第18章平行四边形中的折叠问题

初中数学《八下》第十八章平行四边形-平行四边形考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分1、如图，将折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为，则下列结论一定正确的是A ．B ．C ．D ．知识点：平行四边形【答案】C【分析】根据折叠的性质，可得出DF=EF ，再结合题目有，四边形 CBEF 是平行四边形，继而有 BC=EF ，即可得出正确答案．【详解】解：由折叠的性质得，，，∵ 四边形是平行四边形，∴，．∴，∴．∵，∴ 四边形是平行四边形，∴，∴．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质以及平行四边形的判定定理及其性质，属于中等难度题．失分的原因有2 个：（1 ）不能熟练运用折叠的性质；（2 ）未掌握平行四边形的性质与判定．2、已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF ∥AB．求证：四边形ABFE 是菱形．评卷人得分知识点：平行四边形【答案】见解析【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC，又∵EF ∥AB，∴ 四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD ∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴ 平行四边形ABFE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．3、下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．AB ∥CD，AD＝BCB ．∠B＝∠C；∠A＝∠DC ．AB＝CD，CB＝ADD ．AB＝AD，CD＝BC知识点：平行四边形【答案】C【分析】平行四边形的判定定理① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．【详解】解：A、根据AD ∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．4、下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．AB //CD，AD＝BCB ．∠A＝∠D，∠B＝∠CC ．AB //CD，∠A＋∠B＝180°D ．∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180°知识点：平行四边形【答案】C【分析】平行四边形的判定定理：（1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理逐个分析即可解答．【详解】解：A 、AB //CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B 、∠A＝∠D，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C 、因为∠A＋∠B＝180° ，所以AD //BC，又因为AB //CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D 、∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180° 不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理.5、如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得米，由此他知道了A，B间的距离为___________ 米，这种做法的依据是 _______________ ．知识点：平行四边形【答案】30 三角形中位线性质定理【分析】根据三角形中位线性质定理解答即可．【详解】解：∵ 点D，E是AC，BC的中点，∴AB＝2DE＝30 （m ），小石的依据是三角形中位线定理，故答案为：30 ；三角形中位线性质定理．【点睛】本题考查的是三角形中位线性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6、如图，□ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点，△ABD 的周长为 16cm ，则△DOE 的周长是 _________ ；知识点：平行四边形【答案】8【详解】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 中点，△ABD≌△CDB ，又∵E 是 CD 中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE=BC ，即△DOE 的周长=△BCD 的周长，∴△DOE 的周长=△DAB 的周长．∴△DOE 的周长=×16=8cm ．7、如图，D是△ABC内一点，BD ⊥CD，AD =6 ，BD =4 ，CD =3 ，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A ． 7B ． 8C ． 11D ． 10知识点：平行四边形【答案】C【详解】分析：根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG =BC =EF，EH =FG =AD，求出EF 、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．详解：∵BD ⊥DC，BD =4 ，CD =3 ，由勾股定理得：BC ==5 ．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG =BC =EF，EH =FG =AD．∵AD =6 ，∴EF =HG =2.5 ，EH =GF =3 ，∴ 四边形EFGH的周长是EF +FG +HG +EH =2× （2.5+3 ） =11 ．故选C ．点睛：本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解答此题的关键．8、如图，在Rt △ABC中，∠BAC＝90° ，过点A的直线MN ∥BC，点E为BC边上一点，过点E作DE ⊥AC ，交直线MN于点D，垂足为F．连接AE．（1 ）求证：BE＝AD；（2 ）当点E在BC的中点时，四边形AECD是什么特殊的四边形？说明理由．（3 ）若点E为BC的中点，当∠B满足什么条件时，四边形AECD是正方形？说明理由．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）菱形，见解析；（3 ）∠B＝45° ，见解析【分析】（1 ）MN ∥BC，得出四边形ADEB是平行四边形，即可得出结论；（2 ）先证明AECD是平行四边形，由斜边中线得到AE＝EC，可证明AECD是菱形；（3 ）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出AE ⊥BC，即可得出四边形AECD是正方形．【详解】（1 ）证明：∵DE ⊥AC，∴∠EFC＝90° ，∵∠BAC＝90° ，∴∠BAC＝∠EFC，∴AB ∥DE，∵MN ∥BC，∴BE ∥AD，∴ 四边形ADEB是平行四边形，∴BE＝AD；（2 ）结论：四边形AECD是菱形．理由：当点E在BC的中点时，而四边形ADEB是平行四边形，∴ 四边形AECD是平行四边形，又∵，∴ 四边形AECD是菱形．（3 ）解：当∠B＝45° 时，四边形AECD是正方形．理由：∵∠BAC＝90° ，∠B＝45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，∵E为AB的中点，∴AE ⊥BC，∴∠AEC＝90° ，四边形AECD是菱形，∴ 四边形AECD是正方形；故答案为：45° ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9、已知：如图1 ，四边形 ABCD 是平行四边形， E,F 是对角线 AC 上的两点， AE=CF.（1 ）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；（2 ）如果 AE=EF=FC, 请直接写出图中 2 所有面积等于四边形 DEBF 的面积的三角形 .知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF.【分析】（1 ）由四边形 ABCD 是平行四边形得出 OA=OC,OB=OD ，因为 AE=CF 可推出 OE=OF ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论；（2 ） AE=EF=FC 可知，故而可推面积等于四边形DEBF 的面积的三角形有：△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF.【详解】（1 ）证明：连接BD 交 AC 于点 O ，∵ 平行四边形 ABCD∴OA=OC,OB=OD∵AE=CF∴OE=OF∴ 四边形 DEBF 为平行四边形；（2 ）由 AE=EF=FC 可知故面积等于四边形DEBF 的面积的三角形有：△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF ；【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.10、如图，在中，，，分别是边，，的中点，若的周长为10 ，则的周长为______ ．知识点：平行四边形【答案】20【分析】根据三角形中位线定理得到AC =2DE，AB =2EF，BC =2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵△DEF的周长为10 ，∴DE +EF +DF =4 ，∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴AC =2DE，AB =2EF，BC =2DF，∴△ABC的周长=AC +AB +BC =2 （DE +EF +DF）=20 ，故答案为：20 ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11、如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______ ．知识点：平行四边形【答案】．【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2 倍，可求得的面积，，因此可求得的长．【详解】解：∵ 四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵，，，∴，∴，设与之间的距离为，∵，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD 的面积是△ABC 的面积的 2 倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．12、如图，菱形ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 AB 的中点，若 AC ＝ 6 ， BD ＝ 8 ，则 OE 长为（）A ． 3B ． 5C ． 2.5D ． 4知识点：平行四边形【答案】C【分析】根据菱形的性质可得OB=OD ，AO⊥BO ，从而可判断 OE 是△DAB 的中位线，在Rt△AOB 中求出 AB ，继而可得出 OE 的长度．【详解】解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， BD=8 ，∴AO=OC=3 ， OB=OD=4 ，AO⊥BO ，又∵ 点 E 是 AB 中点，∴OE 是△DAB 的中位线，在Rt△AOD 中， AB==5 ，则OE=AD=．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．13、如图，以为直径的经过的中点，于点．（1 ）求证：是的切线；（2 ）当，时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）【分析】（1 ）连接，根据中位线定理，可得，由已知，可得，进而可得是的切线；（2 ））过点作，连接，根据已知条件求得扇形的圆心角的度数，进而求得扇形面积，求得的面积，根据阴影扇形即可求得阴影部分面积．【详解】（1 ）连接，如图，点是的中点，点是的中点，，，l14、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO＝4cm ，则菱形ABCD的周长为（）A ． 32cmB ． 24cmC ． 16cmD ． 8cm知识点：平行四边形【答案】A【分析】根据菱形的性质可以判定O为BD的中点，结合E是AB的中点可知OM是△A BD的中位线，根据三角形中位线定理可知AD的长，于是可求出四边形ABCD的周长．【详解】解：∵ 四边形ABCD为菱形，∴BO＝DO，即O为BD的中点，又∵M是AB的中点，∴MO是△ABD的中位线，∴AD＝2MO＝2×4 ＝ 8cm ，∴ 菱形ABCD的周长＝4AD＝4×8 ＝ 32cm ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是证明EO是△ABD的中位线，此题难度不大．15、如图，在□ABCD中，已知AB＞BC．（1 ）实践与操作：作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF =AD，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2 ）猜想并证明：猜想四边形AEFD的形状，并给予证明．知识点：平行四边形【答案】（1 ）详见解析；（2 ）四边形 AEFD 是菱形，理由详见解析 .【分析】（1 ）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB ，连接 EF ；画出图形即可；（2 ）先利用证明四边形 AEFD 是平行四边形，然后利用 AD=DF 可判断□ AEFD 是菱形．．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）猜想：四边形 AEFD 是菱形．证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC ，∴∠CDE=∠DEA ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠CDE=∠ADE ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ，又∵AD=DF ，∴DF=AE 且DF∥AE ，∴ 四边形 AEFD 是平行四边形，∵AD=DF ，∴□ AEFD 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.16、如图，四边形是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明．知识点：平行四边形【答案】见解析【分析】方法一：证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；方法二：证明，利用全等三角形的性质即可得结论．【详解】方法一证明：∵ 四边形是平行四边形，∴．∴．又∵，∴ 四边形是平行四边形．∴．方法二证明：∵ 四边形是平行四边形，∴，，．∵，∴．即．∴．∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及其判定方法，熟练运用平行四边形的性质及判定方法是解决问题的关键．17、以下四个命题：① 任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 场，则由此可知，还没有与B 队比赛的球队可能是D队；③ 两个正六边形一定位似；④ 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个知识点：平行四边形【答案】A【分析】① 根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；② 由单循环赛对 A 队， E 队进行推理即可；③ 根据正六边形的性质、位似的定义解题；④ 由平均数定义解题．【详解】解：① 如图，是的中线，是的中位线，连接，由中位线定义可知，四边形是平行四边形对角线互相平分，故① 正确；② 由单循环比赛可知，每支队伍最多赛 5 场，A对已经赛5 场，即每支队伍都与A队比赛过，而E 队只比赛1 场，据此可知，E队没有与B对比赛过，故② 错误；③ 两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③ 错误；④13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能最少，也可能最多，故④ 错误，其中真命题的个数有① ， 1 个，故选：A ．【点睛】本题考查中位线、中线的性质，简单推理、位似、正六边形的性质、平均数的应用等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18、如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．（1 ）求证：；（2 ）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状．（无需说明理由）知识点：平行四边形【答案】（1 ）证明见解析；（2 ）四边形BEDF是平行四边形与菱形．【分析】（1 ）根据平行线的性质可得，即可得出，根据平行四边形的性质可得，，利用AAS即可证明；（2 ）当四边形ABCD为矩形时，根据全等三角形的性质可得BE =DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；当四边形ABCD为菱形时，根据菱形的性质，利用SAS可证明△ABE ≌△ADE，可得BE =DE，即可证明四边形BEDF是菱形．【详解】（1 ）∵∴∴∵ 四边形是平行四边形∴，，∴在△ABE 和△CDF 中，∴．（2 ）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同（1 ）可知，∴BE =DF，∵BE //DF，∴ 四边形BEDF是平行四边形．如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =AD，∠BAE =∠D AE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE ≌△ADE，∴BE =DE，∴ 四边形BEDF是菱形．综上所述：当四边形分别是矩形和菱形时，四边形分别是平行四边形与菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19、如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，．（1 ）求证；（2 ）求的度数．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）130°【分析】（1 ）由邻补角的定义及题意可得到∠ADE =∠BCE，即可判定AD ∥BC；（2 ）根据题意及由三角形的外角定理得到∠DGE =∠E =25° ，由平行线的性质得到∠EBC =∠GDE =25° ，根据角平分线的定义得到∠ABE =∠EBC =25° ，再根据对顶角相等及三角形的内角和求解即可．【详解】解：（1 ）证明：∵∠ADE +∠BCF =180° ，∠BCE +∠BCF =180° ，∴∠ADE =∠BCE，∴AD ∥BC；（2 ）∵∠ADC =∠E +∠DGE，∠ADC =2∠E =50° ，∴∠DGE =∠E =25° ，由（1 ）得，AD ∥BC，∴∠EBC =∠DGE =25° ，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE =∠EBC =25° ，∵∠AGB =∠DGE =25° ，∠A +∠ABE +∠AGB =180° ，∴∠A =180°-25°-25°=130° ．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角及平行线的判定与性质，熟记三角形的内角和、外角定理及平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．20、如图，在网格中，线段的两个端点和点都在网格的格点上，分别按下列要求仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．（1 ）在图甲中画线段的中点．（2 ）在图乙中画线段，使得．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析【分析】（1 ）根据矩形的性质即可得到结论；（2 ）根据平行四边形的性质作出图形即可．【详解】解：（1 ）如图甲，点M即为所求；（2 ）如图乙，线段CD即为所求．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．。

平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后,所形成的图形问题.这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。

此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识.今天我们就一起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。

一、平行四边形中的折叠问题1．如图1,把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处。

BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°,则∠BOD=________。

2．如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上,以BE 为折痕,将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22,则FC 的长为_________. 二、矩形中的折叠问题3．如图3，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF ＝8,PH ＝6，则矩形ABCD的边BC 长为( ) Ａ．20 Ｂ．22Ｃ．24 Ｄ．304．如图4，将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠(F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数为_________度 三、正方形中的折叠问题5．如图5，四边形ABCD 为正方形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝8,则CF 等于（ )A ．3B ．5C ．4D ．86．如图6，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折,使点C 恰好落在MN 上的OEABDCAB CDFE P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=_____度。

四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题7．将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中,O 为原点，C 在x 轴上,OA=6,OC=10.如图7，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；8．图8在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折,使点A 落在点A 1处，已知OA=3,AB=1，则点A 1的坐标是( ）A. 13(,)22 B 。

平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。

内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。

二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。

2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。

3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。

教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。

学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。

2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。

3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。

4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。

5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。

六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。

（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。

2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。

（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。

第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。

人教版八年级下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，直线BC与⊙A相切于点C，过B作CB的垂线交⊙O于D，E 两点，已知AC＝，CB＝a，则以BE，BD的长为两根的一元二次方程是（）A．x2+bx+a2＝0B．x2﹣bx+a2＝0C．x2+bx﹣a2＝0D．x2﹣bx﹣a2＝02 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C 与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．3 . 现有边长AB＝10，BC＝5的矩形纸片ABCD，对角线BD.在AB上取一点G，以DG为折痕，使DA落在DB上，则AG的长是：（）A．B．C．D.二、填空题4 . 一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.三、解答题5 . 如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．(1)证明：△ABC是直角三角形；(2)求△AEB的面积．6 . 四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDF=2∠ABC，M为CE的中点．（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；（2）求证：AM⊥DM；（3）若AM=DM，求∠ABC的度数.7 . 综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点A．特例探究实验小组的同学发现：（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．参考答案一、单选题1、2、3、二、填空题1、三、解答题1、2、3、。

FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。