第一换元积分法

积分第一换元法1. 定义- 设f(u)具有原函数F(u)，u = φ(x)可导，则有∫ f[φ(x)]φ'(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C = F[φ(x)]+C。

- 简单来说，就是通过将被积表达式凑成f[φ(x)]φ'(x)的形式，然后令u = φ(x)，把关于x的积分转化为关于u的积分，求出关于u的原函数后再把u=φ(x)代回。

2. 原理- 这一方法基于复合函数求导的逆运算。

因为如果y = F[φ(x)]，根据复合函数求导法则y'=F'[φ(x)]φ'(x)=f[φ(x)]φ'(x)，所以∫ f[φ(x)]φ'(x)dx = F[φ(x)]+C。

（一）观察被积函数1. 寻找合适的函数组合- 例如对于∫2xcos(x^2)dx，我们发现2x是x^2的导数，这里就可以考虑把u = x^2。

- 一般来说，要找到被积函数中一部分函数u=φ(x)，使得另一部分是u的函数f(u)与φ'(x)的乘积形式。

（二）换元1. 设u=φ(x)并求出du=φ'(x)dx- 在∫2xcos(x^2)dx中，设u = x^2，那么du = 2xdx。

- 此时原积分∫2xcos(x^2)dx就可以转化为∫cos(u)du。

（三）计算关于u的积分1. 求出f(u)的原函数- 对于∫cos(u)du=sin(u)+C。

（四）回代1. 将u=φ(x)代回- 因为u = x^2，所以原积分∫2xcos(x^2)dx=sin(x^2)+C。

三、常见的换元类型（一）幂函数类型1. 示例- 计算∫ x√(1 + x^2)dx。

- 设u = 1+x^2，则du = 2xdx，xdx=(1)/(2)du。

- 原积分∫ x√(1 + x^2)dx=(1)/(2)∫√(u)du=(1)/(2)×(2)/(3)u^(3)/(2)+C=(1)/(3)(1 + x^2)^(3)/(2)+C。

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。

本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。

一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。

其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。

它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。

四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。

因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。