不定积分的第一换元积分法

不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念，可以用来求解函数的原函数。

其中，不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。

不定积分第一类换元法，也叫做一般换元法，是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式，从而便于求取原函数的方法。

具体来说，将被积函数中的自变量用一个新的变量替代，然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来，并将其代入被积函数中，最后通过简单的代数运算求取原函数。

换元法的主要思想是通过变量代换，将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使不定积分的计算更加容易。

在进行不定积分第一类换元法时，需要注意两个方面：
1、选择合适的换元变量：要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量，通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。

2、确定新的积分上下限：在将原函数用新变量表示出来后，需要将积分上下限也用新变量表示出来，以便对新函数进行积分。

例如，对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx，我们可以选择x+1 作为新变量，即令t=x+1，则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。

然后，我们对新函数
进行简单的代数运算，得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。

需要注意的是，在换元法中，要保证函数的可导性和单调性，以便进行变量代换和积分。

此外，还需要注意积分上下限的变换，避免出现错误的结果。

综上所述，不定积分第一类换元法是一种常用的方法，可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式，并通过代数运算求得原函数。

这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。

不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。

接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。

一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。

设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。

此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。

公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。

设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。

此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。

公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。

下面举例说明这两种换元法的应用。

（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。

设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。

不定积分第一类换元法(凑微分法)—、方法简介设/W 具有原函数F("),即F(“) = /(“)，J7("M" = F(“) + C,如果U 是中间变量，“ = 0(X),且设0(X)可微，那么根据复合函数微分法，有dF[(p{x)] = f[(p(x)](p'(x)dx 从而根据不定积分的定义得J f{(p(x)](p\x}dx = F[^(x)] + C = ||/(")如“=如)• 则有定理：设/(“)具有原函数，”=朋)可导，则有换元公式J f[(p(x)](p\x)dx =【]*/(")〃"]“=*)由此定理可见，虽然打[血)]03心是一个整体的记号，但如用导数记号贽中的心及心可看作微分，被积表达式中的心也可当做变量x的微分来对待，从而微分等式(P\x)dx = du可以方便地应用到被积表达式中。

儿大类常见的凑微分形式：① J f (ax + b)dx = —J* f (ax + b)d(ax + Z?) (a H 0)；(2)|/(sinx)cosAz/x = J/(sinx)J sinx ,|f(cosx)sinxdx = -j/(cosx)Jcosx , [/(tanx) —= f/(tanx)J tanx , [ f(cotx) — = - f /(cotxX/cotx:J cos" x J J sinr J'③J f(hyx)-dx = j/(lnx)〃Inx, f(e x)e x dx = jf(e x)de x ;X④|7(疋貯加=丄|7(兀")〃兀"(心o) , ,J n J J x J x x “(石)牛= 2“(仮M(低)；⑤ J* /(arcs in x) : = | /(arcs in x)d arcs in x ；j /(arctanx)〔、= J /(arctanx)J arctanx:⑥复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知J = F(u) + C求J g(x)dx = J f ((p(x))(p\x)dx = | 【凑微分】== F(“) + C【做变换，令u =(p{x)»再积分】=F@(x)) + C[变量还原，"=(p(x)]【求不定积分\gMdx的第一换元法的具体步骤如下:1(1)变换被积函数的积分形式：,(兀)心=]7(傾功0(.巧心⑵ 凑微分：Jg(x)〃x=J/(0(x))0a)〃x=“(0(x))心心)(3)作变量代换u =(p(x)得：Jg(x)& = J/0・X))0G皿=打(傾功〃处:)=j f(u)du(4)利用基本积分公式J/(“)血=F(W) + C求岀原函数:J gWdx = | f((p(x))(p\x)dx = J /(仅x))〃傾x) = j f(u)du = F(u) + C(5)将=(p(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得:J gWdx = J/(0(x))0G)dx = j f((p(x})d(p{x) = = F(u) + C = F((p(x)) + C 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变^u =(p(x).省略⑶⑷步骤，这与复合函数的求导法则类似。