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一次函数复习专题【基础知识回顾】 一、 一次函数的定义:一般的：如果y= （ ），那么y 叫x 的一次函数特别的：当b= 时，一次函数就变为y=kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b 的同象是经过点（0，b ）（-bk，0）的一条 ，正比例函数y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。
【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y= kx(k ≠0)，当k >0时，其同象过 、 象限，此时时y 随x 的增大而 ；当k<0时，其同象过 、 象限，时y 随x 的增大而 。
3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质①、k >0 b >0过 象限②、k >0 b<0过 象限y 随x 的增大而y随x的增大而③、k<0 b>0过象限④、k<0 b>0过象限4、若直线l1：y= k1x+ b1与l2：y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变的值的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母与的值步骤：1、设一次函数表达式2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1 （2015•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（-1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而增大对应训练1．（2015•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例2 （2015•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2点，下列判断中，正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2对应训练2．（2015•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a 的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2015•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0考点三：一次函数解析式的确定例4 （2015•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x B．y=-2x C．y= 12x D．y=-12x考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5 （2015•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜32B．x＜3 C．x＞32D．x＞3例6 （2015•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解A．y=x+9与y=23x+223B．y=-x+9与y=23x+223C．y=-x+9与y=- 23x+223D．y=x+9与y=-23x+223对应训练5．（2015•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．6．（2015•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是．考点五：一次函数综合题例7 （2015•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角（1）C（0，6）；（2）∴直线MN的解析式为y=-34x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），对应训练7．（2015•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．例8 （2015•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？对应训练8．（2015•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．【聚焦山东中考】1．（2015•菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2015•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是．4．（2015•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜45．（2015•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．经过0.25小时两摩托车相遇D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地503km6．（2015•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机1（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，∴过原点且与直线y=-15x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x．∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴4182 BOAO==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴12 BO EPAO AP==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8-t-2t=8-3t，∴8-3t=t，解得：t=2，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．【备考真题过关】一、选择题1．（2015•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A．-12B．-2 C．12D．22．（2015•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B （n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0的图象过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限4．（2015•黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m 的取值范围是（）A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1 5．（2015•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（）A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升6．（2015•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题7．（2015•资阳）在一次函数y=（2-k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取15．（2015•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b 经过点A，C′，则点C′的坐标是．16．（2015•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完．17．（2015•随州）甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发小时时，行进中的两车相距8千米．三、解答题18．（2015•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．18．解：①0≤x＜3时，设y=mx，则3m=15，解得m=5，所以，y=5x，②3≤x≤12时，设y=kx+b，∵函数图象经过点（3，15），（12，0），20．（2015•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）20．解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得80（x+2）=88x，解得x=20．故现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（25，165），（35，55）代入，得251653555k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得11440kb=-⎧⎨=⎩，故y与x之间的函数关系式为y=-11x+440；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，则w=（x-20）y=（x-20）（-11x+440）=-11x2+660x-8800=-11（x-30）2+1100，所以当x=30时，w有最大值1100．即将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．21．（2015•河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．21．解：（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=-x+4．（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，2=-3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=-x+b过点N（4，4）时，4=-4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），∴线段MF中点坐标为（32，12）．。
一次函数知识点总结一次函数是数学中非常重要的一个概念，在我们的日常生活和学习中都有着广泛的应用。
接下来，就让我们一起来详细了解一下一次函数的相关知识点。
一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。
当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时称 y 是 x的正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
理解一次函数的定义需要注意以下几点：1、 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
如果 k ＝ 0，那么函数就变成了 y ＝ b，这是一个常数函数，不是一次函数。
2、自变量 x 的次数是 1，不能有 x 的平方、立方等更高次项。
二、一次函数的图像一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点坐标。
当 x ＝ 0 时，y ＝ b，所以直线与 y 轴的交点坐标为（0，b）。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，直线上升，b ＝ 1，与 y 轴交于点（0，1）。
三、一次函数的性质1、增减性正如前面所说，k 的正负决定了函数的增减性。
2、对称性一次函数的图像是一条直线，所以它关于直线 x ＝ b ／（2k) 对称。
3、与坐标轴的交点与 x 轴的交点：令 y ＝ 0，解得 x ＝ b ／ k，所以与 x 轴的交点坐标为（b ／ k，0）。
与 y 轴的交点：前面已经提到，为（0，b）。
四、一次函数的解析式的确定要确定一个一次函数的解析式，通常需要两个条件，然后将这两个条件代入解析式中，得到一个方程组，解这个方程组就能求出 k 和 b的值。
常见的条件有：1、已知两点的坐标。
2、已知一个点的坐标和函数的图像经过的另一个特殊位置（如与x 轴或 y 轴的交点）。
一次函数及其性质●知识点一一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当，时，仍是一次函数．⑶当，时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．●知识点二一次函数的图象及其画法⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．●知识点三一次函数的性质⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．●知识点四一次函数的图象、性质与、的符号⑴一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．知识点五用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．类型一：正比例函数与一次函数定义1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．举一反三：【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0D．m=1【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．举一反三：【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了___________ km；(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。
一次函数知识点总结手写笔记一、定义和特点一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的定义域为全体实数集R，表达式通常为y = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。
一次函数的特点如下：1.1 斜率：斜率k可以表示一次函数的直线斜率大小和方向。
当k > 0时，线是上升的；当k < 0时，线是下降的；当k = 0时，线是水平的。
1.2 截距：截距b是指在x轴上截取的值。
当b > 0时，在y轴上方的一侧与x轴相交；当b < 0时，在y轴下方的一侧与x轴相交；当b = 0时，与x轴相交于原点。
二、图像和性质一次函数的图像是一条直线。
通过两个点或者斜率和截距可以轻松画出函数的图像。
2.1 平行线：具有相同斜率k的一次函数是平行线。
它们在图像中具有相同的斜率，但在截距上可能不同。
斜率不同的两条直线永远不会平行。
2.2 相交点：如果两条不平行的直线相交，那么它们唯一的交点就是两条直线的解。
这个解可以通过解一个方程来求得。
2.3 增减性：当斜率k > 0时，函数递增，即随着自变量的增加，函数值也增加；当斜率k < 0时，函数递减，即随着自变量的增加，函数值减少。
三、表示和运算一次函数可以通过不同的形式来表示。
3.1 函数表达式：y = kx + b是一次函数最常见的表达形式。
通过斜率和截距可以轻松地找到函数的图像和特征。
3.2 函数关系：一次函数也可以通过函数关系式x和y的关系来表示。
通常用x = ax' + b表示。
通过给定x值求解y值或者给定y值求解x值。
3.3 函数运算：一次函数之间可以进行四则运算。
例如，两个一次函数相加就是将它们的斜率和截距分别相加。
这样可以方便地计算出两个函数相交的点。
四、应用领域一次函数广泛应用于各个领域，对问题的分析具有重要意义。
4.1 直线运动：一次函数可以描述物体在直线上的运动情况。
斜率k代表速度，截距b代表初始位置。
一次函数的复习资料一次函数的复习资料一次函数是数学中的基础概念之一，也是初中数学中最早接触到的函数类型之一。
它的表达形式为y = ax + b，其中a和b是常数，x是自变量，y是因变量。
在这篇文章中，我们将以复习资料的形式，回顾一次函数的定义、性质和应用。
定义：一次函数是指函数的表达式中只包含一次幂的项，即x的最高次数为1。
它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为常数。
一次函数的图像通常是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜方向和程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了直线的倾斜程度。
斜率为正时，直线向右上方倾斜；斜率为负时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线水平。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
2. 截距：一次函数的截距表示了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点坐标为(0, b)。
截距可以为正、负或零，它决定了直线与y轴的位置关系。
3. 解析式：一次函数的解析式y = ax + b中，a称为一次函数的系数，b称为常数项。
系数a的绝对值决定了直线的斜率，常数项b决定了直线与y轴的交点。
应用：一次函数在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 直线运动：一次函数可以用来描述物体的直线运动。
例如，一个物体以恒定的速度匀速直线运动，其位移与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量：在经济学中，一次函数可以用来描述成本与产量之间的关系。
成本通常包括固定成本和变动成本，其中固定成本可以看作是常数项，变动成本与产量成正比。
3. 温度变化：一次函数可以用来描述温度的变化规律。
例如，一个物体在一定时间内的温度变化可以用一次函数来表示，斜率表示了温度的变化速率。
4. 人口增长：一次函数可以用来描述人口的增长情况。
例如，一个城市每年的人口增长率可以看作是常数，通过一次函数可以推断未来的人口数量。
总结：一次函数是数学中的基础概念，它的定义、性质和应用都是我们需要掌握的知识点。
一次函数专题复习复习目标1、理解一次函数的概念；2、掌握一次函数的性质和图象特征；3、学会运用一次函数解决实际问题；复习重点与难点重点：一次函数的性质和图象难点：一次函数的应用复习过程一、考点梳理1、正比例函数和一次函数的概念?b??kxy0），那么y叫做x的一次函数。
（k，b是常数，一般地，如果k?bkx?y?kxy?0）。
这时，y叫做x（特别地，当一次函数k为常数，k的正比例函数。
中的b为0时，2、一次函数的图像y?kx?by?kx正比例函数）的直线；的图像是经过点所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数（0，b的图像是经过原点（0，0）的直线。
k>0，b>0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
k>0，b<0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0，b>0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小。
k<0，b<0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定?kxy?0）中的常数k确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式k。
确定一个一次函数，需（?bkx?y?0）中的常数k要确定一次函数定义式和k（b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
14、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积b?，0），与y轴的交点坐标为（0，b）;直线与两坐标轴围成的三角直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（k2b b1?｜·｜b｜=.S形的面积为△=｜k22|k|二、典例分析考点典例一、求函数自变量的取值范围1?x2?y?x的取值范围是（【例1】（2015 内江）函数）中自变量x?1x?2x?2x?1x?1x?1x．A． C D＜ B．2且且．【答案】B．考点：函数自变量的取值范围．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【举一反三】1?y x的取值范围是（巴中）在函数）中，自变量（2015x?2x??2x?2x?2x?2 D C． BA．．．【答案】D．【解析】x?20??x2．故选D，解得试题分析：根据题意，有．考点：函数自变量的取值范围．考点典例二、函数的图象【例2】（2015自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）2． BA ．．． DC ．【答案】C【解析】试题分析：由题意，得：以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选C．考点：函数的图象．【点睛】本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析路程与时间的关系．【举一反三】ADBCOPOOCDO的路线匀速的两条互相垂直的直径，点从点→出发，沿20151.（资阳）如图，→、是⊙→APByyPx（单位：秒）的关系图是（运动的时间运动．设∠）=（单位：度），那么与点． C B．A．． D 【答案】．B3考点：动点问题的函数图象．巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿20152. （ty）（分钟）之间关系的大致图象是（原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离（米）与时间D． C．A B．．【答案】B．【解析】试题分析：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距B B离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故．符合要求．故选考点：函数的图象．考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质201?2x?kb??x x有两个不相等的实数根，则一次函数2015泸州）若关于的一元二次方程（3【例】bkx?y?）的大致图象可能是（D B． CA．．．【答案】．B4．一次函数的图象．．根的判别式；2考点：1的增随x＜0；函数值y【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小?k轴的负半图象与y0，一次函数y=kx+by=kx+b图象与y轴的正半轴相交?b＞?大而增大k＞0；一次函数．图象过原点?b=0?b＜0，一次函数y=kx+b轴相交【举一反三】1?2xy?）的图象不经过（1.（2015成都）一次函数D．第四象限 B．第一象限．第二象限 C．第三象限A D．【答案】【解析】0?b?12k??0,，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第试题分析：∵．四象限，故选D 考点：一次函数的图象．1x?y?2（2.2015眉山）关于一次函数）的图象，下列说法正确的是（．图象经过第一、三、四象限．图象经过第一、二、三象限 BA ．图象经过第二、三、四象限 DC．图象经过第一、二、四象限．B【答案】5考点：一次函数图象与系数的关系．考点典例四、确定一次函数解析式【例4】（2015·湖南益阳）（10分）如图，直线l上有一点P（2，1），将点P先向右平移1个单位，再向11上平移2个单位得到像点P，点P恰好在直线l上．22（1）写出点P的坐标；2（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；（3）若将点P先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P．请判断点P是否在直线l上，并说332明理由．【答案】P（3，3）；y=2x﹣3；在.2考点：一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式6【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．【举一反三】(2015·湖北武汉，17题，分）（本题8分）已知一次函数y=kx＋3的图象经过点(1，4)求这个一次函数的解析式求，关于x的不等式kx＋3≤6的解集.【答案】y=x+3；x≤3.【解析】试题分析：将点(1,4)代入函数解析式求出k的值，得出函数解析式；根据不等式的性质求出不等式的解.试题解析：将点(1,4)代入得：k+3=4 解得：k=1 ∴一次函数的解析式为y=x+3根据k的值可得：不等式为x+3≤6 解得：x≤3.考点：一次函数的性质.考点典例五、一次函数的应用【例5】（2015·辽宁沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持ycmxs）之间的关）和注水时间续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度（（s能把小水杯注满．系满足如图2中的图象，则至少需要【答案】5．7考点：一次函数的应用．【举一反三】BAkm两地相向分】甲、乙两车分别从相距480、的（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）【8CC小时，因有小时，并以各自的速度匀速行驶，途径地停留地，甲车到达1而行，乙车比甲车先出发1yAAAB（千地，两车同时到达事按原路原速返回地直达地．乙车从地．甲、乙两车距各自出发地的路程x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：米）与甲车出发所用的时间t时，/小时；= （1）乙车的速度是千米xy与它出发的时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求甲车距它出发地的路程千米．3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120（3)??x120x (0?8?4)?x?360 (3?y小时．小时、6小时、；（60【答案】（1），3；2）（3）4?3?7)x?x?840 (4??120?【解析】时间，用两地之间的距离除以乙车的速=1）根据图象，可得乙车的速度，然后根据路程÷速度试题分析：（ACA速度，用两地之间的距离除以甲车往返度，求出乙车到达地用的时间是多少；最后根据路程÷时间=t除以甲车的速度，求出两地用的时间，求出甲车的速度，再用360的值是多少即可；8xxx≤7时；；≤4时；③0）根据题意，分3种情况讨论：①当≤4≤3时；②当3＜＜（2CA 地时；③两车都朝种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在（3）根据题意，分3地行驶时；然后根据路程÷速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．试题解析：（1）根据图象，可得：乙车的速度是60千米/时，甲车的速度是：（360×2）÷（480÷60﹣1﹣t=360÷120=3（小时）/小时），∴； 1）=720÷6=120（千米y?kxk360?3k yxx（0，360）代入，可得：=120，∴（2）①当0≤3≤时，设≤=120，解得：，把（3x≤3）；xy=360；≤4时，②当3＜4a?b?360a??120??y?ax?b x，把（4，360）和（7，0③4＜）代入，可得：≤7时，设，解得：，??7a?b?0b?480??yxx≤7），120 +840（4∴＜=﹣120x(0?x?3)??y?360 (3?x?4)；∴???120x?840 (4?x?7)?58?1=（小时）；）÷（60﹣120120+60）+1=300÷180+1=（3）①（480﹣33C地时，（480﹣360+120）÷②当甲车停留在60=240÷6=4（小时）；Axxx﹣1）﹣360]=120千米，则60，所以﹣③两车都朝[120地行驶时，设乙车出发（小时后两车相距1208xxx小时、4小时、6=6．综上，可得：乙车出发480﹣6060=120，所以小时后两车相距=360，解得1203千米．三、能力提升训练（一）选择题x?3x?y的取值范围是( ). 2015（中自变量·辽宁营口）函数1..x-5x?5x?5x?5且3或≥－3 B xA．≥－．． Cx3x D．≥－【答案】D.9考点：函数解析式有意义的条件.y?2x?4y轴的交点坐标是（） 2.（2015遂宁）直线与A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）【答案】D．【解析】xyy轴的交点为（0，﹣4）．故选D=0时，=﹣4，则函数与．试题分析：当考点：一次函数图象上点的坐标特征．y?x?2的图象不经过（ 3. （2015甘孜州）函数）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B．【解析】y?x?2kby轴，∴函数图象与＜试题分析：一次函数0=﹣2，∵0=1＞，∴函数图象经过第一三象限，∵负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选B．考点：一次函数的性质．4.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，ht变化规律的是（随注水时间）在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度． D． C BA．． B【答案】．【解析】h试题分析：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短．故选B．随时间考点：函数的图象．5（2014?东营）直线y=-x+1经过的象限是（）10A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】B.考点：一次函数图象与系数的关系．1??3y?x x的取值范围（2015中，自变量·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）在函数6.2x．是0??x?3x．【答案】，且【解析】20x?0??3x?03x??x?x03??x，且，．试题分析：由题意得，，解得：，且．故答案为：考点：函数自变量的取值范围．s（米）与各自所用97.(2015·湖北荆门，题，3米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程在一次分)800OBCDtOA）（秒）之间的函数图象分别为线段和折线，则下列说法正确的是（时间A．甲的速度随时间的增加而增大B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面11【答案】D．考点：一次函数的应用．xy(℃与摄氏度数))同一温度的华氏度数之间的函数关系是(℉)118. .(2015.上海市，第题，4分9x??32y25℃，那么它的华氏度数是________℉．，如果某一温度的摄氏度数是577【答案】【解析】9977F77?25y?32???32y?x25x?. ，故华氏度数为代入试题分析：将，得55.考点：求代数式的值（千克）之分）如图所示，购买一种苹果，所付款金额题，·湖北武汉，9. (2015143yx（元）与购买量千克这种苹果可AB和射线OA间的函数图象由线段组成，则一次购买13千克这种苹果比分三次每次购买.元节省【答案】212.考点：一次函数的应用b??2xy bb的值5）天津市，第14题，3分)若一次函数（，则为常数）的图象经过点（1，10. (2015. ．为3. 【答案】【解析】b?2xy?b b=3. ，解得试题分析：把点（1，5）代入一次函数为常数）可得（2+b=5.考点：一次函数图象上点的特征b的值是y≤6，则3y=kx+b，当1≤x≤4时，≤11.一次函数k-7 或【答案】2 【解析】＞0和k＜0两种情况进行解答．k试题分析：由于k的符号不能确定，故应对试题解析：当k＞0时，此函数是增函数，，y≤≤61∵当≤x≤4时，3 时，y=6，y=3∴当x=1时，；当x=43b??k?，∴?6b?4k??1k??解得，?2b??b；=2∴k 0时，此函数是减函数，当k＜ 6，≤时，x≤43≤y≤∵当1 ，时，；当时，∴当x=1y=6x=4y=313k?b?6?，∴?4k?b?3?k??1?，解得?7b??b=-7．∴k考点：一次函数的性质．12.将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为【答案】y=2x-3考点：一次函数图象与几何变换．13.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？【答案】（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）选择方案一更省钱．14考点：一次函数的应用．千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，/题）某商店以2240元14. （2015.山东德州第xy千克）之间的函数关系如图所示．（元销售量/（千克）与销售单价xy与的函数关系式；（1）根据图象求元，销售单价应定为多少？元的情况下，使销售利润达到2400（2）商店想在销售成本不超过3000120x?40?240?y??2x．2（【答案】1））100 ）；（（【解析】bkx??y bk的二元一次方程、，）160，（1200）根据图象可设（试题分析：1）代入，得到关于，，将（40 组，解方程组即可；元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销=2400（2）根据每千克的利润×销售量元比较即可得出结论．售成本，与3000153．一元二次方程的应用；．一元一次不等式的应用．21考点：．一次函数的应用；16。
