22.3 圆的对称性 课件1 (北京课改版九年级上册)
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北京课改版九年级数学上册期中答案页数:4
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九年级数学圆的对称性16页PPT
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理A ,D是 B A7 .B2 的,C 中点 D ,2 C.是4 ,H AB 的 中N 1 点M ,CD 就1 N 是.5 .拱高.
AD 1 AB 17.2 3.6,
2
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
F
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
的三角形 的特点.
O
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
• 相信自己能独立 完成解答.
做一船做 能6过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
A
60D0
B
O ø650
C
随堂练习 10
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
• 2、熟练地运用定理及其推论、勾股定理，并用方 程的思想来解决问题.
3.2 圆的对称性(一)(共17张PPT)
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
1、理解圆的轴对称性； 2、掌握垂径定理； 3、应用垂径定理解决有关弦的计算和证明 问题。
M 圆的对称性
A
D
圆是轴对称图形
对称轴：是直径所在
O
的直线。 圆的对称轴有无数条
C B
N
如图，AB是⊙O的一条弦，
作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
请找出图中有哪些相等的线段和弧？
C
·O
E
A
B
D
总结：
∴点A和点B关于CD对称。
∵⊙O 关于直径CD对称，
·O
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， E
AD弧与AB弧重合，AC弧与BC弧重合。 A
B
D
注意： 垂径定理的书写步骤
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.CFra bibliotekA E└
B
●O
D
∵ CD是直径,
CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
有哪些等量关系？
O d + h = r r d E r 2 d 2 ( a )2 A h B 2
D
a
例题1： 垂径定理的应用
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，
求：圆心O到AB的距离． 解：过点O作OE⊥AB于E，
连接OA
·O
A
E
B
弦心距：过圆心作弦的垂线，
所得的垂线段的长度就叫弦心距
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
O 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 A E B
1、理解圆的轴对称性； 2、掌握垂径定理； 3、应用垂径定理解决有关弦的计算和证明 问题。
M 圆的对称性
A
D
圆是轴对称图形
对称轴：是直径所在
O
的直线。 圆的对称轴有无数条
C B
N
如图，AB是⊙O的一条弦，
作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
请找出图中有哪些相等的线段和弧？
C
·O
E
A
B
D
总结：
∴点A和点B关于CD对称。
∵⊙O 关于直径CD对称，
·O
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， E
AD弧与AB弧重合，AC弧与BC弧重合。 A
B
D
注意： 垂径定理的书写步骤
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.CFra bibliotekA E└
B
●O
D
∵ CD是直径,
CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
有哪些等量关系？
O d + h = r r d E r 2 d 2 ( a )2 A h B 2
D
a
例题1： 垂径定理的应用
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，
求：圆心O到AB的距离． 解：过点O作OE⊥AB于E，
连接OA
·O
A
E
B
弦心距：过圆心作弦的垂线，
所得的垂线段的长度就叫弦心距
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
O 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 A E B
北师大版九年级数学上册圆的对称性教学课件(共18张PPT)
2 圆的对称性
北师版 九年级下册
新课导入
(1)圆是轴对称图形吗？如 果是，它的对称轴是什么？ (2)你是用什么办法解决上 述问题的？与同伴进行交 流.
O
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线.
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心 固定在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，
这时两个圆还重合吗 ?
获取新知
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，都
能与原来的圆重合。因此,圆是中心
对称圆形，对称中心为圆心。圆的
中心对称性是其旋转不变性的特例.
圆心角的概念
B A
O C
我们把顶点在圆心的 角叫做圆心角.
∠AOB ∠COD ∠BOD
D
∠AOC
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？ A′ A ′ 为什么？
B
B′
B′
B
· O
A
O
·
A
A′
B′
B
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心 角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与A′重合，B与B′重 合．
∴
重合，AB与A′B′重合．
你能从中发现哪些等量关系？ 说一说你的理由。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
北师版 九年级下册
新课导入
(1)圆是轴对称图形吗？如 果是，它的对称轴是什么？ (2)你是用什么办法解决上 述问题的？与同伴进行交 流.
O
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线.
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心 固定在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，
这时两个圆还重合吗 ?
获取新知
圆具有旋转不变性,即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度，都
能与原来的圆重合。因此,圆是中心
对称圆形，对称中心为圆心。圆的
中心对称性是其旋转不变性的特例.
圆心角的概念
B A
O C
我们把顶点在圆心的 角叫做圆心角.
∠AOB ∠COD ∠BOD
D
∠AOC
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？ A′ A ′ 为什么？
B
B′
B′
B
· O
A
O
·
A
A′
B′
B
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心 角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与A′重合，B与B′重 合．
∴
重合，AB与A′B′重合．
你能从中发现哪些等量关系？ 说一说你的理由。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
圆的对称性(第1课时)精选教学PPT课件
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
北京课改初中数学九上《22.3圆的对称性 课件 北京课改版
22.3圆的对称性
2020/2/10
学习目标 1、知道圆是中心对称图形和轴对称图形,
并能运用其特有的性质推出在同一个 圆中,圆心角、弧、弦之间的关系； 2、能运用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题，培养善于从实验中获取知识 的科学的方法。 3、在积极参与数学活动的过程中，体验 发现问题、总结规律的态度以及养成 质疑和独立思考的习惯。
2020/2/10
讨论：
1、在同一个圆中，如果弧相等， 那么所对的圆心角、所对的弦、 所对弦的弦心距是否相等呢？ 2、在同一个圆中，如果弦相等， 那么所对的圆心角、所对的弧、 所对弦的弦心距是否相等呢？
2020/2/10
目标导学2：
例：如图23.1.5，
在⊙O中，弧AC=弧BD，
1 45 ，
AB的长为8，圆心O到AB的
距离为3，求⊙O的半径。
2020/2/10
(第 1 题)
（第 2 题）
A
B
O
(第3题)
达标小结：
本节课我们通过实验得到了圆不 仅是中心对称图形，而且还是轴对称 图形，而由圆的对称性又得出许多圆 的性质，即（1）在同一个圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条弦或两条 弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。（2） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的两条弧。
2020/2/10
课前测评：
1、圆是轴对称图形吗？ 2、圆是中心对称图形吗？ 320/2/10
2020/2/10
观察:
A E B
C
F
O
D
play2020/2/10
结论：
同一个圆中，相等的圆 心角所对的弧相等、所 对的弦相等、所对弦的 弦心距相等。
2020/2/10
学习目标 1、知道圆是中心对称图形和轴对称图形,
并能运用其特有的性质推出在同一个 圆中,圆心角、弧、弦之间的关系； 2、能运用圆心角、弧、弦之间的关系解 决问题，培养善于从实验中获取知识 的科学的方法。 3、在积极参与数学活动的过程中，体验 发现问题、总结规律的态度以及养成 质疑和独立思考的习惯。
2020/2/10
讨论：
1、在同一个圆中，如果弧相等， 那么所对的圆心角、所对的弦、 所对弦的弦心距是否相等呢？ 2、在同一个圆中，如果弦相等， 那么所对的圆心角、所对的弧、 所对弦的弦心距是否相等呢？
2020/2/10
目标导学2：
例：如图23.1.5，
在⊙O中，弧AC=弧BD，
1 45 ，
AB的长为8，圆心O到AB的
距离为3，求⊙O的半径。
2020/2/10
(第 1 题)
（第 2 题）
A
B
O
(第3题)
达标小结：
本节课我们通过实验得到了圆不 仅是中心对称图形，而且还是轴对称 图形，而由圆的对称性又得出许多圆 的性质，即（1）在同一个圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条弦或两条 弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。（2） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的两条弧。
2020/2/10
课前测评：
1、圆是轴对称图形吗？ 2、圆是中心对称图形吗？ 320/2/10
2020/2/10
观察:
A E B
C
F
O
D
play2020/2/10
结论：
同一个圆中，相等的圆 心角所对的弧相等、所 对的弦相等、所对弦的 弦心距相等。
北京课改版数学九上21.3《圆的对称性》ppt课件(共18张PPT)
(第 1 题 )
2、如图，AB是直径，弧BC ＝弧CD＝弧DE，∠BOC＝ 40°，求∠AOE的度数
（第 2题）
1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆Байду номын сангаас角之
间的关系。
C
2、垂径定理
O
A
B
图23.1D.7
你说我说大家说!
今天你学到了什么？ 1、采用了哪些数学方法？ 2、你有什么体会，还有什么疑惑？ 3、你认为哪一组的同学表现得最好。
AC=BD，145，
求∠2的度数。
解：∵ AC=BD （已知）
图 2 3 .1 .5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2 （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
探索2：再做一做,想一想:
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条 垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着 直径CD对折，比较AP与PB、弧AC与弧CB， 你能发现什么结论？
时，弦AB与弦AB、 AB与AB
大小有何关系？
图 2 3 .1 .3
讨论：
1.在同圆（或等圆） 中，如果弧 相等，那么所对的圆心角、所对 的弦是否相等呢？ 2.在同圆（或等圆）中，如果弦 相等，那么所对的圆心角、所对 的弧是否相等呢？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 7:01:05 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
2、如图，AB是直径，弧BC ＝弧CD＝弧DE，∠BOC＝ 40°，求∠AOE的度数
（第 2题）
1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆Байду номын сангаас角之
间的关系。
C
2、垂径定理
O
A
B
图23.1D.7
你说我说大家说!
今天你学到了什么？ 1、采用了哪些数学方法？ 2、你有什么体会，还有什么疑惑？ 3、你认为哪一组的同学表现得最好。
AC=BD，145，
求∠2的度数。
解：∵ AC=BD （已知）
图 2 3 .1 .5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2 （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
探索2：再做一做,想一想:
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条 垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着 直径CD对折，比较AP与PB、弧AC与弧CB， 你能发现什么结论？
时，弦AB与弦AB、 AB与AB
大小有何关系？
图 2 3 .1 .3
讨论：
1.在同圆（或等圆） 中，如果弧 相等，那么所对的圆心角、所对 的弦是否相等呢？ 2.在同圆（或等圆）中，如果弦 相等，那么所对的圆心角、所对 的弧是否相等呢？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 7:01:05 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
圆的对称性(1)
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
2020/2/6
做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
2020/2/6
做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
初三数学最新课件-圆的对称性(1) 精品
∴当圆沿着直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合，
ＡＣ与ＢＣ重合，ＡＤ与ＢＤ重合．
（ （ （ （
∴ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
为了运用的方便，易于记忆可将原定理叙述 为：一条直线若满足：（１）过圆心（２）垂直于
弦，那么可推出：（１）平分弦（２）平分弦所对的优弧
（３）平分弦所对的劣弧
如上图在⊙Ｏ中，
ＣＤ是直径，
ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ
O
分析:如上图,连接OA OB得到等腰Δ Ａ
D
ＯＭ
因ＣＤ┴ＡＢ，故ΔＯＡＭ与ΔＯＢＭ都是Ｒt Δ,又ＯＭ为公共边，所以两个三
角形全等，则ＡＭ＝ＢＭ，又圆Ｏ关于直径ＣＤ对称，所以Ａ点和Ｂ点关于ＣＤ 对称，当圆沿直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合，ＡＣ与ＢＤ重合．因此ＡＭ＝ ＢＭ，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
（ （ （ （
Ｃ
垂足为Ｆ，ＥＦ＝９０m.求这段弯线的半径．
Ｅ 分析：要求弯路的半径，连接ＯＣ，只要求出
Ｆ Ｏ
ＯＣ的长就可以了．因为已知ＯＥ⊥ＣＤ，所以
Ｄ ＣＦ＝１／２ＣＤ＝３００cm,ＯＦ＝ＯＥ－ＥＦ
，此时就得到了一个Ｒt ΔCFO
解：连接ＯＣ，设弯道的半径为Ｒm,则ＯＦ＝（Ｒ－９０）m,则
ＯＦ＝１／２ＣＤ＝１／２ⅹ６００＝３００m.
在上述操作过程中，你会得到什么结论？
垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的弧．（垂经定理）
C
A
M
证明：如上图，连接ＯＡ，ＯＢ，则ＯＡ＝ＯＢ
Ｂ
在Ｒt ΔＯＡＭ和Ｒt Δ O BM中 O
∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＭ＝ＯＭ
∴Ｒt ΔＯＡＭ≌Ｒt Δ OBM ∴点Ａ和点Ｂ关于ＣＤ对称
∵⊙Ｏ关于直径ＣＤ对称
圆的对称性
武乡初中 王 勇
九年级数学上册21.3.1圆的对称性课件新版北京课改版
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
预习反馈
4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距
离是（ B ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
课堂探究
1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多 少条对称轴？ 2.用什么方法证明圆是轴对称图形？ 3.什么是垂径定理？
课堂探究
A.9/5
B. 21/5
C. 18/5
D. 5/2
随堂检测
6.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距
离为7，若AB=24，则CD的长为
.
7. CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD， 垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是 2或8 .
随堂检测
C
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
根据图形的轴对称性，可知AE=BE，⌒AD = ⌒BD ， ⌒AC = ⌒BC ， 由此可以得出：垂径定理。
典例精析
例1、已知：在⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE。求证：
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
预习反馈
4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距
离是（ B ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
课堂探究
1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多 少条对称轴？ 2.用什么方法证明圆是轴对称图形？ 3.什么是垂径定理？
课堂探究
A.9/5
B. 21/5
C. 18/5
D. 5/2
随堂检测
6.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距
离为7，若AB=24，则CD的长为
.
7. CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD， 垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是 2或8 .
随堂检测
C
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
根据图形的轴对称性，可知AE=BE，⌒AD = ⌒BD ， ⌒AC = ⌒BC ， 由此可以得出：垂径定理。
典例精析
例1、已知：在⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE。求证：
九年级上册数学精品课件： 3.1圆的对称性(1)
2019/6/30
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
9
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及平分 弦所对的两条弧.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
2019/6/30
8
连接OA,OB,
如图,小明的理由是:
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
≌ ∴Rt△OAM Rt△OBM
●O
.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
2019/6/30
17
当堂达标
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
2019/6/30
经过圆心的
O
每一条直线都是
它的对称轴。
B
N
5
练习1.判断题
(1)直径是弦 .
(2)过圆心的线段是直径.
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
(6)长度相等的两条弧是等弧.
弧长 HG = 3.84 cm
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例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．(先介绍弧中点概念）
作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD， 交弧AB于点E.
E A D B C
⌒
点E就是所求弧AB的中点．
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
m
F
E G
n
A
B
D
变式一： 求弧AB的四等分点． 错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
C
A
┗
●
M
●
O
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 我们发现图中有: ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④ AC=BC, ③ AM=BM
D
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
六、总结回顾
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 2 2 它们之间的关系：
弦长AB 2 r d .
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
C E B
O
D
垂径定理的逆定理:
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条 弧.
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 37.4 由题设 AB 37.4, CD 7.2, C
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
M
O ．
B
五、目标训练
5． 已知⊙O的半径为10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB 和CD的距离为 2或14 ． 6．如图，已知AB、AC为弦， OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ， BC=4，求MN的长．
M B O
A
．
N C
思路：由垂径定理可得M、 1 N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E， A 则下列结论中不一定成立的是（ ）C A．∠COE=∠DOE C．OE=BE B．CE=DE
⌒ D．⌒ BD=BC
O ． C E B D
五、目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为 8cm，那么OM长为（ A） A ．3 B．6cm C． 41 cm D．9cm 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上 的动点，则OM的长的取值范围是（ A） A．3≤OM≤5 C．3<OM<5 B．4≤OM≤5 D．4<OM<5
B
.
F
驶向胜利 的彼岸
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
“垂直与弦的直径平分弦，并且平
分这条弦所对的两条弧”圆的这条 非常重要的性质 。
讨论
（3）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （2） （1） （4） （5） （1） （ 3） （ 2） （ 5） （1） （3） （4） （2）
（2） （4） （5）
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C 解:连接OC.
E F
●
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在 圆弧上任意取 三点，得到三 条弦，画其中 两条弦的垂直 平分线，交点 即为圆弧的圆 心．
a
C
b
A
B
O
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会发生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
二、新课
1．结论：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴， 经过圆心每一条直线都是它的对称轴． 强调：
（1）对称轴是直线，不能说每一条直径 都是它的对称轴；
．
O A C B
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
∴圆心O到水面的距离OC为6．
例3 已知：如图，线段AB与⊙O 交于C、D两点，且OA=OB ．求 证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD．
．
O A C M D B
C E B
O
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 合． ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
归纳得出：
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O
你可以写出相应的结论吗?
D
观察下列哪些图形满足“垂直于弦的直径”的条件？为什 么？ C C
O A Ｅ 图5 D B A 图6 O Ｅ D B A 图7 C O A Ｅ D 图8 B A 图9 O D B A O Ｅ D B C
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结： 1．画弦心距是圆中 常见的辅助线；
d A C O
．
r B
2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成 的直角三角形是研究与圆有关问题 的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r2 d 2 .
五、目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦 心距为5，则这条弦的弦长等于 24 ．
O Ｅ
D
BHale Waihona Puke 图10例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在同 一条直线上。你认为AC 与BD的大小有什么关系？ 为什么？
O A C
G
D B
例2 一条排水管的截面如图所示．排 水管的半径OB=10，水面宽AB=16， 求截面圆心O到水面的距离OC ．
思路： 先作出圆心O到水面的距离 OC，即画 OC⊥AB， ∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，