21010年实验区高考试题分析(文科立体几何)

2 0 1 0年北京数学高考试卷分析(文科)2010年高考是北京市进入实施新课改实验Z后的第一次高考•今年的高考数学试题所折射出来的信息对今后高考复习的指导意义不言而喻，对高屮数学教学的导向作用也是非常重要的，因而这是一份格外引人关注的试卷.一、试题总体印象2010年高考数学试题延续了历年高考数学命题的经验，立足新课标教材，以教冇部颁发的《2009年全国考试大纲(课标实验版)》和北京教育考试院编写的《2010年普通高等学校招生全国统一考试北京卷考试说明》为依据.试卷中的大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基木方法，试题的起点低，入手容易，难易适屮；在考查数学传统的主干知识的同时•，注意体现新课改Z后新增知识的考杏要求.注重学科的内在联系和知识的综合运用，对能力的考杳强调探究性、应用性，多视点，多角度，多层次地考查了考生学习数学所具备的索养和潜力.这种命题的思路既有利于正确引导高屮数学教学的方向，揭示数学概念的木质，不讲解题的技巧，侣导用数学的思维进行教学，引导学生掌握丿IJ数学的思维解决数学问题，感受数学的思维过程；又冇利于为高校选拔优秀的人才, 为进一步实施新课改的实验起到了良好的促进作川.二、试题主要特点1.传统的主干知识的考查是本套试卷的主体，落脚点在对数学思维站质的考查，对数学本质认识程度的检验.如理科解答题的15题的第二问，研究“函数/(x) = 2cos2x + sin2x-4cosx ”的最值问题.对学生的思维要求是：先要化简函数的解析式.化简的方向是统一函数的名称和角，最终日标是转化为熟悉的函数形式•如此，利用正余弦的平方关系将sin2x转化为cosx非常简单，而cos2x转化为cos2x只需用一次余弦二倍角公式就能完成.这样就得到了函数的最简单的形式：/(X)=3COS2X-4COSX-1.M利用二次函数的性质研究函数就非常简单了.缺乏理性思维的学生盲目的套用公式，死记老师的“教诲”：见到二次就用降帚公式!1—PQC 2 片把cos2x转化为2cos2兀-1或l-2sin2x，同时sin2 x = --------------- --- ,为什么这样做不知道!2最后在计算上又出现错误导致失分.又如理科解答题的18题的第二问：“求函数f(x) = In(\ + x)-x^-x2(k>0)的单调区间”.木题对学生的思维的基木要求是：用导数丁具研究函数的单调区间问题•思维的焦点在于求导Z后，对于导函数f ■⑴h'g + k二1)符号的讨论.1+兀由于l + x> 0是函数定义域的要求，可以将对f，（x）=x（kx——}.符号的讨论进一步1 +兀化简为貝需讨论g（x）二兀（也+ £-1）的符号了•而已知条件限定了 20,从而决定了函数的类型是一次函数或二次函数，也就决定了分类讨论标准分为两大类：£=0和£>0.当R〉0时，二次函数的讨论涉及零点斗=0和/匕大小的比较，还需分-k0<k<\,k = \,k> 0三种情况.题目看似不难，也是在高三复习屮学生经常练习的题目，但对学生数学的思维要求不低.真正理解数学问题实质的学生解答木题得心应手，对为什么要进行讨论，如何讨论始终不得要领的学生，本题就要失去一定的分数•可以看出，这道题能够把数学基础扎实，数学思维品质优秀的学生区分出来.文科18题的第二问“若f（x） = ^x3+bx2 + cx + d（a > 0）在（―co, +oo）无极值点，求a 的取值范围”思维的要点是能够把这个条件转化为“/'（兀）》0在（-8,+x）内恒成立”，从而进一步转化为“ d > （）,△5 0 ” .学生一般都能先去求导，但求导Z后对导函数的要求是什么？如何用导函数来刻画“函数/0）在（-oo,+oo）无极值点”，就要难倒对数学问题理解不深刻，不到位的考生.2.多角度考查学生研究数学问题的意识和方法，対数学教学的导向有明确的指导意义.以研究函数问题为例.木套试题（文科、理科）以解决问题、研究问题为命制试题的岀发点，全面考查学生掌握研究函数的一般方法.（1）利用函数的解析式研究函数的性质：会不会利用函数的解析式研究函数的性质，对于复杂的函数解析式有没有化简的意识，先化简再研究性质，是反应考生是否具备研究函数性质的基本要求.如:文科第4题:若a,b是非零向量，且d丄b,|a|H|b|,则函数J\x） = （xa-^b）（<xb-a）是（A）一次函数且是奇函数（B）—次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数第15题：（文科）已知函数/（x） = 2cos2x + sin2x（I）求/（?）的值；（II）求/（X）的最大值和最小值（理科）已知函数/（x） = 2cos2x + sin2x-4cosx.7T（I ）求/二（-）的值;（II ）求/（X）的最大值和最小值.利用函数图彖的肓观性是研究函数性质的有效载体，在U知函数解析式的基础上做出2利用函数的图象研究函数的性质：函数图彖的简图，能够迅速得到函数的冇关性质.如：文科的第6题：给定函数①y = x2，②y = log! (x+1)，③y二|兀一11，④y = 2'",2期屮在区间(0, 1)上单调递减的函数序号是(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④x + y -11 > 0理科的第7题：设不等式组3x-.y + 3>0 表示的平面区域为D,若指数函数尸Q的5x-3y + 950图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是(A) (1,3] (B)[2,3] (C )(1,2] (D)[3, +oo)(3)运用导数工具研究函数的性质.如文科、理科的18题.分析见上.3.试卷突出数学学科内部的学科特点、学科的基本思想.数学教学的目的就是要让学生掌握数学各个单元的思维特点，学会用数学的思维方法来思考数学问题，解决数学问题.(1)如解决函数问题就要分析自变最的变化是如何影响因变量的变化的.理科的第14题：如图放置的边长为1的正方形PABC沿尤轴滚动•设顶点P(x,y)的轨迹方程是= f(x),则f(x)的最小正周期为_____________ ；y木题考查学生能否从白变量x的变化，即增加了多少个单位函数值不变来求出f(x) 的最小正周期•实际上，由题意并结合图象不难得出，当自变量x变化到兀+ 4时，，函数值不变，从而得出/(兀)的报小正周期为4.(2)立体几何的思维特征是确定空间屮的点、线、面的位置关系，依赖于学生的空间想象能力的高低.新课标下的立体几何更加关注学生的空间想彖能力的培养，试卷也通过三视图的考点对此进行了考查.题型新颖，H的明确•如理科的第：3题，文科的第4题.文理科的第8题：如图，正方体ABCD・AdG9的棱长为2,动点E、F在棱人百上，动点P，Q 分别在棱AD, CD 上，若EF=1, A, E=x, DQ=y, DP= z ( x, y , z 大于零), 则四面体PEFQ的体积(A)与x, y , z都有关(B)与x有关，与y, z无关(C)与y有关，与x, z无关 (D)与z有关，与x, y无关木题通过空间运动背景下的几何图形的体积问题，来考查学生空间想象能力和逻辑推理的能力，着眼于想，去分析，而不是计算•符合学科的思维特征，考查的目的明确.(3)解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题.思维的要点是：通过分析几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论.文科、理科的18题都是关注于解析几何基木思想的考査,学科的思维特征显著.以理科的18题为例：在平面直角坐标系WP，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率Z积等于-3(门求动点P的轨迹方程；(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M, N,问:是否存在点P使得APAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

21010年实验区高考试题分析(立体几何、空间向量) 《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）是普通高中数学教学和高考命题的依据，与大纲相比较课程标准中很多内容及其要求都发生了变化，立体几何是课标中变化较大的内容之一，在教学中如何应对这种变化呢？本文从2010年实验区高考试题的特点分析立体几何教学的方向。

一、课标与大纲的区别1. 编排方式的变化。

在大纲中，立体几何是作为一个整体安排在必修中，而在课标中将立体几何的内容分为32. 立体几何的学习作为向量的应用。

在大纲中立体几何是在综合几何的观点下进行学习的，在课标中，学生在必修部分学习立体几何初步的知识，立体几何中与位置关系相关的问题是作为向量的应用学习的。

3. 文理学习的内容差别加大。

从上表可以看出，侧重文科的学生只在数学2中学习立体几何初步，之后只在选修1-2“推理与证明”部分学习反证法，就不再学习立体几何。

而侧重理科的学生则要在向量的背景下继续学习立体几何，学习直线的方向向量与平面的法向量，运用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理），用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

可见与大纲相比，课标加强了向量在解决立体几何中的作用。

二、实验区高考试题分析：1. 对基本关系的考查体现了直观感知和操作确认。

（2010年某某理6）设m,l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）例1、这个题目考查了线面基本位置关系的判定，但是其考查的切入点不是知识的再现，而是基于基本知识的分析判断，学生可以根据题目给出的条件用手头的工具进行操作判断，也可以通过想象进行判断。

例2、（2010年某某理6）如图，若Ω是长方体ABCD-1111A B C D 被平面EFCH 截去几何体EFCH 11B C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH//11A D ，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.EH//FG B.四边开EFGH 是矩形 C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台【新课标要求：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义。

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题09立体几何与空间向量本专题考查的知识点为：立体几何与空间向量，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积与体积，多面体与球的切接问题，空间向量的应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以空间向量的应用，空间几何体的性质为重点较佳.1．【2020年北京卷04】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A．6+√3B．6+2√3C．12+√3D．12+2√32．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．43．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3√2B．2√3C．2√2D．24．【2016年北京理科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．16B．13C．12D．15．【2015年北京理科04】设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．【2015年北京理科05】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+√5B．4+√5C．2+2√5D．57．【2014年北京理科07】在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D （1，1，√2），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S18．【2012年北京理科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6√5B．30+6√5C．56+12√5D．60+12√59．【2011年北京理科07】某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．6√2C．10D．8√210．【2019年北京理科11】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．11．【2019年北京理科12】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．12．【2013年北京理科14】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．13．【2020年北京卷16】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．14．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且PGPB =23．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．15．【2018年北京理科16】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC=√5，AC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．16．【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD=√6，AB＝4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．【2016年北京理科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，AB ⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD=√5．（Ⅰ）求证：PD⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；的值，若不存在，说明理由．（Ⅲ）在棱P A上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP18．【2015年北京理科17】如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．19．【2014年北京理科17】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．20．【2013年北京理科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD的值．BC121．【2012年北京理科16】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．22．【2011年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．1．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】若m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β,m⊥β，则m//α；B．若m//α,n⊥m，则n⊥α；C．若m⊥α,n//β,m⊥n，则α⊥β；D．若m//β,m⊂α,α∩β=n，则m//n2．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A．B．C．D．3．【2020届北京市朝阳区高三第一次模拟】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，B B1的中点，点P在对角线CA1上运动.当△ PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（）A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1B．线段CA1的中点C．线段CA1的三等分点，且靠近点C D．线段CA1的四等分点，且靠近点C4．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】设α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n//αB．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC．若n//α，m⊥n，则m⊥αD．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n5．【2020届北京市第十一中学高三一模】设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n//α，则m⊥αB．若m//β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α6．【北京市第一七一中学2019-2020学年高三期中】设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O 的球面上，P A=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．8√6πB．4√6πC．2√6πD．√6π8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末】已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A．若m//α，n//α，则m//n B．若l//m，m⊂α，则l//αC．若l//α，l//β，则α//βD．若l//α，l⊥β，则α⊥β9．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．2√55B．4√55C．√5D．2√510．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A．4B．2C．83D．4311．【2020届北京市西城区高三诊断性考试（二模】在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E、F、H分别是棱PB、BC、PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于4√6；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P−ABCD四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是______．12．【2020届上海市嘉定区高三下学期二模】已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______ ________.13．用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________cm14．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m⊥α，n⊥α，则m//n；②若m⊥α，m⊥β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α//β.其中，正确结论的序号为_____.15．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为G.若四面体A−EFG外接球的表面积为6π，则正方形ABCD的边长为___________.16．【北京市人大附中2019届高三高考模拟预测】已知四棱椎P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且PA⊥PD，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为_____．17．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为边AB的中点.将三角形ADE沿DE翻折,得到四棱锥A1−DEBC.设线段A1C的中点为M,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有BM//平面A1DE;②三棱锥C−A1DE体积的最大值为4√23;③存在某个位置,使DE与A1C所成的角为90∘.其中正确的命题是______.（写出所有．．正确命题的序号）18．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区间是____；最大值为____.19．【2019届北京市中国人民大学附属中学高三下学期第三次调研】若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.20．【2020届北京市丰台区高三一模】已知平面α和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①m⊥α；②m//α；③m//l；④n⊥α；⑤n//α；⑥n//l.以其中两个论断作为条件，使得m//n成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号）21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，BE//AF，AB=BE=12AF=1，且AB⊥AF，∠CBA=π4，BC=√2，P为DF的中点.（1）求证：PE//平面ABCD；（2）求证：AC⊥EF；，求BH与平面ADF所成角的大小.（3）若直线EF上存在点H，使得CF，BH所成角的余弦值为√10522．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边DE=1，AB=√2.形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12（Ⅰ）求证：BF//平面CDE；（Ⅱ）求二面角B−EF−D的余弦值；的值，若不存在，说明理（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出BQBE由．23．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD 平面P AD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点．（Ⅰ）求证：PO 平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π，若存在，求线段PM的长度；若不存6在，说明理由．24．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2,AP=2，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角E−AF−C的大小．25．如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1DB1⊥平面ABCD，AD=1，A A1=√2.过顶点D，B1的平面与棱BC，A1D1分别交于M，N两点.（Ⅰ）求证：AD⊥DB1；（Ⅱ）求证：四边形DMB1N是平行四边形；（Ⅲ）若A1D⊥CD，试判断二面角D−MB1−C的大小能否为45°？说明理由.26．【2020届北京市顺义区高三二模】如图一所示，四边形ABCD是边长为√2的正方形，沿BD将C点翻折到C1点位置(如图二所示)，使得二面角A−BD−C1成直二面角.E，F分别为BC1，AC1的中点.（1）求证：BD⊥AC1；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.27．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥D −BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=900,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=√5，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面BB 1D 所成的角为π3？若存在，求BPBC 的值，若不存在，说明理由．28．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，E 为线段AD 的中点，PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G ．（1）求证：BE //FG ；（2）若PC 与AB 所成的角为π4，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．29．【北京市通州区2020届高考一模】如图，已知四边形ABCD 为菱形，且∠A =60∘，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得∠AEG =90∘.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面EBHG ； （Ⅱ）求二面角A −GH −B 的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当EF //平面AGH 时，求λ的值. 30．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】如图1，已知等边△ABC 的边长为3，点M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且BM =2MA ，AN =2NC .如图2，将△AMN 沿MN 折起到△A ′MN 的位置.（1）求证：平面A ′BM ⊥平面BCNM ；（2）给出三个条件：①A ′M ⊥BC ；②二面角A ′−MN −C 大小为60∘；③A ′到平面BCMN 的距离为√22.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段A ′C 上是否存在一点P ，使三棱锥A ′−PMB 的体积为34，若存在，求出A ′P A ′C的值；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。

2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题08 立体几何--老师版一、选择题:创作人：历恰面日期：2020年1月1日1. (2021年高考卷文科7)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为ππππ2. (2021年高考卷文科3)某三棱锥的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该三棱锥的体积是A.1cm3B.2cm33 D.6cm33. (2021年高考卷文科5)设l是直线，a，β是两个不同的平面A. 假设l∥a，l∥β，那么a∥βB. 假设l∥a，l⊥β，那么a⊥βC. 假设a⊥β，l⊥a，那么l⊥βD. 假设a⊥β, l∥a，那么l⊥β【答案】B4.〔2021年高考新课标全国卷文科7〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔〕()A6()B9()D18C12()5.〔2021年高考新课标全国卷文科8〕平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的间隔为2，那么此球的体积为〔A 〕6π 〔B 〕43π 〔C 〕46π 〔D 〕63π 【答案】B【解析】球半径3)2(12=+=r ，所以球的体积为ππ34)3(343=⨯，选B.6．(2021年高考卷文科7)某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的外表积是〔A 〕28+65〔B 〕30+65〔C 〕56+125〔D 〕60+1257. (2021年高考卷文科4)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能．．．是【答案】D【解析】此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或者直四棱柱，上面是圆柱或者直四棱柱或者下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【考点定位】此题主要考察空间几何体的三视图，考察空间想象才能.是近年来热点题型. 9. (2021年高考卷文科4)一个几何体的三视图形状都一样，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱 、10.(2021年高考全国卷文科8)正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，那么直线1AC 与平面BED 的间隔 为〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕1 【答案】D【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的间隔 等于点C 到平面BED 的间隔 ，过C 做OE CF ⊥于F ,那么CF 即为所求间隔 .因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选D.11.(2021年高考卷文科6)以下命题正确的选项是〔 〕 A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B 、假设一个平面内有三个点到另一个平面的间隔 相等，那么这两个平面平行C 、假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D 、假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行12. (2021年高考卷文科8)将正方形〔如图1所示〕截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，那么该几何体的左视图为〔 B 〕13. (2021年高考卷文科7)假设一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积为A．112B.5C.4D.92【答案】D【解析】此题的主视图是一个六棱柱，由三视图可得地面为变长为1的正六边形，高为1，那么直接带公式可求.14.(2021年高考卷文科10)如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的间隔 最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，那么A 、P 两点间的球面间隔 为〔 〕A 、2arccos4R B 、4R π C 、3arccos 3R D 、3Rπ 二、填空题:15.(2021年高考卷文科13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，那么三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【答案】61 【解析】以△1ADD 为底面，那么易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=.αCAODBP16.〔2021年高考卷文科13〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为_______________.17.〔2021年高考卷文科16〕点P ，A ，B ，C ，D 是球O 外表上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23正方形。

【精品】立体几何十年高考题(带详细解析) ●考点阐释高考试卷中，立体几何考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法，在中学数学教育中，通过这部分内容培养学生空间观念和公理化体系处理数学问题的思想方法，这又是考生进入高校所必须具备的一项重要的数学基础，因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力.多面体和旋转体是在空间直线与平面的理论基础上，研究以柱、锥、台、球为代表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面和体积的求法等问题.它是“直线和平面”问题的延续和深化.在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.近些年来即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离面积及体积.●试题类编一、选择题1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A.90°B.60°C.45°D.0°2.（2003上海春，13）关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ）A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥bB.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥MC.若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥MD.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.（2002北京春，2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ.下面四个命题中，正确的是（ ）A.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γβγαα∥β B.⇒⎭⎬⎫⊥m l m β//l ⊥βC.⇒⎭⎬⎫γγ////n m m ∥n D.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγn m m ∥n4.（2002北京文，4）在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ） 图9—15.（2002上海，14）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β（3）若α⊥β，则l ∥m（4）若l ∥m ，则α⊥β其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图9—2），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A.29π B.27π C.25π D.23π 7.（2002京、皖、春，12）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如选项所示，单位均为m ）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是（ ）A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×58.（2002全国文8，理7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）A.43 B.54 C.53 D.－53 9.（2002北京文5，理4）64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（ ）A.V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B.V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C.V 甲=V 乙且S 甲＞S 乙D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙10.（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件11.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ）A.90°B.60°C.45°D.30° 图9—212.（2001上海，15）已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a⊥α, b⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（）A.若a∥b，则α∥βB.若α⊥β，则a⊥bC.若a、b相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a、b相交13.（2001京皖春，11）图9—3是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④14.（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A.3πB.33πC.6πD.9π15.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.图9—4若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A.P3＞P2＞P1B.P3＞P2＝P1C.P3＝P2＞P1D.P3＝P2＝P116.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B 所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°17.（2001京皖春，9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30°B.45°C.60°D.90°18.（2000上海，14）设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a∥α，b∥α，则a∥b．（2）若a∥α，a∥β，则α∥β．（3）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确的个数是（）A.0 B．1 C．2 D．319.（2000京皖春，5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（）图9—3A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶920.（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A.23 B.32 C.6 D.621.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.321B.21C.21D.421 22.（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.ππ221+B.ππ441+C.ππ21+D.ππ241+ 23.（1999全国，7）若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A.63cm B ．6 cm C.2318cm D.3312cm24.（1999全国，12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R 等于（ ）A.10B.15C.20D.2525.（1999全国理，10）如图9—6，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A.29B.5C.6D.215 26.（1998全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A.120°B.150°C.180°D.240°27.（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ）A.S S S '+=02B.S S S '=0C.2S 0＝S ＋S ′D.S 02＝2S ′S图9—5图9—628.（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ） A.43 B.23 C.2 D. 329.（1998上海）在下列命题中，假命题是（ ）A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l ⊥βD.若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l ∥β30.（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.202πB.252πC.50πD.200π31.（1997全国，12）圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是（ ）A.332πB.23πC.637πD.337π 32.（1996全国理，14）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ） A.322π B.332π C.2π D.362π 33.（1996全国文12，理9）将边长为a 的正方体ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）A.63aB.123aC.3123aD.3122a 34.（1996全国文7，理5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ35.（1996上海，4）在下列命题中，真命题是（ ）A.若直线m 、n 都平行于平面α，则m ∥nB.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l ，则m ⊥βC.若直线m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或n 与α平行D.设m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交36.（1996全国文，10）圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥的体积等于（ ）A.8122πB.818πC.8154π D.8110π 37.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A.1715 B.21 C.178 D.23 38.（1995全国，4）正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A.32a π B.22a π C.2πa 2 D.3πa 239.（1995上海，4）设棱锥的底面面积为8 cm 2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ）A.4 cm 2B.22 cm 2C.2 cm 2D. 2 cm 240.（1995全国理，10）已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是（ ）A.①②B.③④C.②④D.①③41.（1995全国理，15）如图9—8，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A.1030B.21C.1530D.1015 42.（1994全国，11）对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）A.m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB.m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC.m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD.m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β43.（1994上海，14）已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线44.（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A.323B.283C.243D.20345.（1994全国，13）已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A.916πB.38π C.4π D.964π 二、填空题46.（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量图9—8的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r，则r R =.图9—947.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.48.（2002上海春，12）如图9—10，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点 M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆.若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 .图9—10 图9—1149.（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图9—11所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 . 50.（2002北京，15）关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.51.（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对.图9—1252.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.53.（2001京皖春，16）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n ⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）.54.（2001春季北京、安徽，13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于．55.（2001全国理，13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是.56.（2000上海春，9）若两个长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为_____cm.57.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.58.（2000年春季北京、安微，18）在空间，下列命题正确的是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b.②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β.③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β.④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ.59.（2000春季北京、安徽，16）如图9—14是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_____.60.（2000全国，16）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的（要求：把可能的图的序号都．填上）.图9—1 图9—15（1）图9—15（2）61.（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．图9—13命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．62.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： . 63.（1998全国，18）如图9—16，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD中，当底面四边形ABCD 满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.64.（1998上海）棱长为2的正四面体的体积为 .65.（1997全国，19）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.66.（1997上海）圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降_____ cm.67.（1996上海，18）把半径为3 cm 、中心角为32π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为 cm 3（结果保留π）.68.（1996上海，18）如图9—17，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .图9—17 图9—1869.（1996全国，19）如图9—18，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.70.（1995全国，17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____.71.（1995上海理）把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是_____.72.（1994全国，19）设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB图9—16的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_____.73.（1994上海）有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为10 cm的等边三角形，现在要在其整个表面上镀一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.10元，则需要的费用为_____元（π取3.2）.三、解答题74.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.图9—1 图9—2075.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.76.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C.77.（2002京皖春理，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29.（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.图9—22 图9—2378.（2002全国文，19）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，图9—21如图9—22所示.（Ⅰ）若面P AD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面P AD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°. 79.（2002北京文，18）如图9—23，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的正切值；（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V=6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 80.（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 81.（2002全国文，22）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；图9—2582.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a （0＜a ＜2）.（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.图9—24图9—26 图9—2783.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC 的高CD 上.AB ＝a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈V C.（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角； （Ⅱ）当∠MDC ＝∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ；（Ⅲ）若∠MDC ＝∠CVN ＝θ（0＜θ＜2），求四面体MABC 的体积.84.（2001上海，19）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ．（Ⅰ）求证：A ′F ⊥C ′E ；（Ⅱ）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）．85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝21. （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD 中，如图9—29，∠D ＝∠BAD ＝90°，AD ＝21AB ＝a （如图（1）），将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′，记面ACD ′为α，面ABC 为β，面BCD ′为γ．图9—29（Ⅰ）若二面角α—AC —β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC —γ的大小； （Ⅱ）若二面角α—AB —β为60°（如图（3）），求三棱锥D ′—ABC 的体积．87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；图9—28（Ⅱ）假定CD ＝2，CC 1＝23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．图9—30 图9—3188.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明． 89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB ＝BC ＝2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角大小为arccos 1010，求四面体ABCD 的体积．图9—32 图9—3390.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB ＝a .（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； （Ⅲ）求三棱锥B 1－EAC 的体积.91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.图9—34 图9—3592.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离.93.（1997全国，23）如图9—36，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ；（Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1；（Ⅳ）（理）设AA 1＝2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积11ED A F V -. （文）设AA 1＝2，求三棱锥E —AA 1F 的体积F AA E V 1-.图9—36图9—3794.（1997上海理）如图9—37在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥A B.（1）求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ； （2）若C ′B ′=3，AB =4，∠ABB ′=60°，求AC ′与平面BCC ′所成的角的大小（用反三角函数表示）.95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点.（1）求二面角α—l —β的大小； （2）求证：MN ⊥AB ；（3）求异面直线P A 与MN 所成角的大小.图9—38 图9—3996.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足.（Ⅰ）求证：AF ⊥DB ； （Ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥D —ABE 的体积比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角.（文）求点E 到截面ABCD 的距离.97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又P A ⊥AB ，P A ＝4，∠P AD ＝60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角P —BC —D 的大小（用反三角函数表示）.图9—40 图9—4198.（1994全国，23）如图9—41，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. （Ⅰ）证明：AB 1∥平面DBC 1； （Ⅱ）（理）假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱的DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数. （文）假设AB 1⊥BC 1，BC ＝2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长. 99.（1994上海，23）如图9—42在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝2，AB ＝a ，AD ＝3a ，且∠ADC ＝arcsin55，又P A ⊥平面ABCD ，P A =a .求（1）二面角P —CD —A 的大小（用反三角函数表示）.（2）点A 到平面PBC 的距离. ●答案解析 1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG 与IJ 为一对异面直线.过点D 分别图9—42图9—43作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD .所以∠ADF 即为所求.因此，HG 与IJ 所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：D解析：A 选项中，若a ∥M ，b ∥M ，则有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面.B 选项中，b 可能在M 内，b 可能与M 平行，b 可能与M 相交.C 选项中须增加a 与b 相交，则l ⊥M . D 选项证明如下：∵a ∥N ，过a 作平面α与N 交于c ，则c ∥a ，∴c ⊥M .故M ⊥N .评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质. 3.答案：D解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A ，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r ，β⊥r .因此，α∥β是错误的.4.答案：A解析：∵CD 在平面BCD 内，AB 是平面BCD 的斜线，由三垂线定理可得A. 5.答案：B 解析：（1）、（4）是正确命题.因为α∥β，l ⊥α，∴l ⊥β. 又m ⊂β，∴l ⊥m .因为l ∥m ，l ⊥α，∴m ⊥α，∴β⊥α. 6.答案：D解析：如图9—44，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差又∵求得AB =1∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V7.答案：C解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，∴x ·y ·z =4 ∴原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为x +2z ，y +2z （如图9—45中（2）所示）从而通过对各选项的考查，确定C 答案.图9—458.答案：C解析：如图9—46，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h∴V 锥=31πR 2h ，V 半球=21·43πR 3图9—44图9—47∵V 锥=V 半球，∴h =2R ∴tan α=21 ∴cos θ=53411411tan 1tan 122=+-=+-αα 9.答案：C 解析：V 甲=64·34π·（4a ·21）3=61πa 3， S 甲=64·4π·（4a ·21）2=4πa 2 V 乙=34π（a ·21）3=61πa 3，S 乙=4π（a ·21）2=πa 2 ∴V 甲=V 乙，S 甲＞S 乙. 10.答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时. 若命题乙成立，命题甲一定成立. 11.答案：B解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1. 在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =3.在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法. 12.答案：D解析：①∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又∵b ⊥β，∴α∥β ②∵a ⊥α，α⊥β ∴a ∥β或a ∈β 又∵b ⊥β ∴b ⊥a ③若α∥β，则a ∥b④若α、β相交，则a 、b 可能相交也可能异面，显然D 不对. 13.答案：C解析:展开图可以折成如图9—47的正方体,由图可知①②不正确. ∴③④正确. 14.答案：A 解析：∵S ＝21ab sin θ 图9—47∴21a 2sin60°＝3 ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ∴r ＝ 1 S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π 15.答案：D解析：由S 底＝S 侧cos θ可得P 1＝P 2 而P 3＝θθθcos )(2)cos sin (22121S S S S +=+ 又∵2（S 1＋S 2）＝S 底 ∴P 1＝P 2＝P 316.答案：B解析：如图9—48，D 1、D 分别为B 1C 1、BC 中点，连结AD 、D 1C ，设BB 1＝1，则AB ＝2，则AD 为AB 1在平面BC 1上的射影，又32cos ,22,3311====BC BC BC C BD BE∴DE 2＝BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos C 1BC ＝6132223322131=⋅⋅⋅-+ 而BE 2＋DE 2＝216131=+＝BD 2 ∴∠BED ＝90° ∴AB 1与C 1B 垂直 17.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，依条件则有2πr ＝πl ，如图9—49∴21=l r ，即∠ASO ＝30°，因此圆锥顶角为60°. 18.答案：A解析：（1）如果a ，b 是平面M 中的两条相交直线，面M ∥α， ∴有a ∥α，b ∥α，但a b ，所以（1）错．（2）如果α∩β＝b ，而a ∥b ，∴有a ∥α，a ∥β，但αβ，所以（2）错． （3）如果α∩β＝b ，而b ⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）错． 19.答案：C解析：设圆锥的底面半径为R ，则V 圆锥＝32πR 3，V 球＝34πR 3， ∴V 圆锥∶V 球＝1∶2． 20.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为图9—48图9—49l =6222=++c b a ．21.答案：D解析：如图9—50，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ，∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ． 22.答案：A解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S . 评述：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识.23.答案：B解析：设水面半径为x cm ， 则水面高度为3x cm则由已知得：π·22·6＝31πx 2·3x （3x ）3＝63，3x ＝6.评述：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力. 24.答案：D解析：由已知得中截面圆的半径r ′＝25+R . 设圆台的母线长为l ，则中截面截圆台所得上面小圆台的母线长l ′＝2l，且上面小圆台的侧面积S ′与圆台侧面积S 之比为1∶3，由圆台侧面积公式得：31)5(21)255(=+⋅++='l R R S S ππ，解得R =25 评述：本题主要考查圆台及其侧面积公式，立足课本，属送分题.图9—5025.答案：D解析：连EB 、E C.四棱锥E —ABCD 的体积V E —ABCD =31·32·2=6.由于AB =2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB =2S △BEF∴V F —EBC =V C —EFB =21V C —ABE =21V E —ABC =21·21V E —ABCD =23 ∴多面体EF —ABCD 的体积V EF —ABCD =V E —ABCD +V F —EBC =6+21523=. 此题也可利用V EF —ABCD ＞V E —ABCD =6.故选D.评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力. 26.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由已知得：πr 2＋πrl ＝3πr 221=⇒l r ， ∴θ＝lr×2π＝π. 评述：本小题考查圆锥的概念、性质及侧面积公式.侧面展开是立体问题平面化的重要手段应引起广大考生的注意. 27.答案：A解析：设该棱台为正棱台来解即可.评述：本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.28.答案：B 解析：设球心为O ，由题设知三棱锥O —ABC 是正四面体，且△ABC 的外接圆半径是2，设球半径为R ，则33R ＝2，∴R ＝23. 29.答案：C解析：A 中直线l ⊥β，l α，所以α⊥β，A 为真命题.B 中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有l ⊥β，否则l 不垂直β.故选C.评述：本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质. 30.答案：C解析：长方体的对角线长等于球的直径，于是（2R ）2＝32＋42＋52，R 2＝225， 则S 球＝4πR 2＝4π·225＝50π. 评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质.。

专题09立体几何历年考题细目表历年高考真题汇编【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）1．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC，CD，PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD，PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵（﹣1，﹣1，1），∴（2，2，1）．∴|PA|＝|PC|＝|PB1|，|PD|＝|PA1|＝|PC1|，|PB|，|PD1|．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底10，S后，S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为： 4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零），则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D的距离，此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S（1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中，BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE，∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD，在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC，由DE∥BC，DE BC，可得DE＝FH，DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形，可得EF∥DH，EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD，即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE PA＝1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1）×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE ＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1，AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等为重点较佳.最新高考模拟试题AD与BD所成的角为（）1．在正方体中, 1A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1， 所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等． 所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60° 故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°． 故选：C ． 2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面α去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S ，周长为l ，则( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值【答案】C 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等， 如图：与面1A BD 平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN ，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得22EF =， ∴六边形的周长l 为定值32． ∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形，周长与面积不变， 故S 与l 均为定值，故选C.3．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．23C ．11D ．10【答案】C 【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为，故ADB ∆为等腰三角形，又，故，所以即，故CB DB ⊥，因为，所以，所以CB PB ⊥，因，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ， 所以，因A 为DC 的中点，所以，因为，故PDC ∆为直角三角形，所以，又，而4PB =，故即PBD ∆为直角三角形， 所以，所以，故选C.4．若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若，则αβ⊥B ．若，则αβ‖C ．若，则αβ‖D ．若，则αβ‖ 【答案】C 【解析】A 中，若，平面,αβ可能垂直也可能平行或斜交，不正确； B 中，若，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确；C 中，若,a b αβ⊥⊥，则,a b 分别是平面,αβ的法线，a b ‖必有αβ‖，正确；D 中，若，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确.故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．23π B ．32π C ．3π D ．43π 【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B ． 6．如图，正方体中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 解：正方体中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A．7．下列说法错误的是（）A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D.-中，8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P ABCD=，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD CD鳖臑有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C 【解析】由题意，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PDDC ，PD BC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，BC PC ⊥，所以四面体PDBC 是一个鳖臑， 因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥， 因为，所以DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑， 同理可得，四面体PABD 和FABD 都是鳖臑， 故选C.9．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】48π 【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =， 得，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积为，故答案为48π.10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为_______. 【答案】223π 【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高，所以圆锥的体积为.11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____． （1）若m α，n α∥，则m n ∥ （2）若m α⊥，m n ⊥则n α∥（3）若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥； （4）若m β⊂，αβ，则m α【答案】（3）（4） 【解析】 若，则m 与n 可能平行，相交或异面，故（1）错误； 若则n α∥或n α⊂，故（2）错误； 若且m n ⊥，则αβ⊥，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得m α，故（4）正确；故答案为：（3）（4） 12．长方体的底面ABCD 是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上存在点E ，使得，则侧棱1AA 的长的最小值为_______．【答案】2 【解析】设侧棱AA 1的长为x ，A 1E ＝t ，则AE ＝x ﹣t ，∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形， ∠C 1EB ＝90°， ∴，∴2+t 2+1+（x ﹣t ）2＝1+x 2， 整理，得：t 2﹣xt+1＝0，∵在侧棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB ＝90°， ∴△＝（﹣x ）2﹣4≥0， 解得x≥2．∴侧棱AA 1的长的最小值为2． 故答案为2．13．如图，在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE BC ⊥，将CDE ∆沿DE 折起到点P 位置，则该四棱锥P ABDE -体积的最大值为_______．【答案】327【解析】在Rt ABC ∆中，由已知，1AB BC ==，DE BC ⊥，所以设，四边形ABDE 的面积为,当CDE ∆⊥平面ABDE 时，四棱锥P ABDE -体积最大, 此时，且,故四棱锥P ABDE -体积为，，30,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '> ；时，0V '<,所以，当33x =时，max 327V =. 故答案为32714．三棱锥P ABC -的4个顶点在半径为2的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为3的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______． 【答案】65【解析】△ABC 是边长为3的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R2,解得h=2,又由知，得'65d =故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65． 15．如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．【答案】3 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等， 所以，，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h ＝3R ，所以，圆锥与圆柱的高之比为33RR=. 故答案为：3 16．直三棱柱中，，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设，则．分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1， 即，∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得，∴，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．17．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的等边三角形，，25PC =.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）若点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点，求三棱锥N AMC -的体积V . 【答案】(1)见证明；(2) 26=3V 【解析】（1）取AB 中点H ，连结PH ，HC .∵，4AB =，∴PH AB ⊥，22PH =. ∵等边ABC ∆的边长为4 ∴23HC =，又25PC = ∴∴90PHC ∠=， 即PH HC ⊥ 又∵，AB平面ABC ，CH ⊂平面ABC ∴PH ⊥平面ABC ，又PH ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面ABC（2）∵点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点 ∴点N 到平面ABC 的距离为1=22PH 且∴三棱锥N AMC -的体积18．如图所示，三棱柱中，90BCA ∠=°，1AC ⊥平面1A BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面11ACC A ；（2）若，11A A A C =，求点1B 到平面1A BC 的距离．【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 （1）证明：1AC ⊥平面1A BC ，．，，BC ∴⊥平面11ACC A ．又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ACC A ．（2）解：取AC 的中点D ，连接1A D ．，．又平面ABC ⊥平面11ACC A ，且交线为AC ，则1A D ⊥平面ABC ．1AC ⊥平面1A BC ，，∴四边形11ACC A 为菱形，．又11A A A C =，1A AC ∴是边长为2正三角形，13A D ∴= ．面11BB C C ,1BB ⊂面11BB C C1AA ∴面11BB C C设点1B 到平面1A BC 的距离为h ．则．，，3h ∴=．所以点1B 到平面1A BC 的距离为3．19．在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上（如左图），且=BE BF ，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A （如右图）．（1）求证：A D EF '⊥； （2）当13BF BC =时，求点A 到平面DEF 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）375【解析】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，，A D ∴'⊥平面A EF '， 平面A EF '，．（2），，，52DEFS∴=设点A 到平面DEF 的距离为d ，，，解得375d =． ∴点A 到平面DEF 的距离为375．20．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是SA 上的点.（1）求证：//MN 平面SDC ； （2）求A 点到平面MDN 的距离. 【答案】（1）见证明；（2）127d = 【解析】（1）取AD 中点为E ，连结ME ，NE ，则//ME DC ，因为ME ⊄平面SDC ，所以//ME 平面SDC ，同理//NE 平面SDC . 所以平面//MNE 平面SDC ，从而因此//MN 平面SDC .（2）因为CD AD ⊥，所以ME AD ⊥.因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD CD ⊥，ME SD ⊥.所以ME ⊥平面SAD . 设2DA =，则3ME =，2NE =，，10MD =，5ND =.在MDN ∆中，由余弦定理，从而，所以MDN ∆面积为72. 又ADM ∆面积为12332⨯⨯=. 设A 点到平面MDN 的距离为d ，由得732d NE =， 因为2NE =，所以A 点到平面MDN 的距离127d =. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，//AB CD ，AB AD ⊥，，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】 （Ⅰ）设，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得.由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC PA ⊥. 由已知得AC 2=，BC 2=，AB 2=，所以.所以BC AC ⊥. 又，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ， 所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥. 又，所以AF ⊥平面PCD .由PA 3=，AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 22．已知三棱柱的底面ABC 是等边三角形，侧面AA C C ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）求平面DA C '将该三棱柱分成上下两部分的体积比. 【答案】(1)见证明；(2)1：1 【解析】（1）取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与C A '交于点E ， 连接DE ，,OB B F ',则E 为OF 的中点，,且，所以BB FO '是平行四边形.又D 是棱BB '的中点，所以DE OB .。

2010年实验区高考试题分析——以文科解析几何试题为例解析几何一直是高考的重头戏，新课标对解析几何的要求有哪些变化，在接下来的高考复习中应如何应对，本文以2010年试验区的高考题为例，做一简单分析。

下表是各省份2010年高考解析几何考查内容:省份选择题填空题解答题全国卷5双曲线的渐近线，离心率13直线与圆的位置关系20直线与椭圆山东卷9抛物线的性质16直线与圆的位置关系22直线与椭圆广东卷6直线与圆的位置关系7椭圆的性质21抛物线与函数，导数北京卷11点与线的位置关系13椭圆与双曲线的性质19直线与椭圆辽宁卷7抛物线的性质9双曲线的渐近线，离心率20直线与椭圆天津卷13抛物线与双曲线的性质14直线与圆的位置关系21直线与椭圆上海卷7直线与圆的位置关系8抛物线的性质13双曲线的性质23直线与椭圆陕西卷9抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系20直线与椭圆浙江卷10双曲线22抛物线的渐近线，安徽卷4直线方程12抛物线的性质17直线与椭圆福建卷11椭圆与向量13双曲线的渐近线，19抛物线湖南卷5抛物线的定义14直线的位置关系19椭圆建模江苏卷6双曲线定义9直线与圆的位置关系18直线与椭圆海南卷5双曲线定义13直线与圆的位置关系20直线与椭圆通过以上对比，可发现：一、试题特点：1．题型稳定：通过对今年试验区14份高考试题的研究，可以发现，解析几何大多稳定在一个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为22分，占总分值的15%左右。

2．重点突出：今年试验区14份高考试题，对新课标的“了解”“理解”“掌握”的不同要求体现的非常到位。

如新课标对圆锥曲线的要求为：了解理解掌握了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。

了解圆锥曲通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例1），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

【名师简评】作为北京进入新课改后第一年高考的数学试题，我认为很好的完成了由老教材到新课改的过度，试题的命制在这方面做的很好.我的总体感觉：耳目一新。

1、风格亲切，考生不意外。

对这份题，考生可能感觉似曾相识，与此前的模拟练习很类似，可以说是练什么就考什么。

这也正说明出题人与教师、学生的目的是一致的，最终是让学生掌握基本知识，而不是找学生毛病。

2、平稳中有创新。

20个题严格依照考试说明的要求，考查主要知识、基本方法。

保持了北京卷的一贯特点：关注考生的探索意识和动手能力。

如第14、第20题等，情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。

3、敢于探索，创新力度大。

尽管今年是北京新课程第一年高考，但试题并没有一味求稳，依据新课程的要求，大胆取舍，甚至一步到位，创新力度出乎多数人意料。

其中倒数第2题给人印象尤其深刻，题目新颖不落俗套，学生平时常用的方法不能解决了。

但问题不是偏了、怪了，而是回归到解析几何最本质的问题：代数方法研究几何问题。

4、难度比去年要高一点。

试卷梯度明显，入手容易，但真正完全解决，还需要学生有扎实的基础和顽强的意志。

考试后接触到一些水平不错的孩子，他们大都觉得这份试卷比平时的模拟练习难度要高，阅读量大，计算量大。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} 答案B【命题意图】本题考查集合的交集运用，在求解中要注意集合元素的特性【试题解析】集合{0,1,2}P =,集合{3,2,1,0,1,2,3}M =---所以P M I ={0,1,2}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 （A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i答案C【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化.【试题解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故 其对应的复数为2+4i.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15答案D【命题意图】本题考查离散型随机变量的概率问题，在求解此类问题要求能够准备的确定基本事件空间的基本事件个数和所求事件所含的基本事件个数【试题解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15中取法，其中满足b>a 的有3种，所求事件的概率为31155P == ⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是 （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数答案A【命题意图】本题考查学生对平面向量的数量积运算和函数的奇偶性，在求解中要明确及有关向量模的运算【试题解析】，因为所以所以函数()f x 是一次函数且为奇函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为： 答案C【命题意图】本题考查了几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义 【试题解析】由正（主）视图可知去掉的长方体在正对视线的方向，从侧（左）视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④答案B【命题意图】本题考查了函数的单调性，要注意各类函数中决定单调性的元素所满足的条件【试题解析】①是幕函数，其在（0,+∞）第一象限内为增函数，故此项不符合要求，②中的函数是由函数12log (1)y x =+向左平移一个单位而得到的，因原函数在（0,+∞）内为减函数，故此项也不符合要求，③中的函数图像是由函数y=x-1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知该图象符合要求，④中的函数为指数函数，因其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，所以选项B 正确 （7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+答案A【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.【试题解析】四个等腰三角形的面积之和为1411sin 2sin 2αα⨯⨯⨯⨯=在由余弦定理可得正方形的边长为=，故正方形的面积为2cos α-所求八边形的面积为2sin 2cos 2αα-+（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2， 动点E 、F 在棱11A B 上。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）
文数解析
一、选择题：每小题5分,共60分
1、【答案】D
【解析】
试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选
D.
考点：集合运算
2、【答案】A
【解析】
试题分析：∵OA -=OB AB ＝（3，1），∴AB AC -=BC ＝（-7，-4），故选A. 考点：向量运算
3、【答案】C
【解析】
试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴212(12)()2i i i z i i i
++-=
==--，故选C. 考点：复数运算
4、【答案】C
【解析】
试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5， 故3 个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为1
10，故选
C.
考点：古典概型
5、【答案】B
【解析】
试题分析：∵抛物线C ：y 2=8x 的焦点为（2，0），准线方程为x=2，∴椭圆E 的右焦点为（2，0），。