苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter讲义4_Path_Integral(2).

§4.2 Path integral
➢How to calculate K(b, a)
2020/5/29
§4.2 Path integral
➢Key: the variable in the integration is a function This is a functional integral
Classical limit: S/h >> 1 Quickly oscillate
2020/5/29
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics
S depends on xa, xb considerably
2020/5/29
✓ The contribution of the phase from each path is proportional to S/h, where S is the action of the corresponding path
2020/5/29
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics
Linear oscillator
2020/5/29
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics
2020/5/29
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics
2020/5/29
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics

2 1 2 1 2 1
∴对角化的矩阵为 L x S Lx S
L x 2
1 2 1 2 1 2
0 1 2 1 2

1 1 2 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 2 2
取 a1
1 ，归一化的 2
1 2 1 ˆ 对应于 L x 的本征值 2 1 2
ˆ 表象的变换矩阵为 ˆ 2 和L ˆ 的共同表象变到 L 由以上结果可知，从 L x Z
1 2 S 0 1 2 1 2 1 2 1 2
ˆA ˆS ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) ( S ˆ 1 ) ( S ˆA ˆS ˆ 1 ) ˆS ˆS (S ˆB

⑵
利用⑴式于⑵，则可以写成
[ A
aa
ˆB ˆ 1 ) ( S ˆB ˆ 1 ) A ] 0 ˆS ˆS (S
a1 ∴ 2a1 a1
a1 由归一化条件 1 (a , 2a , a ) 2a1 4 a1 a1
* 1 * 1 * 1 2
1 2 1 ˆ 的本征值 1 对应于 L 取 a1 ，归一化的 x 2 2 1 2
a1 0 1 0 a 1 当 2 时，有 1 0 1 a 2 a 2 2 a 0 1 0 a 3 3
1 a1 2 a 1 1 (a1 a 3 ) a 2 2 1 a3 a2 2

1 3

1 3

1 3

1 3 0 = 0
0 1 6 1 6
0 1 6 1 2
(ii)
0 1 0 2 Lx 1 0 1 2 0 1 0
tr ( Lx ) tr 0 2 6 0 2 12 2 12 2 12 2 12 2 4 2 12
e i sin 0
4.12 由下述三个纯态不相干混合而成的角动量为 1 的粒子体系,假定 每个态都等概率,这三个态是:

(1)
1 0 0

2
0 0 1 1 1 0 2 2 0 1
= =
1 m 1 1 ˆ 1 exp(it ) 1 a ˆ 0 exp( it ) 0 a i 2 2 2 m sin t 2
所以只有当态失为能量本征态时，x 和 p 的平均值不变
取 1,所以 L y =0 又因为 Lx , L y iLz
0 1 Lx L y L y Lx 1 0 2 0 1 i 0 i i 0 0 0 0 2 2 i i 0 i 0 0 i 0 0 i 0 0 1 0 1 i 0 i i 0 i 1 0 1 2 0 0 0 0 i 0 i 0 1 0 0 i i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 i

3
0 0 1
(i) (ii)
求这个体系的密度矩阵 ,并证明 tr 1 选 1,角动量为 1 的矩阵由题(4.7)的矩阵给出,求 Lx , L y , Lz 的平 均值

(1) a 0
n 2n
0 a (1)k 1 a 2 k 2 A2 k 3 A2 k 2 0 a 0
即： A
2 n 1
0 a 0 k 1 2 k 2 k 1 2 k 3 (1) a a 0 (1) a 0
(1)k 1 a 2 k 3 0
0 (1)n a 2 n1 n 2 n 1 0 (1) a
（3）由上归纳得，n=0,1,2,……, A
2n
(1)n a 2 n 0
0 (1)n a 2 n1 2 n 1 ，A n 2 n 1 (1) a 0 (1) a
0 2 X 2 5 5 1 5 5
6 65 65 2 X1 65 65 5 65 65
6 65 65 2 1 2 (0, 5, 5) 65 0 65 5 5 5 65 65
n 2 2
n
n
因为 t 时恢复原状态，故 2 ( x, ) 10 ( x) 因此，
ein2 1 （对所有 n，n 为偶数）
m 2k
(l=1,2,3,……)
因此， l / 2 l
4.9 试将 exp
0 a 表示成 2×2 的矩阵，a 是个正的常数。 a 0
0 (1)k a 2 k 1 0 a (1)k 1 a 2 k 2 0 a A2 k 2 A2 k 1 k 2 k 1 0 0 a 0 (1) a a 0
即： A
2n
(1)n a 2 n 0

➢ 一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程

.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
.
基态能量应取 的最小值,由
得
,
此时，
，即 在
处取得最小值
.
（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为 ，核电荷为 ，总能量算符为
(1)
设原子的最概然半径为 ,则式（1）的基态平均值中可取
(2)
根据不确定度关系，可取
(3)
因此，基态能量约为
(4)
的取值应使 为极小，由极值条件
7
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
;
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即 的本征函数是

§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”

p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?

§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory

不同力学量同时有确定值的条件
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的

第四章 矩阵力学基础（2）——表象理论 典型例题分析 4.1 质量为 m 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。 解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一 系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数。 解： 采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程，
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m

Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.