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不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)

不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)

1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.

不定积分的换元积分法

不定积分的换元积分法
类似地，有

csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a

n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na

这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．

设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．

dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2


1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2

再将 t 2 x 代入，得

1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)

x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．

《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法

《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法

(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1

课件：2 第一换元积分法(1)

课件：2 第一换元积分法(1)

1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)

第三讲不定积分的计算方法演示文稿

第三讲不定积分的计算方法演示文稿
2. 被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
方法:拆出个正\余弦的1次幂,再凑微分
第7页，共38页。
3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:
• 目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低! 具体方法(公式):
cos2 x 1 cos x .
2
2
sin 2 x 1 cos x .
2
2
等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!
sin2 t cos2 t 1
变形: 1 sin2 t cos2 t
tan2 t 1 sec2 t
或变形: sec2 t 1 tan2 t
第33页，共38页。
例求20
a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
x a sin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
1 sin2 t cos2 t
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost
第8页，共38页。
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n 时,
为假分式; m n 时,
为真分式
有理函数
相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
第9页，共38页。
之前的引
入例: 例1
令 x a sect，0 t ，则 d x a sect tan t d t，故
2
d x a sect tan t d t
x2 a2
a tan t
x x2 a2
t a
sect d t
ln | sect tan t | C1 ln | x x2 a2 | C. ( C＝C1 ln a )

第2讲不定积分的换元积分法

第2讲不定积分的换元积分法

2 x 3 3 x 6 6 x 6 l6 n x 1 ) ( C .
p1
pn
一般说 , 被 来积函数 x, 由 xq1, , xqn 通过
四则运算构 , 可成作时变量t代 k 换 x.
这里 k为分母 q1, q2, , qn 的最小公. 倍数
例6 计算x4(dx2x1).

dx asettcatd nt
x2a2
atatn
x
t a
x2 a2
sect dt
l|n ste tc a t| n C 1 l|x n x 2 a 2 | C . ( C ＝ C 1 la n )
(2)x (, a)时 x0
令 x a ste ， c t ， d x 则 a ste ta tc d t， n 故 2
一、 不定积分的第一换元法 首先看复合函数的导 公数 式:
设可 y 微 F (u ),u 函 (x )可 数构 I上 成
可微的复y合 F(函 (x)数 )则 ,
( F (( x ) ) ) F (( x ) ( ) x ),
它的微分形式为 d F (( ( x ) ) F ( ) ( x ) ( ) x ) d x
.
解
令 utax， n d则 ucdo x 2xs ,于是
c d x 4 x o s c 1 2 x o c 1 s 2 x o d x ss2 e x c c 1 2 x o d x s
(1ta2nx)cdox2sx (1u2)du
u 1 u 3 C tax n 1 ta 3xn C .
f(ek)xexdx f(uk)du (uex).

不定积分的换元积分法

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有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。

第3-1不定积分的第一类换元积分法


sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx

1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分

如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

换元法求不定积分 ppt课件


(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
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类似有
f (cos x)sin x d x (u cos x)
csc xd x
1 sin
x
d
x
1 sin2
xsinxdx11 cos
2
x
ds(icnoxs
dx
)x
1
1 u2
d
u
(u cos x)
1 2
( 1
1
u
1 )du 1 u
1 2
ln
1 1
u u
C
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
(10) sinm xcosn xdx
m(或n) : 奇数，设u cos x(或u sin x) m, n均为偶数，用倍角公式 特别地，当m n 时，设u sin 2x
例8
原式
sin cos
x x
dx
dcos x cos x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
u(nax1bC)n n1
1 a
（ ax b）n（ax b）d x
u
du ?
1 a
(ax
b)n
d(ax
b)
1 a
un
du
1 a
un1 . n1
C
（令u ax b）
（ax b）n1 C a(n 1)
(u ax b代入)
2. 定理1(第一换元积分法)
设 f (u)具有原函数, u ( x)可导, 则
u 3x 2
1 3
cos ud u
1 sin u C 3
u 3x 2 1 sin（3x 2） C. 3
例2
1 dx
3 2x
解
u 3 2x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
u 3 2x 1 ln 3 2x C 2
例3 x 1 x2 d x
解
联
想
公式： uα
d
x
uα1 α1
1 cos3 x 1 cos5 x C .
3
5
（2） cos4 x d x
(1 cos 2x)2 d x （降次） 2
（3）
sin2 x cos2 x d x
1 4
sin
2
2
x
d
x
1 1 cos 4x d x 1 ( x 1 sin 4x) C.
42
84
常见的选 u= (x) 规律(续1)
例11 求 cos 3x cos 2x d x.
分析 当被积函数为sinax cosbx,sinax sinbx,
或cos ax cos bx的形式时，常用积化和差
公式将被积函数化简后再积分.
(5) f (sin x)cos x d x (u sin x)
(6) f (arcsin x)d x 1 x2
(u arcsin x)
(7)
f
(arctan 1 x2
x
)
d
x
(u arctan x)
(8) f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
(9) f (sec x)sec x tan x d x (u sec x)
f (sec x)sec x tan x d x (u secx)
（sec2 x 1）2 sec2 x dsec x
常见的选 u= (x) 规律(续2)
(12) tanm x secn x d x
n : 偶数，设 u tan x
m
:
奇数，设
u
sec
x
cotm x cscn x d x
例10（1） tan2 x sec6 x d x tan2 x(1 tan2 x)2 sec2 x d x
f (tan x)sec2 x d x (u tan x)
tan2 x（1 tan2 x）2dtan x
（2） tan5 x sec3 x d x tan4 x sec2 x dsec x
2
2
例5
原式
1 a
d( x )
1
a (x
)
2
a
1
d
u u2
arctan
u
C
u x a
例6 (1)
log a x
x
d
x
(log a
x)
1 ln a
x
ln a loga x d(loga x)
u loga x
(loga x)2 ln a C 2
(2)
x(1
1 ln
x
)2
d
x
(1 ln x) 1 x
类似地，有 cot xdx ln sin x C
例9 sec x d x
解
sec x d x
cos x cos2 x
dx
dsin x
1 sin2 x
1 2
1
1 sin
x
1
1 sin
x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
C
原式
1 2
1 x2 d(1 x2 )
3
u 1 x2 1 u d u 1 . 2 u2 C
2
23
u
1
x2
1（1
3
x 2）2
C.
3
例4
xex2 d x
解 联想公式： eu d u eu C
xe x2 d x
1 2
e
x2
d
x2
u x2 1 eu d u 1 e x2 C
u 1 ln x
d (1 ln x) （1 ln x）2
1 1 ln x
C
常见的选 u= (x) 规律
(1)
f (ax b)d x 1[ a
f (u)d u]uaxb
(2) f ( x1)x d x (u x1, 1)
(3)
f
(ln x
x)d
x
(u ln x)
(4) f (cos x)sin x d x (u cos x)
f (u)d u u ( x) 令u ( x)
即
f [( x)]( x)dx f [( x)]d( x)
—— 换元公式
换元思想: 设变换 u ( x),
化积分为易于求解的形式.
关键： 如何选择 u= (x) ?
例1 cos(3x 2)d x
解 联想公式 cos ud u sin u C
……
例7 求下列不定积分：
(1) sin3 x cos2 x d x
f (cos x)sin x d x (u cos x)
(1 cos2 x) cos2 x sin x d x
（1 cos2 x）cos2 x d(cos x)
(cos2 x cos4 x)d(cos x)
第4章
第23讲 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 三 、基本积分表（ Ⅱ ）
一、第一类换元积分法 —— 凑微分法
1. 引例 求 （ax b）n d x ( a 0, n为自然数）
解 （ ax b）n d x
验联证想：公(式aax(：nub1)nn)d1u