.79【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.【详解】因为π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22π2πππcos 2cos π2cos 212sin 3336⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎣=⎦x x x x 2179123⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦=-⎝⎭.故选：A.7.已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f a f c <<C.()()()f b f c f a <<D.()()()f c f b f a <<【答案】C 【解析】【分析】先由()1f x '+为奇函数得到()10f '=，再由()f x '的单调性可推得()f x 的单调性，再比较,,,1a b c 的大小即可得解.【详解】因为()1f x '+为奇函数，所以()()11f x f x ''+=--，令0x =，则()()11f f ''=-，故()10f '=，又()f x '在R 上单调递增，所以当1x <时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；因为23a =，45b =，34c =，所以22log 3log 21a =>=，44log 541log b =>=，33log 4log 31c =>=，因为()()()()()()22224ln 2ln 4ln 2ln 4ln 8ln 94ln 3≤+=<=，由于ln 2ln 4≠，故上式等号不成立，则()()()2ln 2ln 4ln 3<，又ln 30,ln 20>>，所以ln 4ln 3ln 3ln 2<，即32log 4log 3<，即c a <，同理可得b c <，所以1b c a <<<，所以()()()f b f c f a <<.故选：C.8.若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.12B.1-C.1D.12+【答案】D 【解析】【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x =+(0)t t =>，则2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12+≤==，当且仅当21m m=⇒=-时取得“=”.所以12a ≥，即实数a 的最小值为212.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】ABC 【解析】【分析】令()22xxg x -=+，先分析函数()g x 的奇偶性，再分情况讨论()kh x x =的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.【详解】令()22xx g x -=+，则()()22xx g x g x --=+=，故()22x x g x -=+为偶函数.当0k =时，函数()22xxf x -=+为偶函数，且其图象过点()0,2，显然四个选项都不满足.当k 为偶数且0k ≠时，易知函数()kh x x =为偶函数，所以函数()()22kxxf x x -=⋅+为偶函数，其图象关于y 轴对称，则选项C ，D 符合；若k 为正偶数，因为()()22kxxf x x -=⋅+，则1()(22)(2ln 22ln 2)k x x k x x f x kx x ---'=++-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为函数()()22kx xf x x -=⋅+为偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，选项C 符合；若k 为负偶数，易知函数()()()12222kxxxx kf x x x ---=⋅+=⋅+的定义域为{}0xx ≠∣，排除选项D .当k 为奇数时，易知函数()kh x x =为奇函数，所以函数()()22kxxf x x -=⋅+为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项A,B 符合，若k 为正奇数，因为()()22kxxf x x -=⋅+，则1()(22)(2ln 22ln 2)k x x k x x f x kx x ---'=++-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为函数()()22kxxf x x -=⋅+为奇函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，选项B 符合；若k 为负奇数，函数()()()12222kxxxx kf x x x ---=⋅+=⋅+的定义域为{}0xx ≠∣，不妨取1k =-，则()22x xf x x-+=，当0x +→时，()f x →+∞；当12x =时，12()122f ==；当1x =时，1(1)22f =；当2x =时，1(2)28f =；当3x =时，17(3)2(2)24f f =>；当x 趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以()f x 趋向于正无穷；所以()0,∞+内()f x 先减后增，故选项A 符合.故选：ABC .10.已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.21099f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出ω，再根据最小正周期公式可判断A ；根据解析式计算可判断B ；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C ，利用余弦函数的图象可判断D.【详解】因为函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以()f x 的最小正周期T 满足π3π(π)222T ≥--=，即π3π2ω≥，所以203ω<≤.因为()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以π2πππ332k ω-+=+，Z k ∈，得132k ω=-，Z k ∈，由120323k ω<=-≤，得11186k -≤<，因为Z k ∈，所以0k =，12ω=.所以12π()cos()23f x x =+.对于A ，()f x 的最小正周期为2π4π12T ==，故A 正确；对于B ，2π(9f =12π2πcos(293⨯+7π2πcos cos 99==-，10π110π2π(cos()9293f =⨯+11π2πcos cos 99==-，所以21099f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；对于C ，将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为14π2π()cos[()]233g x x =-+1cos 2x =为偶函数，故C 正确；对于D ，5()4y f x =+12π5cos(423x =++，令0y =，得12π4cos()235x +=-，令12π23t x =+，由0πx ≤≤，得2π7π36t ≤≤，作出函数cos y t =2π7π36t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线45y =-的图象如图：由图可知，函数cos y t =2π7π36t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线45y =-的图象有且只有一个交点，所以函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点，故D 正确.故选：ACD11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11D A MN -的体积为定值【答案】ACD 【解析】【分析】当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，证AC MM N '⊥平面判断A ；根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法判断B ；通过线线平行和线面平行的性质，作出平面1A MN 与正方体各个面的交线判断C ；利用等体积法计算判断D.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别在棱11,B C CD 上，对于A ，如图，当N 为CD 的中点时，过M 作1//MM BB '交BC 于M '，显然M '为BC 的中点，MM '⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，则有MM AC '⊥，又M N AC ¢^，M N '与MM '相交于M '，因此AC ⊥平面MM N '，又MN ⊂平面MM N '，所以MN AC ⊥，A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是与11111,,A A A B A D 平行的棱，而11111,,A A A B A D 与平面1A MN 都相交于1A ，因此在正方体中不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；对于C ，如图，取BC 中点M '，连接AM '，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，有1//EN A M ，即EN 为过1,,A M N 三点的平面与平面ABCD 的交线；连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，有11//A E B F ，再过点M 作1B F 的平行线交1CC 于点G ，此时113CG CC =，且1//A E MG ，即MG 为过1,,A M N 三点的平面与平面11BCC B 的交线；连接NG ，则五边形1A MGNE 即为正方体中过1,,A M N 三点的截面，C 正确；对于D ，M ，N 在棱11,B C CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，因此1111114222323D A MN N A MD V V --==⨯⨯⨯⨯=恒为定值，D 正确.故选：ACD12.已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处的切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12x x +有最大值是1B.()()12f x g x +有最小值是1C.12x x 有最小值是1eD.若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--【答案】BD 【解析】【分析】根据导数值相等可得121e x x =，进而分别构造函数()1e x m x x =+()=e x n x x -()e ,xq x x =(),e xx p x =即可利用导数求解函数的最值求解.【详解】()1e ,()xf xg x x ''==，所以()11221e ()x f x g x x ''===，故121e x x =，进而121e xx =对于A ，11211ex x x x +=+，令()()11e 1,e e 1ex x x xm x x m x =+=-∴=-，故当()0,0,()x m x m x '>>单调递增，当()0,0,()x m x m x '<<单调递减，故()()01m x m ≥=，因此12x x +有最小值为1，A 错误，对于B ，()()11111221e ln e lne exxx x f x g x x x +=+=+=-，令()()=e ,e 1xx n x x n x '-∴=-，故当0,()0,()x n x n x '>>单调递增，当0,()0,()x n x n x '<<单调递减，所以()(0)1n x n ≥=，故()()12f x g x +的最小值为1，B 正确，对于C ，1112e x x x x =，令1(),()e ex xx xp x p x -'=∴=，故当1,()0,()x p x p x '><单调递减，当1,()0,()x p x p x '<>单调递增，所以1()(1)ep x p ≤=，故12x x 有最大值是1e，C 错误，对于D ，11221211211e ex x x x x x x x +=+，令()()()e ,1e x x q x x q x x '=∴=+，当01,()0,()x q x q x '>>->单调递增，当1,()0,()x q x q x '<-<单调递减，所以1()(1)eq x q ≥-=-，故()1,0e q x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭由于函数11,,0ey t t t ⎡⎫=+∈-⎪⎢⎣⎭单调递减，所以当max 111,e,eet y t t ⎛⎫=-=+=-- ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：BD【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.【答案】45-##0.8-【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.【详解】由题可知，r OP ==,所以525sin ,55θθ===-所以4sin 22sin cos ,5θθθ==-故答案为:45-.14.在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.【答案】6【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律求解.【详解】如图，若P 是ABC 的外心，过P 作,PS AB PT AC ⊥⊥,垂足分别为,S T ，则,S T 分别为,AB AC 中点，所以1,2AS AT ==,所以()·AP BC AP AC AB AP AC AP AB⋅=-=⋅-⋅ 24126AT AC AS AB =⋅-⋅=⨯-⨯=，故答案为:6.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.【答案】1872【解析】【分析】分别求出两数列的通项公式，求得满足公共项的特征，可知公共项组成的数列是首项为2，公差为12的等差数列，且项数为18项，即可求出各项之和等于1872.【详解】根据题意可知，令数列2，6，10，…，210为{}n a ，易知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，即()*24142,N ,153n a n n n n =+-=-∈≤≤；令数列2，8，14，…，212为{}n b ，易知数列{}n b 是首项为2，公差为6的等差数列，即()*26164,N ,136n b n n n n =+-=-∈≤≤；这两个等差数列的公共项需满足12124264n n a n b n =-==-，可得12426n n +=，易知当21n =时，11n =；当22n =时，*15N 2n =∉；当23n =时，14n =；当24n =时，*111N 2n =∉；当25n =时，17n =……即可得21,3,5,,35n =⋅⋅⋅⋅时为两数列的公共项，设公共项为数列{}n c ，易知1232,14,c c b ===⋅⋅⋅所以{}n c 是以12c =为首项，公差为12的等差数列，且项数为18项，即()21211210,118n c n n n =+-=-≤≤；可得数列{}n c 的各项之和等于()121818212181018722c c c ⨯+⨯-++⋅⋅⋅+==.故答案为：187216.正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.【答案】3-【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用球心到A ，B ，C ，P 的距离等于半径，将半径表示为只含有一个变量的函数，利用导数找到最小值，将三棱锥特殊化，再分别求角即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，记ABC 中心为Q，则(0,0,0)Q，A ，33(,22C --，33(,22B -,(0,0,)P m 设球心为(,,)a b c ，半径为R ，则(()222222222222222233223322a b c R a b c R a b c R a b c m R ⎧++=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪++++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎛⎫⎪-+++= ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎪++-=⎪⎩，解得0a =，0b =，c =，232m R m+=，该球的表面积最小，∴该球半径最小，构建()()2302m f m m m+=>，则223()2-'=m f m m ，令()0f m '<，∈m ，令()0f m '>，)∈+∞m ，故()f m在单调递减，在)+∞单调递增，当m =时，半径最小，此时P易知面ABC 法向量(0,0,1)n =，(0,= AP ，故·sin 2·AP n AP nα== ，且π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π4α=，故tan 1α=，而3(,22AB =-，设面ABP 法向量(,,)m x y z = ，则333·022·0m AB x y mAP ⎧=-=⎪⎨⎪=+=⎩，令x =可得m = ，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故·5cos 5n m n m β== ，所以sin 5β=，tan 2β=，故()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==--故答案为：3-.【点睛】本题解题关键是先利用球的表面积最小得到P 的坐标，然后再利用向量法求得线面角，面面角，结合和角公式可得答案.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .【答案】（1）*21,N n a n n =-∈（2）211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等差数列定义利用等比中项即可求得11a =，求得*21,N n a n n =-∈；（2）利用错位相减法求和即可求得数列{}2na n ⋅的前n 项和211122339n nTn +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，由124,,S S S 成等比数列可得()()211112462a a a a ++=+⨯，解得11a =,所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差为2的等差数列；即()12121n a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式为*21,N n a n n =-∈【小问2详解】由（1）可得2122n a n n n -⋅=⋅，所以前n 项和135211232222n n T n -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+，()35721214211232222n n n n n T -+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅=⋅+-⋅；两式相减可得()213572121212121422222222232143n nn n n n n n n T n +-+++--+++⋅⋅⋅+-⋅=--⋅-⋅-=+=；可得211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbcab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .【答案】（1）2π3（2）71938【解析】【分析】1.先利用三角形的内角和及诱导公式，把()cos B C +转化为cos A -，然后两边同乘以abc ，转化为：2cos cos cos a A c B b C -=+，再由正弦定理把边化成角，得：()2sin cos sin cos cos sin sin sin A A C B C B B C A -=+=+=，进一步得：1cos 2A =-，可得角A .2.可以采用向量的方法，表示AD，根据AB AD ⊥，转化为向量的数量积为0，得到边的关系；在再ABC 中，用余弦定理求解.【小问1详解】∵πB C A +=-⇒()cos cos B C A +=-，所以：2cos cos cos A B Cbc ab ac-=+，两边同乘以abc 得：2cos cos cos a A c B b C -=+.由正弦定理得：()2sin cos sin cos cos sin sin sin A A C B C B B C A -=+=+=.∵sin 0A ≠，所以1cos 2A =-.所以2π3A =.【小问2详解】取AB 、AC为平面向量的基底.因为D 在BC 边上，且3BD DC =，所以1344AD AB AC =+ .因为DA BA ⊥，所以·0AD AB = ⇒13·044AB AC AB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒23·0AB AC AB +=，所以232c bc =⇒23c b =.不妨设2b =，3c =.在ABC 中，由余弦定理：2222π2cos496193a b c bc =+-=++=，所以a =.由余弦定理：222719cos 238a b c C ab +-===.故cos 38C =.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D P PB的值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）通过证明AD ⊥平面11DCC D ，可证1AD D C ⊥；（2）建立空间直角坐标系，设()1101D P D B λλ=≤≤ ，由二面角P CD B --的大小为π4，利用平面法向量求出λ，可求1D PPB.【小问1详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，则侧面11ADD A 都是矩形，有AD DC ⊥，1AD DD ⊥，1DC DD D ⋂=，1,DC DD ⊂平面11DCC D ，AD ⊥平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ，1AD D C⊥【小问2详解】11D D D C ==，22AB BC ==.,E F 分别为,AB DC 的中点，连接1ED ，EF//EF AD ，AD ⊥平面11DCC D ，EF ⊥平面11DCC D ，11D D D C =，以E 为原点，1,,EF EC ED 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，11D D D C ==，22AB BC ==，则12ED =.则()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,2,1,1,0C D D B -，设()1101D P D B λλ=≤≤ ，即()11,1,2D P λ=-，可得(),,22P λλλ-，()0,2,0DC = ，(),1,22CP λλλ=-- ，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =r，则有()()201220n DC y n CP x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+-=⎪⎩ ，令z λ=，则22,0x y λ=-=，得()22,0,n λλ=-r ，又平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =，二面角P CD B --的大小为π4，则有πcos cos42n m n m n m ⋅⋅====⋅ ，解得23λ=，1123D P D B = ，则113PB D B = ，有1D PPB的值为2.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（1）23p =．（2）ξ246P592081168126681E ξ=．【解析】【分析】（1）分析题意，甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．列方程求出p ；（2）依题意知，分析出ξ的所有可能值为2，4，6．分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有225(1)9p p +-=．解得23p =或13p =．12p >，23p ∴=．（2）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=．∴随机变量ξ的分布列为：ξ246P5920811681则52016266246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯=【点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.21.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最小值.【答案】（1）2214x y -=（2【解析】【分析】（1）根据焦点坐标可得c =，再由渐近线方程可知12b a =，即可求得E 的方程为2214x y -=；（2）利用双曲线的对称性可知，将12,F M F N 延长分别交双曲线与点11,M N ，即可得1211F F NM M N N S S =V ，设出直线1N N的方程为x my =+并于双曲线联立，求得弦长()212414m NN m +=-，再由点到直线距离公式可得1124M N NS m=-V ，利用换元法和函数单调性可知当0m =时，四边形12F F NM 的面积取最小【小问1详解】根据意义可得c =，即225a b +=，又渐近线方程为by x a =±可得12b a =，解得224,1a b ==，即双曲线E 的方程为2214x y -=；【小问2详解】根据题意延长12,F M F N 分别交双曲线与点11,M N ，连接111,M N M N，如下图所示：由12//F M F N 以及双曲线的对称性可知四边形11M N NM 为平行四边形，四边形12F F NM 的面积即为平行四边形11M N NM 的一半，即1211F F NM M N N S S =V ，易知直线1N N过右焦点)2F ，可设直线1N N的方程为x my =+，()()11122,,,N x y N x y联立直线和双曲线方程2214x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()22410m y -++=；显然()()22220441610m m m ∆=--=+>，且121222251,44y y y y m m +==--，易知12,y y 异号，即122104y y m =<-，可得24m <；由弦长公式可得()212414m NN m +===-，由平行可知1M 到直线1NN 的距离与()1F 到直线1NN 的距离相等，即为d =，所以()1211212241114224514F F NM M N NS m S NN d m m =+=⋅⨯==--V，t ⎡=∈⎣，则225455554441m tm t t==---，易知函数5y t t=-在t ⎡∈⎣上单调递减，所以max 5141y =-=，此时0m =；因此面积最小值为()11min4M N N S ==V ，即12,F M F N 都与x 轴垂直时，四边形12F FNM .【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线平行以及双曲线的对称性，将四边形面积转化为三角形面积，再利用弦长公式以及点到直线距离公式求出面积表达式，根据函数单调性求出面积最小值.22.已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与单调性、最值的关系证明；（2）利用导数与单调性的关系求解；（3）利用导数与单调性、最值的关系，证明不等式恒成立.【小问1详解】1,0a x =>时，()2sin f x x =，要证()2f x x <，即证()20f x x -<，即sin 0x x -<，设()sin ,(0),()cos 10g x x x x g x x '=->=-≤恒成立，所以()sin g x x x =-在()0,∞+单调递减，所以()sin (0)0g x x x g =-<=，即sin 0x x -<在()0,∞+恒成立，命题得证；【小问2详解】当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，所以()22cos 2cos 24cos 2cos 22(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=-+，因为cos 10x +≥，在()2(2cos 1)(cos 1)f x x x '=-+的一个周期范围π5π,33⎡⎤-⎢⎣⎦内，ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ¢>；π5π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤；所以()f x 在ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎡⎫∈-++∈⎪⎢⎣⎭单调递增，在π5π2π,2π,Z 33x k k k ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭单调递减.【小问3详解】要证：()()e 2e axax f x +->，即证：()e 2e sin sin axax a x ax +->+，即证：()e e sin sin 0axa x a x x ax ax -+-+->，因为0,0x a >>，所以0ax >，由（1）可知，sin 0x x -<在()0,∞+恒成立，所以()sin 0,sin 0a x x ax ax ->->，令()e e ax h x a x =-，()e e ax h x a a '=-，令()e e=0ax h x a a '=-，解得1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以函数()e e ax h x a x =-在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以1()e e ()0axh x a x h a=-≥=，所以()e e sin sin 0axa x a x x ax ax -+-+->恒成立，原命题得证.。

吉林省长春市（新版）2024高考数学人教版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则（ ）A．B．C．D．第(2)题已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）A．B．C．D．第(3)题在△ABC 中，已知，，，D 为垂足，，则（ ）A．B．C．D．第(4)题已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．第(5)题某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）参考数据：，A ．455B ．1359C ．3346D ．1045第(6)题已知F 为双曲线的左焦点，过点F 的直线与圆于A ，B 两点（A 在F ，B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．第(7)题椭圆的上顶点为是的一个焦点，点在上，若，则的离心率为（ ）A．B．C．D．第(8)题在如图所示的程序框图中，若输入的a ，b ，c 分别为，，，执行该程序框图，输出的结果用原来数据表示为（）A．b，a，c B．a，b，c C．c，b，a D．c，a，b二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的方程为B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为第(2)题下列命题中，正确的有（）A．最小值是4B．“”是的充分不必要条件C．若，则D ．若a，，且，则的最小值为9第(3)题已知函数，若存在三个实数，使得，则（）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)第(2)题定义在上的奇函数，，且当时，（为常数），则的值为__________.第(3)题设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．第(2)题设是等差数列，是等比数列.已知，，.(1)求和的通项公式；(2)数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.第(3)题设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值.第(4)题选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点、的极坐标分别为、，曲线的参数方程为为参数）．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线和曲线C只有一个交点，求的值．第(5)题已知函数．(1)解不等式；(2)若恒成立，求实数的取值范围．。

吉林省长春市普通高中2024年高三第五次月检测试题数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A ．4B ．4C D ．52．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A ．2B C ．52D ．54．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.155．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1BCD ．06．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．2238．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π9．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数；③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭12．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2022届高三上学期质量监测（一）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}240A x x x =-<，{}3log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．()3,4B ．()1,3C ．()0,4D ．()0,∞+2．在复平面内，复数1i2i-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列关于函数()2sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法中，正确的是（ ）A ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数 B ．其图象关于直线2x π=对称C ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增4．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y =5．241()x x-展开式中，1x -的系数是（ ）A ．2B ．4-C ．6D ．8-6．已知5log 2a =，3log 2b =，138c -=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．若函数2()ln 1f x x x a =++-在区间(1,)e 内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(,0)e - B ．2(,1)e -C ．(1,)eD ．2(1,)e8．给出下列命题：①若ABC 的三条边所在直线分别交平面α于,,P Q R 三点，则,,P Q R 三点共线； ②若直线,a b 是异面直线，直线,b c 是异面直线，则直线,a c 是异面直线； ③若三条直线,,a b c 两两平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线,,a b c ，若a c ⊥，b c ⊥，则//a b . 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④9．已知1sin()33παα-=，则sin(2)6πα+=（ ）A ．23B ．29C ．19-D ．79-10．已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ）A ．2B C ．D ．411．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()20.9372,0.0139x N . 若生产状态正常，有如下命题：甲：(0.9)0.5P x ≤<；乙：x 的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等； 丙：(0.9)(0.9744)P x P x <=>；丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于2μσ+的数量，则(1)0.6P ξ≥>. （参考数据：若2~(,)x N μσ (0)σ>，则()0.6827P x μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P x μσμσ-<≤+≈， (33)0.9973P x μσμσ-<≤+≈；500.980.364≈）其中假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）①(8)()f x f x -=； ②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=； ④(2)(2)f x f x +=- A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题13．已知a →与b →的夹角为3π，||3a →=，||1b →=，则|2|a b →→+=__________. 14．若无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，且满足15144a a =，2430a a +=，则公比q =________.15．某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为40cm ，则石凳所对应几何体的表面积为________2cm .16．在气象台正西方向300km 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h ，距台风中心250km 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________ 1.4≈，2.6≈）.17．水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望()E ξ.三、解答题18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*11n n n a S S n N++=-∈，11a=.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设2nn nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，△PAD 是正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是PD 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求二面角A PB C --的正弦值.20．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =-++∈. （1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上，且满足1||4PF =，1212||||20PF PF PF PF -⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点(2,0)且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠. 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,M N 两点，点(2,1)P ，求||||PM PN +的值. 23．已知函数()|2|||f x x x a =-+-.（1）当3a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）若[1,2]x ∀∈，()|4|f x x -，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出结论. 【详解】因为{}{}24004A x x x x x =-<=<<，{}{}3log 13B x x x x =>=>，因此，{}34A B x x ⋂=<<. 故选：A. 2．C 【分析】根据复数除法运算化简可得. 【详解】()21i i 1i 11i 2i 2i 22--==--，∴对应点1122，⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 故选：C. 3．C 【分析】根据三角函数的性质分别判断即可. 【详解】对A ，2sin 2sin 2cos 4442f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，故A 错误；对B ，()2sin 2224f πππ⎛⎫=-± ⎪⎝⎭，故其图象不关于直线2x π=对称，故B 错误；对C ，由()2sin()4f x x π=-知，()04f π=，C 正确；对D ，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性可得D 错误.故选：C. 4．A 【分析】利用222c a b =+，转化c a【详解】由c a ==可解的2ba=， 故双曲线的渐近线方程为2y x =±， 故选：A. 5．B 【分析】写出展开式的通项公式8314(1)k k kk T C x -+=-，令831k -=-，即得解【详解】241()x x-展开式的通项为8283144(1)(1)k k k k k k kk T C x x C x ---+=-=-，令831,3k k -=-=，故4(1)4k kC -=-，故选：B. 6．B 【分析】先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案. 【详解】 解：21log 5a =，21log 3b =，2112log 4c ==，根据对数函数的单调性故a c b <<.故选：B. 7．A 【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得(1)0,()0f f e <>，求解可得答案. 【详解】 解：2()ln 1f x x x a =++-'1()20f x x x∴=+>在区间(1,)e 上恒成立 ()f x ∴在(1,)e 上单调递增又函数2()ln 1f x x x a =++-有唯一的零点在区间(1,)e 内 (1)0,()0f f e ∴<>即2ln1110ln 10a e e a ++-<⎧⎨++->⎩ 解得20e a -<< 故选：A 8．B 【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，若ABC 的三条边所在直线分别交平面α于,,P Q R 三点，可得,,P Q R α⊂且,,P Q R ⊂平面ABC ，所以,,P Q R 三点必在两平面的交线上， 所以,,P Q R 三点共线，所以①正确；对于②中，若直线,a b 是异面直线，直线,b c 是异面直线，则直线,a c 可能相交，平行或异面直线，所以②错误；对于③中，若三条直线,,a b c 两两平行且分别交直线l 于,,A B C 三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确；对于④中，例如：若,,a b c 是过长方体一顶点的三条棱，则满足若a c ⊥，b c ⊥，此时a 与b 相交，所以④错误.其中所有真命题的序号是①③. 故选：B. 9．D 【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简1sin()33παα-=，再利用诱导公式、二倍角公式求解sin(2)6πα+即可.【详解】1sin()33παα-=1sin cos cos sin 333ππααα∴-=11sin 23ααα∴=11sin 23αα∴=1cos()63πα∴-=2217sin(2)sin 2()=cos 2()2cos ()1216626639πππππαααα⎡⎤⎛⎫∴+=-+-=--=⨯-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭故选：D. 10．D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得420340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==， 因此，014MF x =+=. 故选：D. 11．B 【分析】根据(0.9)(0.9372)0.5P x P x ≤<<=可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间(0.93,0.9439)可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于2μσ+的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案. 【详解】 由()20.9372,0.0139xN 知，0.9372μ=，0.0139σ=，对于甲：由正态分布曲线可得：(0.9)(0.9372)0.5P x P x ≤<<=，故甲为真命题； 对于乙：0.94390.930.0139-=，0.95110.93720.0139-=两个区间长度均为1个σ，但0.93μ>，由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在(0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题；对于丙：由0.90.97440.93722+=知，丙正确； 对于丁：1只口罩的的过滤率大于2μσ+的概率10.95450.022752p -≈=，(50,)B p ξ，所以5050(1)1(0)1(1)1(10.02)P P p ξξ≥=-==-->--，50501(10.02)10.9810.3640.6360.6--=-≈-=>，故丁是真命题.故选：B. 12．B 【分析】由(1)f x +是奇函数得到()f x 的图象关于点(1,0)对称，可判定②正确；由(21)f x -是偶函数，得到()f x 的图象关于1x =-对称，可判定③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，分别将x 用7x -替换，将x 用5x -替换，再将x 用4x +替换，可判定①正确.【详解】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称， 所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确； 令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称，所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+，令2x =， 则(3)(1)0f f -==，所以③正确.在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-， 在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--， 所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-， 所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等. 故选：B.13【分析】首先运算出a →与b →的数量积，然后对|2|a b →→+进行平方再开方变形，即可求解.【详解】∵a →与b →的夹角为3π，||3a →=，||1b →=， ∴3||||cos 32a b a b π→→→→==，∴|2|a b →→+==14．2 【分析】根据等比数列的性质可得2415144a a a a ==，结合已知条件，以及{}n a 的各项均大于1，即可得2a 和4a 的值，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以2415144a a a a ==， 又因为2430a a +=，解得：24624a a =⎧⎨=⎩或24246a a =⎧⎨=⎩，由无穷等比数列{}n a 的各项均大于1可知1q ≥，所以24624a a =⎧⎨=⎩，因为242a a q =⋅，即2246q =，解得：2q.故答案为：2. 15．4800+【分析】由题意，石凳的表面是由6个边长为8个边长为即得解 【详解】由题意知，表面积为22216+84800)2⨯⨯=+.故答案为：4800+16．2【分析】设气象台为O ，台风中心为A ，t 小时后中心移至B 处气象台所在地开始受到影响，则45BAO ∠=︒，在△OAB 中应用余弦定理列方程求t 即可.【详解】设气象台所在地为O ，台风中心为A ，约t 小时后气象台所在地将受到影响， t 小时后中心移动至B 处，45BAO ∠=︒，在△OAB 中，40,300,250AB t OA OB ===，由余弦定理，222250(40)300230040t t =+-⨯⨯，整理得2162750t -+=，解得12t t ==，依题意，保留12t =≈，故约2小时后影响气象台所在地. 故答案为：2.17．（1）1928； （2）ξ的分布列如下：9()5E ξ=. 【分析】 （1）、所有基本事件28C 种,2人来自不同场馆的概率等于1减去2人来自同一场馆的概率，2人来自同一场馆即分为2人都来自国家体育馆或2人都来自五棵松体育馆;（2）、计算满足情况的所有基本情况数，ξ的所有可能取值为1,2,3.分别计算=1ξ，=2ξ，=3ξ对应的概率，然后列出分布列，最后计算数学期望()E ξ. 【详解】（1）、设A =“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件28C 种情况. 若2人都来自国家体育馆有23C 种情况，若2人都来自五棵松体育馆有24C 种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率22342819()128C C P A C +=-=. （2）由题意ξ的所有可能取值为1,2,3.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有：111121231341434440C C C +C C C C C =++种.当1ξ=时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共11113412C C C =种，此111134123(1)=404010C C C P ξ===；当2ξ=时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共12121434C C C C +=24种，12121434243(2)=40540P C C C C ξ+===,当3ξ=时，3人都来自于五棵松体育馆，共344=C 种. 3441(3)404010C P ξ====ξ的分布列如下：9()10.320.630.11.85E ==ξ=⨯+⨯+⨯.18．（1）证明见解析；（2）()1212n n T n +=+-⋅.【分析】 （1）推导出1111n nS S +-=，利用等差数列的定义可证得结论成立； （2）求得2nn b n =⋅，利用错位相减法可求得n T .【详解】 （1）111n n n n n S S a S S +++-==-，110S =≠，则0n S ≠，所以111n nn n S S S S ++--=，有1111n nS S +-=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知1nn S =，故2n n b n =⋅，212222n n T n =⋅+⋅++⋅，①①2⨯，得()21212122n n n T n n +=⋅++-⋅+⋅，②①-②得，()()2311121222222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-+-⋅-，所以()1212n n T n +=+-⋅.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得CD ⊥平面PAD ，进而可得CD AM ⊥，由等边三角形的性质可得AM PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面PAB 和平面PCB 的法向量，由空间向量夹角公式即可得二面角平面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可得正弦值. 【详解】（1）因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂面PAD ，所以CD AM ⊥， 又因为PAD △是正三角形，M 是PD 的中点， 所以AM PD ⊥，所以AM ⊥平面PCD . 因为PD CD D ⋂=，所以AM ⊥平面PCD ；（2）过A 在平面PAD 内作AD 的垂线l ，知l 与AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，l 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AB a ， 有(),0,0B a，0,2a P ⎛ ⎝⎭，(),,0C a a ，(),0,0AB a =，0,2a AP ⎛= ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为111(,,)n x y z =，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111002ax a y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，1y =10x =， 所以(0,3,1)n =-；设平面PCB 的法向量为222(,,)m x y z =，()0,,0CB a =-，,2a CP a ⎛=-- ⎝⎭， 则00m CB m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222202ay a ax y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 所以20y =，令22z =，可得2x ， 所以(3,0,2)m =；设二面角A PB C --的平面角为α，2cos ,2m n m n m n⋅===⨯⋅，所以cos cos ,m n α==，所以sinα=， 所以二面角A PB C --的正弦值为7. 20．（1）单调递增区间是(0,1),(3,)∞+，单调递减区间是(1,3)；（2）2a ≤-. 【分析】（1）先求导，令(3)0f '=，检验即得解；代入6a =，分别令()0f x '>，()0f x '<得到单增区间和单减区间；（2）转化()1f x ≥为min ()1f x ≥，分0a ≤，0a >两种情况讨论即可 【详解】（1）(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x--'=-++=>， 2(3)40,63af a '=-==，经检验符合条件 2(3)(1)()x x f x x--'=，令()0f x '>，有01x <<或3x >，令()0f x '<，有13x <<， 所以()f x 的单调递增区间是(0,1),(3,)∞+，单调递减区间是(1,3). （2）由题意min ()1()1f x f x ≥⇔≥当0a ≤时，令()0f x '>，有1x >，令()0f x '<，有01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1f x f a ==--11a ∴--≥，即2a ≤-当0a >时，(1)10f a =--<不成立. 综上，2a ≤-.21．（1）2211612x y +=；（2）存在，(8,0)Q . 【分析】（1）由题设条件可得1212121cos 2||||PF PF F PF PF PF ⋅∠==，即1260F PF ∠=︒，结合余弦定理以及21||24,2c PF a a =-=，可得解,,a b c ； （2）转化MQO NQO ∠=∠为0MQ NQ k k +=，用点坐标表示斜率可得 12121212122(2)()0()()MQ NQ y y ty y m y y k k x m x m ty m ty m +-++=+==----，将直线和椭圆联立，结合韦达定理即得解. 【详解】（1）由1212121cos 2||||PF PF F PF PF PF ⋅∠==知1260F PF ∠=︒，在△12F PF 中，21||24,2c PF a a =-=， 22416(24)4(24)c a a =+---，解得24,2,12a c b ===，所以椭圆22:11612x y C +=；（2）假设存在点(,0)Q m 满足条件，设直线l 方程为2x ty =+，设1122(,),(,)M x y N x y 22211612x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 有22(3+4)12360t y ty +-=，1212221236,3+43+4t y y y y t t --∴+==， 221212121212127212(2)2(2)()3+43+40()()(6)(6)MQ NQt m ty y ty y m y y t t k k x m x m ty m ty m ty ty ---+-++=+===------. 因为MQO NQO ∠=∠，所以0MQ NQ k k +=，即7212(2)0t m t ---=， 解得8m =.所以存在(8,0)Q ，使得MQO NQO ∠=∠.22．（1）22:1,:1043x y C l x y +=--=；（2. 【分析】（1）根据同角的平方关系消参可得曲线C 的普通方程；根据cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 直角坐标方程；（2）由题得直线的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用参数方程参数的几何意义求解. 【详解】解：（1）由题得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨=，平方相加即得曲线C 的普通方程为22143x y +=，因为cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 1ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=．（2）由题得点P 在直线10x y --=上，直线的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入椭圆的方程得2780t ++=，所以121287t t t t +=⋅=.所以1212||||()PM PN t t t t +=--=-+=23．（1）{|0x x <或5}x >；（2）1a ≤-或4a ≥. 【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；（2）不等式等价于[1,2]x ∀∈，2a x +≥或2a x ≤-，即可求解. 【详解】（1）52,2()1,2325,3x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，()5f x >等价于5252x x ->⎧⎨≤⎩或2553x x ->⎧⎨≥⎩， 解得0x <或5x >，所以不等式解集为{|0x x <或5}x >； （2）[1,2]x ∀∈，()|4|f x x ≥-等价于2||4x x a x -+-≥-， 等价于[1,2]x ∀∈，||2x a -≥，即[1,2]x ∀∈，2a x +≥或2a x ≤-， 从而1a ≤-或4a ≥.。

长春市202X 届高三质量监测(三)理科数学本试卷共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

考前须知：I.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘2. 选赤题，荡1扁用2B 铅楚鬲涂：非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合 A = {XE Z| 亍 W4}, B = {X \-4<X <2}9 那么 A(}B =A. {x|-2Wxv2}B. {x|T<x 〈2}C. {-2,-1,0.1,2}D. {-2,-1,0,1}2. Ll 知复数z = (〃 + i)(l-2i) (“cR )的实部为3,其中i 为虚数单位，那么复数z 的虚部为A. -1 3.己知向星。

=(1,一2),力=(3, - 3), c = (lj)，假设向量。

与向量b , c 共线，那么实数，=4.己知函数/(x) = cos ；-J5sin ；的图象为C,为了得到关于原点对称的图象，只要 把C 上所有的点5.函数f(x) = 的图象大致为C. D.A.向左平移:个单位 C,向右平移：个单位B.向左平移一厂个单位 D.向右平移号个单位6. 7. 在（X+A-）5的展开式中，一定含有JTA.常数项B.X 项C. X"1项 己知直线〃7,〃和平面a ，D ，y ,有如下四个命题：① 假设 m la . mH §,那么 a ±/7 ；② 假设 m ±a. mH n .③ 假设n La . 〃 J/?,④ 假设〃】-L a , m ± n , 其中真命题的个数是A. 1B.2〃u/?，那么al/?；mla 9 那么m±flz那么nil a.C.3D.48. 9. 10. 风雨桥是佃族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亨组成，其塔俯视图通常是正 方形、正六边形利正八边形.右下列图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，假设Bq =以月=任用=坎/^ = 0.5〃?，4A = 8〃?，那么 /X /\这五层正六边形的周K 总和为——A. 35mB. 45mC. 210mD. 270mA.己知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆C ： r + y 2-2x = o 的公共弦所在直线的方程为 x->/3y = 0， A. /+（,、/5）2 =2 C.工2+（）,一后）2=3某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如下表），下右图始将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高 条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中 错误的选项是那么圆£的方程为 B ・，/+(y + x/5)2=2 D ・ x 2+(y + V3)2=3段笫一学段 （1-3年坂） 第二学段 （4 6年欲） 第三学段 （7-9年级）合计 致勺代敷 21 28 49 98 图形凡何 18 25 87 130统计级率 3 8 11 22综合实践 3 4 3 10 合计45 65 150260第一学段第二学段第三学段匚■好凡何 匚二♦计（=□»*** A. 除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条H 数都随着学段的升高而增加，尤其 “图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与儿何”条目数最多，占50%,综合与实践 最少，约占4%.C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随假设学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图 形与几何”条目数 ，百分比都随学段的增长而增长.II.己知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和S 〃满足4S,；2q,,设如=（-1）"・时职,7；为数列｛勿｝的前〃项和，那么乌=A. 110B. 220C. 440D. 88012 •设椭圆的左右焦点为％，&，焦距为2c,过点A ；的直线与椭圆C 交于点P,Q,假设（长舂三切\PF 21= 2c,且那么椭圆C 的离心率为1 3 5 A. —B. —C.—247二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.一名信息员维护甲、乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3.那么至少有一个公司不需要维护的概率为 __________ ・等差数列中，％=1,公差dc[l,2],旦《+如+弓5=15,那么实数人的最大 值为 .假设玉，冯是函数/（x ） = x 2-7x+4lnx 的两个极值点，那么x ｝x 2 =___________ , /（^） + /（^2）= _____________ ・（此题第一空2分，第二空3分）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，48 = 2,侧面△ PAD^等边三角形，线段BC 的中点为E,假设 PE = 1.那么所需球体原材料的最小体积为 ______________ ・ 三、 解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （-）必考题：共60分.17. （12 分）笔、墨、纸、砚足中国独有的文书工具，即“文房四宝” O 笔、墨、纸、砚之名， 起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始丁•唐代，产于泾县”，而唐代 泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品），某公司年产宣纸10（）00刀（每刀100张），公司按照某种质量标 准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：X (48,521(44,482(5256](0,44|U(56J(X)|质房等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀 （l （X ）张）进行检验，得到频率分布直方图如 图所示，己知每张正牌纸的利润是10元，副 牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（I ） 估计该公司生产宣纸的年利润（单 位：万元）：（II ） 该公司预备购置一种售价为100万 元的机器改良生产工艺，这种机器的使用寿命7D.二 313. 14. 15. 16.是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值A•的频率，如下表所示：(x-2,x + 2]其中三为改良工艺前质量标准值A•的平均值，改良工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都卜降2元，请判断该公司是否应该购置这种机器，并说明理由.18. (12 分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。

一、单选题二、多选题1. 已知集合，，若，则（ ）A．B．C．D．2.设集合则=A．B．C．D．3. 如图所示，设正方体的棱长为，点是棱上一点，且，过，，的平面交平面于，在直线上，则（）A．B．C．D．4. 设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知平面向量，，，，且.若为平面单位向量，的最大值为（ ）A．B ．6C．D ．76. “”是“不等式成立”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也不必要条件7. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r 越接近于1C ．用来刻画回归效果，值越大，说明拟合效果越好D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点8. 口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．的最小正周期是B ．的值域是C ．在区间上单调递减D．的图象关于点对称10. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（ ）吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（五）数学（理）试题(1)吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（五）数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A ．当时，B．当时，C ．当，且、均非零时，D．当时，四棱锥的体积恒为定值11. 函数（e 为自然对数的底数），则下列选项正确的有（ ）A．函数的极大值为1B．函数的图象在点处的切线方程为C ．当时，方程恰有2个不等实根D ．当时，方程恰有3个不等实根12.在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）A．B．C．D．13.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：①当为的中点时，平面；②存在点，使得；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥的外接球的体积为.其中正确的结论序号为__________.14.在展开式中，的系数为________.15.平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F ，右准线与x 轴的交点为A ，若在椭圆C 上存在一点P ，使得，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______________．16.已知数列的前n 项和为，且满足，等差数列中，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，，求数列的前n 项和．17. 如图，已知点是单位圆上一点，且位于第一象限，以轴的正半轴为始边、为终边的角设为，将绕坐标原点逆时针旋转至.（1）用表示、两点的坐标；（2）为轴上异于的点，若，求点横坐标的取值范围.18. 在①数列满足，，②数列的前项和满足，③数列是等比数列，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：已知数列的首项为2，______，，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的概率为，放红球的概率为.(1)若，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：求关于的回归方程，并预测时，的值；（精确到1）n12345y7656423026(2)若，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；附：经验回归方程系数：.20. 某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的．(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值；(2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望．21. 已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；（2）求证：任取，函数，具有性质；（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.。

长春市2021届高三第一次质量监测〔一模〕理科数学一、选择题:此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|||3,},{|20},A x x x B x x x =<∈=->Z 那么集合A B 的元素个数有A.1个B.2个C.3个D.4个 2.函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是 A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数3.在ABC ∆中, A B >是sin sin A B >的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，那么张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 5.长江流域内某地南北两岸平行,如下图游船在静水中的 航行速度1v 的大小1||10km/h v =,水流的速度2v 的大小2||4km/h v =,设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，假设游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处,那么cos θ等于A.5-B. 25-C. 35-D. 45-6.函数()()()1sin ,f x x x π=-那么函数在[]1,3-上的大致图象为A B C D 7.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 那么四面体-A BCD 的外接球体积为 A. 43π B.83π C.4π D.323π 1 / 2河流两岸示意图8.抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =那么直线l 的倾斜角为A.6π B. 4π C. 3π D. 23π 9.对于函数()||1,f x x x x =++以下结论中正确的选项是()A.f x 为奇函数 ()B.f x 在定义域上是单调递减函数()C.f x 的图象关于点()0,1对称 ()D.f x 在区间()0,+∞上存在零点10.如图,在面积为1的正方形1111,A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，那么123n a a a a ++++=11.双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,那么双曲线E 的离心率为12.偶函数()f x 满足()()2,f x f x =-当()0,1x ∈时(),31,xf x =+那么13log 84f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分. 13.假设tan 2,α=那么sin 2α=. 14.假设复数z 满足3,z z ⋅=那么||z =.15.如图,一块边长10cm 的正方形铁片上有四块阴影局部,将这些阴影局部裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,把容器的容积V (单位:3cm )表示为x (单位:cm )的函数 为.16.n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+, 那么n a =;数列131{}2n n n n a a ++⋅的前n 项和n T =. 三、解答题:共70分,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点.1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D(I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求二面角P DC E --的余弦值.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (I)求角C ;(Ⅱ)假设2,3a b ==,求()cos 2A C -. 19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供给.为做好日常生活必需的 甲类物资的供给,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购置量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图),现从小区超市某天购置甲 类物资的居民户中任意选取5户.(I)假设将频率视为概率,求至少有两户 购置量在[)3,4(单位:kg )的概率;(Ⅱ)假设抽取的5户中购置量在[]3,6(单位:kg )的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在[]3,6(单位:kg )的户数为ξ,求ξ的分布列和期望. 20.(12分)椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点. (I)假设,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)假设点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值. 21.(12分)设函数()()1ln xf x e a x a =+∈R . (I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做那么按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)直线l 的参数方程为12x ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)假设直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分)0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证222; (Ⅱ)求证:1212223a b +++. 长春市2021届高三质量监测()-数学(理科)试题参考答案及评分参考 一,选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1. B.【解题思路】{2,1,0,1,2},{|0,2},A B x x x =--=<>或所以{2,1},A B =--应选B.2.D 【解想思路】sin 2cos 2.2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故T=π且为偶函数,应选D 3．C 【解题思路】易知在三角形中，A B >是sin sin A B >的充要条件,应选C4.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，应选D5．B 【解题思路】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||co ,||s 0v v v θ+=所以2cos 5θ=-选B. 6．A 【解题思路】由()()1sin f x x x π=-可得()y f x =的图象关于直线1x =对称,排除BC, 当(1,2)x ∈时(),0,f x <排除D,数选A.7. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,应选A. 8．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,应选C. 9.C 【解题思路】()221,01,0x x x f x x x x ⎧-++⎪=⎨++>⎪⎩由图象可知,图象关于点()0,1对称,因此不是奇函数,在定义域内函数为增函数,在(),0-∞上有零点,应选C.10.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,应选B.11.B 【解题思路】设()()2121,,,y B x x A y 代入双曲线方程作差有()()()()1112121222x x x x y y y y ab-+-+=,有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+,所以223c a =，e =应选B.12. A 【解题思路】由题意可知函数()f x 的周期为4,又()133log 84log 845,4=-∈--当()0,1x ∈时(),31,x f x =+那么当()1,0x ∈-时(),31,x f x -=+那么13(4log 84)113384165log 84(4log 84)3118181f f -+⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭应选A 二、填空题(本大题共4小题,每题5分，共20分) 13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==15. 10)V x =<<【解题思路】由题意可知,正四棱锥的高为,所以容积21(010)36x V x x =⨯=<<16.1n a n =+，1122(2)n n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 ()()11122122n n n n +⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭,故131{}2n n n n a a ++⋅的前n 项和1122(2)n n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥ 因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB.(2)法1:取PA 中点G,连结GE,GD,由,////AB GE AB CD ,所以//,GE CD 故GE ⊂平面EDC,因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA CD ⊥由,AD CD ⊥所以CD ⊥平面PAD,所以,,CD PD GD CD ⊥⊥所以∠PDG 为二面角的平面角,在PAD ∆中,1,PG PD GD ===所以cos 10PDG ∠=(12分) 法2:以A 为原点,AB,AD,AP 为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,有()0,0,2,P()()()0,2,0,2,2,0,1,0,1,D C E 设平面PCD 的一个法向量为()111,,,x y z =n 平面ECD 的一个法向量为()222,,x y z =m 有00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，111100x y z x +-=⎧⎨=⎩，()0,1,1=n又00CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，2222200x y z x +-=⎧⎨=⎩，()0,1,2,2=m ,所以||cos |||m n m n θ⋅==⋅ 即二面角 P-DC-E(12分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=〔6分〕所以222cos 2b c a A bc +-==，sin A =sin 2A =，13cos 219A =,所以()11311cos 221938A C -=-⨯+=(12分) 19．【答案】54153147(1)1(444128P C ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分) (2)ξ的可能值为0,1,2()33351010C P C ξ===；()2133256110C C P C ξ===；()1232353210C C P C ξ=== ξ的分布列为20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分)(2)由(1)可知122163|6231|1 PABSx x k =⨯⨯-⨯=++=33,433所以63312PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，令1t x=(),f x 可化为(),g t 即()ln ,t g t e e t =-(0)t > ()t eg t e t'=-易知()g t '为增函数,且()10g '=所以当()0,1t ∈时()(),0,g t g t '<单调递减,当()1,t ∈+∞时()(),0,g t g t '>单调递增又1t x=, 所以当()1,x ∈+∞时()(),0,1,t f x ∈单调递增,当()0,1x ∈时()(),1,,t f x ∈+∞单调递减.(4分) (2)令)10( t t x=>(),f x 可化为()ln t g t e a t =- ()t ag t e t'=-,当0a >时,易知()g t '为()0,+∞上增函数,当a e >时(),01g e a '=-<；当 a e =时(),10g e a '=-=；当a e <时,0ae a g e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 而()10,ag a e '=->所以存在()00,,t ∈+∞()0000tag t e t '=-=即00ln ln t a t =- 当t ∈()00,t 时()(),0,g t g t '<单调递减, 当t ∈()0,t +∞时()(),0,g t g t '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln tag t g t e a t at a a a a a t =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x yx y +--=〔5分〕(2)圆心(1,2)到直线l的距离d =圆半径r =所以||AB ==〔10分〕23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()222a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。