专题训练(4) 特殊平行四边形中的五种折叠方式

第60期特殊平行四边形中的折叠问题上期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。

透过现象看本质如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。

性质1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.（由折叠性质1可得：ΔADE≌ΔAEF）性质2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.（由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线）特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。

接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。

类型一、折叠性质1的应用例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC．（1）求证：△AME≌△ANB；（2）求∠CBE的度数．分析：本题的已知条件有1. △ADM沿直线AM折叠为△AME2. 菱形ABCD3. AM⊥CD, AE⊥BC那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。

解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠ABC=∠D∵AM⊥CD，AN⊥BC∴∠AMD=∠ANB∴△ADM≌△ABN由折叠得△ADM≌△AEM∴△AME≌△ANB（2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB∵CD//AB，AM⊥CD∴∠MAB=∠AMD = 90°∴∠EAB=∠EAM = 45°∴∠ABE=∠AEB = 67.5°∵AN⊥BN∴∠ABN =90°–∠EAB = 45°∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5°类型二、折叠性质2的应用例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD 于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．情景再现：本题第（2）问并不困难，难点在第（1）问。

专题11特殊的平行四边形中的图形的折叠模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。

有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。

"折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。

特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。

折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

【知识储备】（1）矩形的翻折模型【常见模型】BC A ．3.6B ．4.8例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形使得点D 落在BC 边上D ¢处，则DE 的长是（A ．3B ．4例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形交于点E ，若4,8AB AD ==．(1)求证：例4．（2023·贵州·八年级统考期末）如图，在矩形得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长A ．5B ．2ABA．35B．25例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形心，点E为边AB上的动点，连接EO例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形EH=，EF=重叠的四边形EFGH，3cmA．18cm B．18.4cm（2）菱形的翻折模型【常见模型】A ∠结论I ：当'A N AD ∥时，四边形'ANA M 是菱形；结论Ⅱ：当点'A 在线段MC 上时，'AC 的长度为A ．I 对Ⅱ不对B ．I 不对Ⅱ对A ．①②④B ．①②③如图所示，点A ．90CEF ∠=︒B ．CE AG ∥C（3）正方形的翻折模型【常见模型】上取一点例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形翻折，使点D的对应点D¢恰好落在的垂直平分线分别交EF、A D''于点在边例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，6AB =，点F 是边AD 上一点（点F 不与,A D 重合），将CDF 沿直线CF 翻折，点D 落在点E 处．(1)如图2，当点E 落在对角线AC 上时，求DF 的长．(2)如图3，连接,,AC BD BD 分别交,CF AC 于点M ，点O ，连接OE 并延长交AD 于点G ，当M 为OD 中点时，试判断OG 与CF 的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE 上取一点Q ，且使2CQ =，连接,AE BQ ，则在点F 从点A 运动到点D 的过程中，AE BQ +的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．课后专项训练A．23B．232-C．52．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF，则五边形A．14B．16C上，将A．3个B．2个C．0个边上，连接A ．230α-︒B ．30α+︒C ．1208．（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形沿BE 所在直线翻折至四边形BCDE 所在平面内，得的面积为（）A ．63B ．83，将矩形纸片翻折，使点A．12B．1511．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形连接BE，将ABE沿BE翻折得到A．5510-B．512．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形A．107B．52C的对角线17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形翻折，使边18．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形得到AD C '，CD '与AB 交于点E ，再以CD19．（2023·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，将BCE 沿CE 翻折得到GCE ．延长CG 交AD 于点H ，连接EH ．(1)求证：EAH EGH ≌△△；(2)若10AB =，求CH 的长．20．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）【操作体验】如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，点F 在CD 边上．将四边形EBCF 沿直线EF 翻折，得到四边形EHGF ，顶点B 落在AD 边上的点H （不与点A 、D 重合）处，点C 落在正方形右侧的点G 处，HG 与CD 相交于点P ．（1）在图1中，若4cm AE =，45AEH ∠=︒，则HD =_____cm ，EFG ∠的度数为_________【操作体验】（2）当2BE AE =时，如图2，求证：2PF CF =．【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕EF 的变化，DHP 的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与DHP 的周长的关系．，。

人教版八年级下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，直线BC与⊙A相切于点C，过B作CB的垂线交⊙O于D，E 两点，已知AC＝，CB＝a，则以BE，BD的长为两根的一元二次方程是（）A．x2+bx+a2＝0B．x2﹣bx+a2＝0C．x2+bx﹣a2＝0D．x2﹣bx﹣a2＝02 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C 与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．3 . 现有边长AB＝10，BC＝5的矩形纸片ABCD，对角线BD.在AB上取一点G，以DG为折痕，使DA落在DB上，则AG的长是：（）A．B．C．D.二、填空题4 . 一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.三、解答题5 . 如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．(1)证明：△ABC是直角三角形；(2)求△AEB的面积．6 . 四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDF=2∠ABC，M为CE的中点．（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；（2）求证：AM⊥DM；（3）若AM=DM，求∠ABC的度数.7 . 综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点A．特例探究实验小组的同学发现：（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．参考答案一、单选题1、2、3、二、填空题1、三、解答题1、2、3、。

专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。

【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。

特殊平行四边形的折叠问题一，基础热身例1, 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为__________cm2．例2，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= _________例3,如图(上题)，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知DE=5，AB=8，则BF=_______ 例4，如图(上题)，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6，AB=16，则BF= ________例5，如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在ABC边上F点处，已知CE=4cm，AB=9cm，则矩形ABCD的面积为_________m2．例6，如图(上题)，将矩形ABCD沿直线AE折叠,使点D+落在BC边上的点F处，若已知∠BAF=60°，则∠DAE度数是（）A, 15°B,30°C, 45°D,60°二，菱形中的折叠问题例7，如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值________,例8，如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°将纸片折叠，点A,D 分别落在A ′,D ′处，且 A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD=___________ 时，三，矩形中的折叠问题例9，如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8cm ,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =则AD 的长为_______.例10,如图，已知矩形纸片ABCD,点E 是AB 的终点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ＞60°．现沿直线EG 将折叠，使B 落在纸片上的H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为_______.四，正方形中的折叠问题 例11，如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上B ′处，点A 对应A′，且B ′C=3，则AM 的长 是_______.例12，有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，折痕为EF, 再沿过点D 的折痕反折将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上（如图②），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（ ）答案：1 30,2 6 ,3 6,4 12 ,5 135，6 A.7 √7-1 ,8 2√3/39 6, 10 3 , 11 2 , 122√3-3 CG BG 25 4。

专题训练(四)特殊平行四边形中的五种折叠方式►方式一把一个顶点折叠到一边上1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是() A．7 B．8 C．9 D．10图4－ZT－12．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6 2，则FG的长为________．图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D 落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．图4－ZT－3►方式二把一个顶点折叠到对角线上4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．6图4－ZT －45．如图4－ZT －5所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且点D 落在对角线上的点D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A.32 B ．3 C ．1 D.43图4－ZT －5 ► 方式三 把一个顶点折叠到另一个顶点上6．把一张矩形纸片ABCD 按图4－ZT －6所示方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积为______cm 2.图4－ZT －67．如图4－ZT －7所示，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .(1)求证：四边形AFCE 为菱形；(2)设AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，请写出a ，b ，c 三者之间的数量关系，并说明理由．图4－ZT －7► 方式四 把一个顶点折叠到图形外或图形内 8．如图4－ZT －8，已知正方形ABCD 的对角线长为2 2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )A ．8 2B ．4 2C ．8D ．6图4－ZT －89．如图4－ZT －9，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( )A ．2 10－2B ．6C ．2 13－2D ．4图4－ZT－910．如图4－ZT－10，矩形ABCD中，点P，Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C 的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ 于点G.若线段BC的长为3，则线段FG的长为________．图4－ZT－1011．如图4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．图4－ZT－11►方式五多次折叠12．2018·资阳如图4－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是() A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．28 cm图4－ZT－1213．准备一张矩形纸片ABCD，按如图4－ZT－13所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．图4－ZT－1314．如图4－ZT－14①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．图4－ZT－14详解详析1．[解析] C 由折叠的性质得EF ＝AE ＝5.由勾股定理得BE ＝4，∴AB ＝CD ＝9. 2．[答案] 3 6[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠B ＝60°，∠BAC ＝60°. ∵EG ⊥AC ，∴∠AEG ＝30°.由折叠可知，∠BEF ＝12×(180°－∠AEG )＝75°，∴∠BFE ＝180°－(∠B ＋∠BEF )＝45°.∴∠BFG ＝90°，即FG ⊥BC . ∴FG ＝BC 边上的高＝3 6.3．解：(1)证明：由折叠的性质得∠1＝∠2，ED ＝EF ，GD ＝GF . ∵FG ∥CD ，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴EF ＝GF ，(方法一)(如图①)∴ED ＝EF ＝GD ＝GF ，∴四边形DEFG 为菱形． (方法二)(如图①)∴ED ＝GF .又∵ED ∥GF ，∴四边形DEFG 为平行四边形． 又∵EF ＝GF ，∴▱DEFG 为菱形．(方法三)连接DF 交AE 于点O (如图②)，则EG ⊥DF ，DO ＝FO . ∵EF ＝GF ，EG ⊥DF ，∴OG ＝OE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∴▱DEFG 为菱形．(2)设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x ，CE ＝8－x . 在Rt △EFC 中，CF 2＋CE 2＝EF 2，即42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝3，∴CE DE ＝35.4．[答案] D 5．[答案] A 6．[答案]5110[解析] 设ED ＝x cm ，则根据折叠和矩形的性质，得A ′E ＝AE ＝(5－x )cm ，A ′D ＝AB ＝3 cm.根据勾股定理，得ED 2＝A ′E 2＋A ′D 2，即x 2＝(5－x )2＋32，解得x ＝175， ∴S △DEF ＝12×175×3＝5110(cm 2)．7．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE .由折叠的性质，可得∠AFE ＝∠CFE ，AF ＝CF ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，。

第9讲特殊四边形中的折叠问题专题训练类型一折叠与角度1．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，∠AEC＝32°，则∠BFD等于（）A．28°B．32°C．34°D．36°【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，然后根据直角三角形两个锐角互余可得∠AEC＝∠DCB，再由对顶角相等，即可解决问题．【解答】解：∵矩形纸片沿EF折叠，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠ECD＝90°，∴∠AEC+∠ACE＝∠ACE+∠DCB＝90°，∴∠AEC＝∠DCB，∴∠AEC＝∠BFD，∵∠AEC＝32°，∴∠BFD＝32°，故选：B．2．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．3．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为度．【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝70°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝110°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝50°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝50°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝110°，∴∠FED′＝110°﹣70°＝40°；故答案为：40．4．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是．【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解．【解答】解：根据折叠可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥BC∴∠EFG＝∠DEF＝20°∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°故答案为40°、120°．5．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得：∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故答案为：75°．类型二折叠与长度6．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故选：A．7．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD 边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE＝＝3．故选：B．8．如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（）A．2B．3C．D．4【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF ＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；由翻折变换的性质得：AE＝AD＝10，EF＝DF，∵BE2＝AE2﹣AB2，∴BE＝＝8，∴CE＝2，设EF＝x，则CF＝6﹣x；在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2∴x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，即EF＝．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，若D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为（）A．3或4B．或C．或D．或【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故选：B．10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D 两点刚好落在点E处，已知AN＝3，MN＝5，设BN＝x，则x的值为（）A．B．C．D．【分析】求出AM＝4，由折叠的性质得出AN＝NE＝3，CE＝CD，由勾股定理得出x2+82＝（x+6）2，解方程即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∵AN＝3，MN＝5，∴AM＝＝＝4，∵M是AD边中点，∴AM＝DM＝4，BC＝8，∵将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，∴AN＝NE＝3，CE＝CD，∵BN2+BC2＝CN2，∴x2+82＝（x+6）2，解得x＝．故选：B．11．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为．【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝＝30，∴CD′＝30﹣18＝12，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或18．12．如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（）A．13B．C．60D．120【分析】由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，【解答】解：如图，由折叠得：△AEH≌△MEH，△BEF≌△MEF，△CFG≌△NFG，△DGH≌△NGH，∴S矩形ABCD＝2S矩形EFGH＝2×EF•EH＝2×5×12＝120，故选：D．13．（2020•雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG分别平分∠EAD，则GH长为（）A．3B．4C．5D．7【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．想办法求出BN，CT即可解决问题．【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG•cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故选：B．14．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB，AD上，则EG的长为（）A．B．C．4D．4【分析】作EM⊥AD于M，由直角三角形的性质得出DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得AG＝EG，在Rt△GME中，由勾股定理得出EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得EG＝即可．【解答】解：作EM⊥AD于M，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．15．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．故选：B．类型三折叠与综合16．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB＝4，BC＝5，∠BAD＝135°，现将△ABE沿AE折叠，点B'是点B的对应点，设CE的长为x．若点B'落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是．【分析】点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，求出CE＝1；点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．解直角三角形求出AH、HB′、DH，再证明DA＝DE＝5，求出EB′即可解决问题．【解答】解：点B′恰好落在AD边上时，四边形ABEB′是边长为4的菱形，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．点B′恰好落在DE边上时，作AH⊥DE于H．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝135°，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠B＝45°，由折叠的性质得：∠AB'H＝∠B＝45°，AB'＝AB＝4，∠AEB＝∠AED，在Rt△AHB′中，∵∠AB′H＝45°，AB′＝4，∴HB′＝AH＝AB'＝2，在Rt△ADH中，DH＝＝＝，∴B'D＝DH﹣HB'＝﹣2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AED，∴DA＝DE＝5，∴EB′＝BE＝DE﹣B'D＝5﹣（﹣2）＝5﹣+2，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣（5﹣+2）＝﹣2，∴若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围是1≤x≤﹣2，故答案为：1≤x≤﹣2．17．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．EB＝EDB．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．AE＝ECD．△EBA和△EDC一定是全等三角形【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可得BE＝DE，可证AE＝CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．【解答】解：如图，∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，∴∠CBD＝∠DBC'，CD＝C'D＝AB，BC＝BC'，∵AD∥BC'，∴∠ADB＝∠DBC'，∴∠ADB＝∠CBD，∴BE＝DE，∴AE＝CE，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴选项A、C、D都不符合题意，故选：B．18．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是．【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF 即可．④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．【解答】解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，∵FG＞EF，∴F不是EG的中点，∴FG≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故答案为：①③．19．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF＝2以上结论中，你认为正确的有．（填序号）【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故②正确；③∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故③错误；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正确．综上所述，结论正确的有①②④．故答案为：①②④．20．如图，正方形ABCD的边长AB＝12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN＝5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt △EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE＝，由三角形面积公式即可得出答案；（2）作FH⊥AB于H，则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得出EF ⊥AN，证明△EFH≌△NAB（ASA），得出EF＝AN即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，由折叠的性质得：NE＝AE，设NE＝AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝12﹣x，在Rt△EBN中，由勾股定理得：52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AE＝，∴△AEN的面积＝AE×BN＝××5＝；（2）EF⊥AN，EF＝AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示：则FH＝AD＝AB，∠EFH+∠FEH＝90°，由折叠的性质得：EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠NAB，在△EFH和△NAB中，，∴△EFH≌△NAB（ASA），∴EF＝AN．21．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝3，求：（1）△ADE的周长；（2）△ACO的面积．【分析】（1）由折叠的性质可得∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，由直角三角形的性质可求AD＝2CD＝6，即可求解；（2）由勾股定理可求AC的长，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AO＝OE，可得S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．【解答】解：（1）∵将△ADC沿AC折叠∴∠ACD＝∠ACE＝90°，AD＝AE，CD＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝3＝CE，∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，∴AD＝2CD＝6＝AE，∴△ADE的周长＝AD+AE+CE+CD＝6+6+3+3＝18；（2）∵AD＝6，CD＝3，∴AC＝＝＝3∵AB∥CE，AB＝CE＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AO＝OE，∴S△ACO＝S△ACE＝××3×3＝．22．综合与实践：学习完了矩形后，兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD 沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到AF∥CE，AE∥CF，即可得到四边形AECF是平行四边形；（2）设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝∠BAC，∠FCA＝∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，BC＝＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC﹣AM＝10﹣6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8﹣x，由勾股定理得，ME2+CM2＝EC2，即（8﹣x）2+16＝x2，解得x＝5，∵由（1）得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC•CD＝5×6＝30．23．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上．沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A'，如图①．再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．（Ⅰ）求点C的坐标；（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图③．①求∠OPF的大小；②点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）先由折叠的性质得OA'＝OA＝2，OC＝OE，再证四边形OA'EA是正方形，得OA'＝A'E＝2，然后由勾股定理得OE＝2，即可求解；（Ⅱ）①连接EF，由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE ＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，再证△EBF是等腰直角三角形，得BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，然后由勾股定理得出方程，解得：x＝2﹣2，最后证Rt△POA≌Rt△FPB（HL），得∠POA＝∠FPB，进而得出结论；②作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，再求出OG＝NG＝ON＝2﹣，即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，2），∴OA＝2，由折叠的性质得：OA'＝OA＝2，OC＝OE，∵四边形OABC是矩形，∴四边形OA'EA是正方形，∴OA'＝A'E＝2，在Rt△OA'E中，由勾股定理得：OE＝＝＝2，∴点C的坐标为：（2，0）；（Ⅱ）①连接EF，如图③所示：由（I）得：OA＝2，OC＝AB＝2，∠OAP＝∠PBF＝90°，∠AOE＝∠AEO＝45°，OA＝AE＝2，由折叠的性质得：∠OEF＝∠OCF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF＝AB﹣AE＝2﹣2，设AP＝x，则PB＝2﹣x，由折叠的性质得：PO＝PF，即PO2＝PF2，在Rt△OAP中，由勾股定理得：PO2＝OA2+AP2，在Rt△PBF中，由勾股定理得：PF2＝PB2+BF2，∴22+x2＝（2﹣x）2+（2﹣2）2，解得：x＝2﹣2，∴AP＝BF，在Rt△POA和Rt△FPB中，，∴Rt△POA≌Rt△FPB（HL），∴∠POA＝∠FPB，∵∠POA+∠APO＝90°，∴∠FPB+∠APO＝90°，∴∠OPF＝180°﹣（∠FPB+∠APO）＝90°；②由①知，AP＝2﹣2，∠EOC＝45°，作点N关于OF的对称点N′，过点N作NG⊥x轴于G，连接MN′，如图④所示：则△OGN为等腰直角三角形，当P、M、N′三点共线时，PM+MN有最小值，此时∠PN′O＝∠AON′＝∠OAP＝90°，∴四边形APN′O为矩形，∴ON＝ON′＝AP＝2﹣2，∴OG＝NG＝ON＝×（2﹣2）＝2﹣，∴N（2﹣，2﹣）．24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D 为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF＝t，又AE＝t，则DF＝AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；（3）①显然∠DFE＜90°；②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，此时AD＝AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD，则t＝12﹣2t，所以t＝4．即当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．【解答】解：（1）AE＝t，AD＝12﹣2t；（2）∵DF⊥BC，∠C＝30°∴DF＝CD＝×2t＝t∵AE＝t∴DF＝AE，∵∠ABC＝90°，DF⊥BC∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形；（3）①显然∠DFE＜90°；②如图（1），当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝AD∴∴t＝3，③如图（2），当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°∴∠AED＝90°﹣∠A＝30°∴AD＝AE∴∴，综上：当t＝3秒或秒时，△DEF为直角三角形；（4）如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD ∴t＝12﹣2t∴t＝4∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形，设EA′交BC于点G在Rt△EBG中，∠BEG＝180°﹣∠AEG＝60°∴GE＝2BE∵BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2∴GE＝4＝EA′，∴点G与点A′重合∴点A在BC上．25．如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中△ABO是等边三角形．（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合．①求点E坐标；②求△BCF的面积；（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EF∥OB，设点A对折后所对应的点为A′，△A′EF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t＞0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．【分析】（1）①设点E坐标为（0，y），根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝2，且求出∠OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AE＝EC＝2﹣y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；②过F作FM垂直于CB，设MB＝x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；（2）分两种情况考虑：当点A′落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可．【解答】解：（1）①设点E的坐标为（0，y），∵A（0，2），B（，n），C（，0），∴BC⊥x轴，OA＝2，∵△ABO为等边三角形，∴∠BOC＝30°，OA＝OB＝AB＝2，∴n＝1，由对折可得AE＝EC＝2﹣y，在Rt△OCE中，y2+3＝（2﹣y）2，解得：y＝，则E坐标为（0，）；②作FM⊥CB于点M，设MB＝x，∵∠MBF＝180°﹣120°＝60°，在Rt△MBF中，FB＝2x，FM＝x，在Rt△MCF中，根据勾股定理得：（2﹣2x）2＝（x+1）2+（x）2，解得：x＝，则S△BCF＝BC•FM＝；（2）∵EF∥OB，∴△A′EF为等边三角形，当点A′落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，得S＝（2﹣t）2﹣（2﹣2t）2＝﹣t2+t（0＜x≤1）；当点A′落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，得S＝（2﹣t）2（1≤x＜2）．。

初二数学：四边形的折叠问题技巧四边形是几何学中重要的图形之一，它具有丰富的性质和应用。

在数学学习中，我们常常会遇到与四边形相关的问题。

其中一个有趣且常见的问题就是四边形的折叠问题。

本文将介绍四边形折叠问题的基本概念和解题技巧，帮助初中生更好地理解和解决这类问题。

什么是四边形的折叠问题？四边形的折叠问题是指给定一个四边形，在保持边长不变的情况下，把它折叠成二维平面上的一个点或一条线段。

常见的四边形包括正方形、长方形、平行四边形和梯形等。

这类问题常常涉及如何折叠和旋转四边形，并要求计算折叠后的形状、面积、体积等数值。

基本概念在解决四边形的折叠问题之前，先了解一些基本概念是很有帮助的。

1.边长：四边形的每条边的长度，通常用a、b、c和d表示。

2.对角线：连接四边形的两个非相邻顶点的线段，通常用e和f表示。

3.高度：以顶点为基点，垂直于底边或顶边的线段的长度，通常用h表示。

4.面积：四边形所围成的区域的大小，通常用S表示。

折叠技巧解决四边形折叠问题的关键在于理解形状的变化和如何利用对称性质。

下面将介绍常见四边形的折叠技巧。

正方形折叠技巧正方形是最简单的四边形之一，它的所有边长相等，对角线相等且互相垂直。

当折叠一个正方形时，我们可以沿着对角线折叠，从而使正方形折叠成一个边长等于对角线长度的等边三角形。

长方形折叠技巧长方形是另一种常见的四边形，它拥有两组相等的边长，且相邻边互相垂直。

当折叠一个长方形时，我们可以沿着较短的一组边折叠，从而使长方形折叠成一个等腰直角三角形。

平行四边形折叠技巧平行四边形具有两对平行边，对角线互相交叉，但长度不相等。

当折叠一个平行四边形时，我们可以选择沿着任意一条对角线折叠。

如果选择沿着短对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形等面积的直角梯形；如果选择沿着长对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形相等的直角三角形。

梯形折叠技巧梯形的特点是两边平行，而另外两边不平行。

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