复旦量子力学1苏汝铿课件chapter5
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复旦大学苏汝铿教授的量子力学课件页数:105
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苏汝铿高等量子力学讲义页数:100
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量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
与视核为点电荷时电子的势能之差为
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @
A 2 p 1s A 200,100 A 210,100 A 211,100 A 21-1,100
批注 [JL3]: 对于固定初末态（即具有固定的 m 与 m ）的跃迁，不需要求和。
2 3
8
2 me10 3 c3 6
8
2 me10 3 c3 6
8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k ' 态）的波函数是 21m ： 1s 态
100
1
a3
1
e
r a
（1）
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ]t
k
dt t
（7）
0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k
i (k ' k )
0
i [(k ' k ) ]
1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z
批注 [JL3]: 对于固定初末态（即具有固定的 m 与 m ）的跃迁，不需要求和。
2 3
8
2 me10 3 c3 6
8
2 me10 3 c3 6
8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k ' 态）的波函数是 21m ： 1s 态
100
1
a3
1
e
r a
（1）
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ]t
k
dt t
（7）
0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k
i (k ' k )
0
i [(k ' k ) ]
1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11
0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为 M ，在棒的 两端分别有电荷＋Q 和－Q。 （i）写出体系的哈密顿量，本征函数和本征值； （ii）如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场，准确到一级修正，他的本征函数和 能量如何变化？ （iii）如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值。 解： （i）该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性
k
0 0
kLeabharlann k 1（ii）根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶，并将这个结果和精确解相比较。
0
解： （i）设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#2
小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取 的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
ˆ2 1 2 ˆ L D ˆ D c o H L s 2I 2I
ˆ ( 0) 1 L ˆ2 , 取H 2I ˆ D cos ，则 H
(r r0 ) (r r0 )
ˆ H ˆ ( 0) 由于 r0 很小，所以 H
一级修正为（基态
2 2 U 0 (r ) ，可视为一种微扰，由它引起的 2
Z
(0) 1
r Z3 ( 3 ) 1 / 2 e a0 ） a0
* ˆ ( 0) d E1(1) 1( 0) H 1
5.3 转动惯量为 I、 电偶极矩为 D 的片面转子处在均匀电场在 中， 如果电场较小，
电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：无外场作用时， H 0
2 2 2 E ， ，本征方程为 2 I 2 2 I 2
2
解为
2 2 m 1 im e , (m 0, 1,…) ， Em (0) 2I 2
D Y* m
D
4 1 Y10 sin d d 3 4
Y10 s i n d d
Y 3
1
* 0
D 3
2
E
( 2) 0
'
H 0
( 0) E0 E( 0)
'
D 2 2 2I 1 2 1 2 D 2 2 I 2 3( 1) 3
微扰哈密顿量为（选 x 方向为 方向） H ' cos 能量一级修正为 E 能量二级修正为 E
ˆ2 1 2 ˆ L D ˆ D c o H L s 2I 2I
ˆ ( 0) 1 L ˆ2 , 取H 2I ˆ D cos ，则 H
(r r0 ) (r r0 )
ˆ H ˆ ( 0) 由于 r0 很小，所以 H
一级修正为（基态
2 2 U 0 (r ) ，可视为一种微扰，由它引起的 2
Z
(0) 1
r Z3 ( 3 ) 1 / 2 e a0 ） a0
* ˆ ( 0) d E1(1) 1( 0) H 1
5.3 转动惯量为 I、 电偶极矩为 D 的片面转子处在均匀电场在 中， 如果电场较小，
电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：无外场作用时， H 0
2 2 2 E ， ，本征方程为 2 I 2 2 I 2
2
解为
2 2 m 1 im e , (m 0, 1,…) ， Em (0) 2I 2
D Y* m
D
4 1 Y10 sin d d 3 4
Y10 s i n d d
Y 3
1
* 0
D 3
2
E
( 2) 0
'
H 0
( 0) E0 E( 0)
'
D 2 2 2I 1 2 1 2 D 2 2 I 2 3( 1) 3
微扰哈密顿量为（选 x 方向为 方向） H ' cos 能量一级修正为 E 能量二级修正为 E
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
(0) 2
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
量子力学第1章 量子力学的诞生.ppt
定态的轨道如何确定？
23
Bohr的角动量量子化条件
为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔根据对
应原理，提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的
J n
n 1,2.......
(7)
其中 h / 2 1.0545*1034 J S 。
后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周
实验发现：热平衡时，空腔辐 射的能量密度，对辐射的波长 的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而 与黑体的形状和材料无关。
10
黑体辐射理论描述：
1. Wein公式
E d c1 3e c2 / T d
低频与实验有明显偏离
2.Rayleigh-Jeans公式
E d
时， 发射或吸收的电磁辐射的频率υ 由下式给出：
h En Em （频率条件）
(6)
简言之，Bohr 量子论的核心思想有两条： 原子的具有分立能量的定态概念， 两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。
22
Bohr的量子论
原子中的电子具有确定的分立轨道. “确定”:经典； ”分立”:量子。
h nm En Em
电子在镍单晶上的衍射实验 •汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
30
•约恩逊(Jonsson)实验（1961） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 a 0.3μ m d 1μ m
数据 V 50kV
o
0.05 A
质子、中子、原子、分子…也有波动性
教材： 《量子力学导论》(第二版)，曾谨言 著
参考书： 1 .《量子力学》，苏汝铿 著 2.《量子力学教程》，周世勋 著 3. Quantum Mechanics，L.I.Schiff, 中译本 4.《量子力学习题与解剖》，曾谨言，钱伯初 著
23
Bohr的角动量量子化条件
为了确定电子的轨道，即分立能量相应的定态，玻尔根据对
应原理，提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的
J n
n 1,2.......
(7)
其中 h / 2 1.0545*1034 J S 。
后来，索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度体系的周
实验发现：热平衡时，空腔辐 射的能量密度，对辐射的波长 的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而 与黑体的形状和材料无关。
10
黑体辐射理论描述：
1. Wein公式
E d c1 3e c2 / T d
低频与实验有明显偏离
2.Rayleigh-Jeans公式
E d
时， 发射或吸收的电磁辐射的频率υ 由下式给出：
h En Em （频率条件）
(6)
简言之，Bohr 量子论的核心思想有两条： 原子的具有分立能量的定态概念， 两个定态之间的量子跃迁概念和频率条件。
22
Bohr的量子论
原子中的电子具有确定的分立轨道. “确定”:经典； ”分立”:量子。
h nm En Em
电子在镍单晶上的衍射实验 •汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927）
电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理
30
•约恩逊(Jonsson)实验（1961） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
基本 a 0.3μ m d 1μ m
数据 V 50kV
o
0.05 A
质子、中子、原子、分子…也有波动性
教材： 《量子力学导论》(第二版)，曾谨言 著
参考书： 1 .《量子力学》，苏汝铿 著 2.《量子力学教程》，周世勋 著 3. Quantum Mechanics，L.I.Schiff, 中译本 4.《量子力学习题与解剖》，曾谨言，钱伯初 著
复旦大学苏汝铿教授的量子力学课件
§4.2 矩阵力学表述
§4.2 矩阵力学表述
➢将求解偏微分方程的问题变为算矩阵元 {F_nm}，及求解线性偏微分方程组的问题
➢若F厄米，则久期方程的根必为实根(但可能 有重根)
§4.3 么正变换
➢问题： • F的本征值是否与表象有关？ • 从表象A表象B，波函数、算符怎么变？ • 坐标空间的变换：平移＋旋转，正交变换(实
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
➢本章目的： ▪ 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量
等方案－－表象 ▪ 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－
－么正变换 ▪ 建立一套用态矢量描述量子态的方案－－
Dirac算符 ▪ 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子
空间) • 不同表象的变换：么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
➢算符
§4.3 么正变换
➢波函数
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
➢本征态
§4.3 么正变换
§4.3 么正变换
➢一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
§4.1 态和算符的表象表示
➢结论： • 本征函数基矢 • 厄米算符的本征函数系完备基 • 算符矩阵
§4.2 矩阵力学表述
• 波函数
• 算符
§4.2 矩阵力学表述
§4.2 矩阵力学表述
• 平均值公式
§4.2 矩阵力学表述
• 平均值公式
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
§4.2 矩阵力学表述
量子力学第一章 PPT
核式模型
1913年
丹麦 玻尔
氢原子理论的建立
从此原子说迅速发展，1900年普朗克提出量子论
1924-1927年
建立了量子力学，原子物理在 量子力学的基础上日益完善。
原子的质量与大小：
1、原子的质量
原子的绝对质量（以碳原子为例：碳原子的原子量为12，1mol
碳原子的总质量为12克）
MA
A NA
12103 6.021023
1、南大，柯善哲等《量子力学》；蔡建华《量子力学》 2、复旦，苏汝铿《量子力学》；周世勋《量子力学教程》 3、北大，曾谨言《量子力学》(卷 I)；《量子力学导论》
英文教科书
1、 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 2.、W. Greiner, Quantum Mechanics – An Introduction
真正从实验上确定电子的存在，是在1897年由汤姆逊
作出的。
• D、E之间加上电场后射线发生偏移，可判断阴极射线带负电。 在放电管周围加磁场，可使束点由P2回到P1。磁力与电力大小相 等，方向相反。
Hev Ee
可得阴极射线速度
vE/H
• 去掉电场，由于磁力作用，射线将构成一圆形轨道，若半径为 r ，则射线内的粒子（质量为）受到的离心力为
r
3
N
A
A
，所以
由此可得原子的半径公式：
r 3 3A
4 N A
元素 Li Al Cu S Pb
质量数A 7 27 63 32 207
质量密度 0.7 2.7 8.9 2.07 11.34
原子半径 r/nm 0.16 0.16 0.14 0.18 0.19
苏汝铿量子力学课后习题及答案
Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
量子力学课件第五章
§5.1 非简并的定态微扰
在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出： 在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：
(0) En = En
(1) + En
(2) + En
(0) = En
′ + Hnn +
m≠n
∑E
∞
′ |2 | Hnm
(0) n (0) − Em
扰动体系能量本征函数由下式给出： 扰动体系能量本征函数由下式给出：
ak (1) = <ψk (0) |ψn (1) >
代回到
ˆ − E(0) (1)= − H′ − E(1) (0) [H0 n ]ψ [ n n ]ψ n
§5.1 非简并的定态微扰
( ˆ [H0 − En0) ]
∑
k
'
( ( (1 ak1)ψ k0) = − H′ − En ) ] n0) [ ψ(
ˆ ˆ ˆ H = H0 + H′
H0 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 En(0) ， 所描写的体系是可以精确求解的，
( ( 满足如下本征方程： ˆ ( 本征矢 ψn(0) 满足如下本征方程： H 0ψ n0) = En0)ψ n0)
H’是很小的可以看作加于 H0 上的微小扰动。 是很小的可以看作加于 上的微小扰动。
§5.1 非简并的定态微扰
态矢和能量的一级修正
1 En
1 ψn
=
=
∫
* (0) ′ (0) τ ψ Hψ d n n
∑
m
∞
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§5.1 非简并的定态微扰
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微扰的局限性： • 要知道零级波函数及零级能级 • 要H’<<H0 • 级数的收敛性(发散困难，重整化问题) • 高级微扰计算比较麻烦 要求建立各种非微扰的处理方案，如变分 法，WKB近似，FLZ方法，Wronskian行列 式方法等
§5.3 变分法
Schrodinger方程的变分原理：
§5.3 变分法
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
两种极端情况： • 突发性微扰
§5.4 含时微扰
两种极端情况： • 绝热近似
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
对象：讨论在含时微扰作用下，体系状态 • 分立谱分立谱 • 分立谱连续谱 常微扰： • 分立谱分立谱
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
机制： • 受激吸收和受激发射 • 自发辐射：在无外来作用的条件下，电子由 高能级低能级的发射(因为定态纯粹的量子 力学的处理不能解决这类问题)
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
目的： • 计算谱线强度受激发射和吸收系数跃迁 几率 • 给出偶极跃迁的选择定则
非周期性微扰
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
结论：当微扰随时间的变化率足够缓慢时， 含时微扰定态微扰
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.2 简并定态微扰
目的：处理简并能级 关键：如何选择零级波函数－－在简并子空 间中，使得H’的矩阵元对角化 展式：
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.1 非简并定态微扰论
说明： H’<<H0是指
如何将H分为H0和H’两部分的分法至关重要 微扰的本质是逐步逼近 Hellman-Feynman定理，将λ视为变数
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
说明： 电介质在x方向加均匀弱电场E后的极化率
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
结论： • 在可见光区，自发辐射>受激辐射 • 自发辐射与受激辐射具有同样选择定则 • 寿命
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
• 辐射强度
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
变分法：
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
• 变分法只给出基态能量的上限 • 优点：计算简单 缺点：无法估计误差大小 • 对激发态可采用逐步正交法，使变分波函数 与前面所有波函数正交 • 变分法可采用多个变分参数，亦可采用多个 变分波函数 • 例1：氦原子基态能量
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 微扰的结果可以消除或部分消除简并对称 破缺 • 经重新组合后的零级波函数正交归一
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 使简并子空间中微扰的矩阵元对角化
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
• 例2：维里定理(用变分定理及标度变换证明)
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.4 含时微扰
目的： • 解决非定态问题 • 讨论量子跃迁(给出选择定则，谱线强度等) 对象： • 零级哈密顿与时间无关 • 微扰与时间有关 展式：
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
• 分立谱连续谱 • 费米黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
• 态密度
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
• • • • 偶极跃迁与主量子数无关 矢量 r 是奇宇称算符 rmk=0 xmk=0,ymk=0,zmk=0 不等价于|r|mk=0
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
自发跃迁、Einstein理论 关键：利用辐射平衡条件，及受激辐射自 发辐射系数
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
周期性微扰
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.1 非简并定态微扰论
展开式：
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 例：氢原子的一级Stark效应
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
在电场中氢原子能级的分裂
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.3 变分法
§5.7 光.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
第五章 近似方法
复旦大学 苏汝铿
第五章 近似方法
目的： 建立各种近似求解Schrodinger方程本征值和 本征函数的方法
第五章 近似方法
近似方法的分类 定态问题
微扰法(简并、非简并)
非定态问题 WKB近似 跃迁
变分法
§5.1 非简并定态微扰论
条件： H中H(t)定态 无简并，严格说来是要修正的能级无简并 H=H0+H’, H’<<H0 H0的本征态及本征谱已知 分立谱(或分立谱＋连续谱，但只对其中分立 谱作微扰计算)
§5.3 变分法
Schrodinger方程的变分原理：
§5.3 变分法
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
§5.4 含时微扰
两种极端情况： • 突发性微扰
§5.4 含时微扰
两种极端情况： • 绝热近似
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
对象：讨论在含时微扰作用下，体系状态 • 分立谱分立谱 • 分立谱连续谱 常微扰： • 分立谱分立谱
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
机制： • 受激吸收和受激发射 • 自发辐射：在无外来作用的条件下，电子由 高能级低能级的发射(因为定态纯粹的量子 力学的处理不能解决这类问题)
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
目的： • 计算谱线强度受激发射和吸收系数跃迁 几率 • 给出偶极跃迁的选择定则
非周期性微扰
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
§5.6 含时微扰与定态微扰论的关系
结论：当微扰随时间的变化率足够缓慢时， 含时微扰定态微扰
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.2 简并定态微扰
目的：处理简并能级 关键：如何选择零级波函数－－在简并子空 间中，使得H’的矩阵元对角化 展式：
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.1 非简并定态微扰论
说明： H’<<H0是指
如何将H分为H0和H’两部分的分法至关重要 微扰的本质是逐步逼近 Hellman-Feynman定理，将λ视为变数
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
说明： 电介质在x方向加均匀弱电场E后的极化率
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
结论： • 在可见光区，自发辐射>受激辐射 • 自发辐射与受激辐射具有同样选择定则 • 寿命
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
• 辐射强度
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
本章小结
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
变分法：
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
• 变分法只给出基态能量的上限 • 优点：计算简单 缺点：无法估计误差大小 • 对激发态可采用逐步正交法，使变分波函数 与前面所有波函数正交 • 变分法可采用多个变分参数，亦可采用多个 变分波函数 • 例1：氦原子基态能量
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 微扰的结果可以消除或部分消除简并对称 破缺 • 经重新组合后的零级波函数正交归一
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 使简并子空间中微扰的矩阵元对角化
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.3 变分法
• 例2：维里定理(用变分定理及标度变换证明)
§5.3 变分法
§5.3 变分法
§5.4 含时微扰
目的： • 解决非定态问题 • 讨论量子跃迁(给出选择定则，谱线强度等) 对象： • 零级哈密顿与时间无关 • 微扰与时间有关 展式：
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
• 分立谱连续谱 • 费米黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
• 态密度
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
• • • • 偶极跃迁与主量子数无关 矢量 r 是奇宇称算符 rmk=0 xmk=0,ymk=0,zmk=0 不等价于|r|mk=0
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
自发跃迁、Einstein理论 关键：利用辐射平衡条件，及受激辐射自 发辐射系数
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
周期性微扰
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
§5.1 非简并定态微扰论
展开式：
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.1 非简并定态微扰论
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
说明： • 例：氢原子的一级Stark效应
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
在电场中氢原子能级的分裂
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.2 简并定态微扰
§5.3 变分法
§5.7 光.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
§5.7 光的发射和吸收、选择定则
第五章 近似方法
复旦大学 苏汝铿
第五章 近似方法
目的： 建立各种近似求解Schrodinger方程本征值和 本征函数的方法
第五章 近似方法
近似方法的分类 定态问题
微扰法(简并、非简并)
非定态问题 WKB近似 跃迁
变分法
§5.1 非简并定态微扰论
条件： H中H(t)定态 无简并，严格说来是要修正的能级无简并 H=H0+H’, H’<<H0 H0的本征态及本征谱已知 分立谱(或分立谱＋连续谱，但只对其中分立 谱作微扰计算)