合作博弈 shapley值

标题：揭秘Shapley Value：深度解析和案例分析一、引言Shapley Value（沙普利值）作为一种合作博弈理论中的解决方案分配方法，在许多领域已经得到了广泛的应用。

它的核心思想是根据参与者的贡献和合作性来分配价值。

本文将深度解析Shapley Value的原理和计算方法，并结合实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解和应用这一理论。

二、Shapley Value的原理和计算方法1. Shapley Value的基本原理Shapley Value最早由Lloyd Shapley提出，用于解决合作博弈中参与者之间如何公平地分配收益的问题。

它基于合作博弈的概念，考虑了每个参与者对于合作的贡献，并且符合对称性、线性性和非偏性等性质，因此具有较好的公平性和合理性。

2. Shapley Value的计算方法在计算Shapley Value时，需要考虑所有可能的参与者联盟（coalition），并对每个参与者在各个联盟中的边际贡献进行加权平均。

这一计算方法涉及到排列组合和边际贡献的计算，需要较为复杂的数学推导和计算过程。

三、实际案例分析：企业合作中的Shapley Value应用以企业联盟合作为例，假设有A、B、C三家公司合作开发某一项目，现需要按照各自的贡献来分配项目收益。

根据Shapley Value的原理和计算方法，我们可以得到以下案例分析结果：1. 各家公司的边际贡献- 公司A：在与B、C合作时，边际贡献为100；与B合作时，边际贡献为80；与C合作时，边际贡献为70。

- 公司B：在与A、C合作时，边际贡献为120；与A合作时，边际贡献为90；与C合作时，边际贡献为60。

- 公司C：在与A、B合作时，边际贡献为110；与A合作时，边际贡献为50；与B合作时，边际贡献为40。

2. Shapley Value的计算通过对各种可能联盟的边际贡献进行加权平均，我们可以得出每家公司的Shapley Value，从而实现项目收益的公平分配。

shapley合作博弈模型例题在博弈论中，Shapley值是一种用来分配合作博弈中产生的收益的方法。

它基于对每个参与者对于合作的重要性进行评估，然后确定每个参与者应该得到多少收益。

Shapley值可以帮助我们理解在合作博弈中各个参与者对于整个合作过程的贡献程度，从而公平地分配收益。

为了更深入地理解Shapley合作博弈模型，让我们通过一个例题来进行探讨。

假设有A、B、C三个人合作完成了一项工作，他们分别用时5小时、3小时、2小时，而整个工作需要花费10小时。

现在我们希望通过Shapley值来确定每个人应该得到多少报酬。

我们定义合作博弈的特征函数。

在这个例题中，特征函数可以表示为每个参与者的工作时间。

我们列举出所有可能的合作组合，这里包括了A、B、C单独完成工作和各种组合完成工作的情况。

我们计算每种合作组合所需的时间和对应的边际贡献。

对于A来说，他单独完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为5小时，与C合作完成工作的边际贡献为3小时。

对于B来说，他单独完成工作的边际贡献为3小时，与A合作完成工作的边际贡献为2小时，与C合作完成工作的边际贡献为2小时。

对于C来说，他单独完成工作的边际贡献为2小时，与A合作完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为3小时。

接下来，我们计算Shapley值。

Shapley值的计算公式为：\[ \phi_i = \frac{1}{N!} \sum_{S \subseteq N \backslash \{i\}} |S|! (n-|S|-1)! (v(S \cup \{i\}) - v(S)) \]其中，N代表参与者的集合，i代表某个参与者，S代表N中除i之外的任意子集，v(S)代表S的边际贡献，即完成S集合所需的时间。

经过计算，我们得到A的Shapley值为1小时，B的Shapley值为3小时，C的Shapley值为2小时。

根据Shapley值原则，A应得到1小时的报酬，B应得到3小时的报酬，C应得到2小时的报酬。

修正的Shapley值法在产学研联盟利益分配中的应用2600字一、引言产学研联盟是指企业、大学和科研院所以共同的发展目标为基础，按照一定的机制或规则，结合彼此的资源或优势而建立的一种优势互补、风险共担、共同发展的正式而非合并的合作关系。

其目的在于迎合快速变化的市场机遇，追求整体的竞争优势，创造比单干更多的经济利益。

产学研联盟是科技创新和经济发展的成功模式，已经在我国取得了明显的经济和社会效益。

仅1992年至2002年的十年间，产学研联盟开发工程共实施了520多项国家级重点高技术产业化项目，实现新增销售收入1020亿元，利税210亿元。

在2006年召开的全国科技大会上，国家明确指出要把建立以企业为主体、以市场为导向、产学研相结合的技术创新体系作为突破口，建立国家创新体系。

产学研联盟受到很多因素的影响与制约，其中利益分配是产学研联盟中关键而又矛盾最突出的问题，它对联盟关系的持续稳定发展起决定性作用。

利益对产学研联盟产生两方面影响：追求利益是使联盟成员组建产学研联盟的动机，而同时由于利益分配的多少、偏向等因素又会影响到产学研联盟的健康运行。

调查表明影响产学研联盟的前三位因素是：权益分配不当73.7%、技术不够成熟36.8%、决策管理不协调31.2%。

因此，建立公平合理的利益分配机制关系到产学研联盟的成败。

已有的产学研联盟利益分配研究，大多应用Shapley值法，而且不少学者从不同角度对该法进行了改进。

罗利和鲁若愚等（2001），主要从博弈论角度出发，将Shapley值法应用于产学研合作，试图使得利益分配体现公平与效率兼顾的原则。

张延锋和戴建华等从价值创造的角度分析了合作者进入联盟的条件和进行收益分配的几个基本原则，提出了一种基于风险因子的修正算法。

王岳峰等（2005）考虑了贡献率、风险、投资等多项因素对利益分配结果的影响，应用AHP确定三者之间的权重，对Shapley值法进行改进。

吕会军等（2007）设定基于创新能力的利润分配系数、基于风险的利润分配系数、基于成本投入的利润分配系数，在联盟企业合作的不同阶段，通过调整三者的比例关系对Shapley值作出合理调整。

合作博弈的解合作博弈需要解决的最重要问题就是所有参与者合作时所获得的收益（或节省的费用）如何在个体参与者之间进行分配，显然，联盟的形成是建立在所有参与者对博弈中的建议分配都同意的基础上的，该分配称为合作博弈的解。

根据分配时的采取的方法不同，合作博弈的解有多种求解方案，本文主要讨论核心、核仁和Shapley 值三种合作博弈解。

（1）核心Gillies 于20世纪50年代提出了核心的概念，可以认为核心是最早出现的合作博弈的解，同时它也是其他解出现的基础。

下面首先对核心做定义：在一个n 人合作博弈(,)N V 中，不被任何其他分配向量所支配的分配向量的集合称为核心，记为(,)C N V 或()C V 。

在实际的生产活动中，由于不会存在使自身获利更多的分配方案，核心()C V 中的所有分配方案均会被对应的联盟所认可，即核心的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。

在核心中的各参与者都会接受加入该联盟所分配到的收益结果，因此这些参与者只会选择满足核心的联盟。

分配向量x 应当满足的条件为：1()n i i xV N ==∑ （2.6）()i i S xV S ∈≥∑ （2.7）此时，在存在核心的合作博弈中，采用核心作为合作博弈的解时分配给所有参与者的收益之和等于所有参与者合作所得，即能够实现收益的完全分配。

同时，作为一个理性的参与者，在选择分配向量时，都会将加入该联盟所能分配到的收益与脱离联盟不进行合作的获益相比较，由于核心中的分配向量满足个体合理性，故满足条件的参与者会选择核心作为合作博弈的解。

合作博弈的核心解能够为联盟的参与者提供满意的结果，但是核心解在求解时可能会很难实现或者说有时不存在核心解，这是合作博弈的核心解在应用中的最大问题。

具体情况表现为核心为一个区域有多个元素或者合作博弈不存在核心。

以下用反证法对这些情况进行说明。

1）博弈的核心为空对一个n 人合作博弈(,)N V ，常和博弈表示博弈的特征函数有()()()+-=V S V N S V N ，空核心博弈的特征函数满足{}S T φ⋂=，()()()⋃=+V S T V S V T ，此时若x 是该博弈的核心解，则有：()()()∈=≤∑i N V N x N V i （2.8）这不满足常和博弈特征函数的条件，所以该博弈的核心解不存在。

1Shapley 值法的基本原理1.1原理介绍Shapley 值法是ShapleyL.S.于1953年提出的用于解决多人合作问题的一种数学方法，其内容包括两个定义和一个定理。

定义1设企业合作收益是定义在N={1，2，…，n}上的一切子集S 上的实值函数v ，并满足条件：v(Φ)=0，Φ为空集(1){}1()()ni v N v i =≥∑(2)式中v(Φ)表示没有企业联盟的总收益，v(N)表示n 个企业联盟后总的收益，{}()v i 表示第i 个公司不与其他公司合作时的收益。

式(1)表示企业如果没有参加任何联盟，则其合作收益为0；式(2)表示企业联盟后总的收益大于或等于各企业单干之和。

定义2用123(,,,)n n x x x x x R =∈ 来表示各企业从联盟收益中得到的分配向量，其中(1,2,,)i x i n = 表示联盟中第i 个成员所得到的份额，并满足条件：{}(),1,2,,i x v i i n ≥= (3)1()n i i Xv N =≤∑(4)式(3)表示个体合理性条件，即企业如果从联盟中所得到的收益还低于其不结盟时所得的收益，则该企业不会接受这样的分配，并选择退出联盟。

式(4)表示各个企业分配之和不能超出结盟后总的收益。

定理Shaply 值设Г=[I ，V]是n 人合作对策，存在唯一的一组Shapely 值：()[](v)=w |S|()(/)ni i S v S v S i ∈ψ-∑()()()n |S|!S 1!w |S|,1,2,3,,!i n n --== (5)[I ，V]为n 个企业合作对策，I 为参与合作企业的集合，V 为特征函数；(v)i ψ表示第i 个伙伴企业从联盟整体中分配到的收益；S 表示包含有伙伴企业i 的一切联盟；|S|表示联盟S 的规模，即S 中所含企业的数量；w(|S|)为参数收益分配的权重；v(S)表示联盟S 的收益；v(S/i)表示联盟S 中如果没有企业i 参加时的收益；v(S)-v(S/i)表示联盟S 中有i 参加的收益与没有i 参加的收益差值，即表示伙伴企业i 对联盟S 的贡献。

合作博弈的解合作博弈需要解决的最重要问题就是所有参与者合作时所获得的收益（或节省的费用）如何在个体参与者之间进行分配，显然，联盟的形成是建立在所有参与者对博弈中的建议分配都同意的基础上的，该分配称为合作博弈的解。

根据分配时的采取的方法不同，合作博弈的解有多种求解方案，本文主要讨论核心、核仁和Shapley 值三种合作博弈解。

（1）核心Gillies 于20世纪50年代提出了核心的概念，可以认为核心是最早出现的合作博弈的解，同时它也是其他解出现的基础。

下面首先对核心做定义：在一个n 人合作博弈(,)N V 中，不被任何其他分配向量所支配的分配向量的集合称为核心，记为(,)C N V 或()C V 。

在实际的生产活动中，由于不会存在使自身获利更多的分配方案，核心()C V 中的所有分配方案均会被对应的联盟所认可，即核心的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。

在核心中的各参与者都会接受加入该联盟所分配到的收益结果，因此这些参与者只会选择满足核心的联盟。

分配向量x 应当满足的条件为：1()n i i xV N ==∑ （2.6）()i i S xV S ∈≥∑ （2.7）此时，在存在核心的合作博弈中，采用核心作为合作博弈的解时分配给所有参与者的收益之和等于所有参与者合作所得，即能够实现收益的完全分配。

同时，作为一个理性的参与者，在选择分配向量时，都会将加入该联盟所能分配到的收益与脱离联盟不进行合作的获益相比较，由于核心中的分配向量满足个体合理性，故满足条件的参与者会选择核心作为合作博弈的解。

合作博弈的核心解能够为联盟的参与者提供满意的结果，但是核心解在求解时可能会很难实现或者说有时不存在核心解，这是合作博弈的核心解在应用中的最大问题。

具体情况表现为核心为一个区域有多个元素或者合作博弈不存在核心。

以下用反证法对这些情况进行说明。

1）博弈的核心为空对一个n 人合作博弈(,)N V ，常和博弈表示博弈的特征函数有()()()+-=V S V N S V N ，空核心博弈的特征函数满足{}S T φ⋂=，()()()⋃=+V S T V S V T ，此时若x 是该博弈的核心解，则有：()()()∈=≤∑i N V N x N V i （2.8）这不满足常和博弈特征函数的条件，所以该博弈的核心解不存在。