2015-2016年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)(实验班)

西安中学高2017届高二第一学期诊断检测（二）数学试题（1-14班）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤2.已椭圆方程为2212516x y +=，则该椭圆的焦距为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．33.命题“若21x <，则11x -<<”x R ∈的逆否命题和真假性分别为（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-；假命题B ．若 11x -<<，则21x <；假命题C ．若1x >或1x <-，则21x > ；真命题D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥；真命题 4.若平面α与β的法向量分别是()()2,4,3,1,2,2a b =-=- ，则平面α与β的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5.已知向量(a =- ，则与向量a 共线的单位向量为（ ）A ．(-和(3,1,-B ．31,,444⎛- ⎝⎭C ．31,44⎛- ⎝⎭和31,,44⎛- ⎝⎭ D ．(3,1,- 6.已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==- ，则ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ． 15 C ．35 D ．757.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,AA AB E =为1AA中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．10 B ． 35 C ．10D ．15 8.非零向量,a b 使得a b a b -=+ 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．a b B ．20a b += C ．a b a b= D ．a b =10.如图，空间四边体D ABC -的每条棱都等于1，点,E F 分别在,AB AD （ ）A ．16B ．14C ．56D ．13-11.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的一点，已知12PF PF ⊥，则12F PF 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．812.以下命题正确的个数为（ ）①若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p 真q 假；②“0a >”是“函数()()1f x ax x =-在区间(),0-∞上单调递减”的充要条件； ③函数()312f x ax a =+-在()1,1-上存在0x ，则a 的取值范围是1a <-或15a >； ④若向量()()1,2,3,2,,6a b m =-=- ，且a 与b 的夹角为钝角，则10m <.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,,3,2,4,a x B y =-=- ，且a b ，那么x y += .14.已知()()1,1,,3,,a t t t b t t =--= ，则a b - 的最小值 .15.已知点()5,3,6P ，直线l 过点()2,3,1A ，且一个方向向量()1,0,1l =- ，则点P 到直线l的距离为 .16.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆上点A 满足212AF F F ⊥.若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅ 的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >），命题:23q x <<.⑴若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；⑵若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18（本小题满分10分）如图直角梯形OABC 中，,2,1,2COA OAB OC OA AB SO π∠=∠====⊥面OABC ，1SO =，以,,OC OA OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O xyz -.⑴求SC 与OB 的夹角α的余弦值；⑵设SB 与平面SOC 所成的角为β，求sin β.19.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点()0,4A ，离心率为35. ⑴求椭圆C 的方程；⑵求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.20.（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =.⑴证明：1AC ⊥平面BED ； ⑵求面1A DE 与面BED 的夹角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知命题[]()2:1,2,110p x x k x ∀∈-++≤，命题:q 方程22192x y k k+=-表示焦点在x 轴上的椭圆. ⑴若p 是真命题，求实数k 的取值范围；⑵若p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数k 的取值范围.22.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2,1,60,AD AB ABC PA ==∠=︒⊥面ABCD ，且3PA =，设G 为PB 中点，点F 在线段PD 上且2PF FD =.⑴求点G 到ACF 的距离；⑵在线段PC 上是否存在点E ，使得BE 面ACF ，若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由.。

2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103 (B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 ）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。

2015—2016学年陕西省西安一中高二（上)期末数学试卷（理科）一、选择题:只有一项符合题目要求（共12小题,每小题3分，共36分)1．命题“若α=，则tanα=1"的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．73．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0"的否定是（)A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（)A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．抛物线y=4x2的焦点坐标是（)A．（0，1）B．(0，） C．（1，0）D．（，0）6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，“A=60°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为（)A．1 B．C．2D．9．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=,=，=，则用向量,,可表示向量为（）A．++B．﹣++C．﹣+D．﹣+﹣10．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=．平面OCB1的法向量=(x，y，z）为（)A．(0,1，1） B．（1,﹣1，1）C．（0，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1,1）12．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（)A．B．2 C．D．3二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题4分,共20分）13．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．14．双曲线的离心率为，则m等于．15．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为．17．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．三、解答题（共4小题，满分44分）18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(﹣2，0)，F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣)（1）求椭圆标准方程．(2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上,若“p或q”为真，“p且q”为假,求实数m的取值范围．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．21．已知椭圆E：+=1(a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c,0），(0，b)的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；(Ⅱ）如图,AB是圆M：（x+2)2+(y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题:只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分,共36分）1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（)A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为:若非b,则非a．【解答】解:命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．【点评】考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式,本题是一个基础题．2．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得:2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0"是全称命题,其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解:∵命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0"是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上,不符合条件;由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件;由D可得焦点在y轴上,渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．(0，1) B．(0,）C．（1,0）D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解:抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,p=,开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（)A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题;压轴题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b,则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，双曲线的方程为故选D【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．7．在△ABC中,“A=60°”是“"的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】三角函数的求值．【分析】判断出若“cosA="成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中,若“A=60°成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60°成立;反之在△ABC中，若“A=60°成立则有“cosA="成立，所以，“A=60°”是“"的充要条件．故选C．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件,然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断．8．设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为(）A．1 B．C．2D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1⊥PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上,进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P 所在的象限确定其横坐标．【解答】解：由题意半焦距c==，又∵PF1⊥PF2，∴点P在以为半径,以原点为圆心的圆上，由，解得x=±，y=±∴P坐标为（,）．故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系．考查了考生对椭圆基础知识的综合运用．属基础题．9．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=，=, =，则用向量，,可表示向量为（)A．++B．﹣++C．﹣+D．﹣+﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用；空间向量及应用．【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．【解答】解：===﹣．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则,属于基础题．10．已知椭圆C：=1(a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF｜=8,cos∠ABF=，则C的离心率为(）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出｜AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形,由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB｜=10，｜BF｜=8，cos∠ABF=，由余弦定理得｜AF|2=|AB｜2+｜BF｜2﹣2｜AB|｜BF｜cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴｜AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴｜BF′｜=6，｜FF′|=10．∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．11．如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．平面OCB1的法向量=（x，y,z)为（）A．（0，1,1) B．（1,﹣1，1）C．（0,1，﹣1) D．（﹣1，﹣1,1)【考点】平面的法向量．【专题】计算题;数形结合；数形结合法；空间向量及应用．【分析】易知=（1，0,0），=（1，1，0)，从而可得=+=（1,1，1）,结合•=x=0，•=x+y+z=0,从而解得．【解答】解：∵ABCD是正方形，且AB=，∴AO=OC=1，∴=（1，0，0)，∵A（﹣1，0，0），B(0,1，0），∴=(1,1，0)，∴=(1，1，0），∵OA=1，AA1=，∴OA1==1，故=（0,0,1），故=+=（1，1,1），∵向量=（x，y，z）是平面OCB1的法向量,∴•=x=0,•=x+y+z=0,故x=0,y=﹣z，结合选项可知，当y=1时,z=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了空间向量的应用及平面的法向量的求法．12．抛物线y=2x2上两点A(x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称,且x1•x2=﹣，则m等于（)A．B．2 C．D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题;压轴题．【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k,再利用A、B两点的中点在直线y=x+m 求出关于m以及x2,x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．【解答】解:由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2﹣y1=2(x22﹣x12）①,得x2+x1=﹣②，且(,）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m ③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2(x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1)2﹣2x2x1］=x2+x1+2m ④,把①②代入④整理得2m=3,解得m=故选A．【点评】本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查．当两点关于已知直线对称时,有两条结论,一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分,共20分）13．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．【解答】解:因为抛物线y2=2px(p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．14．双曲线的离心率为，则m等于9．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16,b2=m，又离心率为，则,解得m=9．故答案为9．【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．15．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】由题意补成正方体，由正三角形的性质可得．【解答】解：不妨设AB=BC=AA1=a，由题意可补成棱长为a的正方体,（如图）∵AD1∥BC1，∴∠B1AD1就是直线AB1和BC1所成的角，在正三角形AB1D1中易得∠B1AD1=60故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成的角，补形法是解决问题的关键，属基础题．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题．【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离,取AB得中点M,连接CM，C1M,过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB,故CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM 中，利用等面积法即可求出CD的长度．【解答】解：如图所示，取AB得中点M，连接CM,C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D ∵C1A=C1B,M为AB中点，∴C1M⊥AB∵CA=CB，M为AB中点，∴CM⊥AB又∵C1M∩CM=M，∴AB⊥平面C1CM又∵AB⊂平面ABC1,∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，∴CD⊥平面C1AB，∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离在Rt△C1CM中，C1C=1，CM=，C1M=∴CD=，即点B1到平面ABC1的距离为故答案为：【点评】本小题主要考查棱柱,线面关系、点到平面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．17．设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程和点P的坐标,把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF1F2 中,利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．【解答】解:设椭圆的方程为（a＞b＞0）,设点P（c，h），则=1，h2=b2﹣=，∴｜h｜=，由题意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，，∴=﹣1．故答案为:【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．属于中档题目．三、解答题（共4小题，满分44分）18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2,0）,F2（2,0），且椭圆经过点（,﹣）（1）求椭圆标准方程．（2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0)，结合两点之间距离公式，求出2a,进而求出b，可得椭圆标准方程．（2）由(1)中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．【解答】解:（1）设椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0)，则2a=+=2，即a=，又∵c=2，∴b2=a2﹣c2=6,故椭圆的标准方程为：+=1，（2）由(1)得:椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q:椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q"为真，“p且q”为假,求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法;简易逻辑．【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围,通过讨论p,q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立,∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；q：椭圆+=1的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得:2＜m＜3,若“p或q”为真,“p且q"为假，则：p，q一真一假，p真q假时：，解得：﹣＜m＜2，p假q真时:，解得：≤m＜3，故m的范围是（﹣，2）∪［,3)．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查不等式恒成立问题，考查椭圆问题，是一道基础题．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ)证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】(Ⅰ）取AB的中点O，连接OC,OA1,A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；(Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，,的坐标，设=(x，y,z）为平面BB1C1C的法向量,则，可解得=(，1，﹣1),可求｜cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；(Ⅱ）由（Ⅰ)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，｜｜为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，,0），C（0，0，），B（﹣1，0,0），则=(1，0,），=(﹣1，，0），=（0,﹣,），设=(x,y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1,﹣1)，故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0）,（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ)求椭圆E的离心率；(Ⅱ)如图，AB是圆M：（x+2）2+(y﹣1)2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c,0)的直线方程,运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ)由(Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点(0，b)和(c,0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b，e===;（Ⅱ)由（Ⅰ）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1)是线段AB的中点，则｜AB｜=,易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0,设A（x1，y1）,B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4,解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB｜=•｜x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用,联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．2016年4月1日。

2015-2016学年陕西省西安交大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）展开式中的常数项是（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．842．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 3．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=（）A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.15854．（3分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40、50），[50、60），[60、70），[70、80），[80、90），[90、100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．420 C．450 D．1205．（3分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取出一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得数学书的条件下第二次也取得数学书的概率p（B|A）的值是（）A．B．C．D．7．（3分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”8．（3分）设非空集合的一个充分不必要条件是（）A．1≤a≤9 B．6＜a＜9 C．a≤9 D．6≤a≤99．（3分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定10．（3分）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n（n∈N*），其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2 (x7)的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（4分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n（x））=．﹣112．（4分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．13．（4分）已知空间三个力，，的大小都等于2，且两两夹角都为60°，则这三个力的合力的大小为．14．（4分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为．15．（4分）某市派六名干部到该市A，B，C三所乡镇考察，每乡镇去两人，但干部甲不能去A地，干部乙不能去B地，其他四人不受限制，共有多少种不同的分配方案．（用数字作答）三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）命题P：函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[0，1]上有且只有一个零点；命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，（1）若f（1）=0，求a的值；（2）若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．17．（12分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（w1﹣）（x1﹣）（y）（w1﹣）（y表中，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．19．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，事件C发生的概率为p（C）．①当n=2时，求p（C）；②当n∈N*，n＞2时，求p（C）．四、附加题（共1小题，满分20分）20．（20分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2015-2016学年陕西省西安交大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）展开式中的常数项是（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84【解答】解：设常数项为第r+1项，则令，则r=3，故常数项是第四项且T4=﹣84；故选：C．2．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=（）A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585【解答】解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.3413，观察上图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．4．（3分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40、50），[50、60），[60、70），[70、80），[80、90），[90、100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．420 C．450 D．120【解答】解：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1﹣（0.005+0.025）×10=0.7，∴对应的学生人数是600×0.7=420．故选：B．5．（3分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图知，第一次运行S=1×（1+1）=2，k=1+1=2；第二次运行S=2×（1+2）=6，k=2+1=3；第三次运行S=6×（1+6）=42，k=3+1=4；第四次运行S=42×（1+42）=966，k=4+1=5，不满足条件S＜100，输出k=5．故选：B．6．（3分）书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取出一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得数学书的条件下第二次也取得数学书的概率p（B|A）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：事件发生的概率P（A）=，事件B发生的概率为P（B）=，事件AB同时发生的概率P（AB）=，∴P（B|A）==，故选：C．7．（3分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解答】解：∵k2≈7.8＞6.635，∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：A．8．（3分）设非空集合的一个充分不必要条件是（）A．1≤a≤9 B．6＜a＜9 C．a≤9 D．6≤a≤9【解答】解：由B得（3﹣x）（x﹣22）≥0，∴3≤x≤22，又由于A⊆（A∩B）知A⊆B，故得2a+1≥3，3a﹣5≤22，即1≤a≤9，即A⊆（A∩B）的充要条件是1≤a≤9，分析选项可得6＜a＜9是A⊆（A∩B）的一个充分不必要条件，故选：B．9．（3分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为=6，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为=4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α）=6α+（1﹣α）4=，解得α=0.4，满足题意．解法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，，∴a=∈（0，），m，n∈N+∴2n＜m+n，∴n＜m．故选：A．10．（3分）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2...x n（n∈N*），其中x k（k=1，2，...，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2 (x7)的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x 1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（4分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，归纳推理可得：（x））=．当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1【解答】解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n（x））=﹣1故答案为：12．（4分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．13．（4分）已知空间三个力，，的大小都等于2，且两两夹角都为60°，则这三个力的合力的大小为．【解答】解：根据条件，==4+4+4+4+4+4=24，∴；即三个力合力的大小为．故答案为：．14．（4分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为．【解答】解：由于函数cos是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率在区间[0，1]上随机取一个数x，即x∈[0，1]时，要使cosπx的值介于0到0.5之间，需使≤πx≤∴≤x≤1，区间长度为，由几何概型知cosπx的值介于0到0.5之间的概率为．故答案为：．15．（4分）某市派六名干部到该市A，B，C三所乡镇考察，每乡镇去两人，但干部甲不能去A地，干部乙不能去B地，其他四人不受限制，共有多少种不同的分配方案78．（用数字作答）【解答】解：第一类：甲乙不去同一个乡镇，分两步；第一步：从除甲乙的4人选3人，每个乡镇一人，共有A43=24种，第二步，若甲去B地，则有A22=2种，若甲去C地，则乙只能到地，另一人到B 地，故有2+1=3种，根据分步计数原理，共有24×3=72种，第二类：甲乙去同一个乡镇，且只能去C地，剩下的4人平均分到A，B两地，共有C42=6种，根据分类计数原理，共有72+6=78种，故选：78．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）命题P：函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[0，1]上有且只有一个零点；命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，（1）若f（1）=0，求a的值；（2）若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）=0，∴1﹣2a+2=0，解得a=．（2）命题P：∵f（0）=2＞0，函数f（x）=x2﹣2ax+2（x﹣a）2+2﹣a2在区间[0，1]上有且只有一个零点，a=0时，f（x）=x2+2＞0，因此此时函数f（x）在区间[0，1]上无零点；a＜0时，可知：函数f（x）在区间[0，1]上无零点．∴，解得a．命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，∴a＞1．∵“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一真一假，∴或，解得．∴a的取值范围是．17．（12分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM 的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．18．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（w1﹣）（x1﹣）（y）（w1﹣）（y表中，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．（Ⅱ）令w=，则y=c+dw，∴d==68，c=56.3﹣68×6.8=100.6，∴y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，∴y关于x的回归方程为y=100.6+68，（Ⅲ）当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68=576.6．年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣90=66.32．19．（14分）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，事件C发生的概率为p（C）．①当n=2时，求p（C）；②当n∈N*，n＞2时，求p（C）．【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=．（2）①当n=2时，P（C）=2×=．②当n＞2时，P（C）=2×．四、附加题（共1小题，满分20分）20．（20分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=2k﹣[]。

2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p49．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．210．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵，∴，即sinC===，则C=60°或120°，故选：A．3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0易知，又∵ab﹣b2=b（a﹣b）＞0∴∴，故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣【解答】解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4﹣a n=d＞0，∴命题p1：数【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不+1一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞+10，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．9．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B．10．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以{a n}的通项公式：为a n=6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：B．11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．【解答】解：．故选：D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．【解答】解：，变形得：＞0，可化为：或，解得：x＞﹣3或x＜﹣8，则原不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=6或3．【解答】解：根据正弦定理得∴sinC===∵C∈（0，π）∴∠C=60°或120°①当∠C=60°，∠A=90°，∵a2=b2+c2∴a===6②当∠C=120°，∠A=30°，又∵∠B=30°∴△ABC是等腰三角形，∴a=3综上所示：a的值是6或3．故答案为6或3．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．【解答】解：当n=1时，；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n+2）﹣（3n﹣1+2）=2×3n﹣1．综上可知：a n=，故答案为：a n=，16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（2分）（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（6分）（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（10分）（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…（14分）综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…（16分）18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=2，a4=16，∴公比q3=8，∴q=2∴该等比数列的通项公式a n=2n；（2）设等差数列{b n}的公差为d，则2d=4，∴d=2，∵b2=a2=4，∴b1=2，∴数列{b n}的前n项和S n=2n+=n2+n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意知，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°．在△ABD中，由正弦定理得：，∴又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°．在△DBC中．由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=∴CD=30（km）救援船到达时间为t=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？【解答】解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a=（2x﹣10）•=（x﹣5）（y﹣6）=3030﹣6x﹣，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+）≤3030﹣2=3030﹣2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，Smax=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。

陕西省西安市铁一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分,共48分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}21110,242x M x xN x +⎧⎫=-≤=<<⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．[)1,1-D ．(]1,1- 2．在等差数列{}na 中,78a=，前7项之和为742S=，则其公差是（）A ．13- B ．13C ．23- D ．233．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0。

20，0.30,0.10．则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ） A ．0。

40 B ．0。

30 C ．0.60 D ．0.904．由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点,在该点恰好在2Ω内的概率为（ )A ．18B ．14C ．34D ．785．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为（ )A ．11B ．12C ．13D ．14 6．执行如图的程序框图，若输入的209,76a b ==，则输出的a 是( ) A ．19 B ．3 C ．57 D ．767．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．15C ．31010D ．358．下列四个结论中正确的个数为（ ）③命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“任意2,0x R x x ∈-≤"；④“2x >”是“24x>”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点12,F F ，点M在椭圆上，且11212414,,33MF F F MF MF ⊥==，则离心率e 等于（）A 5B ．5 C 5 D 510．已知椭圆()22sin cos 102x y αααπ-=≤<的焦点在y 轴上,则α的取值范围是（A ．3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．命题p ：关于x 的不等式(22320x x x --+≥的解集为{}2x x ≥，命题q :若函数21y kx kx =--分值恒小于0，则40k -<≤，那么不正确的是（ ）A ．“非p "为假命题B ．“非q ”为假命题C ．“p 或q ”为真命题D ．“p 且q "为假命题 12．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,若对任意给定的()1,t ∈+∞，都存在唯一的x R ∈,满足()()222f f x a tat =+，则正实数a 的最小值是（）A ．2B ．12C ．14D ．18二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()22c a b -⋅=-，在x =______． 14．在ABC ∆中，sin cos A B ab=，则B ∠=______．15．已知1111ABCD A BC D -是平行六面体，设M 是底面ABCD 中AC 与BD 的交点,N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的点，且113BN NC =，设1MN AB AD AA αβγ=++，则α、β、γ的值分别为______．16．对定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有()()1f x g x -≤成立，那么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题： ①()21f x x=+在区间(),-∞+∞上可被()212g x x =+替代； ②()f x x =可被()114g x x =-替代的一个“替代区间”为13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ③()ln f x x =在区间[]1,e 可被()1g x b x=-替代，则10b e≤≤；④()()()()()212ln ,sin f x ax x x D g x x x D =+∈=∈，则存在实数()0a a ≠，使得()f x 在区间12DD 上被()g x 替代．其中真命题的有______．。

2015-2016学年陕西省西安市高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）下列曲线中，离心率为2的是（）A．B．C．.D．2．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个腰为1的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（5分）曲线y=x2﹣1与直线y=2x+2轴围成的封闭部分的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）B．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）6．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm27．（5分）设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R没有极值点，则（）A．a＞1B．0＜a＜1C．a≥0D．a＞08．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上9．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（）A．B．C．D．二、填空题11．（5分）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于．12．（5分）若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于．13．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的标准方程为14．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题：15．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，P为C1与x轴的交点，已知曲线C2的参数方程为（θ为参数），M，N是曲线C2上的两点且对应的参数分别为θ=α，，其中α∈R．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）求|PM|2+|PN|2的取值范围．17．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面BFG；（Ⅱ）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．18．（12分）已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠0．（Ⅰ）讨论f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（Ⅱ）试比较f（1）﹣1与f（2）﹣2，f（2）﹣2与f（3）﹣3的大小，并由此归纳出f（x）﹣x与f（x+1）﹣（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．20．（12分）对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n，若不等式恒成立，求整数λ的最小值．21．（12分）三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ．求证：．2015-2016学年陕西省西安市高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）下列曲线中，离心率为2的是（）A．B．C．.D．【解答】解：选项A中b=，a=1，c==2，离心率e=2，符合题意．选项B，C中是椭圆的方程，其离心率小于1，排除．选项D中b=，a=1，c==，则离心率e=，不符合题意．故选：A．2．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个腰为1的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，∴直观图的面积S=，则原图的面积S′=2S=，故选：D．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．4．（5分）曲线y=x2﹣1与直线y=2x+2轴围成的封闭部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2=x+2，即x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=3，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S=[2x+2﹣（x2﹣1）]dx=S=（2x+3﹣x2﹣1）dx=（x2+3x﹣x3）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=，故选：C．5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）B．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【解答】解：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）﹣f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：．故选：A．6．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．7．（5分）设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R没有极值点，则（）A．a＞1B．0＜a＜1C．a≥0D．a＞0【解答】解：函数f（x）=ax+e x在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．函数f（x）=ax+e x的导数为f′（x）=a+e x，∴a+e x=0无解，∴a=﹣e x无解，∴a≥0故选：C．8．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解答】解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．故选：B．9．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知：，则PF1⊥PF2，由直线PQ的斜率k=2，则k==2，即丨PF2丨=2丨PF1丨，又椭圆的定义：丨PF2丨+丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，丨PF2丨=a，由勾股定理可知：（2c）2=（a）2+（a）2，即：c2=a2，∴e==，故选：A．10．（5分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：左图中，由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD，∴V1=；中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高＜4，于是得V2＜V 1；右图中，高＜2，底面积．∴V3＜＜．∴最大体积为．故选：A．二、填空题11．（5分）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于16π．【解答】解：沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵正方形ABCD的面积为8，∴AC=4，∴球的半径为2∴三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于4π×22=16π故答案为：16π．12．（5分）若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于2．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故答案为：2．13．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=10【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0），圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，可得圆的圆心（0，1）；圆的圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离为：=1，直线与圆C相交于A，B 两点，且|AB|=6，所以圆的半径r==．则圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2=10．故答案为：x2+（y﹣1）2=10．14．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）=e x+=0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y=e x，y=alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）=e x+alnx=0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：15．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取SC的中点为E，连结ME，ED在△SBC中，M、E分别是SB、SC的中点∴ME∥BC，且ME=BC又BC=2，AD=1，且AD∥BC∴ME∥AD，且ME=AD∴ADEM为平行四边形故AM∥ED．又ED⊂平面SCD，AM⊄平面SCD∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）∵CB⊥AB，CB⊥SA，AB∩SA=A，∴CB⊥平面SAB，∵AM⊂平面SAB，∴CB⊥AM，∵SA=AB，M是棱SB的中点，∴AM⊥SB，∵CB∩SB=B，∴AM⊥平面SBC，∵AM∥ED，∴ED⊥平面SBC，∵ED⊂平面SDC，∴平面SDC⊥平面SBC．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，P为C1与x轴的交点，已知曲线C2的参数方程为（θ为参数），M，N是曲线C2上的两点且对应的参数分别为θ=α，，其中α∈R．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）求|PM|2+|PN|2的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的极坐标方程为，展开为：=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．（II）由方程：x+y﹣2=0，令y=0，解得x=2．∴P（2，0）．M（cosα，﹣2+sinα），N（﹣sinα，﹣2+cosα）．∴|PM|2+|PN|2=（cosα﹣2）2+（sinα﹣2）2+（sinα+2）2+（cosα﹣2）2=18﹣8cosα∈[10，26]．17．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面BFG；（Ⅱ）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，连结AE交BF于点O，连结OG，∵O、G分别是AE、CE的中点，∴OG∥AC，∵AC⊄平面BFG，OG⊂平面BFG，∴AC∥平面BFG．解：（Ⅱ）∵V C=•S△BCG•3=，﹣DGB=，∴S△BCG∴S=，△BCE∴三棱柱ADF﹣BCE的体积是：V=3×=．18．（12分）已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），所以x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）①（5分）又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0②以①式代入可得AB的斜率k=（8分）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2）＞0，t∈（﹣2，2），x1+x2=﹣t=λ﹣2点M到直线AB的距离为d=，∴（10分）∵或不合题意．故这样的λ不存在（12分）19．（12分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠0．（Ⅰ）讨论f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（Ⅱ）试比较f（1）﹣1与f（2）﹣2，f（2）﹣2与f（3）﹣3的大小，并由此归纳出f（x）﹣x与f（x+1）﹣（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（a x+a﹣x）lna，若0＜a＜1，则＜0，lna＜0，所以f′（x）＞0；若a＞1，则＞0，lna＞0，所以f′（x）＞0，因此，任意a＞0且a≠1，都有f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调递增．（Ⅱ）直接计算知f（1）﹣1=0，f（2）﹣2=a+a﹣1﹣2，f（3）﹣3=a2+a﹣2﹣2，根据基本不等式a+a﹣1﹣2＞0，所以f（2）﹣2＞f（1）﹣1，又因为（a2+a﹣2﹣2）（a+a﹣1﹣2）=[（a+a﹣1）2﹣（﹣）2]=（﹣）2（a+a﹣1+1）=（a﹣1）2（a+a﹣1+1）＞0，所以f（3）﹣3＞f（2）﹣2．假设∀x＞0，f（x+1）﹣（x+1）＞f（x）﹣x．记g（x）=[f（x+1）﹣（x+1）]﹣[f（x）﹣x][（a x+1﹣a﹣x﹣1）﹣（（a x﹣a﹣x）]﹣1=﹣1，g′（x）=lna，与（Ⅰ）类似地讨论知，对∀x＞0和∀a＞0且a≠1都有g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即∀x＞0，f（x+1）﹣（x+1）＞f（x）﹣x．20．（12分）对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n，若不等式恒成立，求整数λ的最小值．【解答】解：∵＞2，∴若λ≤1，则有≥1＞2，与题意不符；∴λ＞1，当λ≥2时，由a1，a2，…，a n为n个互不相同的正整数值，∴≤≤==2﹣＜2．∴当λ≥2时，不等式对任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n恒成立，∴整数λ的最小值为2．21．（12分）三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ．求证：．【解答】解：设三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC的长度分别为a、b、c如图，过C作CD⊥AB于D，连结VD，∵三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC 两两垂直，∴VC⊥AB∴AB⊥面VDC，∴∠VDC就是侧面VAB与地面ABC所成角α．cos2α==；同理cos2β=，cos2γ=．∴cos2α+cos2β+cos2γ=1，所以要证：，只证．只证a2c2+b2c2，又因为：a4+b4≥2a2b2，a4+c4≥2a2c2，c4+b4≥2c2b2，显然a2c2+b2c2，故原命题成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

西安市第一中学2014—2015学年度第二学期期中考试高二理科数学试题一、选择题（每小题3分，共36分）1．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又为空间四个点，又OA OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则为空间的一个基底，则( ( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线四点不共线 B B B．．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线四点中任意三点不共线D D D．．O ，A ，B ，C 四点不共面2．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.3.已知已知z1－i ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数为的共轭复数为( () A ．3＋iB ．3－IC I C．－．－．－33－iD D．－．－．－33＋i4．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°5.5.满足满足z(2z(2－－i)i)＝＝2＋i(i 为虚数单位为虚数单位))的复数z 在复平面内对应的点所在象限为()A ．第一象限B ．第二象限．第二象限C C C．第三象限．第三象限D ．第四象限6．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)(2,5,7)，，平面α的一个法向量为u ＝(1,1(1,1，，－1)1)，则，则，则( () A ．l ∥α或l a ÌB ．l⊥α C C．．l a Ì D D．．l 与α斜交7．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a≠1，n∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是成立时，左边需计算的项是( ()A ．1B B．．1＋aC a C．．1＋a ＋a 2D D．．1＋a ＋a 2＋a 38．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2(2，－，－，－2,1)2,1)2,1)，已，已知点P(P(－－1,3,2)1,3,2)，则点，则点P 到平面OAB 的距离d 等于等于( ( )A ．4B B．．2C C．．3D ．19．在正三棱柱ABC ABC——A 1B 1C 1中，中，AB AB AB＝＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为( )A.22B.155C.64D.631010．．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝1111，，…，则a 10＋b 10等于等于( ( ) A ．28B ．76C C．．123D D．．1991111．．如图所示，在平行六面体ABCD ABCD——A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB→＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与，则下列向量中与BM BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 12.12.已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD ABCD－－A 1B 1C 1D 1中，中，AB AB AB＝＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为的距离为( ( )A ．2 B. 3 C. 2 D D．．1 二、填空题（每小题4分，共20分）：1313．． i 为虚数单位，则20141()1i i +-＝1414．不等式．不等式．不等式|x |x |x＋＋1|1|－－|x |x－3|≥0－3|≥0的解集是的解集是________________________．．1515．在．在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，中，若∠C＝90°，AC AC AC＝＝b ，BC BC＝＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________. 16.16.下列命题：下列命题：下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有是空间任意四点，则有AB AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ( (其中其中x 、y 、z∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．四点共面． 其中不正确．．．的所有命题的序号为的所有命题的序号为______________________________．． 1717．用数学归纳法证明：“1＋．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1<n (n>1)”，由n ＝k (k>1)k (k>1)不不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是时，左边应增加的项的项数是________________________．．三.解答题（本大题共有解答题（本大题共有44个小题，满分个小题，满分444444分）分）： 18.18.（满分（满分（满分101010分）分）（1）在平面直角坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-的图像；的图像； （2）若不等式|1||2|x x a ++-<无实数解，求实数无实数解，求实数a a 的取值范围的取值范围. .19.19.（满分（满分10分）如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：点，证明：（Ⅰ）ACE BCD Ð=Ð；（Ⅱ）2BC BF CD =´.20.20.（满分（满分12分）如图所示，平行六面体ABCD ABCD——A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.60°.(1)(1)求求AC 1的长；的长；(2)(2)(2)求求BD 1与AC 夹角的余弦值．夹角的余弦值．21.21.（满分（满分12分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ABCD，点，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE.(1)(1)证明：BD⊥平面证明：BD⊥平面PAC PAC；； (2)(2)若若PA PA＝＝1，AD AD＝＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的余弦值．值．西安市第一中学2014-2015学年度第二学期期中考试高二理科数学参考答案一、选择题一、选择题((共12小题，满分36分)：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DD ABAACBCC A D二、填空题（共5小题，满分20分）：13. 13. －－1 14. {x|x ≥1} 15.a 2＋b 2＋c 2216. 16. ②③④②③④②③④ 17. 2 17. 2k三、解答题（共4小题，满分44分）分）18.18.（满分（满分（满分101010分）分）（1）在平面直角坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-的图像；的图像； （2）若不等式|1||2|x x a ++-<无实数解，求实数无实数解，求实数a a 的取值范围的取值范围. . 解析：（1）（5分）图略分）图略. .（2）（5分）由（分）由（11）的图像可知，要不等式|1||2|x x a ++-<无实数解，无实数解， 只需要3a <.1919、、（本小题满分10分）如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆切线与BA的延长线交于E 点，证明：点，证明：（Ⅰ）ACE BCD Ð=Ð；（Ⅱ）2BC BF CD =´. 解析：（I ）（5分）因为AC BC =, 所以BCD ABC Ð=Ð.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC Ð=Ð， 所以ACE BCD Ð=Ð.（II II））（5分）因为,ECB CDB EBC BCD Ð=ÐÐ=Ð,所以BDC D ∽ECB D ，故BC CDBE BC =， 即2BC BE CD =´. 20.（满分12分）如图所示，平行六面体ABCD ABCD——A 1B 1C 1D 1中， 以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.60°. (1)(1)求求AC 1的长；的长；(2)(2)(2)求求BD 1与AC 夹角的余弦值．夹角的余弦值．解 (1)(1)（（6分）记分）记AB AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，〉＝60°，∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×èçæø÷ö12＋12＋12＝6，∴|∴|AC AC1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)(2)（（6分）分）BD BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|∴|BD BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos〈∴cos〈BD BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 21.21.（满分（满分12分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ABCD，点，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE. (1)(1)证明：BD⊥平面证明：BD⊥平面PAC PAC；； (2)(2)若若PA PA＝＝1，AD AD＝＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的余弦值．值．(1) (1)（（6分）证明：∵PA⊥平面ABCD ABCD，，平面ABCD ABCD，，∴PA⊥BD.∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE 可证得PC⊥BD.PC⊥BD. 又PA∩PC＝PA∩PC＝P P ，∴BD⊥平面PAC.(2)(2)（（6分）解：如图，分别以射线AB AB，，AD AD，，AP 为x 轴，轴，y y 轴，轴，z z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．建立空间直角坐标系．由(1)(1)知知BD⊥平面PAC PAC，，又平面PAC PAC，， ∴BD⊥AC.∴BD⊥AC.故矩形ABCD 为正方形，∴AB＝为正方形，∴AB＝BC BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD＝＝2. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)B(2,0,0)，，C(2,2,0)C(2,2,0)，，D(0,2,0)D(0,2,0)，，P(0,0,1)P(0,0,1)．． ∴PB →＝(2,0(2,0，－，－，－1)1)1)，，BC →＝(0,2,0)(0,2,0)，，BD →＝(－2,2,0)2,2,0)．． 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x (x，，y ，z)z)，， 则îïíïìn ·PB →＝0，n ·BC →＝0， 即îíì2·x＋0·y－2·x＋0·y－z z ＝0，0·x＋2·y＋0·z＝0·x＋2·y＋0·z＝00，∴îíìz ＝2x 2x，，y ＝0，取x ＝1得n ＝(1,0,2)(1,0,2)．．∵BD⊥平面PAC PAC，∴，∴，∴BD BD →＝(－2,2,0)2,2,0)为平面为平面PAC 的一个法向量．的一个法向量． cos cos 〈〈n ，BD →〉＝n ·BD →|n |·||·|BD BD →|＝－1010. 设平面BPC 与平面PCA 夹角的余弦值为1010.。

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

2015—2016学年陕西省西安市西北工业大学附中高二（上）期中数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．用斜二测法画出长为4,高为3的矩形的直观图，则其直观图面积为()A．3B．6 C．6D．122．已知m，n是两条不同的直线，α,β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β且m⊆α B．m⊥n且n⊆βC．α⊥β且m∥αD．m⊥n且n∥β3．为了了解某地区的1003名学生的数学,打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（）A．，B．，C．，D．，4．上赛季，某队甲，乙两名篮球运动员都参加了相同的7场比赛,他们所有比赛得分的情况如图所示的茎叶图表示,据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（）A．甲比乙好 B．乙比甲好 C．甲乙一样好D．无法确定5．按如图的流程，可打印出一个数列，设这个数列为{x n},则x4=（）A．B．C．D．6．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（)A．10 B．12 C．8+4D．12+47．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，CC1=2，E为CC1的中点，则点A到平面BED的距离为（)A．1 B．C．D．2、8．若一组数据x1，x2…x n的方差为9，则数据2x1+1,2x2+1，…2x n+1的方差为（)A．9 B．18 C．19 D．369．已知某一起的使用年限x（年)和其维修费用y(万元）的统计数据;使用年限x 1 2 3 4 5维修费用y 1。

3 2.5 4.0 5.6 6.6由散点图知y对x具有线性相关关系，利用线性回归方程估计使用年限为10年时，维修费用为(）万元．A．12.86 B．13。

38 C．13.59 D．15.0210．(理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．已知两点A（2，1），B（5,5)到直线l的距离分别为2，3,则满足条件的直线l共有(）条．A．4 B．3 C．2 D．1112．有5个互不相等的正整数，他们的平均数为9,方差为4，则这组数据中最大的数等于（)A．10 B．11 C．12 D．12二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数是．14．设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为，那么它的体积为_．15．已知某厂的产量x吨与能耗y吨的机组对应数据：x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4。

2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．12．（3分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）3．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．若a＞0，则2a＞1B．若x2+y2=0，则x=y=0C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列4．（3分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2 C．2 D．5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥06．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（）A．B．C．D．﹣7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值810．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A．B．C．D．11．（3分）设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（）A．4 B．5 C．9或10 D．4或512．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为．14．（5分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．16．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分）17．（8分）已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．18．（12分）设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2016-2017学年陕西省西安一中大学区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）已知向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），则•等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，1，﹣1），=（2，0，﹣3），∴=﹣2+0+3=1．故选：D．2．（3分）不等式≥0的解集为（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）【解答】解：不等式≥0⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1．即不等式的解集为：（﹣2，1]．故选：B．3．（3分）下列命题中是假命题的是（）A．若a＞0，则2a＞1B．若x2+y2=0，则x=y=0C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1，故正确；对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0，故正确；对于C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列，故错；对于D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列，故正确．故选：C．4．（3分）已知{a n}是等比数列，a1=4，a4=，则公比q等于（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴q=．∴等比数列{a n}的公比为．故选：D．5．（3分）命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．任意x∈R，|x|+x2＜0 B．存在x∈R，|x|+x2≤0C．存在x0∈R，|x0|+x02＜0 D．存在x0∈R，|x0|+x02≥0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意x∈R，|x|+x2≥0”的否定是存在x0∈R，|x0|+x02＜0．故选：C．6．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量=（）A．B．C．D．﹣【解答】解：=﹣故选：D．7．（3分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab ＞b2，∴a2＞ab＞b2故对C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错故选：B．8．（3分）若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假【解答】解：若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则命题p∨（￢q）为假命题，则命题p和￢q为假命题，∴p假，q真，故选：C．9．（3分）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值8【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值．由，解得，即A（2，4）．此时z的最小值为z=2×2+4=8，故选：C．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n=，则a3=（）A．B．C．D．【解答】解：a3=S3﹣S2=﹣=．故选：A．11．（3分）设a n=﹣n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大值n的值为（）A．4 B．5 C．9或10 D．4或5【解答】解：解：a n=﹣n2+9n+10=﹣（n﹣10）（n+1），∵{a n}的前n项和S n有最大值，∴S n≥S n+1，得a n+1≤0，即﹣[（n+1）﹣10][（n+1）+1]≤0，解得n≥9，易得a8=18，a9=10，a10=0，a11=﹣12，则S9=S10最大，此时n=9或10．故选：C．12．（3分）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0【解答】解：由题意可得，方程ax2+2x+1=0的别式△=4﹣4a≥0，a≤1．①a≠0时，显然方程方程ax2+2x+1=0没有等于零的根．若方程有两异号实根，则由两根之积＜0，求得a＜0；若方程有两个负的实根，则必有，故0＜a≤1．②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x＞0，y＞0，4x+y=1，则+的最小值为16．【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1，则+=（4x+y）=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取等号．其最小值为16．故答案为：16．14．（5分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0，则解得a＞2．综上，a＞215．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：当n≥2时，a n=3S n﹣1，﹣a n=3S n﹣3S n﹣1=3a n，∴a n+1=4a n，即a n+1∴数列{a n}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4∴a n=3•4n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{a n}的通项公式为故答案为：16．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围为0＜a≤1或a≥．【解答】解：如图，联立，解得A（）．当x+y=a过B（1，0）时，a=1；当x+y=a过A（）时，a=．∴若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则0＜a≤1或a≥．故答案为：0＜a≤1或a≥．三、解答题（本大题共4小题，共44分）17．（8分）已知向量=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k+）∥（﹣3），求实数k；（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k．【解答】解：因为k+=（k﹣2，5k+3，﹣k+5），﹣3=（1，5，﹣1）﹣3（﹣2，3，5）=（7，﹣4，﹣16）.4分（1）因为（k+）∥（﹣3），所以==⇒k=﹣.7分（2）因为（k+）⊥（﹣3），所以7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0⇒k=.10分18．（12分）设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=2，则2x2﹣5ax﹣3a2＜0可化为x2﹣5x﹣6＜0，解得：﹣1＜x＜6．由得，∴不等式的解集为．若p∧q为真，则p，q均为真，∴由可得．（2）解2x2﹣5ax﹣3a2＜0得：．若¬p是¬q的充分不必要条件，则．设，，则B⊆A．∴3a≥2且，即，∴实数a的取值范围是．19．（12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n=b n+1﹣b n﹣1．﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．。

西安中学2016—2017学年度第一学期期中考试高二数学（理科平行班）试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．已知空间中点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6-或2C ．3或4-D ．3-或4 2．设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的不完整统计数据如右表。

若已知回归直线方程为69ˆ-=x y,则表中m 的值为（ ） A ．40 B ．39 C ．38 D ．374．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．平均数 B ．标准差 C ．众数 D ．中位数5．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为( )A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．//AB αD ．AB 与α相交不垂直 6．现要完成下列3项抽样调查：①从15件产品中抽取3件进行检查； ②某公司共有160名员工，其中管理人员16名，技术人员120名，后勤人员24名，为了了解员工对公司的意见，拟抽取一个容量为20的样本； ③电影院有28排，每排有32个座位，某天放映电影《英雄》时恰好坐满了观众，电影放完后，为了听取意见，需要请28名观众进行座谈。

较为合理的抽样方法是（ ） A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样广告费用x （万元） 3 4 5销售额y （万元）2228m第9题图输入 x If 1x < Then 21xy =+ Else2y x x =- End If输出 yD ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样7．将两个数2010,2011a b ==交换使得2011,2010a b ==，下面语句正确一组是（ ）8．下列说法正确的是（ ）A ．若“p 或q ”为真，则“p 且q ”也为真B ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题 是“若2x =，则2560x x -+≠”C ．已知 a b ∈R ，，命题“若a b >，则||||a b >” 的逆否命题是真命题D ．已知,,a b m R ∈，命题“若22am bm <，则a b <”为真命题；9．执行程序框图（如右图），则输出的T 等于（ ） A ．20 B ．30 C ．42 D ．5610．为了在运行右面的程序之后输出2y =，输入的x 可以是（ ）A ．0B ．2C ．02或D ．-102，或 11．设1232,32,23,a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-4325a m j k =++（其中k j m ,,是两两垂直的单位向量），若3214a a a a νμλ++=，则实数νμλ,,的值分 别是（ ）A ．3,2,1--B ．3,1,2--C ．3,1,2-D ．3,2,1- 第10题图12．为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为{}012,0,1,(0,1,2)i a a a a i ∈=,传输信息为00121h a a a h ,其中001102,h a a h h a =⊕=⊕,⊕运算规则为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=。

绝密★启用前2015-2016学年陕西省西安市七十中高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：120分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设数列则是这个数列的（）A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项【答案】B【解析】试题分析：由数列前几项可知通项公式为时，为数列第七项 考点：数列通项公式 2、若为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：：∵实数a ，b 满足a ＜0＜b ，试卷第2页，共12页若 a=-3，b=1，则 A 、B 、D 都不成立，只有C 成立 考点：不等关系与不等式 3、已知等差数列的公差是2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ）A ．-4B ．-6C ．-8D ．-10【答案】B 【解析】试题分析：若a 1，a 3，a 4成等比数列，所以考点：等差数列等比数列4、在∆ABC 中，已知a=，b=，C=，则∆ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得，三角形为直角三角形 考点：5、如果函数f （x ）对任意a ，b 满足f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ），且f （1）＝2，则＋＋＋…＋＝（ ）A ．4 018B ．1 006C ．2 010D ．2 014【答案】D 【解析】试题分析：f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）中令，所以所求式子为考点：赋值法求值 6、在等差数列中，已知a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，那么S 15=（ ）A ．-30B ．15C ．-60D ．-15【答案】A 【解析】试题分析：由等差数列性质可知，所以a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2转化为考点：等差数列性质及求和 7、设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=，则a 3a 6a 9…a 30=（ ）A ．210B ．215C ．216D ．220【答案】D 【解析】试题分析：a 1a 2a 3…a 30=可转化为，所以a 3a 6a 9…a 30=考点：等比数列的性质及通项公式8、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．5【答案】C 【解析】试题分析：＋＋2，当且仅当，即时等号成立，取得最值考点：均值不等式求最值试卷第4页，共12页9、在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…S 9中最小的是（ ） A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7【答案】B 【解析】 试题分析：，数列为递减数列，前5项为负数，因此最小的是考点：数列性质10、在三角形ABC 中，已知A ，b=1，其面积为，则为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：考点：正余弦定理解三角形11、若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A ．B ．或C ．D ．或【答案】C【解析】试题分析：由三个二次关系可知方程的解为且，设，所以，所以不等式为，解集为考点：三个二次关系与一元二次不等式解法 12、若不等式在区间上有解，则a 的取值范围为（ ）A ．（,） B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：，设在上是减函数，所以最小值为，所以考点：不等式与函数问题试卷第6页，共12页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在等比数列{b n }中，S 4=4，S 8=20，那么S 12= ．【答案】84 【解析】试题分析：由等比数列性质可知成等比数列，所以代入已知数据得考点：等比数列性质14、若满足约束条件则的最大值为 ．【答案】9 【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线围成的四边形区域，当过的交点时取得最大值9考点：线性规划问题15、在△ABC 中，cosA ＝，sinB ＝，则cosC 的值为 ．【答案】【解析】试题分析：由cosA ＝，sinB ＝得考点：三角函数基本公式16、如果数列{a n }的前n 项之和为S n =3＋2n ，那么= ．【答案】【解析】 试题分析：，时所以考点：数列求通项求和17、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是___．【答案】【解析】试题分析：考点：不等式性质三、解答题（题型注释）18、解关于x 的不等式≤（其中a>0且a≠1）．【答案】当a>1时，x ∈（－∞，－3]∪（0,1]；当0<a<1时，x ∈[－3,0）∪[1，＋∞） 【解析】试题分析：将不等式变形，借助于指数函数的单调性得到关于的不等式，解不等式即可，求解时分两种情况讨论试题解析：①当a>1时，有x －＋1≤－1，∴x －＋2≤0，∴≤0．试卷第8页，共12页∴≤0，∴x≤－3或0<x≤1．（6分）②当0<a<1时，有x －＋1≥－1，∴≥0．∴－3≤x<0或x≥1．（8分）综上，当a>1时，x ∈（－∞，－3]∪（0,1]； 当0<a<1时，x ∈[－3,0）∪[1，＋∞）．（10分 考点：1．不等式解法；2．分情况讨论 19、已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8． （1）求{a n }的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）a n ＝2n －2．（2）T n ＝2n －1． 【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组求得基本量，即可得到通项公式；（2）由b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，解方程组可得到等比数列{b n }的首项和公比，代入公式可求得前n 项和试题解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得∴a 1＝0，d ＝2．∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －2．（2）设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3．∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2．∴{b n }的前n 项和T n ＝＝＝2n －1．考点：1．等差数列；2．等比数列及求和20、设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）【答案】（1）y＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*）．（2）当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元【解析】试题分析：（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y 关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x 的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，我们有两种思路，一是利用基本不等式，二是使用导数法，分析函数的单调性，再求最小值试题解析：（1）依题意得y＝（560＋48x）＋＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*）．（2）∵x>0，∴48x＋≥2＝1440，当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000（元）．答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元考点：1．函数模型的选择与应用；2．函数的最值21、已知，△ABC的三个内角为A，B，C，m＝（sin B＋sin C,0），n＝（0，sin A）且|m|2－|n|2＝sin Bsin C．（1）求角A的大小（2）求sin B＋sin C的取值范围．试卷第10页，共12页【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可求角A 的大小；（2）由（1）知，，故，即可求sinB+sinC 的取值范围试题解析：（1）∵|m|2－|n|2＝（sin B ＋sin C ）2－sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin Bsin C 依题意有，sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin Bsin C ＝sin Bsin C ， ∴sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝－sin Bsin C ， 由正弦定理得：b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝＝＝－，∵A ∈（0，π）所以A ＝．（2）由（1）知，A ＝，∴B ＋C ＝，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin＝sin B ＋cos B ＝sin ．∵B ＋C ＝，∴0<B<，则<B ＋<，则<sin ≤1，试卷第11页，共12页即sin B ＋sin C 的取值范围为．考点：1．正余弦定理解三角形；2．向量的坐标运算22、已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）？请说明理由．【答案】（1）a n ＝24－n （n ∈N *）， b n ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1） 【解析】试题分析：（1）利用a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 推出n-1时的表达式，然后作差求出数列{a n }的通项公式，利用数列{b n ＋1－b n }是等差数列利用累加法求出{b n }的通项公式；（2）化简通过k≥4时，单调递增，且f （4）=1，所以k≥4时，f （k ）≥1，结合f （1）=f （2）=f （3）=0，说明不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）．试题解析：（1）已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n （n ∈N *），①当n≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8（n －1）．②由①－②，得2n －1a n ＝8．∴a n ＝24－n ．在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n （n ∈N *）．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－（－4）＝2． ∴b n ＋1－b n ＝－4＋（n －1）×2＝2n －6．∴b n ＝b 1＋（b 2－b 1）＋（b 3－b 2）＋…＋（b n －b n －1） ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8） ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k ，试卷第12页，共12页当k≥4时，f （k ）＝（k －）2＋－24－k ，单调递增，且f （4）＝1．∴k≥4时，f （k ）＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1．又f （1）＝f （2）＝f （3）＝0， ∴不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0,1）． 考点：1．数列递推式；2．等差数列的性质。