高等数学-第4章 4.2 换元积分法(一)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

第四章 不定积分 一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含 ，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含 ，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一） 填空题 【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+， 故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解 由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】 设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++， 故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】 下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解 若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】 设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解 由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】 设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解 由不定积分的性质选答案D .【例4.14】 已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解 令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】 若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解 本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注 当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】 求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解 （1） 原式22.C ===+⎰（2） 原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】 求 （1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解 （1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】 求 （1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解 （1） 原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2） 原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】 求 （1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解 （1） 原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含 ，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含 ，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】 求 （1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解 （1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2） 令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3） 令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】 求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】 求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】 求 （1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解 （1） 原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2） 原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3） 原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】 求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注 对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解 取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解 取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】 求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】 设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】 求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解 当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】 已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解 原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注 这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】 求 （1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解 （1） 原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2） 原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注 拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】 求2(1)dxx x +⎰.解 设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注 比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】 求42.21dxx x -+⎰解 设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得； 上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ； 用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】 求 （1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解 （1） 原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2） 原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】 求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】 求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】 求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】 求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解 设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++， 解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】 求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】 求 （1）（2）（3）.dx解 （1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3） 令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】 求 （1）. （2）解 （1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2） 原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注 当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】 设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解 令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】 设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解 由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】 设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解 令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注 这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案 一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案 一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。

第 4 章 不定积分换元积分法 习题解1．在括号中填入适合的系数，使以下等式建立： ⑴ dx () d (5 x 2) ；【解】因为 d (5 x 2) 5dx ，所以 dx1 )d (5 x2) 。

(5⑵ xdx () d (7 3x 2) ；【解】因为 d (7 3x 2 )6xdx ，所以 xdx (1 )d (7 3x2 ) 。

6⑶ x 4 dx ( ) d (2 x 5 3) ；【解】因为 d (2 x 5 3)10x 4dx ，所以 x 4 dx( 1 ) d (2 x 5 3) 。

10⑷1dx () d ( x) ；x【解】因为 d ( x)2 1 dx ，所以 1 dx ( 2 ) d ( x ) 。

x x⑸ dx() d (3ln x ) ；x3dx ，所以dx1【解】因为 d (3ln x )( ) d (3ln x ) 。

xx 3⑹ dx () d(2 arcsin x) ；1 x2【解】因为 d (2 arcsin x)dx，所以dx() d(2 arcsin x) 。

x 21 x 21⑺ xdx() d( 1x 2) ；1 x 2【解】因为 d (1 x2 )xdx ，所以 xdx() d ( 1 x 2 ) 。

1 x2 1 x 2⑻dx() d(arctan3x) 。

1 9x23dxdx 1【解】因为 d (arctan 3x)，所以 ( )d (arctan3x) 。

1 9x2 1 9x 2 32．求以下不定积分：⑴(2 x 1)2 dx ；【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 2x 1 ，积分红为能够直接积分的u 2 ，于是，应用凑微分法，得(2 x 1)2 dx 1 (2 x 1)2 d (2 x1)------d (2 x 1) 2dx21 1(2 x 1)3 c ------u 2 du 1 u 3 c2 331(2 x 1)3 c6⑵11 dx ；3x【解】这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 1 3x ，积分红为能够直接积分的1 ， u于是，应用凑微分法，得1 1 1------1 dx3 1 d (1 3x)3x3x1 ln 1 3x c ------3⑶1dx ；33 5xd (1 3x) 3dx1du ln u cu【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 3 5x ，积分红为能够直接积分的1 ，3u于是，应用凑微分法，得11 1d(3 5x) 33 5xdx3355x 1 3(325x)3c5 223(35x)3c102⑷ xe x dx ；------d(3 5x) 5dx1du 2------3 u 3 c3u22【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数e x ，余下为微分部份 xdx ，对照中间变量的微分 d( x 2 )2xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得xe x 2 dx1 e x2 d( x 2 ) ------d( x 2 )2xdx21 e x2 c------e u du e u c2⑸2x 3dx ；x 41【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数1 ，余下为微分部份 2x 3dx ，对照中间变量1 x 4的微分 d (1 x 4 )4x 3dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2x3114------1 x 4dx2 1 x 4d (1 x )1 ln 1 x 4c------21ud(1 x 4 ) 4x 3dxdu ln u c⑹tan10x sec 2xdx ；【解】 这是三角函数的积分， 将 tan 10 x 作为复合函数， 余下为微分部份sec 2 xdx 恰为 tan x的微分，于是，应用凑微分法，得tan 10 xsec 2 xdxtan 10 xd tan x------ d tan x sec 2 xdx 1 tan 11 x c ------u 10du1 u 11 c1111⑺ e xdx ；x【解】这是积函数的积分，分别出复合函数e x，余下为微分部份1dx ，对照中间变量的x微分 d x1 dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x e x dx 2 e x d x ------d x1 dxx2 x2e xc------e u du e u cx⑻dx ；2 3x 2【解】这是积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份xdx ，对照中间变2 3x 2量的微分 d (2 3x 2 )6xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x dx 11d (2 3x 2 ) ------d (23x 2 )6xdx3x 2623x 212 23x 2 c------1 du 2u c6u1 2 3x 2 c3⑼ tan 1x 2x x 2 dx ；1【解】这是积函数的积分，分别出复合函数tan 1 x 2 ，余下为微分部份x dx ，对1 x 2比中间变量的微分d 1 x 22x dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得2 1 x 2tan 1 x 21 x dxtan 1 x 2 d 1 x 2--- d 1x 2x dxx 21 x 2tan 1 x 2 d 1 x 2------tan udusin u du 1 d cosuln cosu ccosucosuln cos 1 x 2 c【此答案与课本答案能够互化：ln cos 1 x 2ln (cos 1x 2 ) 1ln1ln sec 1 x 2 】cos 1 x 2⑽1x dx ；xee【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量 e x 和 e x ，要进行换元积分，须先化为同一此中间变量：1 e x e x ，e x e x e x (e x e x ) (e x )2 1这成为积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份e x dx ，对照中间(e x )2 1变量的微分de x e x dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得1 e xdx 1 x---- x xe x e x dx (e x ) 2 1 (e x ) 2 1 de de e dxarctan e x c ------ 1 du arctan u c1 u2⑾1 dx ；xln x ln(ln x)【解法一】这是积函数的积分，分别出复合函数1，余下为微分部份1dx ，对照ln(ln x) x ln x中间变量的微分 d ln(ln x) 1 1dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得ln x x1 dx 1 d ln(ln x) ---- d ln(ln x) 1 1dxx ln x ln(ln x) ln(ln x) ln x xln ln(ln x) c ------ 1du ln u c u【解法二】1dx1d ln x ln x u1x ln x ln(lndu x) ln x ln(ln x) u ln u1ln u1ln t c ln ln u cd ln u t dtln u tln lnln x c 。