平行四边形 三角形 梯形 知识点

平行四边形三角形梯形面积推导过程一、平行四边形的面积推导过程：（1）定义：平行四边形是具有两组平行边的四边形。

（2）面积公式：平行四边形的面积等于底边长度乘以高度。

设平行四边形的底边长为b，高度为h。

根据定义可知，平行四边形的对边平行，所以可以将其视为横向的矩形和纵向的矩形组合而成。

其中，横向矩形的底边长度为b，高度为h，面积为bh；纵向矩形的底边长度为h，高度为b，面积为hb。

因此，平行四边形的面积等于这两个矩形的面积之和，即S=bh+hb=2bh。

所以，平行四边形的面积为2bh。

二、三角形的面积推导过程：（1）定义：三角形是由三条边和三个夹角组成的几何形状。

（2）面积公式：三角形的面积等于底边长度乘以高度再除以2设三角形的底边长为b，高度为h。

可以将三角形划分为底边b和高度h所形成的矩形和一个三角形。

其中，矩形的面积为bh，三角形的面积为矩形面积的一半，即bh/2所以，三角形的面积为bh/2三、梯形的面积推导过程：（1）定义：梯形是具有两条平行边的四边形。

（2）面积公式：梯形的面积等于上底和下底的和乘以高度再除以2设梯形的上底长为a，下底长为b，高度为h。

可以将梯形看作一个上底为a，下底为b，高度为h的平行四边形，再去掉一个上底为a，下底为b，高度为h/2的三角形。

根据平行四边形的面积公式可得，平行四边形的面积为(a+b)h。

所以，梯形的面积为(a+b)h/2综上所述，平行四边形的面积为2bh，三角形的面积为bh/2，梯形的面积为(a+b)h/2、这些面积公式的推导过程是基于几何形状的特性和定义进行的。

通过对这些公式的应用，我们可以方便地计算出平行四边形、三角形和梯形的面积。

平行四边形和梯形知识点归纳知识点一、平行线与相交线的概念1、在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。

2、在同一平面内，如果两条直线a、b没有交点，那么这两条直线就叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，记作：a//b，读作：a平行于b。

3、在同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们就是相交线，也可以说这两条直线相交。

4、如果两条直线a、b相交成直角，就说这两条直线互相垂直，记作：a⊥b，读作：a垂直于b。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

两条直线互相垂直，有4个直角。

5、用直尺和三角尺可以画平行线，步骤如下：①固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。

②直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。

③再沿着以前画线的直角边画出另一条直线。

温馨提示：用以上方法，还可以检验两条直线是否平行。

知识点二、平行线与相交线的性质1、过直线外的一点，可以画1条直线与已知直线平行。

2、过一点，可以画1条直线与已知直线垂直。

3、有三条直线a、b、c，如果a//b，b//c，则a//c 。

4、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线互相平行。

5、两条平行线之间的距离处处相等。

6、从直线外的一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

这个性质也可以简称为“垂线段最短”。

知识点三、平行四边形1、两组对边分别互相平行的四边形，叫做平行四边形。

2、从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

3、平行四边形有无数条高。

平行四边形除了两组对边互相平行，这两组对边的长度也对应相等。

4、长方形拉动成平行四边形后，周长不变，面积变小。

知识点四、梯形1、只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。

互相平行的一组对边是梯形的底，较短的叫做上底，较长的叫做下底。

从梯形上底任取一点，向下底作一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。

三角形、平行四边形和梯形1. 三角形的定义和性质三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。

根据其边长关系，可以分为以下几种类型：•等边三角形：三条边长度相等的三角形，每个内角都是60度。

•等腰三角形：两条边长度相等的三角形，两个底角也相等。

•直角三角形：其中一个内角是90度的三角形。

•锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。

•钝角三角形：至少有一个内角大于90度的三角形。

三角形的性质如下：•内角和：任意三角形的三个内角之和等于180度。

•外角和：任意三角形的三个外角之和等于360度。

•角平分线：三角形的内角平分线相交于一个点，该点到三个顶点的距离相等。

•重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为重心。

•垂心：三角形的三条高线交于一点，该点称为垂心。

•内心：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为内心。

•外心：三角形的三条垂直平分线交于一点，该点称为外心。

2. 平行四边形的定义和性质平行四边形是一个具有两组平行边的四边形。

根据其边长和角度关系，可以分为以下几种类型：•矩形：具有四个内角都是直角的平行四边形。

•正方形：具有四个边长相等且四个内角都是直角的平行四边形。

•菱形：具有四个边长相等且对角线相互垂直的平行四边形。

•长方形：具有四个内角都是直角的平行四边形，但边长不相等。

平行四边形的性质如下：•对角线：平行四边形的对角线相等。

•对边平行：平行四边形的对边平行且相等。

•内角和：平行四边形的邻接内角互补，即相加等于180度。

3. 梯形的定义和性质梯形是一个具有一对平行边的四边形。

根据其两对边长的关系，可以分为以下几种类型：•等腰梯形：具有两个对边长度相等的梯形。

•等腰直角梯形：具有两个对边长度相等且一个内角是直角的梯形。

梯形的性质如下：•底角：梯形的两个底角相等。

•顶角：梯形的两个顶角相等。

•对角线：梯形的非平行边对应的两个点相连形成的线段称为对角线，对角线的长度一般不相等。

•中位线：梯形的两条非平行边中点相连形成的线段称为中位线，中位线的长度等于两条平行边长度之和的一半。

一、三角形1.认识三角形:(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。

生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。

(2)画三角形:(步骤)①先画一条线段。

②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。

③最后连接另两个端点,围成封闭图形。

(3)三角形的特点:①三角形有3条边、3个角和3个顶点。

②三角形的3条边都是线段。

③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。

(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

(5)三角形各部分的名称:①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。

②三角形有3个顶点、3条边和3个角。

要点提示:三角形具有稳定性。

三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。

要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。

(6)认识三角形的底和高:①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。

(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。

①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。

②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。

③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。

④最后标上直角符号。

(8)解决问题:①运用类推法解决数三角形的问题:从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。

如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。

②运用分析法解决求用时最短的路线问题:要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。

2.三角形的三边关系:(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。

平行和垂直、平行四边形和梯形知识点归纳重点概括1、平行与垂直：（1）在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。

直线a与直线b互相平行，记作a∥b。

（2）在同一个平面内，两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b。

（3）用直尺和三角尺画平行线的步骤：①固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；②直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。

③再沿以前画线的直角边画出另一条直线。

（4）在同一平面内，一条直线的平行线有无数条。

（5）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

（6）与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等。

（7）在同一个平面内，两条直线之间的关系是：平行或相交。

（其中相交包括了垂直）（8）长方形或正方形相邻的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行。

（9）经过直线外一点，只能画一条直线与已知直线平行，可以画一条直线与已知直线垂直。

（10）两条平行线之间的距离处处相等。

（11）在同一平面内，和同一条直线垂直的两条直线互相平行。

（12）把一张长方形纸沿着一组对边折两次，这三条折痕互相平行；把一张正方形纸沿着对角线对折两次，这两条折痕互相垂直。

（13）如果在纸上画两条直线都与第三条直线相交成直角，那么这两条直线就互相平行。

（14）在两条平行线之间画几条垂线，这几条垂线之间的关系是平行且相等。

（15）两条直线间的距离处处相等，两条直线一定互相平行。

（16）课桌的桌面，两条对边互相平行，两条邻边互相垂直。

（17）两条直线都和同一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（18）9时整和3时整时，钟面上的时针和分针互相垂直。

（19）在平行线间画一个最大的正方形，这个最大的正方形的边长就是平行线间的距离。

2、平行四边形和梯形：平行四边形（1）两组对边分别互相平行的四边形，叫做平行四边形。

三平行四边形、梯形和三角形一、平行四边形1.平行四边形的定义。

两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

2.平行四边形的基本特征。

平行四边形的两组对边分别平行且相等。

3.长方形、正方形和平行四边形之间的关系。

长方形和正方形同平行四边形一样,都是两组对边分别平行且相等,长方形和正方形具有平行四边形的一切特征,所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

正方形不仅具备长方形的所有特征,并且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。

4.平行四边形的特性。

平行四边形具有不稳定性,容易变形。

5.平行四边形的面积。

(1)认识平行四边形的底和高。

从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线,这点到垂足间的线段叫作平行四边形的高,垂足所在的边叫作平行四边形的底。

平行四边形有无数条高,一般能画出两种长度的高。

(2)平行四边形的面积。

通过剪拼发现:长方形的面积与平行四边形的面积相等,平．重点提示:在拉动长方形的过程中,长方形的形状改变,但两组对边的长度不变。

易错题:平行四边形的对边一定相等,邻边一定不相等。

( )错解分析:此题错在对平行四边形的特征理解不准确,平行四边形一定具备对边相等的特征,但对邻边没有要求,所以平行四边形的邻边也可以相等。

正确答案:✕重点提示:平行四边形的底和高是一组相互依存且对应的概念(底边上的高,高所对应的底)。

易错题:周长相等的两行四边形的底等于长方形的长．．．．．．．．．．．．．;．平行四边形的高等于长方形的．．．．．．．．．．．．．宽．。

长方形的面积=长×宽平行四边形的面积=底×高如果用S表示平行四边形的面积,a和h分别表示平行四边形的底和高,那么平行四边形的面积的字母公式为S=ah。

二、梯形1.梯形的定义。

只有一组对边平行的四边形叫作梯形。

2.平行四边形和梯形的异同点。

相同点:都是四边形;都有平行的对边。

不同点:平行四边形的两组对边分别平行且相等;梯形只有一组对边平行,且平行的这组对边不相等。

三角形平行四边形和梯形的知识点三角形平行四边形和梯形的知识点一、三角形1. 定义三角形是由三条线段组成的图形，其中的每条线段都称为边，它们的端点称为顶点。

2. 分类根据边长和角度的关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等五种类型。

3. 性质（1）任意两边之和大于第三边。

（2）任意两角之和小于180度。

（3）对于等腰三角形，其底边上的两个底角相等。

（4）对于直角三角形，其斜边上的一直角等于90度。

（5）对于等边三角形，其内部所有角均为60度。

二、平行四边形1. 定义平行四边形是由四条线段组成的图像，其中相邻两条线段互相平行。

2. 性质（1）对于平行四边形，对续线即相邻两个顶点连线所得到的线段互相平分。

（2）对于平行四边形，对顶线即连接非邻接顶点所得到的线段互相平分。

（3）对于平行四边形，对角线互相平分。

3. 判定方法（1）判断对续线是否相等，如果相等，则为平行四边形。

（2）判断对顶线是否平行，如果平行，则为平行四边形。

三、梯形1. 定义梯形是由两个平行的底边和连接这两条底边的两条斜边组成的图像。

2. 分类梯形根据斜边长度关系可以分为等腰梯形和普通梯形两种类型。

3. 性质（1）对于等腰梯形，其上下底角度相等。

（2）对于普通梯形，其上下底角度不等。

（3）对于任意梯形，其对顶角互补。

（4）对于任意梯形，其中线长度为上下底之和的一半。

4. 判定方法（1）判断上下底是否平行，如果平行，则为梯形。

（2）判断对顶角是否互补，如果互补，则为梯形。

总结：三角形、平行四边形和梯形是初中数学中比较基础且重要的图像。

在学习这些图像时需要掌握它们的定义、分类、性质和判定方法。

只有充分理解它们的特点，才能更好地应用到数学问题中，提高数学解题能力。

正方形长方形平行四边形三角形梯形的面积关系正方形、长方形、平行四边形、三角形和梯形都是我们日常生活中常见的几何形状。

这些形状的面积关系可以帮助我们更好地理解数学和几何学。

本文将详细介绍正方形、长方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式及它们之间的关系。

一、正方形的面积正方形是指四条边长度相等的四边形。

正方形的面积公式为：面积 = 边长× 边长，即 S = a^2，其中 S 表示面积，a 表示正方形的边长。

二、长方形的面积长方形是指有两条相邻边长度不同的四边形。

长方形的面积公式为：面积 = 长× 宽，即S = l × w，其中S 表示面积，l 表示长方形的长，w 表示长方形的宽。

三、平行四边形的面积平行四边形是指具有相对的两条边平行的四边形。

平行四边形的面积公式为：面积 = 底边× 高，即 S = b × h，其中 S 表示面积，b 表示底边的长度，h 表示高的长度。

四、三角形的面积三角形是指有三条边的平面图形。

三角形的面积公式为：面积 = 底边× 高 / 2，即 S = （b × h）/ 2，其中 S 表示面积，b 表示底边的长度，h 表示高的长度。

五、梯形的面积梯形是指上下底面的边不平行的四边形。

梯形的面积公式为：面积 = 上底 + 下底× 高 / 2，即 S = （a + b）× h / 2，其中 S 表示面积，a 和 b 分别表示梯形的上底和下底的长度，h 表示梯形的高。

上述五种几何形状的面积公式都很简单，但它们之间的关系却很复杂。

1. 正方形和长方形正方形是一种特殊的长方形，两者的面积公式分别是S = a^2 和S = l × w。

可见，正方形的长度和宽度相等，而长方形长度和宽度不相等。

当正方形的边长等于长方形的宽度时，它们的面积相等。

2. 正方形和平行四边形正方形可以视为一种特殊的平行四边形，平行四边形的面积公式为S = b × h，其中 b 是底边的长度，h 是高的长度。

苏教版四年级下册数学期末复习专题讲义-7.三角形、平行四边形和梯形【知识点归纳】三角形：三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。

三角形的高和底：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

三角形三边关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。

三角形的内角和等于180°。

三角形分类：按角分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分类：等腰三角形、等边三角形（正三角形）、不等边三角形。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

平行四边形的高和底：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

梯形：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。

梯形的上底、下底和腰：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。

梯形的高：从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。

两腰相等的梯形是等腰梯形。

多边形内角和=180°×（边数-2）。

（根据三角形的内角和推算出来）【典例讲解】例1．等腰三角形中有一个内角是80°，另外两个角（）A．都是50°B．分别是20°和80C．分别是20°和80°或都是50°【分析】等腰三角形这个80°的内角可能是顶角，也可能是底角．根据等腰三角形的内角和定理（三角形三个内角之和是180°）及等腰三角形两个底角相等的性质，即可分别计算出当这个角是顶角时的底角度数、当这个角是底角时顶角的度数．【解答】解：当等腰三角形的顶角是80°时它的两个底角：（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°当当等腰三角形的底角是80°时180°﹣80°×2＝180°﹣160°＝20°答：另外两个角分别是20°和80°或都是50°．故选：C．【点评】解答此题的关键是三角形内角定理及等腰三角形性质的应用．例2．一个三角形中，有两个角的度数分别是32°和46°，第三个内角为102°，这个三角形是钝角三角形．（按角分类）【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，已知这个三角形的两个角的度数，用180°减这两个角的度数之和就是第三个角的度数．由前面计算可知，这个三角形的第三个角是102°，是钝角，根据钝角三角形的意义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，这个三角形是钝角三角形．【解答】解：180°﹣（32°+46°）＝180°﹣78°＝102°这个三角形有一个角是钝角，是钝角三角形答：第三个内角为102°，这个三角形是钝角三角形．故答案为：102，钝角．【点评】此题考查的知识有三角形内角和定理的应用、三角形的分类（按角分类）．例3．三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm，这样的三角形的形状只有一种．√（判断对错）【分析】三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm，因为三条边是确定的，三角形的形状就是确定的，所以这样的三角形的形状只有一种，那就是直角三角形．【解答】解：三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm，这样的三角形的形状只有直角三角形一种．故原题说法正确．故答案为：√．【点评】解决此题还可以利用三角板画出图，然后直观判断．例4．在三角形ABC中，∠1＝65°，∠2＝20°，求∠4的度数．【分析】利用三角形内角和定理：三角形内角和是180°，∠3＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∠4＝180°﹣70°﹣65°＝45°．据此解答．【解答】解：∠3＝180°﹣90°﹣20°＝70°∠4＝180°﹣70°﹣65°＝45°答：∠4＝45°．【点评】本题主要考查三角形的内角和，关键是利用三角形内角和定理做题．例5．红红家有一块三角形的小菜园，菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，这块三角形菜地其他角的度数是多少？这块地的形状是一个什么三角形？【分析】这块三角形菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，用120°除以4就是最小角的度数；再根据三角形内角和定理（三角形三个内角之和是180°）即可求出另一个角的度数．这个三角形中最大角是120°，属于钝角，根据钝角三角形的意义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，此三角形为钝角三角形．【解答】解：120°÷4＝30°180°﹣120°﹣30°＝30°这个三角形的最大角是钝角，它是一个钝角三角形答：这块三角形菜地其他角的度数都是30°，这块地的形状是一个钝角三角形．【点评】此题考查的知识有三角形内角和定理、三角形（按角）分类．【同步测试】一．选择题（共10小题）1．根据下列描述，一定是锐角三角形的是（）A．有一个内角是85°的三角形B．有两个内角都是锐角的三角形C．其中最大的内角小于90°D．等腰三角形2．下面的说法正确的是（）A．有一组对边平行的四边形是梯形B．平行四边形和梯形都是四边形C．在梯形中，平行的一组对边叫做梯形的腰3．一个三角形的底不变，要使面积扩大2倍，高要扩大（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍4．小明用小棒摆三角形，应该选取（）组小棒．A．12cm，12cm，24cm B．12cm，15cm；27cmC．12cm，15cm，24cm D．15cm，15cm，31cm5．一个三角形两个角的度数分别是50°和65°．这个三角形一定是（）A．等腰的锐角三角形B．等边的锐角三角形C．等腰的钝角三角形D．三边不等的锐角三角形6．小明在研究平行四边形的面积时，想把一个平行四边形转化成一个长方形．下面的四种剪法中不能拼成长方形的是图（）A．B．C．D．7．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等．三角形的高是2分米，平行四边形的高是（）分米．A．1B．2C．3D．48．如图中，平行四边形的高是28cm，它的对应底是（）A．36cm B．20cm C．25cm D．28cm9．张浩将梯形ABCD通过割补的方法，转化成三角形ABF（过程如图）．已知三角形ABF的面积是24cm2，则CF的长是（）cm．A．2B．4C．6D．1210．一个等腰三角形的两条边是10厘米和4厘米，它的周长是（）厘米．A．18B．14C．24D．20二．填空题（共8小题）11．一个平行四边形的底是13分米，高是70厘米，面积是平方分米．12．在锐角三角形中，任何两个内角的度数之和都90°．13．等腰三角形ABC，其中AB等于AC，∠B＝，∠A＝．14．两组对边分别平行的四边形是或．15．在一个三角形中，有两个角分别是28°和62°，另一个角是，这是一个三角形．16．把一个平行四边形的底扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，得到的平行四边形的面积是原来的倍．17．一个平行四边形的面积是60dm2，底是5dm，这条底边对应的高是dm．18．一个等腰直角三角形两条直角边的长度和是18cm，它的面积是cm2．三．判断题（共5小题）19．两个三角形的面积相等，它们的底和高不一定相等．（判断对错）20．在梯形里画一条线段，分成两个图形，这两个图形不可能是平行四边形．（判断对错）21．一个三角形的周长是30cm，它的最长边的长一定不小于15厘米．（判断对错）22．一个等腰三角形的周长是21cm，其中一条边长5cm，它的另外两条边可能是5cm和11cm．（判断对错）23．一个平行四边形的面积是24cm2，将它的底增加2cm，高减少2cm，得到的平行四边形的面积一定仍是24cm2．（判断对错）四．计算题（共2小题）24．求平行四边形的面积（单位：厘米）25．计算下面图形的周长．五．应用题（共6小题）26．把一根长25米的彩带剪成三段，第一段长5米，第二段长8米，这三段能围成一个三角形吗？为什么？27．有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、3厘米、4厘米、6厘米，可以摆成几种不同的三角形？请你列举出来．28．如图，一个长方形框架拉成平行四边形后，面积是18dm2，长方形框架的周长是多少分米？29．一个三角形的面积是12cm2，底边长6cm，这条底边上的高是多少cm？30．在一块平行四边形空地（如图）上种草坪，1平方米草坪的价格是10元．种这块草坪需要多少钱？31．一块平行四边形玻璃，底长150厘米，高比底少50厘米，刘阿姨买这块玻璃用了90元钱．每平方米玻璃的价钱是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角的分类、三角形按角的大小分类情况，小于90度的角叫做锐角；等于90度的角叫做直角；大于90度小于180度的角叫做钝角；有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形；有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形；三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；据此解答．【解答】解：根据锐角三角形的特征，锐角三角形的三个角都是锐角，由此可知，三角形中最大角小于90度的三角形一定是锐角三角形．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握角的分类、三角形按照角的大小分类及应用．2．【分析】有且只有一组对边平行的四边形是梯形，A错误；平行四边形和梯形都是四边形，B正确；在梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，C错误；据此解答即可．【解答】解：有且只有一组对边平行的四边形是梯形，A错误；平行四边形和梯形都是四边形，B正确；在梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，C错误；只有B正确；故选：B．【点评】此题考查了梯形的特征，要熟练掌握．3．【分析】三角形的面积＝底×高÷2，若底不变，要使面积扩大2倍，高要扩大2倍．【解答】解：因为三角形的面积＝底×高÷2，若底不变，要使面积扩大2倍，高要扩大2倍．故选：A．【点评】此题主要考查三角形的面积公式的灵活运用．4．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行依次分析、进而得出结论．【解答】解：A、因为12+12＝24，不能组成三角形，不符合题意；B、因为12+15＝27，不能组成三角形，不符合题意；C、12+15＞24，所以能组成三角形，符合题意；D、15+15＜31，所以不能组成三角形，不符合题意；故选：C．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．5．【分析】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是180°，即可求出第三个内角的度数，从而可以判定这个三角形的类别．【解答】解：180°﹣50°﹣65°＝130°﹣65°＝65°因为三角形三个内角都是锐角，且有两个角相等，所以这个三角形是等腰的锐角三角形．故选：A．【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度以及三角形的分类方法．6．【分析】选项A：图形中是沿着高剪得，有直角，把剪下的左边图形平移到右边可以得到一个长方形．选项B：图形中不是沿着高剪得，没有直角，把剪下的上面图形平移到下面不能得到一个长方形．选项C，沿平行四边形的一边中点分别剪下了个直角三角形，通过旋转、平移后能够拼成一个长方形．选项D，沿平行四边形的高剪开后，可以平成一个长方形，据此解答．【解答】解：根据长方形的特征，长方形的对边平行且相等，选项A：图形中是沿着高剪得，有直角，把剪下的左边图形平移到右边可以得到一个长方形．选项B：图形中不是沿着高剪得，没有直角，把剪下的上面图形平移到下面不能得到一个长方形．选项C，沿平行四边形的一边中点分别剪下了个直角三角形，通过旋转、平移后能够拼成一个长方形．选项D，沿平行四边形的高剪开后，可以平成一个长方形．故选：B．【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的推导过程及应用．7．【分析】由题意可知：一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，由两种图形的面积公式可得，平行四边形的高应是三角形高的一半，三角形的高是2分米，所以用三角形的高除以2即可解答．【解答】解：2÷2＝1（分米）答：平行四边形的高是1分米．故选：A．【点评】此题主要考查三角形和平行四边形的面积公式的灵活运用．8．【分析】根据平行四边形高的意义，从平行四边形的一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足的距离叫做平行四边形的高，通过观察图形可知，高28厘米对应的底是25厘米．据此解答即可．【解答】解：如图中，平行四边形的高是28cm，它的对应底25cm．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形高的意义及应用．9．【分析】CF的长就是梯形的上底，24平方厘米是梯形的面积，梯形的下底是8厘米，高是4厘米，根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，则上底＝梯形的面积×2÷高﹣下底，据此即可解答．【解答】解：24×2÷4＝8＝12﹣8＝4（厘米）答：CF的长是4cm．故选：B．【点评】本题考查了梯形面积公式的灵活运用情况．10．【分析】求等腰三角形的周长，就要确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为10厘米和4厘米，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若4厘米为腰长，10厘米为底边长，由于4+4＝8，两边之和不大于第三边，则三角形不存在；（2）若10厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为10+10+4＝24（厘米）．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答．【解答】解：70厘米＝7分米，13×7＝91（平方分米）答：它的面积是91平方分米．故答案为：91．【点评】此题需要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．12．【分析】根据锐角三角形的性质和三角形内角和是180°解答即可．【解答】解：锐角三角形中，三个角都是锐角，因为三角形的内角和是180°，所以任意两个锐角之和都大于90°．故答案为：大于．【点评】此题是考查了三角形内角和以及锐角三角形的性质的灵活应用．13．【分析】已知角为145°，它的补角是等腰三角形的一个底角，可求出底角度数为180°﹣145°＝35°，两底角度数相等，三角形内角和是180°，则顶角度数为180°﹣35°﹣35°＝110°．【解答】解：∠B＝∠C＝180°﹣145°＝35°∠A＝180°﹣35°﹣35°＝110°故答案为：35°，110°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．14．【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形包括一般平行四边形或特殊平行四边形．特殊平行四边形即正方形、长方形、菱形等．【解答】解：两组对边分别平行的四边形是一般平行四边形或特殊平行四边形．故答案为：一般平行四边形，特殊平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定方法和分类．15．【分析】根据三角形的内角和定理：三角形内角和是180°，用180°减掉两个已知角的度数，就是第三个角的度数；根据三角形按角分率的标准，判断三角形的分类即可．【解答】解：180°﹣28°﹣62°＝90°答：另一个角是90°，这是一个直角三角形．故答案为：90°；直角．【点评】本题主要考查三角形的内角和，关键是利用三角形内角和定理做题．16．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此解答．【解答】解：2×3＝6答：平行四边形的面积是原来的6倍．故答案为：6．【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形的面积公式、因数与积的变化规律及应用．17．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，把数据代入公式解答．【解答】解：60÷5＝12（分米）答：这条底边对应的高是12分米．故答案为：12．【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．18．【分析】由条件“一个等腰直角三角形两条直角边的长度和是18cm”可知，此三角形的直角边为18÷2＝9cm，再利用三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2即可求得结果．【解答】解：18÷2＝9（cm）9×9÷2＝40.5（cm2）答：它的面积是40.5cm2．故答案为：40.5．【点评】此题主要考查三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2，将数据代入公式即可求得结果．三．判断题（共5小题）19．【分析】两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的底和高不一定相等；比如，底和高分别是4、3，6、2的两个三角形的面积相等，但底和高不相等，判断即可．【解答】解：因为两个三角形的面积相等，则两个三角形面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；比如，底和高分别是4、3，6、2的两个三角形的面积相等，但底和高不相等，所以说“两个三角形的面积相等，它们的底和高不一定相等”是正确的．故答案为：√．【点评】掌握三角形的面积公式是解题的关键．20．【分析】（1）过上底上的除两个端点外的任意一点做腰的一条平行线，把梯形分成两个图形：一个平行四边形和一个梯形；（2）过上底上的除两个端点外的任意一点做底的一条垂线，把梯形分成两个图形：两个梯形；（3）连接梯形的对角线，可以得到两个三角形．（4）这不是一个直角梯形，得不到一个长方形和一个梯形，由此求解．【解答】解：根据分析画图如下：（1）一个平行四边形和一个梯形（2）两个梯形（3）一个三角形（4）一个三角形和梯形得不到两个平行四边形．所以本题说法正确；故答案为：√．【点评】本题主要考查了学生根据三角形、平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力．21．【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：如果三边长分别为14cm、7cm、9cm，周长是30cm，符合7+9＞14，能组成三角形，但最长边是14cm，14＜15，故原题说法错误；故答案为：×．【点评】此题是考查三角形的特性，应灵活掌握和运用．22．【分析】首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：5cm为腰长、5cm为底的长度．然后看是否能围成三角形，由此解答即可．【解答】解：当5厘米是腰时，底边是21﹣5×2＝11（厘米），5+5＜11，这种情况不成立；如果5厘米是底边，则腰长为：（21﹣5）÷2＝8（厘米），5+8＞8，所以能围成三角形；所以其中一条边长5cm，它的另外两条边不可能是5cm和11cm．故原题说法错误；故答案为：×．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．23．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，可以通过举例证明．假如原来平行四边形的底是3厘米，高是8厘米，底增加2厘米后是5厘米，高减少2厘米后是6厘米，分别求出原来和增加后的面积，然后进行比较即可．【解答】解：假如原来平行四边形的底是3厘米，高是8厘米，底增加2厘米后是5厘米，高减少2厘米后是6厘米，原来的面积：3×8＝24（平方厘米）；增加后的面积：（3+2）×（8﹣2）＝5×6＝30（平方厘米）；24平方厘米＜30平方厘米，答：所得到的平行四边行面积比原来平行四边形面积大．因此，所得到的平行四边行面积与原来平行四边形面积相等，这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．四．计算题（共2小题）24．【分析】根据题意，如图，这个平行四边形的底是3cm，高是2.8cm．根据面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答．【解答】解：3×2.8＝8.4（平方厘米）答：它的面积是8.4平方厘米．【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．25．【分析】根据三角形的周长＝三条边的和，用8+8+10计算即可得到三角形的周长；根据长方形的周长＝（长+宽）×2，用（15+7）×2计算即可得到长方形的周长．【解答】解：8+8+10＝26（厘米）答：三角形的周长是26厘米；（15+7）×2＝22×2＝44（厘米）答：长方形的周长是44厘米．【点评】本题考查长方形的周长、三角形的周长，明确长方形的周长＝（长+宽）×2、三角形的周长＝三条边的和是解答本题的关键．五．应用题（共6小题）26．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：因为25﹣5﹣8＝12（米）且5+8＝13＞12所以这三段能围成一个三角形，因为两边之和大于第三边．【点评】此题主要依据三角形的两边之和大于第三边的特点和减法的意义解决问题．27．【分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此解答．【解答】解：根据分析知，共有以下情况，①3厘米，3厘米，3厘米；②3厘米，3厘米，4厘米；③3厘米，4厘米，6厘米；答：一共可以拼成3个不同的三角形．【点评】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．28．【分析】由题意可知：平行四边形的高已知，面积已知，利用平行四边形的面积公式，即可求出平行四边形的底，也就是长方形的长，从而利用长方形的周长公式就能求出长方形框架的周长．【解答】解：18÷3＝6（dm）（6+4）×2＝10×2＝20（dm）答：长方形框架的周长是20分米．【点评】本题主要考查了长方形的周长计算以及平行四边形面积公式的实际应用．29．【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，则三角形的面积×2÷底＝高，把数据代入即可求解．【解答】解：12×2÷6＝24÷6＝4（厘米）答：这条底边上的高是4厘米．【点评】本题考查了三角形的面积＝底×高÷2的灵活应用．30．【分析】先利用平行四边形的面积S＝ah求出这块空地的面积，再用草坪的面积乘单位面积草坪的价格，就是种这块草坪需要多少钱．【解答】解：15×12×10＝180×10＝1800（元）答：种这块草坪需要1800元．【点评】此题主要考查平行四边形的面积的计算方法，在实际生活中的应用．31．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，已知底是150厘米，高比底少50厘米，那么高是150﹣50＝100厘米，把数据代入公式求出这块玻璃的面积，然后根据已知总价和数量求单价，用除法解答．【解答】解：150×（150﹣50）＝150×100＝15000（平方厘米）15000平方厘米＝1.5平方米90÷1.5＝60（元）答：每平方米玻璃的价钱是60元．【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，以及总价、数量、单价三者之间关系的应用．。

小学五年级数学基础知识点五年级数学知识点整理动手做认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

(一)平行四边形的面积平行四边形的面积=拼成的长方形的面积长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。

因此：平行四边形面积=底×高如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：S=a h补充知识点：当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。

(二)三角形的面积三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

因此：三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：S=a h÷2补充知识点：决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

三角形平行四边形梯形的面积公式三角形、平行四边形和梯形都是常见的几何形状，它们的面积公式是初学者必须掌握的基本知识点。

下面将分别介绍这三种几何形状的面积计算公式。

三角形是最简单的几何形状之一，其面积的计算公式为：S=(1/2)*b*h其中，S表示三角形的面积，b表示底边的长度，h表示底边上的高。

平行四边形是具有两对平行且长度相等的边的四边形，其面积的计算公式为：S=b*h其中，S表示平行四边形的面积，b表示底边的长度，h表示底边对应的高。

梯形是具有两边平行且非平行边长度不相等的四边形，其面积的计算公式为：S=(1/2)*(a+b)*h其中，S表示梯形的面积，a和b表示上下底边的长度，h表示底边对应的高。

在实际问题中，我们经常需要面积公式的应用。

下面通过几个例题来进一步探讨如何应用这些面积公式。

例1：已知三角形的底边长为8cm，高为6cm，求其面积。

解：根据三角形的面积公式可知：S = (1/2) * b * h = (1/2) * 8 * 6 = 24 cm²例2：一个平行四边形的底边长为10cm，高为4cm，求其面积。

解：根据平行四边形的面积公式可知：S = b * h = 10 * 4 = 40 cm²例3：梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为5cm，求其面积。

解：根据梯形的面积公式可知：S = (1/2) * (a + b) * h = (1/2) * (6 + 10) * 5 = 40 cm²通过以上例题可以看出，掌握了三角形、平行四边形和梯形的面积计算公式，我们可以通过简单的乘法和除法运算求得几何形状的面积。

而这些面积计算公式也是更复杂几何形状面积计算的基础。

需要注意的是，在应用面积公式时，要保证所采用的单位一致，例如要求面积的单位是cm²，那么输入的底边长和高都需要使用cm作为单位。

总结：三角形、平行四边形和梯形的面积公式是初学者必须掌握的几何知识点。

正方形长方形平行四边形三角形梯形的面积关系
在平面几何中，正方形、长方形、平行四边形、三角形和梯形都是常见的图形，它们的面积关系如下：
1. 正方形：正方形的四条边长度相等，且四个角都是直角。

其面积等于边长的平方。

2. 长方形：长方形的对边长度相等，且四个角都是直角。

其面积等于长乘以宽。

3. 平行四边形：平行四边形的对边平行，且对边长度相等。

其面积等于底边长度乘以高。

4. 三角形：三角形有三条边和三个角，其面积等于底边长度乘以高再除以二。

5. 梯形：梯形有四条边，其中两条平行，其面积等于上底加下底乘以高再除以二。

因此，我们可以得出以下结论：
正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的梯形。

同时，三角形的面积可以看作是梯形的面积的一半。

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三角形梯形平行四边形的底和高哎呀，今天咱们聊聊三角形、梯形和平行四边形的那些事儿，听起来好像挺严肃的，其实也没那么复杂。

你瞧，三角形就像我们生活中的小插曲，有的尖尖的，有的圆润的，总之各有各的特色。

说到三角形，底和高是两个关键的角色。

底就是那根支撑三角形的“大腿”，而高呢，就是从顶点垂直下来的一条线，仿佛在告诉你，“我就是这儿的主角！”想象一下，你在公园里看到的小孩子，手里拿着一个小三角形的彩色气球，那高高的线让它看起来飘飘欲仙，真是心情大好。

再说梯形，哈哈，梯形的名字听上去就像是一道楼梯，是不是有点意思？它的底和上底就像兄弟俩，一个宽大，一个窄小。

它们共同撑起这个形状，仿佛在为彼此加油打气。

想想看，如果梯形是一个大叔，他站在两根腿上，腿的长短不同，但站得稳稳的，走起路来却别有一番风味。

底和高在这里也是不容小觑，底部像是梯形的基础，高度则是他的气场，越高越让人敬畏。

咱们不得不提平行四边形，简直就是个平坦的家伙。

说它是个方方正正的家伙一点也不为过。

底和高就像是平行四边形的两个老朋友，永远相伴。

底部的长度决定了它的宽度，而高则是它的厚度，这样的搭配真是让人羡慕。

想象一下，你在家里搞装修，平行四边形就像是那块完美的地砖，铺上去立马让整个空间都显得高大上。

不信你试试，随便找个地方量量，底和高一配合，嘿，整个房间的气氛都变了！底和高在这些形状中扮演的角色可真是不可或缺。

三角形的高给了它力量，梯形的底让它稳固，而平行四边形则通过这两者的配合呈现出一种和谐之美。

这就像生活中的每一个细节，少了哪个都不行，缺了底，根基不稳；缺了高，气势全无。

想想我们的人生，不也是在追求一种平衡吗？有时候得低头，有时候得昂起头，正好和这些形状相呼应。

再来聊聊它们的应用。

三角形常常出现在建筑设计中，像是那些高耸的塔楼，底部扎实、高度又令人仰望。

而梯形呢，常常用在一些展台上，吸引眼球的设计总少不了它的身影。

至于平行四边形，想想那些长方形的桌子和书本，它们的设计就是为了给人们带来一种简单而不失美感的体验。

秀版平行四边形知识结构及知识点1、知识结构2、对称性：①平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点；②等腰梯形是轴对称图形，其对称轴是过上、下两底的中点的直线；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

3、相关定理：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

③平行四边形的面积公式：S = 底⨯高；菱形的面积公式：S = 两条对角线积的一半。

④梯形的面积公式：S =（上底+下底）⨯高÷2 = 中位线长⨯高4、注意：⑴四边形中常见的基本图形⑵梯形问题中辅助线的常用方法(目的：转化为三角形和平行四边形或构造全等三角形)特殊四边形性质判定边角对角线边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等1、有一个角是直角的平行四边形是矩形2、三个角是直角的四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形菱形四边相等对角相等邻角互补对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、有一个角是直角的菱形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

5、对角线互相垂直的矩形是正方形。

等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个底角相等对角线相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形。

2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。