高中立体几何大题20题汇总

立体几何综合大题（理科）40道及答案1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA23 , BC CD 2 , ACB ACD .3( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ；( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。

【答案】( Ⅰ) 证明: 因为BC=C，D即B C D为等腰三角形，又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD，所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA, AC 都垂直，故⊥平面。

BD PAC1 1 2( Ⅱ) 解： 3S BCD .BC CD sin BCD 2 2 sin2 2 31 1由PA 底面ABCD知VP BDC BCD3 2 3 2 .S PA3 31由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA8,故：1V F BDC S BCD318PA133182 314V P V V BDF P BCD F BCD214742、如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面PAD 平面ABCD，且A B1,A D 2 ，E, F 分别为PC 和BD 的中点．（Ⅰ）证明：EF平面PAD；（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；（Ⅲ）求四棱锥P ABCD的体积．PEDCOFAB【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AC．∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF AP∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD；（Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD，平面PAD平面ABCD AD，所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD又PA PD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以PO AD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD，所以，PO面ABCD，即PO为四棱锥P ABCD的高．由AD2得PO1．又AB1．∴四棱锥P ABCD的体积12 V PO AB AD33考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD ，CD PA，DB平分ADC ，E为PC的中点，DAC 45 ，AC 2 .（Ⅰ）证明：PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）若PD 2, BD 2 2, 求四棱锥 E ABCD 的体积【答案】（Ⅰ）设AC BD F ，连接EF，PD 平面ABCD，CD 平面ABCD ，PD CD又CD PA，PD PA P，PD，PA 平面PADCD 平面PAD，AD 平面PAD CD AD∵DAC 45 ,∴DA DC ,∵DB 平分ADC , F 为AC 中点，E 为PC 中点，∴EF 为CPA 的中位线.∵EF ∥PA, EF 平面BDE ，PA 平面BDE∴PA ∥平面BDE .( Ⅱ) 底面四边形ABCD的面积记为S;．1 2 1 3S S ADC S 2 2 2 2ABC2 2 2 2点E PC为线段的中点，1 1 1 1 2V S PD 2 2 ．E ABCD3 2 3 2 3考点：1. 线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，P ABCD ABCD PA PD AD 2BAD 60 ，Q 为AD 的中点．(1) 求证：AD 平面PQB；(2) 若平面PAD 平面ABCD , 且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD 的体积．【答案】（1）PA PD ，Q 为中点，AD PQ连DB ，在ADB 中，AD AB ，，BAD 60Q ADABD 为等边三角形，为的中点，AD BQ ,PQ BQ Q , PQ 平面PQB , BQ 平面PQB ,AD 平面PQB .（2）连接QC , 作MH QC 于H .PQ AD , PQ 平面PAD ,平面PAD 平面ABCD AD ,平面PAD 平面ABCD，PQ 平面ABCD ,QC 平面ABCD ,PQ QCPQ / /MH .MH 平面ABCD ,又 1PM PC ,21 1 3 3 MH PQ2 .2 2 2 2在菱形ABCD中，BD 2,1S AB AD ABD2sin 601 3= 2 2 = 32 2,S菱形2S ABD 2 3 .ABCDVM ABCD 13S菱形MHABCD1 32 33 21．5 、如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点， F 为CD 边的中点，2AB AE AD ABE BE PBE PBE4，现将沿边折至位置，且平面平面 3 BCDE .PBE PEF ⑴求证：平面平面；P BEFC⑵求四棱锥的体积.PEA D EDFFB C B C(1) (2)【答案】(1) 证明：由题可知，ED DFDEF中DEFED DFAE ABABE中AEBAE AB4545EF BE平面ABE 平面BCDE平面ABE 平面BCDE BE EF 平面PBE EF BE 平面平面PBE PEFEF PEF平面1 1(2) S S S S 6 4 4 4 2 2 14 ，则BEFC ABCD ABE DEF2 21 1 28 2.V S h 14 2 2BEFC3 3 36、已知四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD, ABCD 是正方形，E是PA 的中点，PEA BD C(1) 若PD AD ，求PC与面AC所成的角(2) 求证：PC // 平面EBD(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD【答案】(1) PD 平面ABCD ，DC 是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD 是直线PC 和平面ABCD 所成的角。

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1．（2014•山东)如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD，E，F分别为线段AD,PC的中点．（Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF,则O是AC的中点,∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF,∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD,∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD,∴BE⊥AP，∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A,∴BE⊥平面PAC．3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ）求证:BE∥平面PAD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD；(Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．解答：解：（Ⅰ）取PD的中点F,连接EF，AF,∵E为PC中点，∴EF∥CD,且，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=1，∴EF∥AB，EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF,∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．(4分）（Ⅱ)∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD．(5分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0,0），B(1,1，0)，C(0，2，0），P（0,0，1）．（6分）,，∴,BC⊥DB，（8分)又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，∴BC⊥平面PBD．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分)∵，，且λ∈（0，1）∴Q(0,2λ，1﹣λ)，（11分）设平面QBD的法向量为=（a，b，c），,,由,,得,∴，(12分）∴,(13分）因λ∈（0，1），解得．（14分)4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC,AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：(1）直线PA∥平面DEF；(2）平面BDE⊥平面ABC．解答：证明:(1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF;（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF;∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC;∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．13．（2012•江苏）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证:（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．解答：解：(1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1,∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1;（2)∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．16．(2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1)求证：EF∥平面SAD（2)设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．解答：（1)如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A(a，0,0），S（0,0,b），则B（a，a，0）,C(0，a，0），，．取SD的中点,则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1,0,0），则B（1，1，0），C(0,1，0）,S（0，0，2)，,．EF 中点，，,又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．。

立体几何综合大题（理科）40 道及答案1、四棱锥中 , ⊥底面 ,,,.( Ⅰ) 求证 : ⊥平面；( Ⅱ) 若侧棱上的点满足 , 求三棱锥的体积。

【答案】( Ⅰ) 证明 : 由于BC=CD，即BCD 为等腰三角形，又ACB ACD ,故 BD AC .由于PA底面ABCD ，因此PA BD ,从而BD与平面PAC 内两条订交直线PA, AC都垂直，故⊥平面。

( Ⅱ) 解：S BCD 1BC ? CD ? sin BCD1 2 2 sin23. 223由 PA1SBCD PA13 23 2 .底面 ABCD 知V P BDC33由 PF7FC , 得三棱锥F BDC 的高为1PA , 81113131故：V F BDC S BCD PA243838V P BDF V P BCD V F BCD17 2442、如图，四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面 PAD平面ABCD，且AB1, AD 2 ，E, F 分别为PC和 BD 的中点．（Ⅰ）证明： EF P 平面PAD；（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；（Ⅲ）求四棱锥 P ABCD 的体积．O【答案】（Ⅰ）证明：如图，连接AC ．∵四边形 ABCD 为矩形且F是BD的中点．∴F也是 AC 的中点．又E 是PC的中点， EF P AP∵ EF平面 PAD ， PA 平面 PAD ，因此 EF P 平面PAD ；（Ⅱ）证明：∵平面 PAD平面 ABCD ， CD AD ，平面 PAD I平面ABCD AD ，因此平面 CD平面 PAD ，又 PA 平面 PAD ，因此PA CD又 PA PD ， PD , CD 是订交直线，因此 PA 面PCD又 PA平面 PAD ，平面 PDC平面 PAD ；（Ⅲ）取 AD 中点为 O ．连接 PO , PAD 为等腰直角三角形，因此 PO AD ，由于面 PAD面 ABCD 且面 PAD I 面 ABCD AD ，因此， PO面 ABCD ，即 PO 为四棱锥 P ABCD 的高．由 AD 2 得PO 1．又 AB1．∴四棱锥 P ABCD 的体积V 1PO AB AD2 33考点：空间中线面的地址关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD 中，PD平面 ABCD，CD PA ，DB均分ADC，E为PC的中点，DAC45o，AC 2 .（Ⅰ）证明： PA ∥平面 BDE ；（Ⅱ）若 PD 2, BD 2 2,求四棱锥 E ABCD 的体积【答案】（Ⅰ）设 AC BD F ，连接 EF，PD 平面 ABCD ， CD平面ABCD，PD CD又CD PA， PD PA P， PD ， PA平面PADCD 平面 PAD ， AD平面PAD CD AD∵DAC 45 , ∴ DA DC ,∵ DB 均分ADC , F 为AC中点， E 为PC中点，∴EF 为 CPA 的中位线 .∵ EF ∥PA, EF平面BDE，PA平面BDE∴PA ∥平面 BDE .( Ⅱ) 底面四边形 ABCD 的面积记为 S;S S ADC S ABC1221232 2 ．2222点 E为线段 PC的中点，VE ABCD1S1PD1212 2 ．32323考点： 1. 线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算 .4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，为的中点．，(1)求证： AD 平面 PQB ；(2)若平面平面ABCD ,且M为PC的中点，求四棱锥M ABCD 的体积．【答案】（ 1）Q PA PD ，Q为中点，AD PQ连DB ，在ADB中，AD AB，，ABD 为等边三角形，为的中点，AD BQ ,PQ BQ Q , PQ平面PQB,BQ平面PQB, AD 平面 PQB .（ 2）连接QC , 作MH QC 于 H .Q PQ AD , PQ平面PAD ,平面 PAD平面ABCD AD ,平面平面 ABCD，PQ 平面 ABCD , QC平面 ABCD , PQ QCPQ / / MH .MH平面 ABCD ,又 PM 12 PC ,MH1PQ132 3 .2222在菱形 ABCD 中，BD 2 ,SABD1AB AD sin 600 =122 3 = 3 ,222 S菱形ABCD 2SABD2 3 .V M ABCD 113．S菱形ABCD MH 2 31 3325 、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至地址，且平面平面.⑴ 求证：平面平面；⑵求四棱锥的体积 .【答案】 (1)证明：由题可知，(2)，则.6、已知四棱锥中，是正方形， E 是的中点，PEA BD C(1) 若PD AD ，求PC与面AC所成的角(2)求证：平面(3)求证：平面 PBC⊥平面 PCD【答案】平面，是直线在平面 ABCD 上的射影，是直线 PC 和平面 ABCD 所成的角。

高一立体几何试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知空间四边形ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=BC=CD=1，BD=√2，则AD的长度为（）。

A. √2B. √3C. √5D. 22. 一个正方体的棱长为a，其内切球的表面积为（）。

A. πa²B. 4πa²C. 6πa²D. 8πa²3. 已知直线l与平面α相交于点P，直线m⊥平面α，则直线l与直线m的位置关系是（）。

A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直4. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，其侧面展开图的扇形圆心角为θ，则θ的值为（）。

A. 2πr/hB. 2πh/rC. 2πr/√(r²+h²)D. 2πh/√(r²+h²)5. 一个圆柱的底面半径为R，高为H，其体积为（）。

A. πR²HB. 2πR²HC. πRHD. 2πRH6. 一个球的半径为R，其表面积为（）。

A. 4πR²B. 2πR²C. 8πR²D. 6πR²7. 已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，且PA⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的形状为（）。

A. 正四面体B. 正三棱锥C. 正方体D. 长方体8. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为（）。

A. abcB. ab²cC. a²bcD. a³bc9. 一个圆柱的底面半径为R，高为H，其侧面积为（）。

A. 2πRHB. πR²HC. 2πR²HD. πRH10. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，其体积为（）。

A. 1/3πr²hB. 1/2πr²hC. πr²hD. 2πr²h二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知空间四边形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=√3，BD=√5，且AB⊥CD，BD⊥CD，则AC的长度为________。

立体几何综合大题1、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ；（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．2、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．(1) 求证：AD PQB ⊥平面；(2) 若平面平面ABCD ,且M 为PC 中点，求四棱锥M ABCD -的体积．P ABCD -ABCD 2PA PD AD ===60BAD ︒∠=QAD PAD ⊥3、已知四棱锥中，是正方形，E 是的中点，(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角(2) 求证：平面(3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD4、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积．P ABCD -,PD ABCD ABCD ⊥平面PA //PC EBD 4cm ABCD E F 、BC CD 、M N 、AB CF 、AE AF EF 、、B C D 、、B MN AEF AB ⊥BEF E AFNM -EDC BA P5、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面ο(1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证：;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。

6、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离．P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 4PA AD ==2AB =BD O BD PD M ABM PCD PC ABM O ABMB7、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

黄金冲刺大题03 立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C 的中点．(1)证明：//MN 平面1A CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,2ABC AB AC BC AA ====，1A B =．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体ABCDE 中，BC BD ==，EC ED ⊥，且EC ED ==AB 平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE CD ⊥.(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱111ABC A B C -中，1A 在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱11A B （包含端点）上的动点．(1)求点P 到平面1ABC 的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围．6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB CD ∥，90BAD ︒∠=，2CD AB =，PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得//PD 平面AMC ．(1)证明：2PM BM =；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCD P AC B --的余弦值．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF -是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．(1)求点H 到平面ABCD 的距离；(2)求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE 为菱形，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且2AF FB =，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC ∠=︒，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求AN AF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．9．（2024·安徽·二模）将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90︒，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为 DF 上一点，若二面角C AM E --的余弦值为13，求MAD ∠．10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知AB 为圆台下底面圆1O 的直径，C 是圆1O 上异于,A B 的点，D 是圆台上底面圆2O 上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，2DA DC AC ===，4BC =，E 是CD 的中点，2BF FD = ．(1)证明：2//DO BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+ ，其中()0,1λ∈．(1)求证1D P AC ⊥；(2)已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面1,2ABC AC AA ==，1,AB BC =，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：1AB 平面1BEC ；(2)若1π3A AC ∠=，求二面角1A BE C --的余弦值.13．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.14．（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，PAD 为等边三角形，//AD BC ，AD AB ⊥，22AD AB BC ===．(1)求证：AD PC ⊥；(2)点N 在棱PC 上运动，求ADN △面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得//AM 平面BDQ ，求PQ QC的值．15．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.16．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．17．（2024·河北保定·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD ，PA BC ==，24CD AB ==.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足2PE ED = ，求二面角P EF B --的正弦值.18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，6,4PO AC ==.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且2OM =，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19．（2024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，PA PC =，PB PD ==M 是线段PC 上的点，且4PC MC = ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20．（2024·湖南·二模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，160,ABC BD ∠=⊥ 平面11AC D .(1)求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；(2)设点1D 关于平面11AC D 的对称点为E ，点E 和点1C 关于平面α对称（E 和α未在图中标出），求平面11AC D 与平面α所成锐二面角的大小.21．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.(1)证明：PF AD ⊥；(2)当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD .22．（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，连结BD ，CD ，且4BD =，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE ⊥平面ABCE ；(2)在图2中，若点F 在棱BD 上，直线AF 与平面ABCE F 到平面DEC 的距离．23．（2024·福建·模拟预测）如图，在三棱锥-P ABC 中，,,3,PA PB AB BC AB BC ⊥⊥==P AB C --的大小为θ，PAB θ∠=.(1)求点P 到平面ABC 的距离；(2)当三棱锥-P ABC 的体积取得最大值时，求：（Ⅰ）二面角P AB C --的余弦值；（Ⅱ）直线PC 与平面PAB 所成角.24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．(1)证明：90ABQ ∠=︒；(2)若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．25．（2024·浙江嘉兴·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面,ABCD PA QD ，222,60BC AB PA ABC ∠==== .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)若PQ =，求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的余弦值.26．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥-P ABC 中，4AB =，2AC =，60CAB ∠=︒，BC AP ⊥.(1)证明：平面ACP ⊥平面ABC ；(2)若2PA =，4PB =，求二面角P AB C --的平面角的正切值.27．（2024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥A BCD -中，4BC CD BD ===，点P 满足AP AC λ= ，(0,1)λ∈，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且//AD α，//BC α.(1)证明：(0,1)λ∀∈，四边形PQST 总是矩形；(2)若4AC =，求四棱锥C PQST -体积的最大值.28．（2024·湖北·二模）如图1．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，AE AD λ= ，(01)AF AB λλ=<< ，沿EF 将AEF △向上折起得到棱锥P BCDEP -．如图2所示，设二面角P EF B --的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P BCD -和四棱锥P BDEF -的体积之比为95？(2)当θ为何值时，()0,1λ∀∈，平面PEF 与平面PFB 的夹角ϕ29．（2024·湖北·模拟预测）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足//PQ α，P Q n ⊥且PQ m ⊥，（i ）求直线m ，n 与平面α的夹角之和；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d ．30．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为一个菱形，且120BAD ︒∠=.底面与顶面的对角线交点分别为O ，1O . 1122AB A B ==，11BB DD =1AA 与底面夹角余弦值为(1)证明：1OO ⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕1OO 旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与1DC 的夹角正弦值为θ的值(90θ︒<)；(3)求旋转后1AA 与1BB 的夹角余弦值.黄金冲刺大题03 立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C 的中点．(1)证明：//MN 平面1A CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【详解】（1）由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥ y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B ，得33((1,0,1),(22M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1120302n A C x z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11((1(1)02MN n ⋅=-⨯+⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；（2）如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =-，则2MN PM ⋅=- ，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =.2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M ABC -的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)12【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD的距离为（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为1132=．（2）连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,P A B C -，所以((),,,2,0,0M AM PB BC ⎛⎛-=-==- ⎝⎝ ．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n = ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos AM θ=即AM 与平面PBC ．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,2ABC AB AC BC AA ====，1A B =．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BD AC ⊥，根据平面11ACC A ⊥平面ABC 得出BD ⊥平面11ACC A ，1BD A D ⊥，利用勾股定理得出1AC A D ⊥，从而证明AC ⊥平面1A DB ；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面11A AB 的法向量和平面11ACC A 的一个法向量，利用向量求平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角余弦值．【详解】（1）证明：因为D 为AC 中点，且2AB AC BC===，所以在ABC 中，有BD AC ⊥，且BD =，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ,所以BD ⊥平面11ACC A ，又1A D ⊂平面11ACC A ，则1BD A D ⊥，由1A B =BD =，得1A D =，因为1AD =，12AA =，1A D =，所以由勾股定理，得1AC A D ⊥，又AC BD ⊥，11,,A D BD D A D BD =⊂ 平面1A DB ，所以AC ⊥平面1A DB ；（2）如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，可得1(1,0,0),A A B ，则(()1,AA AB =-=- ，设平面11A AB 的法向量为(,,)n x y z = ，由100n AA x n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以)n = ,由（1）知，BD ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，则||cos ||||n BD n BD α⋅= ，所以平面11A AB 与平面11ACC A4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体ABCDE中，BC BD ==，EC ED ⊥，且EC ED ==AB平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE CD ⊥.(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设平面ABE 与直线CD 交于点M ，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；（2）证明BE ⊥平面CDE ，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】（1）设平面ABE 与直线CD 交于点M ，连接,ME MB ，则平面ABE 与平面CDE 的交线为ME ，平面ABE 与平面BCD 的交线为MB ，因为AB 平行于平面CDE ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 和平面CDE 的交线为ME ，所以AB ME ∥．同理AE MB ，所以四边形ABME 是平行四边形，故AE MB ，AB ME ∥.因为CD AE ⊥，AE MB ，所以CD MB ⊥，又BC BD ==，所以M 为棱CD 的中点在CDE 中，EC ED =，MC MD =，所以CD ME ⊥，由于AB ME ∥，故CD AB ⊥.而CD AE ⊥，AB AE A = ，,AB AE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，所以平面ABE ⊥平面.CDE （2）由（1）可知，CD ⊥平面ABME ，又AM ⊂平面ABME ，所以CD AM ⊥.而点A 到直线CD 的距离为，故AM =在等腰直角三角形CDE 中，由EC ED ==得2, 1.CD MC MD ME ====在等腰三角形BCD 中，由1MC MD ==，BC BD ==，得BM =在平行四边形ABME 中，AE BM ==1AB EM ==，AM =由余弦定理得222cos 2·EM AE AM MEA EM AE +-∠==，所以cos BME ∠=2BE ==.因为22222221BE ME BM +=+==，所以BE ME ⊥.因为平面ABME ⊥平面CDE ，平面ABME 和平面CDE 的交线为ME ，BE 在平面ABME 内.所以BE ⊥平面.CDE 如图，以E 为坐标原点，,,EC ED EB 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则())()()0,0,0,,,0,0,2,2,E C D B A F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()(),0,2,.CD DB FB ⎫===⎪⎪⎭ 设平面BCD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111020z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.则可取12x =，得(2,m = .设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则00n FB n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222020y z z +=⎪+=⎩.取21z =，则()n =- ．设平面BDF 与平面BCD 的夹角为θ，则cos θ所以平面BDF 与平面BCD5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱111ABC A B C -中，1A 在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱11A B（包含端点）上的动点．(1)求点P 到平面1ABC 的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围．【答案】(2)2[5.【分析】（1）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.（2）由向量共线求出向量AP 的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】（1）依题意，1A O ⊥平面ABC ，OB AC ⊥(底面为正三角形)，且1A O OB ==以O 为原点，1,,OB OC OA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则11(0,0,0),(0,1,0),(0,2),(0,1,0),O A C A B C -，1AC = ，1(BC = ，1AA = ，由11//A B AB ，11A B ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，则11//A B 平面1ABC ，即点P 到平面1ABC 的距离等于点1A 到平面1ABC 的距离，设(,,)n x y z = 为平面1ABC的一个法向量，由113020n AC y n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3z =，得(1,n = ，因此点1A 到平面1ABC的距离1||||AA n d n ⋅=== 所以点P 到平面1ABC．（2）设111A P A B λ= ，[0,1]λ∈，则111,1AP AA A P AA AB λλλ=+=+=+=+ ，由AP α⊥，得AP 为平面α的一个法向量，设直线1BC 与平面α所成角为θ，则111||sin |cos ,|||||BC AP BC AP BC AP θ⋅=〈〉=== 令5t λ=-，则5t λ=-，[4,5]t ∈，则sin θ====，由[4,5]t ∈，得111[,54t ∈，于是21752557()[,]38762516t -+∈，5]2，则2sin [5θ∈，所以直线1BC 与平面α所成角的正弦值的取值范围是2[5.6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB CD ∥，90BAD ︒∠=，2CD AB =，PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得//PD 平面AMC ．(1)证明：2PM BM =；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCDP AC B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，由已知得AB EB CD ED=，由线面平行的性质得PD EM ∥，根据三角形相似可得12EB BM ED PM ==，即2PM BM =（2）设AB 的中点O ，首先由已知得PO ⊥底面ABCD ，在PAB 中过点M 作MF PO ∥交AB 于点F ，得MF ⊥底面ABCD ，则MCF ∠为CM 与底面ABCD 所成角，在底面ABCD 上过点O 作OG AC ⊥于点G ，则PGO ∠是二面角P AC B --的平面角，根据条件求解即可【详解】（1）证明：连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，在EAB 与ECD 中，∵AB CD ∥，∴AB EB CD ED=，由2CD AB =，得2ED EB =，又∵//PD 平面AMC ，而平面PBD 平面AMC ME =，PD ⊂平面PBD ，∴PD EM ∥，∴在PBD △中，12EB BM ED PM ==，∴2PM BM =；（2）设AB 的中点O ，在正PAB 中，PO AB ⊥，而侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ⋂底面ABCD AB =，且PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥底面ABCD ，在PAB 中过点M 作//MF PO 交AB 于点F ，∴MF ⊥底面ABCD ，∴MCF ∠为CM 与底面ABCD 所成角，∴MF CF =，设6AB a =，则MF =，∴11CF a =，BF a ==，则在直角梯形ABCD 中，5AF a =，而12CD a =，则AD ==，在底面ABCD 上过点O 作OG AC ⊥于点G ，则PGO ∠是二面角P AC B --的平面角，易得3OA a =，AC =，在梯形ABCD 中，由3OA AC a OG AD OG =⇒=OG =，在Rt POG △中，PG =，∴cos OG PGO PG ∠==．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG CDEHF -是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD 是矩形，8AB =m ，4=AD m ，1ED CF ==m ，且ED ，CF 都垂直于平面ABCD ，5GA GB ==m ，HE HF =，平面ABG ⊥平面ABCD ．(1)求点H 到平面ABCD 的距离；(2)求平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)4(2)413【分析】（1）取,AB CD 的中点,M N ，证得平面//ADE 平面MNHG ，得到//AE GH ，再由平面//ABG 平面CDEHG ，证得//AG EH ，得到平行四边形AGHE ，得到GH AE =，求得4HN =，结合⊥HN 平面ABCD ，即可求解；（2）以点N 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG 和平面AGHE 的法向量(1,3,4)n = 和(1,3,4)m =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取,AB CD 的中点,M N ，连接,,GM MN HN ，因为GA GB =，可得GM AB ⊥，又因为平面ABG ⊥平面ABCD ，且平面ABG ⋂平面ABCD AB =，GM ⊂平面ABG ，所以GM ⊥平面ABCD ，同理可得：⊥HN 平面ABCD ，因为ED ⊥平面ABCD ，所以//ED HN ，又因为ED ⊄平面MNHG ，HN ⊂平面MNHG ，所以//ED 平面MNHG ，因为//MN AD ，且AD ⊄平面MNHG ，MN ⊂平面MNHG ，所以//AD 平面MNHG ，又因为AD DE D ⋂=，且,AD DE ⊂平面ADE ，所以平面//ADE 平面MNHG ，因为平面AEHG 与平面ADE 和平面MNHG 于,AE GH ，可得//AE GH ，又由//GM HN ，//AB CD ，且AB GM M = 和CD HN N = ，所以平面//ABG 平面CDEHG ，因为平面AEHG 与平面ABG 和平面CDEHF 于,AG EH ，所以//AG EH ，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH AE =，因为AE ===，所以GH =在直角AMG，可得3GM ===，在直角梯形GMNH中，可得34HN ==，因为⊥HN 平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.（2）解：以点N 为原点，以,,NM NC NH 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,4,1),(0,4,1),(4,0,3),(0,0,4)E F G H -，可得(0,4,3),(0,4,3),(4,0,1)HE HF HG =--=-=- ，设平面BFHG 的法向量为(,,)n x y z = ，则40430n HG x z n HF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取4z =，可得1,3x y ==，所以(1,3,4)n = ，设平面AGHE 的法向量为(,,)m a b c = ，则40430m HG a c m HE b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取4c =，可得1,3a b ==-，所以(1,3,4)m =- ，则4cos ,13m n m n m n ⋅=== ，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE 为菱形，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且2AF FB =，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC ∠=︒，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求AN AF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)913AN AF =(3)【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到CF AC ⊥，再根据面面垂直的性质证明；（2）以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，利用向量的坐标运算根据00MN CD MN AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，列方程求解即可；（3）利用向量法求面面角，然后根据tan α>.【详解】（1）2222cos 12AB AC BC AC BC ACB AB =+-⋅⋅∠==，2AF FB =，所以AF =1233CF CA CB =+ ，22214449993CF CA CB CA CB =++⋅= ，222416433AC CF AF +=+==，则CF AC ⊥，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC CF =⊂，面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；（2）以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，由60EAC ∠=︒，可得120DCA ∠=︒，2DC =，所以()(()0,0,0,,2,0,0,C D A F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(CD =- ，设2,0AN AF λλ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22,0N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设CM CD μ=，则()M μ-，22,MN λμ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，由题知，223004442003MN CD MN AF λμμλμλ---=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得913λ=，213μ=-，故913AN AF =；（3）()B -，设EAC θ∠=，则()22cos ,0,2sin E θθ-，()32cos ,2sin BE θθ=- ，可取平面ABC 的法向量()0,0,1n = ，则sin cos ,n BE n BE n BEα⋅====⋅，cos α=，则tan α=>整理得210cos 9cos 20θθ-+<，故21cos ,52θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()2cos ,0,2sin CD θθ=-，()CB =- ，记平面CDF 的法向量为()1,,n x y z =，则有112cos 2sin 0000x z n CD y n CF θθ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，可得()1sin ,0,cos n θθ= ，记平面CBD 的法向量为()2,,n a b c =，则有222cos 2sin 0000a c n CD a n CB θθ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，可得)2,sin n θθθ= ，记平面BCD 与平面CFD 所成角为γ，则12cos cos ,n n γ== 21cos ,52θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2321sin ,425θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos γ=．9．（2024·安徽·二模）将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90︒，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE；(2)点M 为 DF 上一点，若二面角C AM E --的余弦值为13，求MAD ∠．【答案】(1)证明见解析(2)45MAD ︒∠=【分析】（1）根据面面与线面垂直的性质可得BD AF ⊥，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设MAD α∠=，1AB =，利用空间向量法求出二面角C AM E --的余弦值，13=，结合三角恒等变换求出α即可.【详解】（1）由已知得平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF AB ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故BD AF ⊥，因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，AC ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A ⋂=，所以BD ⊥平面ACF ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面ACF ⊥平面BDE .（2）由（1）知AD ，AF ，AB 两两垂直，以AD ，AF ，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设MAD α∠=，1AB =，则()0,0,0A ，()cos ,sin ,0M αα，()1,0,1C ，()0,1,1E ，故()cos ,sin ,0AM αα= ，()1,0,1AC = ，()0,1,1AE = 设平面AMC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AC ⋅= ，0m AM ⋅= 故111100x z x cos y sin αα+=⎧⎨+=⎩，取1sin x α=，则1cos y α=-，1sin z α=-所以()sin ,cos ,sin m ααα=--设平面AME 的法向量为()222,,n x y z = ，0n AE ⋅= ，0n AM ⋅= 故222200y z x cos y sin αα+=⎧⎨+=⎩，取2sin x α=，则2cos y α=-，2cos z α=所以()sin ,cos ,cos n ααα=- ，所以cos ,m n = ，13=，化简得：22sin 29sin 270αα-+=，解得sin 21α=或7sin 22α=（舍去）故45α=︒，即45MAD ∠=︒.10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知AB 为圆台下底面圆1O 的直径，C 是圆1O 上异于,A B 的点，D 是圆台上底面圆2O 上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，2DA DC AC ===，4BC =，E 是CD 的中点，2BF FD = ．(1)证明：2//DO BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取AC 的中点O ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，即可求证21//DO OO ，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.（2）建系，利用向量法，求解法向量1(1,2n =-与方向向量(1,4,DB =-的夹角，即可求解．【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接DO ，1OO ，12O O ，DA DC =Q ，O 为AC 中点，DO AC ∴⊥，又平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC AC =，DO ⊂平面DAC,DO ∴⊥平面ABC ，12//DO O O ∴，12DO O O =，故四边形12DOO O 为矩形，21//DO OO ∴，又O ，1O 分别是AC ，AB 的中点，1//OO BC ∴，2//DO BC ∴；（2）C 是圆1O 上异于A ，B 的点，且AB 为圆1O 的直径，BC AC ∴⊥，1OO AC ∴⊥，∴如图以O为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =(1A ∴,0,0),(1B -,4,0),(1C -,0,0),D ，∴1(2E -，设(F x ,y ,)z ，∴(1,4,)BF x y z =+-，(,)FD x y z =--- ，由2BF FD =，得14(,33F -，∴44(,33AF =- ，∴(1,4,DB =-，3(2AE =- ，设平面AEF 法向量为111(,,)n x y z = ，则1111130244033n AE x n AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，取1(1,2n =- ，设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，则sin |cos ,|n DB θ=<>= ∴直线BD 与平面AEF11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+ ，其中()0,1λ∈．(1)求证1D P AC ⊥；(2)已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ．∵1112D A AD AA =-- ∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭ ∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭ ()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥ ，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴，以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．（2）设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h=代入，可得平面1AMC的法向量()m=．设直线DP与平面1AMC所成角的为θsin cos DP θ= 12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面1,2ABC AC AA ==，1,AB BC =，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：1AB 平面1BEC ；(2)若1π3A AC ∠=，求二面角1A BE C --的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于点N ，连接NE ，利用线面平行的判定定理证明；（2）由已知可知，1AA C △为等边三角形，故1A E AC ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得1A E ⊥底面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点N ，连接NE ，因为侧面11BCC B 是平行四边形，所以N 为1B C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以1//NE AB，因为1AB ⊄面1BEC ，NE ⊂面1BEC ，所以1//AB 面1BEC .（2）连接1AC ，1A E ，因为1π3A AC ∠=，12AC AA ==，所以1AA C △为等边三角形，12AC =，因为点E 为线段AC 的中点，所以1A E AC ⊥，因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1A E ⊂平面11ACC A ，所以1A E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF AC ⊥，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC ，1EA 的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0E，1,02B ⎫-⎪⎪⎭，(10,C ，所以1,02EB ⎫=-⎪⎪⎭，(10,EC = ，设平面1BEC 的法向量为(),,m x y z = ，则110220m EB x y m EC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1x =，则2y z ==-，所以平面1BEC的法向量为()2m =- ，又因为平面ABE 的法向量为()0,0,1n =，则cos ,m n == ，经观察，二面角1A BE C --的平面角为钝角，所以二面角1A BE C --的余弦值为13．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取PC 中点E ，连接,ME BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得1//,2ME DC ME DC =，又1//,2BN CD BN CD =，则//,ME BN ME BN =，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是//MN BE ，而MN ⊄平面,PBC BE ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接DQ ，由π,,4DCB PCB CD PC QC QC ∠=∠===，得QCD ≌QCP △，则π2DQC PQC ∠=∠=，即DQ BC ⊥，而2224PQ DQ PQ DQ PD ==+==，因此PQ DQ ⊥，又,,DQ BC Q DQ BC =⊂ 平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .（3）由（2）知，直线,,QC QD QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线,,QC QD QP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(C P D M A -，((2,0,0),(0,CM AD DP === ，设平面PAD 的一个法向量(,,)n x y z =，则200n AD x n DP ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，得(0,1,1)n = ，设CM 与平面PAD 所成角为θ，||sin |cos ,|||||CM n CM n CM n θ⋅=〈〉=== 所以CM 与平面PAD14．（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，PAD 为等边三角形，//AD BC ，AD AB ⊥，22AD AB BC ===．(1)求证：AD PC ⊥；(2)点N 在棱PC 上运动，求ADN △面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得//AM 平面BDQ ，求PQ QC的值．【答案】(1)证明见解析(3)4【分析】（1）取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，依题意可得四边形ABCH 为矩形，即可证明CH AD ⊥，再由PH AD ⊥，即可证明AD ⊥平面PHC ，从而得证；（2）连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，即可得到12CG AG =，再根据线面平行的性质得到12CF FM =，在PBC 中，过点M 作//MK PC ，即可得到2MK CQ =，最后由2PQ MK =即可得解.【详解】（1）取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，则//AH BC 且AH BC =，又AD AB ⊥，所以四边形ABCH 为矩形，所以CH AD ⊥，又PAD 为等边三角形，所以PH AD ⊥，PH CH H = ，,PH CH ⊂平面PHC ，所以AD ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AD PC ⊥.（2）连接HN ，由AD ⊥平面PHC ，又HN ⊂平面PHC ，所以AD HN ⊥，所以12ADH S AD HN HN =⋅= ，要使ADN △的面积最小，即要使HN 最小，当且仅当HN PC ⊥时HN 取最小值，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又HC ⊂平面ABCD ，所以PH HC ⊥，在Rt HPC 中，2CH =，PH =PC ==当HN PC ⊥时PH CH HN PC ⋅===所以ADN △.（3）连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，因为//AD BC 且22AD BC ==，所以CGB AGD ∽，所以12CG BC AG AD ==，因为//AM 平面BDQ ，又AM ⊂平面ACM ，平面BDQ 平面ACM GF =，所以//GF AM ，所以12CF CG FM AG ==，在PBC 中，过点M 作//MK PC ，则有2MK MF CQ CF==，所以2PQ MK =，所以24PQ MK CQ ==，即4PQ QC =15．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，证明四边形11A C PH 为平行四边形，进而得1C P //1A H ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH //1,2AC PH AC =.在等腰梯形11A ACC 中，11A C //111,2AC A C AC =，所以HP //1111,A C HP A C =，所以四边形11A C PH 为平行四边形，所以1C P //1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，所以1C P //平面1A AB .（2）因为,AB BC =故2O B AC ⊥，以直线22,O A O B ，21O O 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA AC ===，此梯形的高为h ==因为11111,2A C AC A C =//AC ，则()()(()210,0,0,2,0,0,,0,2,0,O A A B ()(12,0,0,C C --，所以11(1,(2,2,0),(2,2,0),(1,2,BC BC AB A B =--=--=-=- .设平面1A AB 的法向量为(),,m x y z =，则220,20,x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，得m ⎛= ⎝ .设平面1C CB 的法向量为(),,n a b c = ，则20,220,a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩令a =1)n =- .设平面1A AB 与平面1C CB 的夹角为θ，则1cos cos 7θ= .16．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得BC ⊥平面1A MA ，进而由11A A B B 得1B B BC ^，再证明1B B ⊥平面ABC 即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于1A B 的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ．因为AB AC =，11A B A C =，所以BC AM ⊥，1BC A M ⊥，由于AM ，1A M ⊂平面1A MA ，且1AM A M M ⋂=，因此BC ⊥平面1A MA ，因为1A A ⊂平面1A MA ，所以1BC A A ⊥，又因为11A A B B ，所以1B B BC ^，。

立体几何大题20道1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD ,1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．7、（16年北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ∥平面?说明理由.8、（16年山东）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB. （I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.9、（16年上海）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.10、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD ==。

立体几何大题训练一、解答题（共18题；共170分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．5.（2020·天津）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．6.（2020·江苏）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E 为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．7.（2020·北京）如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．8.（2020·浙江）如图，三棱台DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．9.（2020·扬州模拟）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.10.（2020·济宁模拟）如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE.（1）求证：平面平面DCE；（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.11.（2020高一下·宝坻月考）如图所示，已知平面，M，N分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，，求直线与平面所成的角.12.（2020·沈阳模拟）如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且.（1）证明：平面；（2）若M为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.13.（2020·龙岩模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.（1）证明：CD⊥平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值..14.（2020·德州模拟）如图，已知平面平面，直线平面，且.（1）求证：平面；（2）若，平面，求二面角的余弦值.15.（2020·淄博模拟）在四棱柱中，已知底面为等腰梯形，，，M，N分别是棱，的中点（1）证明：直线平面；（2）若平面，且，求经过点A，M，N的平面与平面所成二面角的正弦值.16.（2020·泰安模拟）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点，.（1）证明：平面平面.（2）设二面角的大小为，求的取值范围.17.（2020·平邑模拟）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC ．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF 平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．18.（2020·江西模拟）如图：在三棱锥中，平面平面ABC，，，且，．（1）若点D为BP上的一动点，求证：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：在棱上取点G，使得，连接、、、，在长方体中，且，且，，，且，所以，四边形为平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内（2）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，，设平面的法向量为，由，得取，得，则，设平面的法向量为，由，得，取，得，，则，，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为【解析】【分析】（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.2.【答案】（1）解：分别为，的中点，又在中，M为中点，则又侧面为矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）解：连接平面，平面平面根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四边形是平行四边形设边长是( )可得：，为的中心，且边长为故：解得：在截取，故且四边形是平行四边形，由（1）平面故为与平面所成角在，根据勾股定理可得：直线与平面所成角的正弦值：.【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.3.【答案】（1）解：由题设，知为等边三角形，设，则，，所以，又为等边三角形，则，所以，，则，所以，同理，又，所以平面；（2）解：过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON 为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.【解析】【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；（2）以O 为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.4.【答案】（1）解：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.5.【答案】解：依题意，以为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.6.【答案】（1）解：连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）解：设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.7.【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（Ⅱ）以点A为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.8.【答案】解：（Ⅰ）证明：作DH⊥AC，且交AC于点H，∵面ADFC⊥面ABC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥BC，∴在Rt△DHC中，CH＝CD•cos45°＝CD，∵DC＝2BC，∴CH＝CD＝•2BC＝•BC，∴＝，即△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD⊂面DHB，∴BC⊥BD，∵在三棱台DEF﹣ABC中，EF∥BC，∴EF⊥DB．（Ⅱ）设BC＝1，则BH＝1，HC＝，在Rt△DHC中，DH＝，DC＝2，在Rt△DHB中，DB＝＝＝，作HG⊥BD于G，∵BC⊥HG，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC＝90°，设DF与面DBC所成角为θ，则θ即为CH与面DBC的夹角，且sinθ＝sin∠HCG＝＝，∵在Rt△DHB中，DH•HB＝BD•HG，∴HG＝＝＝，∴sinθ＝＝＝．【解析】【分析】（Ⅰ）题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直，可得DH⊥BC，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，则HB⊥BC，从而可证出BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF∥BC，根据平行线的性质可得EF⊥DB；（Ⅱ）题先可设BC＝1，根据解直角三角形可得BH＝1，HC＝，DH＝，DC＝2，DB＝，然后找到CH与面DBC的夹角即为∠HCG，根据棱台的特点可知DF与面DBC所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算∠HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC所成角的正弦值．9.【答案】（1）解：连接CE，以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则，所以．当时，，，所以（2）解：，设平面的一个法向量为=由, 得，化简得，取设与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果.10.【答案】（1）解：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，，同理.所以，又平面平面BCE，平面平面，所以平面ABE，又平面，所以平面平面DCE.（2）解：如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设，则.向量，设平面ADE的法向量为由，得，令，得平面ADE的一个法向量为，又，设直线FA与平面ADE所成角为，则所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）证明平面ABE，平面平面DCE即得证；（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求直线FA与平面ADE 所成角的正弦值得解.11.【答案】（1）解：因为M,N分别是, 的中点,所以.又平面且平面,所以平面.（2）解：因为平面, 平面,所以.又且,所以平面.又平面,所以平面平面.（3）解：因为平面,所以为直线与平面所成的角.在直角中, , ,所以.所以.故直线与平面所成的角为.【解析】【分析】（1）根据中位线定理,可得,即可由线面平行判定定理证明平面;（2）根据题意可得,而又因为,所以平面,即可由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;（3）由题意可知为直线与平面所成的角,根据线段关系求得,即可求得直线与平面所成的角大小.12.【答案】（1）解：因为，所以平面，又因为平面，所以.又因为，所以平面.（2）解：因为，所以是二面角的平面角，即，在中，，取的中点，连接，因为,所以,由（1）知，平面，为的中位线，所以，即两两垂直，以为原点建立如图所示的坐标系，设，则，，设平面的一个法向量为，则由得令，得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，，取的中点O，连接，易知两两垂直，以O为原点建立如图所示的坐标系，设，平面的一个法向量为，求出向量，则向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.13.【答案】（1）解：连接，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，则，又因为CD= ，AD=2 ，所以，即，因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以CD⊥平面PAD；（2）解：以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：作交与点G，，即，所以，，所以，所以，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，由，所以二面角B-PC-D的余弦值为.【解析】【分析】（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.14.【答案】（1）证明：过点E作于点H，因为平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为平面，所以，由可知，，，则，所以点是的中点，连接，则，所以平面，则，，所以四边形是矩形.以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，则、、、.设平面的一个法向量为，又，.由，得，取，得.设平面的一个法向量为，因为，.由，得，取，得；设二面角的平面角为，则，由题知二面角是钝角，则二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）过点作于点，推导出平面，利用线面垂直的性质定理可得出，再由线面平行的判定定理可证得平面；（2）推导出四边形为矩形，然后以点为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得二面角.15.【答案】（1）证明：取的中点P，连结，，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，所以，因为平面，所以直线平面.（2）解：连结，由己知可得，，所以为等边三角形，所以，，所以，即，所以，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，可得，，，.设平面的法向量为，所以，即，取，解得，所以，设平面的一个法向量为，，即，取，可得，所以，设平面与平面所成二面角的大小为，所以，则所以平面与平面所成二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）取的中点P，连结，证得，利用线平行的判定定理，即可证得直线平面；（2）以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.16.【答案】（1）解：连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，又因为，，所以平面，.因为四边形为矩形，所以，，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，由空间向量的坐标运算可得，，. 设平面的法向量为，则，代入可得令，，，所以.设平面的法向量为，则，代入可得令，，，所以.二面角的大小为，由图可知，二面角为锐二面角，所以，当趋于时，，则，所以.【解析】【分析】（1）连接，根据题意可证出平面，，进而证出平面，即可证出平面平面；（2）建立空间直角坐标系，写出平面的法向量为，平面的法向量为，进而利用公式写出，进而得出结果17.【答案】（1）解：在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．证明如下：如图所示：设PC的中点为H，连结FH，因为，，，，所以所以四边形AGHF为平行四边形，则AF∥GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC，∴AF∥平面PGC．（2）解：选择①AB⊥BC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（﹣2，﹣1，1），设平面FAC的一个法向量为（x，y，z），∴，取y＝1，得（﹣1，1，﹣1），平面ACD的一个法向量为（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ ，∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择②FC与平面ABCD所成的角为：∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，在Rt△FCM中，CM ，又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x ，得（，﹣3，3），平面ACD的一个法向量为：（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择③∠ABC ：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），∴（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x ，得（，﹣3，3），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，θ则cosθ ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．【解析】【分析】（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．（2）选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ABC ，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC﹣D的余弦值.18.【答案】（1）解：在中由正弦定理，得，即，∵平面平面ABC，交线为AC，，故平面APC，则，又，∴平面ABP，而平面ABP，所以．（2）解：∵平面平面ABC，在平面PAC中过A点作AC的垂线l，则l垂直平面ABC，以l为轴，AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系．由知，E为PC的三等分点，易得，，，，，设平面EAB的一个法向量为，由得，令，则，，设平面EBC一个法向量为，由，得，令，则，，．则，设二面角的平面角为，则．【解析】【分析】（1）在中，易得，再由平面平面ABC，，利用面面垂直的性质定理得到平面APC，从而有，然后由线面垂直的判定定理证明.（2）根据平面平面ABC，在平面PAC中过A点作AC的垂线l，则l垂直平面ABC，以l为轴，AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EAB的一个法向量和平面EBC一个法向量，代入公式求解.。