2014届高考数学(理)一轮复习专题集训：平面的基本性质及两直线位置关系

2014届高考数学理科试题大冲关：直线、平面平行的判定及性质一、选择题1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( ) A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α2.如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③3．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n ⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β， m⊂γ.可以填入的条件有 ( ) A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是 ( )A．③④B．①③C．②③D．①②5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2C．3 D．06．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线( ) A ．只有1条B ．只有2条C ．只有4条D ．有无数条二、填空题 7．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β；②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ；③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________.9．已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α.其中正确命题的序号是________．三、解答题10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .11.如图，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面α.12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．详解答案一、选择题1．解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．答案：D2. 解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大．答案：C3．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：C4．解析：根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．答案：C5．解析：①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m 平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n 可在平面内；答案：D6．解析：据题意如图，要使过点A 的直线m 与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m 的平面与平面α的交线n 与直线m 平行，同理可得经过直线m 的平面与平面β的交线k 与直线m 平行，则推出n∥k ，由线面平行可进一步推出直线n 与直线k 与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m 只需过点A 且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．答案：A二、填空题7．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.答案：②④8．解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a 9．解析：①如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，可令平面A 1B 1CD 为α，平面DCC 1D 1为β，平面A 1B 1C 1D 1为γ，又平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，则CD 与C 1D 1所在的直线分别表示a ，b ，因为CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a 、b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l ⊥α，④错误．答案：②③三、解答题10. 证明：分别过E 、F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连结MN . 因为BB 1∥CC 1，所以EM ∥FN .因为B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，所以AE ＝BF .由EM ∥BB 1得AEAB 1＝EM BB 1，由FN ∥CC 1得BFBC 1＝FN CC 1.所以EM ＝FN ，于是四边形EFNM 是平行四边形．所以EF ∥MN .又因为MN ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD .11. 证明：(1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥BD 且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD 且FG ＝12BD ，∴FG ∥EH 且FG ＝EH .∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、G 、H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′.∵α∥β，∴AD ′∥BD .又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α，又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.12．证明：存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD . 设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD 的中点，∴MF∥EC，BM∥OE.∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF⊂平面BMF，∴BF∥平面AEC.。

1.2.3 直线与平面的位置关系第一课时一、基础过关1. 在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和BC 上的点,若AE ∶EB=CF ∶FB =1∶3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________.2. 过直线l 外两点,作与l 平行的平面,则这样的平面有____________个.3. 过平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有________条.4. 经过直线外一点有______个平面与已知直线平行.5. 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面中:(1与直线AB 平行的平面是______________;(2与直线AA 1平行的平面是_______________________________;(3与直线AD 平行的平面是______________.6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,则BD 1与过点A ,E ,C 的平面的位置关系是____________.7. 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱BC 、C 1D 1 的中点.求证:EF ∥平面BDD 1B 1.8. 如图所示,P 是▱ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE ∶EA =BF ∶FD .求证:EF ∥平面PBC .二、能力提升9. 设m 、n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:①m ∥n ;②m ∥α;③n ∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示10.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =a 3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =______.它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.12.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为(1求证:BC∥l;(2MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.三、探究与拓展有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明答案1.平行2.0,1或无数3.124.无数5.(1平面A 1C 1和平面DC 1 (2平面BC 1和平面DC 1 (3平面B 1C 和平面A 1C 16.平行7.证明取D 1B 1的中点O ,连结OF ,OB .∵OF 綊12B 1C 1,BE 綊12B 1C 1,∴OF 綊BE .∴四边形OFEB 是平行四边形,∴EF ∥BO . ∵EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1, ∴EF ∥平面BDD 1B 1.8.证明连结AF 延长交BC 于G ,连结PG .在▱ABCD 中,易证△BFG ∽△DFA .∴GF FA =BF FD =PE EA ,∴EF ∥PG .而EF ⊄平面PBC ,PG ⊂平面PBC ,∴EF ∥平面PBC .9.①②⇒③(或①③⇒② 10.223a11.m ∶n12.(1证明因为BC ∥AD ,AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC ∥平面PAD .又平面PAD ∩平面PBC =l ,BC ⊂平面PBC ,所以BC ∥l .(2解 MN ∥平面PAD .证明如下:如图所示,取PD 中点E ,连结AE ,EN .又∵N 为PC 的中点,∴EN 綊12DC , 又∵AM 綊12DC , ∴EN 綊AM .即四边形AMNE 为平行四边形.∴AE ∥MN ,又MN ⊄平面PAD ,AE ⊂平面PAD .∴MN ∥平面PAD .13.证明方法一如图(1所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连结MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ,∴AE =BD .又∵AP =DQ ,∴PE =QB .又∵PM ∥AB ∥QN ,∴PM AB =PE AE ,QN DC =BQ BD.∴PM 綊QN . ∴四边形PQNM 是平行四边形.∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ,PQ ⊄平面BCE ,∴PQ ∥平面BCE .方法二如图(2所示,连结AQ 并延长交BC (或其延长线于K ,连结EK .∵KB ∥AD ,∴DQ BQ =AQ QK. ∵AP =DQ ,AE =BD ,∴BQ =PE .∴DQ BQ =AP PE .∴AQ QK =AP PE.∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ,EK ⊂平面BCE , ∴PQ ∥平面BCE .。

高一2014年必修一数学知识点：直线和平面的位置关系_知识点总结
高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高一2014年必修一数学知识点，希望对大家有帮助。

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
查字典数学网小编为大家整理了高一2014年必修一数学知识点，希望对大家有所帮助。

高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系根据同学们的需求，编辑老师整理了高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系，欢迎大家关注!直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系已经呈现在各位同学面前，望各位同学能够努力奋斗，更多精彩尽在高考频道!。

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第八章立体几何初步第2课时直线与平面的位置关系考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义．要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.1. (必修2P37练习3改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是________．答案：平行或异面解析：因为AB∥CD，AB平面α，CD平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．2. (必修2P41练习2改编)过直线l外一点P，作与l平行的平面，则这样的平面有________个．答案：无数解析：直线l与点P确定一个平面，记为α，在平面α内作直线PQ∥α，又在平面α外任取一点R，则点R与直线PQ确定一平面，记为β，由直线与平面平行的判定定理易知l∥β，因此满足题意的平面有无数个．3. (必修2P37练习4改编)在正六棱柱ABCDEF－A1B 1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是________．答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知A1F1∥AF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1∥平面ABCDEF.同理，A1F1∥C1D1，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1∥平面CC1D1D.其他各面与A1F1不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D.4. (必修2P32习题3改编)已知P是正方体ABCDA1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的直线是 ____________．答案：DC、D1C1、A1B1解析：DC、D1C1、A1B1均平行于直线AB，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面ABP.5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，M、N分别是平面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：平面ABC 、平面ABD 解析：如图，连结AM 并延长交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN∥AB，因此，MN ∥平面ABC ，且MN ∥平面ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交直线a 与平面α平行公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点没有公共点 符号表示 a α a ∩α＝Aa∥α图形 表示2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．[备课札记]题型1 基本概念辨析例1 (1) 要得到直线l∥平面α，则下列条件不正确的有________．(填序号) ① l 平行于α内的所有直线；② l 平行于过l 的平面与α的交线； ③ l 平行于α内的无数条直线；④ l 和α内的所有直线都没有公共点．(2) 已知直线a 、b 和平面α，那么能得到a∥b 的条件有________．(填序号) ① a ∥α，b ∥α；② a⊥α，b ⊥α；③ b α且a∥α；④ a、b 与α成等角．(3) α、β表示平面，a 、b 表示直线，则能得到a∥α的条件有________．(填序号) ①α⊥β且a⊥β；② α∩β＝b ，且a∥b； ③ a ∥b 且b∥α；④ α∥β且a β. 答案：(1) ③ (2) ② (3) ④ 备选变式（教师专享）如图是一正方体的表面展开图，B 、N 、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中，① AB 与CD 相交；② MN∥PQ；③ AB∥PE；④ MN 与CD 异面；⑤ MN∥平面PQC.其中真命题的是________(填序号)．答案：①②④⑤解析：将正方体还原后如图，则N 与B 重合，A 与C 重合，E 与D 重合，所以①、②、④、⑤为真命题．题型2 直线与平面平行例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点． (1) 若E 为A 1C 1的中点，求证：DE∥平面ABB 1A 1；(2) 若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(1) 证明：取B 1C 1中点G ，连结EG 、GD ，则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1.又EG∩DG＝G ，∴平面DEG∥平面ABB 1A 1.又DE 平面DEG ，∴ DE ∥平面ABB 1A 1.(2) 解：设B 1D 交BC 1于点F ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF.因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF.所以A 1E EC 1＝BF FC 1.因为BF FC 1＝BD B 1C 1＝12，所以A 1E EC 1＝12.变式训练如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点．求证：MN∥平面AA 1C 1. 证明：设A 1C 1中点为F ，连结NF 、FC.∵ N 为A 1B 1中点，∴ NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1.又由棱柱性质知B 1C 1∥=BC ，又M 是BC的中点，∴ NF ∥=MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴ MN∥CF.又CF 平面AA 1C 1，MN 平面AA 1C 1，∴ MN ∥平面AA 1C 1. 备选变式（教师专享）(2014·某某中学期初调研)如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF⊥平面ACE.(1) 求证：AE⊥BE；(2) 求证：AE∥平面BFD.证明： (1) ∵ 平面ABCD⊥平面ABE ，平面ABCD∩平面ABE ＝AB ，AD ⊥AB ， ∴ AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE.∵ AD ∥BC ，则BC⊥AE. 又BF⊥平面ACE ，则BF⊥AE.∵ BC ∩BF ＝B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BE.(2) 设AC∩BD＝G ，连结FG ，易知G 是AC 的中点，∵ BF ⊥平面ACE ，则BF⊥CE.而BC ＝BE ，∴ F 是EC 中点. 在△ACE 中，FG ∥AE ， ∵ AE 平面BFD ，FG 平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD. 题型3 线面平行与线线平行例3 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点．求证：(1) BF∥HD 1；(2) EG∥平面BB 1D 1D.证明：(1) 取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴ HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ，∴ BF ∥HD 1.(2) 取BD 的中点O ，连结EO 、D 1O ，则OE ∥=12DC ，又D 1G ∥=12DC ，∴ OE ∥=D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴ GE ∥D 1O. 又D 1O 平面BB 1D 1D ， ∴ EG ∥平面BB 1D 1D. 备选变式（教师专享）(2013·某某调研)如图，四边形ABCD 为正方形，在四边形ADPQ 中，PD ∥QA.又QA⊥平面ABCD ，QA ＝AB ＝12PD.(1) 证明： PQ⊥平面DCQ ；(2) CP 上是否存在一点R ，使QR∥平面ABCD ，若存在，请求出R 的位置，若不存在，请说明理由．解： (1) 证法一：∵ QA⊥平面ABCD ，∴ QA⊥CD, 由四边形ABCD 为正方形知DC⊥AD，又QA 、AD 为平面PDAQ 内两条相交直线，∴ CD ⊥平面PDAQ ，∴ CD ⊥PQ ，在直角梯形PDAQ中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.证法二： ∵ QA⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，∴ DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.(2) 存在CP 中点R ，使QR∥平面ABCD.证明如下：取CD 中点T ，连结QR 、RT 、AT ，则RT∥DP，且RT ＝12DP ，又AQ∥DP，且AQ ＝12DP ，从而AQ∥RT，且AQ ＝RT ，∴四边形AQRT 为平行四边形，所以AT∥QR，∵ QR 平面ABCD ，AT 平面ABCD ，∴ QR ∥平面ABCD.1. (2013·某某模拟)直线l 上有两点与平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是________．答案：平行或相交解析：设A 、B 是直线l 上两点，若两点A 、B 在平面α的同侧，则l∥α，若两点A 、B 在平面α的异侧，且线段AB 的中点在α上，则l 与α相交．2. 下列命题中正确的是________．(填序号) ①若直线a 不在α内，则a∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ④平行于同一平面的两直线可以相交． 答案：③④解析：a∩α＝A 时，a α，∴①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l∥α，l 与α无公共点，∴ l 与α内任一直线都无公共点，③正确；长方体中A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴④正确．3. 已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．答案：23解析：取A 1B 1的中点F ，则∠AEF 为所求角或其补角．设正方体棱长为2，则AE ＝3，AF＝5，EF ＝2，所以cos∠AEF＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ×EF ＝23.4. 下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案：①②解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.5. 如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别为AA 1、CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF.若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM.解：连结AE ，在BE 上取点M ，使BE ＝4ME ，连结FM 、B 1M 、FB 1.在△BEA 中，∵ BE ＝4ME ，AB ＝4AF ，∴ MF ∥AE.又在平面AA 1C 1C 中，易证C 1D ∥AE ，∴ C 1D ∥FM.∵ C 1D 平面FMB 1，FM 平面FMB 1，∴ C 1D ∥平面B 1FM.1. (2013年某某质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是________．(填序号)①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m∥α，则n∥β； ④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行． 答案：②解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．2. α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：① a∥γ，b β；② a∥γ，b ∥β；③ b∥β，a γ.如果命题“α∩β＝a ，b γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．答案：①③解析：①中，a ∥γ，a β，b β，β∩γ＝b a ∥b(线面平行的性质)．③中，b ∥β，b γ，a γ，β∩γ＝a a ∥b(线面平行的性质)．3. 正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点． (1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC∥平面A 1BD. 证明：(1) 连结DA 、DB 1、DO. ∵AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，而DB 1＝DC 21＋C 1B 21，DA ＝DC 2＋CA 2，∴DB 1＝DA. 又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点，∴DO ⊥AB 1. 又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ，∴AB 1⊥平面A 1BD. (2) 取A 1O 的中点F ，在△A 1OA 中，∵E 是OA 中点，∴EF ∥=12AA 1.又D 为C 1C 的中点，∴CD ∥=12AA 1.∴EF ∥= CD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴CE∥DF. 又DF 平面A 1BD ，CE 平面A 1BD ，∴EC ∥平面A 1BD. 4. 设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断： ① m ∥n ；② m∥α；③ n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①②③(或①③②) 解析：当m∥α时，由线面平行的性质定理，过m 作平面与α的交线m′，则有m∥m′，因为m∥n，所以n∥m′，又n 是平面α外的直线，所以n∥α.故①②③.同理①③②.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法：(1) 利用直线与平面平行的定义(无公共点)； (2) 利用直线与平面平行的判定定理(a α，bα，a ∥b a ∥α)；(3) 利用平面与平面平行的性质(α∥β，a αa ∥β)； 注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可．2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性．3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化．请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

高三数学第一轮复习讲义平面空间两条直线【知识点归纳】1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的l αβ=I平面α、β相交于直线lαααα4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø． 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l αØ推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面BA α推理模式：P b a =I ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形6 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 7公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．8等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等9等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等10空间两条异面直线的画法ba ab abD 1C 1B 1A 1D CBA11．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线12．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。

平面的基本性质及两直线位置关系一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·东营模拟)空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论中成立的是( )(A)四点中必有三点共线(B)四点中必有三点不共线(C)AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行(D)直线AB与CD必相交2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )(A)A，M，O三点共线(B)A，M，O，A1不共面(C)A，M，C，O不共面(D)B，B1，O，M共面3.以下四个命题中，正确命题的个数是( )①有三个角是直角的四边形一定是矩形②不共面的四点可以确定四个平面③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.(易错题)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )(A)点A (B)点B(C)点C但不过点M (D)点C和点M5.(2012·聊城模拟)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )二、填空题(每小题6分，共18分)7.平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定个平面.8.(2012·泰安模拟)如图，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(注：把你认为正确的结论序号都填上)9.(2012·潍坊模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条.三、解答题(每小题15分，共30分)10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形EBFD 1是菱形.【探究创新】(16分)如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别是四边形边上的点，且满足AM MB ＝CN NB ＝AQ QD ＝CP PD＝k.求证：M ，N ，P ，Q 四点共面且四边形MNPQ 为平行四边形.答案解析1.【解析】选B.选项B 是一个存在性命题，反设“四点中任意三点共线”，则四点共线与已知矛盾.2.【解析】选A.连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上.∴A，M，O三点共线.3.【解析】选B.如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∉α，过P作PD⊥AB，PE⊥B C，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；图(3)中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④错误，只有②正确.4.【解析】选D.通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，M∈AB.∴M∈γ，而C∈γ，又∵M∈β，C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.【误区警示】解答本题时往往会忽视点M也在两平面内而出错.5.【解析】选D.当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩b＝P，a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.6.【解析】选D.在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面.如图，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中P S与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.【误区警示】对于截面问题，常因不能准确确定平面的交线而出错.7.【解析】分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面.答案：1或48.【解析】结合图形可得直线AM与直线C1C、BN是异面直线，故①、②错误；由异面直线的定义可得③、④正确.答案：③④9.【解析】在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交.答案：无数10.【解题指南】确定两平面的两个公共点即可得到交线.【解析】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面A BCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.11.【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形.∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形.又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1为菱形.【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD 1为平面图形的证明，如证得BE ＝ED 1＝D 1F ＝FB 后即下结论得到菱形.【探究创新】【证明】∵AM MB ＝AQ QD ＝k ， ∴MQ ∥BD ，且AM AM ＋MB ＝k k ＋1， ∴MQ BD ＝AM AB ＝k k ＋1，即MQ ＝k k ＋1BD. 又∵CN NB ＝CP PD＝k ， ∴PN ∥BD ，且NC CN ＋NB ＝k k ＋1. ∴NP BD ＝CN CB ＝k k ＋1，即NP ＝k k ＋1BD. ∴MQ NP.∴M 、N 、P 、Q 四点共面且四边形MNPQ 为平行四边形.。

第十三讲点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质公理1公理3公理2空间的平行关系直线与直线平行公理4平面与平面平行面面平行的定义面面平行的性质面面平行的判定直线与平面平行线面平行的定义线面平行的性质线面平行的判定空间的垂直关系直线与直线垂直平面与平面垂直面面垂直的定义面面垂直的性质面面垂直的判定直线与平面垂直线面垂直的定义线面垂直的性质线面垂直的判定1．(线线位置关系)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是()【解析】在选项A、C中，PS∥QR，故四点共面，在选项B中，RS的延长线与QP 的延长线相交于一点，故四点共面，在选项D中，直线PS和QR是异面直线，故四点不共面．【答案】 D2．(平面的性质)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，G、H分别是BC、CD上的点，若EG与FH交于点P，则点P在直线________ 上．【解析】如图，∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，P∈FH，又EG⊂平面ABC，FH⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC.∴点P在平面ABC与平面ADC的交线上，即AC上．【答案】AC3．(平行的判定)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.其中真命题是________．(只填序号)【解析】因两平行平面内任两条直线不一定平行，故①不对．而m、n⊂α，m∥β，n ∥β时，α与β可以相交，故②不对．因为m∥n，m⊥α.所以n⊥α.又因为n⊥β，所以α∥β，③正确．过m、n作平面M、N分别交α、β于m1、m2、n1、n2，由线面平行的性质定理知m1∥m2，n1∥n2且m1与n1相交，所以α∥β，故④对．【答案】③④4．(垂直的判定)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确的命题是________．(只填序号)【解析】本题考查空间直线与平面间的位置关系的判断等知识，根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①②正确；类似①得n⊥α，n⊂β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④中m与n的位置关系不确定，④错误．【答案】①②③5．(线线、线面位置关系)如图4－2－1所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中：图4－2－1①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.正确的有________．(只填序号)【解析】由已知易得PQ∥AC，QM∥BD，又PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN 所成的角，故④正确．对于命题③，当AC≠BD时，截面PQMN也可能是正方形，故命题③错误．【答案】①②④【命题要点】①考查平行的判定与性质定理；②考查垂直的判定与性质定理.(1)(2013·潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②m⊥α，m⊥β，则α∥β③m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．②④(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【思路点拨】(1)借助线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理判断．(2)画出符合条件的图形，根据图形判断．【自主解答】(1)由面面平行的判定定理知，②正确，③中由m⊥α，m⊥n，知n∥α或n在平面α内，又n⊥β，从而α⊥β，故③正确，①④不正确．故选B.(2)根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.【答案】(1)B(2)D求解空间线面位置关系判断题的两大思路：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．变式训练1(2013·杭州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】对于A：若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；对于B：若l∥α，则平面α内必存在一条直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，从而B正确；对于C：若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C不正确；对于D：若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交或平行或l在β内，故D不正确．【答案】 B(2013·山东高考)如图4－2－2，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图4－2－2【思路点拨】(1)要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑到的．(2)要证明平面EFG⊥平面EMN，可考虑先证明平面EMN中的MN垂直于平面EFG，即转化为证明线面垂直，而要证明MN⊥平面EFG，需要证明MN垂直于平面EFG中的两条相交直线．图(1)【自主解答】 法一 如图(1)，取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形． 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD .图(2)法二 如图(2)，连接CF . 因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．所以CF ∥AD . 又CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD . (2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC . 又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .1．本例中第(1)小题把线面平行问题转化为线线平行或面面平行问题是常用的两种转化方法；第(2)小题中寻找一个平面内垂直于另一个平面的直线是解题的关键．2．正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理及性质定理，这是进行判断和证明的基础，在证明空间线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，可作为条件直接应用．变式训练2 (2013·天津高考)如图4－2－3，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．图4－2－3(1)证明EF ∥平面A 1CD ； (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【解】 (1)证明 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC .又因为F为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明 由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD .又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1.而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 的延长线于点G ，连接CG .由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD .由此可得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.【命题要点】 ①把平面图形折叠成四棱锥；②把平面图形折叠成三棱锥.(2013·广东高考)如图①，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.① ②图4－2－4(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .【思路点拨】 (1)要证直线和平面平行，可证直线与该平面内的一条直线平行，也可证直线所在的平面与该平面平行．(2)要证直线和平面垂直，需要证明直线和该平面内的两条相交直线垂直．(3)要求三棱锥的体积，需要确定底面面积和高，然后代入棱锥的体积公式计算．【自主解答】 (1)证明 法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC，所以DE ∥BC . 因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以DE ∥平面BCF .法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AEAC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF . 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ， 所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . 又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ， 故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明 在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ， 由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ， 所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36. 故三棱锥F －DEG 的体积为V 三棱锥F －DEG ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝⎛⎭⎫132×36＝3324.1．解答本例第(2)小题时，根据折叠前的图形得到BF ⊥AF ，利用勾股定理证明BF ⊥CF 是解题的突破口．2．解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变，哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．3．求解过程中，要综合考虑折叠前后的图形，把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．变式训练3 (2013·南昌模拟)如图4－2－5所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图4－2－5【解】 (1)证明 因为CD ∥EF ，DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形． 由GD ＝5，DE ＝4，得 GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5. 在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ， 所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.在空间几何体中考查点、线、面的位置关系是高考的热点内容，而与位置关系有关的探索性问题，能充分考查学生的想象力，考查学生分析问题和解决问题的能力，值得重视．图4－2－6立体几何中探索性问题的求解方法(12分)直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且P A ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，若存在，说明理由并确定E 点的位置，若不存在请说明理由．【规范解答】 (1)取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD ，又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ， ∴MN ⊥AB .∵PM ∩MN ＝M ， ∴AB ⊥平面PMN .2分又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .∵AB 与CD 相交， ∴PN ⊥平面ABCD .又PN ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .5分(2)假设存在．在PC ，PB 上分别取点E 、F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连接EF 、MF 、NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.8分∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又FM ⊂平面P AB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .12分【阅卷心语】易错提示 (1)在证明平面PCD ⊥平面ABCD 时，没有转化意识使思维受阻，无法求证． (2)在解答本题第(2)题时，对探索性问题没有解题思路，无从下手．防范措施 (1)在证明面面垂直时，往往通过添加辅助线转化为线面垂直解决． (2)解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设．1．设α，β是两个不同的平面，给定下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.那么可以是α∥β的充分条件有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ①可以；②α，β也有可能相交，所以不正确；③α，β也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是α∥β的充分条件有2个，选C.【答案】 C2．在如图4－2－7所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点．图4－2－7(1)求证：BD ⊥MC ；(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【解】 (1)证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以AM ⊥BD . 因为AC ∩AM ＝A ， 所以BD ⊥平面MAC . 又MC ⊂平面MAC ， 所以BD ⊥MC .(2)当E 为AB 的中点时，有AP ∥平面NEC .证明如下： 取NC 的中点S ，连接PS ，SE . 因为PS ∥DC ∥AE ，PS ＝AE ＝12DC ，所以四边形APSE 是平行四边形， 所以AP ∥SE .又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ， 所以AP ∥平面NEC .。

平面的基本性质、空间两条直线(教案)A一、知识梳理：（必修2教材第40页-第43页）1、平面：（1）、平面的两个特征：，。

（2）、画法：通常用表示平面。

（3）、平面的表示方法：用一个小写的希腊字母等来表示平面，也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示，如，。

2、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。

这时我们就说或。

作用：公理2：经过同一直线的三点，有且只有个平面。

也可以简单地说成：的三点确定一个平面。

过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。

作用：公理2推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。

2经过两条直线，有且只有个平面。

3经过两条直线，有且只有个平面。

公理3：如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。

这条公共直线叫做着两个平面的作用：（1）画两个相交平面时，，其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成线或。

（2）证明三点共线（3）证明三线共点3、两条直线的位置关系（1）共面与异面直线：共面直线：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。

共面的两条直线的位置关系有和两种。

异面直线：的直线叫异面直线。

判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内的直线是异面直线。

（2）空间两条直线的位置关系分类：两条异面直线所成的角：两条异面直线的公垂线：两条异面直线的距离：（3）公理4（平行公理）：（4）等角定量：（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。

平面α与平面β相交于直线a, 记作.直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。

基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。

二、题型探究一：平面的基本性质例1：（1）一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是；（2）已知直线a，b是异面直线，在直线a上取三点，在直线b上取5个点能确定的平面个数是；例2：在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果直线EF与GH相交于P，由点P（）（A）一定在直线BD上（B）一定在直线AC上（C）在直线AC或BD上（D）不在直线AC上也不在直线BD上。

第四节直线、平面平行的判定及性质[知识能否忆起]一、直线与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αb∥a⇒a∥α2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β2．两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A 对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直 D．l∥α或l⊂α解析：选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a ，b 的位置关系是平行或异面． 答案：平行或异面5．(2012·某某质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图．连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案：平行1.平行问题的转化关系： 线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．线面平行、面面平行的基本问题典题导入[例1] (2011·某某高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[自主解答] 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC .又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.所以EF ＝ 2.[答案]2本例条件变为“E 是AD 中点，F ，G ，H ，N 分别是AA 1，A 1D 1，DD 1与D 1C 1的中点，若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有MN ∥平面A 1C 1CA .解：如图，∵GN∥平面AA1C1C，EG∥平面AA1C1C，又GN∩EG＝G，∴平面EGN∥平面AA1C1C.∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．以题试法1．(1)(2012·某某高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.直线与平面平行的判定与性质典题导入[例2] (2012·某某高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点． 又因为点N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)法一：连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．以题试法2．(2012·某某模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1CD；(2)求证：EF⊥AD1.解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，∴EF∥B1D.又∵B1D⊂平面A1B1CD.EF⊄平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD.(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1D.∴AD1⊥B1D.又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入[例3] 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.[自主解答] (1)在正方形AA1B1B中，∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E.∴四边形A1GBE是平行四边形．∴A1G∥BE.又C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F . ∴D 1F 綊EB .故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23. 又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF . ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . ∴HG ∥FB .∵GH ⊄面FBED 1，FB ⊂面FBED 1，∴GH ∥面BED 1F . 由(1)知A 1G ∥BE ，A 1G ⊄面FBED 1，BE ⊂面FBED 1， ∴A 1G ∥面BED 1F . 且HG ∩A 1G ＝G ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .由题悟法常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)； (3)利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β)．以题试法3．(2012·东城二模)如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MB 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC .证明：(1)因为MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ， 所以MB ∥平面DNC .又因为四边形AMND 为矩形，所以MA ∥DN . 又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC . 所以MA ∥平面DNC .又MA ∩MB ＝M ，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB ∥平面DNC .(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MB，且平面AMND∩平面MB＝MN，所以AM⊥平面MB.因为BC⊂平面MB，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.1．(2013·某某模拟)已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是( ) A．若n∥α，则α∥βB．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n解析：选D 由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n.2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则α∥β，b∥α，故排除C.3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．4．(2012·某某模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.5.(2012·某某模拟)如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．6．(2012·某某四校联考)在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： ①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a 与b 还可能异面、相交．答案：②④8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ， ∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD .∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD. ∴BD ＝245.如图2，同理可证AB ∥CD .∴PA PC ＝PB PD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．(2012·某某模拟)下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB 平行于平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到直线AB 与MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③10．(2013·某某模拟)如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F －BDE 的体积为3？解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM .因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形，所以有BE ∥AM .而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，所以BE ∥平面ADF .(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°.由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE .所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC . 因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3， 所以BC ＝32. 综上当BC ＝32时，三棱锥F －BDE 的体积为 3. 11.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF .又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1.∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12．(2013·潍坊二模)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE＝12BC ＝2，AC ＝CD ＝3. (1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ；(3)求三棱锥E －ABD 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME .在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点，∴OM ∥AC .在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ， ∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC .∴平面EMO ∥平面ACD ，又∵EO ⊂平面EMO ，∴EO ∥平面ACD .(2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC .又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC .∴AC ⊥平面BCDE .又∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCDE .(3)由(2)知AC ⊥平面BCDE .又∵S △BDE ＝12×DE ×CD ＝12×2×3＝3， ∴V E －ABD ＝V A －BDE ＝13×S △BDE ×AC ＝13×3×3＝3.1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线．2．(2012·某某二模)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC ，平面ABD3．(2012·东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)求证：GN ⊥AC ；(3)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ，所以该多面体的体积为12a 3. 表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2. (2)连接DB ，FN ，由四边形ABCD 为正方形，且N 为AC 的中点知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN .又∵FD ⊥AD ，FD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴FD ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AC .又DN ∩FD ＝D ，∴AC ⊥平面FDN .又GN ⊂平面FDN ，∴GN ⊥AC .(3)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD . 又M 是AB 的中点，∴AM 綊12CD . ∴GH ∥AM 且GH ＝AM .∴四边形GHMA 是平行四边形．∴GA ∥MH .∵MH ⊂平面FMC ，GA ⊄平面FMC ，∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .1．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nB ．l ⊥β，α⊥β⇒l ∥αC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β解析：选D 对于选项A ，m ，n 平行或异面；对于选项B ，可能出现l ⊂α这种情形；对于选项C ，可能出现n ⊂α这种情形．2.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解：法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∴OM ⊥底面ABC .又∵EC＝2FB，∴OM綊FB綊12 EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．3．(2012·某某二中质检)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积．解：(1)证明：∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2 3.∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ， ∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32， S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.。