2018届北师大版 函数模型及其应用 检测卷

－∞，0)
去掉绝对值得f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－的图象关于原点对称，与g(x)＝2在同一坐标系中的图象大致是
＋log 2x 的零点是12
，排除A ；g(x)＝21，故选C .
x＋1
的图象可以看作是由函数y＝10ln|x|
x
是奇函数，所以排除A和D；又因为当
，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)
如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱
，则函数y＝f(x)的图象大致是()
平面DCC1D1，过M点向AD作垂线，垂足为E，则
(2BN)2＝1＋4x2，所以y＝f(x)的图象是双曲线y2在第一象限内的一部分，故选C.
的大致图象如图所示．
＝b 有三个不同的根，只需4m ，a >0.
f (x )的最小值．
<0，
的单调递增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是时，所求最小值f (x )min ＝的图象如图所示．
时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一
故a的取值范围是[3，＋∞)．。

分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a +c 的值为2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ）A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．3 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ） A ．13BC ．13-D． 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知将函数()21cos cos 2f x x x x =+-的图像向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图像，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为 （ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣7、（新余市2017高三上学期期末考试）若函数()sin ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A.13 B.32 C.43 D.23 8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()cos()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位10、（九江市十校2017届高三第一次联考）︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C D ．23-11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4πC .3πD .2π二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2x ﹣cos 2x +3．（1）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A +C ），求f （B ）的值．2、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．3、（赣州市2017届高三上学期期末考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =，求sin BAD ∠的值.4、（宜春中学2017届高三2月月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，（1）A=60°，，求B ；（2）已知，c=2，B=150°，求边b 的长．5、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若3,cos b A ==求ABC ∆的面积.6、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．7、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.参考答案一、选择、填空题1、 2、答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n =-，由线性规划知识，可得当直线2nz x y =+过点()1 1B ，时，z 取得最大值，即122n +=，解得2n =；则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为C.3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、A 11、D二、解答题1、解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=22、解：⑴，对称轴为． (1)分在上单调．或，····3分或．又，或．········5分⑵若，则，···6分当，即时，．···8分当，即时，．···10分综上所述：．······12分3、解：（1）由222a b c ac bc ca++=++得222()()()0a b b c c a-+-+-=…………………………………………………………3分所以0a b b c c a-=-=-=，所以a b c==………………………………………………4分即ABC∆是正三角形…………………………………………………………………………5分（2）因为ABC∆是等边三角形，2BC CD=，所以2AC CD=，120ACD∠=o…………………………………………………………7分所以在ACD∆中，由余弦定理可得：2222cosAD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD=+-⋅o，解得1CD=………………………………9分在ABC∆中，33BD CD==，由正弦定理可得sinsinBD BBADAD⋅∠===…………………………………………………12分4、解：（1）由正弦定理可知：∴b=7， 边b 的长7．5、解：（Ⅰ）因为所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， 所以21cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为π<<B 0，所以3B π=（Ⅱ）由36cos ,3==A b 可得sin A =, 由BbA a sin sin =可得2=a ，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以ABC ∆的面积==C ab S sin 216、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=7、 解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A A A …6分 （2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分 当且仅当1==c b 时，取“=”号 于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分。

(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，只需将f(x)的图象()
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
解析：∵△EFG是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A＝.
由题意可知函数的周期T＝4，即T＝＝4，解得ω＝＝，
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用
一、选择题
1．函数最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是()
A．y＝2sinB．y＝2sin
C．y＝2sinD．y＝2sin
解析：由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin＝1，所以选B.
答案：0
8．(2016·江苏，9)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．
解析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sin 2x与y＝cosx在区间[0,3π]上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．
则f(x)＝sin，g(x)＝sinx，
由于f(x)＝sin＝sin，故为了得到g(x)＝sinx的图象，只需将f(x)的图象向左平移个长度单位．故选A.
答案：A
二、填空题
7．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则f＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝sin＝0.
答案：D
3．函数y＝sin在区间上的简图是()
解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.

1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为【答案】D2.(2015·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】：(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】：函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图①实线部分所示，其图象与直线y ＝b 可能有两个公共点.3.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)【解析】作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，且m >0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是() 2，＋∞.【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 4. (1)(2015·海南)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)x ]表示不超过x 的最大整数，例如2.9]＝2，－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －x ](x ∈R)，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)【答案】：C【解析】：∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数， ∴又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0， ∴x 0∈(2,3)，故选C.(2)【答案】：B 【解析】：函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …，x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.5.(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，126. 【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin(sin x )，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的定义域是[－1,1] B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的值域是[－sin1，sin1]D ．f (x )不是周期函数 答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，且y ＝sin x 在[－1,1]上是增函数，∴f (x )的值域是[－sin1，sin1]．2．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16 B ．14 C ．13 D ．12答案 D解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度，可得：y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋12(k∈Z )．又∵ω>0∴ωmin ＝12.故选D.3．[2017·西安模拟]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案 D解析 ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3，选D.4．[2017·天津模拟]将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A ．13 B ．1 C ．53 D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入，得sin ωπ2＝0， 则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.5．[2017·惠州模拟]已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 A解析 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.6．[2017·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 解析 由图象得：T ＝4×2＝8，∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1， ∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3向左平移m 个单位长度后关于y 轴对称，则m 的最小正值为________．答案 π24解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )＋π3关于y 轴对称，则有4m ＋π3＝k π＋π2(k∈Z )，m ＝k π4＋π24，∴m 的最小正值为π24.8．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)(1)求这期间的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图象，知这期间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．(2)A ＝12(50－30)＝10，b ＝12(50＋30)＝40， T ＝2πω＝2×(14－8)＝12，所以ω＝π6，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 把x ＝8，y ＝30代入上式，得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 10．[2017·启东模拟]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2， 即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． 所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度．12．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上， ∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6.13．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ(0<φ<π)的一条对称轴方程为x ＝9π4，则函数y ＝sin(2x －φ)(0≤x <π)的单调递增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π 解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ的对称轴为x ＝9π4，所以13×9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－3π4，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .因为0≤x <π，所以函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π. 14．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

【高考核动力】2018届高考数学 2-18函数应用配套作业 北师大版1．(2018·烟台模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1)，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x －2x ＝2 x ＋1 x －1x.由f ′(x )≤0，解得0＜x ≤1. 【答案】 A2．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对【解析】 f ′(x )＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大，∴m ＝3，而f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37.【答案】 A3．(文)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )【解析】 由y ＝f ′(x )的图象易知当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0，故函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，故函数y ＝f (x )在区间(0,2)上单调递减．【答案】 C(理)(2018·浙江高考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )【解析】 设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝e x[f ′(x )＋f (x )]．因为x ＝－1是F (x )的一个极值点，所以F ′(－1)＝0，得出f ′(－1)＋f (－1)＝0，在选项D 中，由图象观察得到f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，所以f (－1)＋f ′(－1)＞0与f ′(－1)＋f (－1)＝0矛盾．故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－18×(m ＋6)＞0，∴m ＞6或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ln x . (1)f (x )的最小值．(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0(m ∈R )的解的个数． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：所以，f (x )在(0，＋∞)上最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－e .(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞. 下面讨论f (x )－m ＝0的解： 当m ＜－1e时，原方程无解；当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e＜m ＜0时，原方程有两个解．课时作业【考点排查表】1.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值 C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数【解析】 由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数． 【答案】 C2．(2018·贵阳模拟)函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12【解析】 由y ＝4x 2＋1x 得y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增．【答案】 B3．(2018·抚顺模拟)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由f ′(x )在(a ，b )内的图象知f (x )在(a ，b )内只有一个极小值点． 【答案】 A4．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值． 当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴0<b <12.【答案】 D5．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．18万件B ．18万件C ．9万件D ．7万件【解析】 ∵y ＝f (x )＝－13x 3＋81x －234.∴y ′＝－x 2＋81.令y ′＝0得x ＝9，x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0，函数f (x )单调递增；当x >9时，y ′<0，函数f (x )单调递减，故当x ＝9时，y 取最大值．故选C.【答案】 C6．(2018·泰安模拟)已知函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x2＋12的解集为( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}【解析】 设F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12；则F (1)＝f (1)－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解为x >1，故f (x )<x 2＋12的解集为{x |x >1}．【答案】 D 二、填空题7．(2018·济南模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则a 的取值范围为________．【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )有三个不同零点，需f (－1)>0且f (1)<0即－2<a <2. 【答案】 (－2,2)8．(2018·山东烟台)设0<a ≤1，函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x2，当0<a ≤1，且x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，f (x 1)min ＝f (1)＝1＋a 2，又g ′(x )＝1－1x(x >0)，易求g ′(x )>0，∴g (x )在[1，e]上是增函数，g (x 2)max ＝g (e)＝e －1.由条件知只需f (x 1)min ≥g (x 2)max .∴1＋a 2≥e－1.∴a 2≥e－2.即e －2≤a ≤1.【答案】e －2≤a ≤19．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．【解析】 设底面宽为x cm ，则长为2x cm ，高为722x2 cm ，S ＝4x 2＋72x ＋144x ＝4x 2＋216x .S ′＝8x －216x2＝0，x ＝3 cm.∴长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm. 【答案】 6 cm 3 cm 4 cm 三、解答题18．(文)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1.【解】 (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x－x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.(理)(2018·临川一中模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x (1)求f (x )的单调区间； (2)求证：当x ＞－1时，1－1x ＋1≤ln(x ＋1)≤x . 【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：因此f (x )(2)证明：由(1)知f (x )≤f (0)． 即ln(x ＋1)≤x . 设h (x )＝ln(x ＋1)＋1x ＋1－1， h ′(x )＝1x ＋1－1 x ＋1 2＝xx ＋1 2， 可判断出h (x )在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 因此h (x )≥h (0)即ln(x ＋1)≥1－1x ＋1. 所以当x ＞－1时1－1x ＋1≤ln(x ＋1)≤x . 18．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)， 若x ＜0，则1－e x ＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )<0； ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2，∴m ＜2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立．18．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解】 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n＋1)(2＋x )x ＝256(m x－1)＋m x(2＋x )x ＝256xm ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－518)．令f ′(x )＝0，得x 32＝518，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小． 四、选做题18．(2018·广东高考)设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．【解】 (1)对于方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0判别式Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(a －3)(3a －1)．因为a ＜1，所以a －3＜0，①当1＞a ＞13时，Δ＜0，此时B ＝R ，所以D ＝A ；②当a ＝13时，Δ＝0，此时B ＝{x |x ≠1}，所以D ＝(0,1)∪(1，＋∞)；当a ＜13时，Δ＞0，设方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两根为x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 1＝3 1＋a －3 a －3 3a －14，x 2＝3 1＋a ＋3 a －3 3a －14B ＝{x |x ＜x 1或x ＞x 2}．③当0＜a ＜13时，x 1＋x 2＝32(1＋a )＞0，x 1x 2＝3a ＞0，所以x 1＞0，x 2＞0.此时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 1＋a －3 a －3 3a －1 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3 1＋a ＋3 a －3 3a －1 4，＋∞.(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，a ＜1.所以函数f (x )在区间[a,1]上为减函数，在区间(－∞，a ]和[1，＋∞)上为增函数， ①x ＝1是极值点⇔1∈B ⇔13＜a ＜1，②x ＝a 是极值点⇔a ∈A ，a ∈B ⇔0＜a ＜1，得：当0＜a ≤13时，函数f (x )有极大值点为a ，当13＜a ＜1时，函数f (x )有一个极大值点x＝a ，一个极小值点x ＝1.。

第二章 第二讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是 ( D )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x[解析] 根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(－1,1)上的单调性，从而找出正确选项．解：A.x 增大时，－x 减小，1－x 减小，∴11－x 增大；∴函数y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，即该选项错误；B ．y ＝cos x 在(－1,1)上没有单调性，∴该选项错误；C ．x 增大时，x ＋1增大，ln(x ＋1)增大，∴y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，即该选项错误；D ．y ＝2－x ＝(12)x ；∴根据指数函数单调性知，该函数在(－1,1)上为减函数，∴该选项正确．故选D. 2．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有 ( A )A ．f (－1)>f (π3)>f (－π)B ．f (π3)>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f (π3)D ．f (－1)>f (－π)>f (π3)[解析] 由题意得，0<1<π3<π<4⇒f (－1)＝f (1)>f (π3)>f (π)＝f (－π)，故选A.3．(2016·宁夏模拟)若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有 ( A ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )[解析] ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a .∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A.4．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是 ( D )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[解析] 由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0.5．(2017·陕西省西安一中大学区高三上学期期中数学试题)已知f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为 ( B )A ．6B ．13C ．22D ．33[解析] 将f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)代入y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，整理化简为关于log 3x 的函数，利用换元法求最值．解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6， ∵f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9 ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，的定义域是{x |1≤x ≤3}． 令log 3x ＝t ，因为1≤x ≤3，所以0≤t ≤1，则上式变为y ＝t 2＋6t ＋6,0≤t ≤1， y ＝t 2＋6t ＋6在[0,1]上是增函数 当t ＝1时，y 取最大值13 故选B6．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1； ③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x(x >0).其中值域为R 的函数有 ( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0)的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞]，因此选B.7．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为 ( D )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析] 注意到f (x )＝－(x －a )2＋a 2；依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >0即0<a ≤1，故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ( B )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[解析] 由f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，(4－a 2)＋2≤a ，解得：4≤a <8. 二、填空题9．(2016·山东威海模拟)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是_(－∞，0)_.[解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0，且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．10．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a ＝_－6_. [解析] 画图知a ＝－6.11．函数f (x )＝(13)x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为_3_.[解析] 由于y ＝(13)x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.三、解答题12．(教材改编题)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．[答案] (1)5 1 (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)[解析] (1)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，所以f (x )的最小值是f (1)＝1. 又f (12)＝54，f (3)＝5，所以f (x )的最大值是f (3)＝5.所以f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2.所以m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．13．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0，都有f (xy )＝f (x )－f (y )．当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域． [答案] (1)0 (2)见解析 (3)[0,4][解析] (1)因为当x >0，y >0时，f (xy )＝f (x )－f (y )，所以令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2>x 1>0，所以x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0.所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)．因为f (4)＝2，f (xy )＝f (x )－f (y )，所以f (164)＝f (16)－f (4)，所以f (16)＝2f (4)＝4，所以f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．B 组能力提升1．(2017·湖北省孝感市六校教学联盟高三上学期期末数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)函数为偶函数，则 ( D )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)[解析] 根据y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称．又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，故在(－∞，8)上为增函数，故可得答案．解：∵y ＝f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称． 又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数， ∴f (x )在(－∞，8)上为增函数．由f (8＋2)＝f (8－2)，即f (10)＝f (6)，又由6＜7＜8，则有f (6)＜f (7)，即f (7)＞f (10)． 故选D.[点拨] 本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f (－x )＝f (x )．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为 ( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)[解析] 作出函数f (x )的图象，由图知，函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．3．(2017·河北省唐山市高考模拟数学试题)已知函数f (x )＝xx －1＋sinπx 在[0,1)上的最大值为m ，在(1,2]上的最小值为n ，则m ＋n ＝ ( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] 通过变形可知f (x )＝1＋1x －1＋sinπx ，进而可知当x ∈[0,1)时，函数g (x )＝1x －1＋sinπx 满足g (2－x )＝－g (x )，由此可知在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)中心对称，利用对称性即得结论．解：f (x )＝x x －1＋sinπx ＝1＋1x －1＋sinπx ，记g (x )＝1x －1＋sinπx ，则当x ∈[0,1)时， g (2－x )＝12－x －1＋sinπ(2－x )＝11－x－si nπx ，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)中心对称， ∴m ＋n ＝2，故选D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是_[0,1)_.[解析] 由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.其函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．5．(2016·内蒙古巴彦淖尔第一中学10月月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称.(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． [答案] (1)f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝－x 2＋2x (2)λ≤0 [解析] (1)因为f (1)＝1＋m ＋n ＝3，所以m ＋n ＝2.因为f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，所以f (0)＝n ＝f (－2)＝4－2m ＋n ，解得m ＝2，n ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x .因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，所以g (x )＝－x 2＋2x .(2)因为F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x 在[－1,1]上是增函数， 所以F ′(x )＝(－2－2λ)x ＋2－2λ在[－1,1]上非负．所以⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(1)≥0F ′(－1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧(－2－2λ)＋2－2λ≥0(2＋2λ)＋2－2λ≥0解得λ≤0.。

1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】：D【解析】：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.故应选D.2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B .32 C.22D ．1【答案】：B3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B .π12 C.π3 D .5π6 【答案】：A4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π6 B ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎫45x ＋15 C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫56x ＋π6 D ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫23x －15 【答案】：B【解析】：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34 【答案】 B【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝ －45，∴tan α＝34，故选B. 6．设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >b >c D ．b >c >a【答案】 B【解析】 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2【答案】 A【解析】 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.8．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 【答案】 B9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32【答案】 A【解析】 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)等于( )A ．0B ．503C ．1 006D ．2 012【答案】 D11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎝⎛⎫－π2，－π4D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝⎛⎭⎫－π2，－π4递减，故选C. 12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象 【答案】 C【解析】 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0，故选C.13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫2 008π3的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 3 D. 3【答案】 B14．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【答案】：⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 15．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.【答案】：π2【解析】：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫π4＋2k π，2，⎝⎛⎭⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.16．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【答案】：3【解析】：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3.17．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．18．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，3sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋2b )．(1)求函数f (x )的最大值与单调递增区间； (2)求使不等式f ′(x )≥2成立的x 的取值集合． 【解析】 (1)f (x )＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋3sin x cos x ) ＝1＋1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2＋2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝2＋2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6 ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最大值为4.19.已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的【解析】式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．【解析】 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝ 1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π12(k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . 20．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2·cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0，0＜φ＜π2)，其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝⎛⎭⎫π3，1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，求边c 的值．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，得：sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23. ∵角C 为锐角，∴cos C ＝53. 又∵a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·5·b ·23＝25，∴b ＝6.由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝5＋36－2·5·6·53＝21，∴c ＝21.21．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值．22．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π3的最小值． 【解析】：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3，由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又A sin ⎝⎛⎭⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3.。

专题层级快练(十四)1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150－50t （t>3.5）D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150 （2.5<t ≤3.5），150－50（t －3.5） （3.5<t ≤6.5）答案 D2．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( ) A ．x>22% B ．x<22% C ．x ＝22% D ．以上都不对答案 B3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是( )(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)( ) A ．2015年 B ．2011年 C ．2010年 D ．2008年 答案 B解析 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a·(1＋9%)x ＝4a.∴x ＝2lg2lg1.09≈16.4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 B解析 设该股民购进股票的资金为a ，则交易结束后，所剩资金为：a(1＋10%)n ·(1－10%)n ＝a·(1－0.01)n ＝a·0.09n <a.5．某购物网站在2016年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张．6．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( ) A ．44小时 B ．45小时 C ．46小时 D ．47小时 答案 C解析 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；可见，细胞总数y 与时间x(小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x (x ∈N *)．由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边取以10为底的对数，得xlg 32>8，∴x>8lg3－lg2.∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，∴x>45.45，∴至少经过46小时，细胞总数超过1010个．7．2016年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，右图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻 15分钟内的速度v(x)与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是( )答案 D解析 据题意函数在[6，10]和[12，15]两个区间上都是常数，故选D.8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x答案 D解析 设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为360M （1＋4%）M （1＋1.2%），2年后，人均占有粮食产量为360M （1＋4%）2M （1＋1.2%）2，…，经过x 年后，人均占有粮食产量为360M （1＋4%）x M （1＋1.2%）x ，即所求解析式为y ＝360(1.041.012)x . 9．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有 时的八分之一． 答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有 时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a. e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.10.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放 ，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放 ，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，（116）t －0.1，t>0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图像知y ＝kt 过点(0.1，1)，则 1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t(0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a 过点(0.1，1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t>0.1)．(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．11．一类产品按质量共分为10个档次，最低档次产品每件利润8元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以生产最低档次产品60件，提高一个档次将减少3件，求生产何种档次的产品获利最大？ 答案 生产第9档次的产品获利最大 解析 将产品从低到高依次分为10个档次．设生产第x 档次的产品(1≤x ≤10，x ∈N )，利润为y 元， 则y ＝[60－3(x －1)][8＋2(x －1)]＝(63－3x)(6＋2x)＝6(21－x)(3＋x)≤6[（21－x ）＋（3＋x ）2]2＝6×144＝864.当且仅当21－x ＝3＋x ，即x ＝9时取等号．12．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由． 答案 (1)24(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈（20，35](3)沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城解析 (1)由图像可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．13．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 答案 (1)1－(12)110 (2)5 (3)15解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12，解得x ＝1－(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m ＝22a ， 即(12)m 10＝(12)12，m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a(1－x)n . 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n≥24，(12)n 10≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.2．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按照一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应该是x 的一次函数，下表给出了两套符合条件的课桌椅的高度：现有一把高为42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，则这套课桌椅________．(填“配套”或“不配套”) 答案 配套解析 设一次函数为y ＝ax ＋b ，将给出条件的两套课桌椅的高度代入，得⎩⎪⎨⎪⎧40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，b ＝11，所以y ＝1.6x ＋11.当x ＝42时，y ＝78.2，故是配套的． 3．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2（0≤x ≤1），35·（13）x（x>1）.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)． 答案 4解析 当0≤x ≤1时，5x －2≤0.02，即x －2≤log 50.02，x ≤2＋log 50.02∉[0，1]，此时x 无解；当x>1时，35·(13)x ≤0.02，即31－x ≤0.1，1－x ≤log 30.1，x ≥1－log 30.1，得x ≥3.10.所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车．。

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(3，＋∞) B.(－1，3)C.(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1，33 【答案】 D【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，33，故选D. 2.若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A.[－5，－1]B.[－2，0]C.[－6，－2]D.[1，3] 【答案】 A【解析】 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，－6≤－2f (x ＋3)≤－2，－5≤1－2f (x ＋3)≤－1.∴－5≤F (x )≤－1，即函数F (x )的值域是[－5，－1].3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 【答案】 B【解析】 由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.4.设函数y ＝x 13与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎫13，12 C.⎝⎛⎭⎫14，13 D.⎝⎛⎭⎫0，14 【答案】 B【解析】5.已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )【答案】 D6.已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为( ) A ．(－1，6)B ．(－6，1)C ．(－2，3)D ．(－3，2)【答案】 D【解析】 因为函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数且增函数，所以不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x 2－4)<f (2－x )，所以x 2－4<2－x ，则－3<x <2，故选D.7.已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3 （x ≤0），g （x ） （x >0），若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(－2，1)【答案】 D【解析】 ∵函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )．∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤0），g （x ）（x >0），∴当x ≤0时，f (x )＝x 3为单调递增函数，值域 (－∞，0]．当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)为单调递增函数，值域(0，＋∞)．∴函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增．f (2－x 2)>f (x )，2－x 2>x ，所以－2<x <1.故选D.8.若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 46，则下列结论正确的是( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a【答案】 D 【解析】 a ＝log 23＝log 49>log 46＝c >1，又b ＝log 32<1，∴b <c <a .9.函数f (x )＝sin x x 2＋1的图象大致为( )【答案】 A【解析】 首先由f (x )为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当0<x <π时，f (x )>0知，选A.10.函数f (x )＝x 3－3e x 的大致图象是( )【答案】 C?【解析】 由解析式可以得到当x ∈(0，33)时，f (x )<0，x ∈(33，＋∞)时，f (x )>0，故选C.11．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】：B12．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】：D【解析】：∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0⇒a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．13．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)【答案】：D【解析】：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4a 2－12>0，解得a >3或a <－ 3.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.【答案】：515．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 【答案】：(0，1)∪(2，3)【解析】：f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x. 由f ′(x )＝0及判断可知函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.16．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．【解析】：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 17．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．(2)∵a >0，∴x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，∴f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，∴当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．综上①②可知，当a ≥4时，f (x )取得最大值和最小值时x 的值分别为1和0；当0<a <4时，f (x )取得最大值时x 的值为－1＋4＋3a 3；当0<a <1时，f (x )取最小值时x 的值为1；当a ＝1时，f (x )取得最小值时x 的值为0或1；当1<a <4时，f (x )取得最小值时x 的值为0.18．已知函数f (x )＝e －x －ax (x ∈R)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若x ≥0时，f (－x )＋ln(x ＋1)≥1，求实数a 的取值范围．②若a <－2，令φ(x )＝e x ＋1x ＋1＋a ， 则φ′(x )＝e x－1（x ＋1）2＝（x ＋1）2e x －1（x ＋1）2≥0. ∴函数φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．由于φ(0)＝2＋a <0，φ(－a )＝e －a ＋11－a ＋a ≥1－a ＋11－a ＋a ＝1＋11－a>0. 故∃x 0∈(0，－a )，使得φ(x 0)＝0.则当0<x <x 0时，φ(x )<φ(x 0)＝0，即g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0，x 0)上单调递减．∴g (x 0)<g (0)＝0，即(*)式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．19.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【解析】20.已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1，1)，∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1，1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0，1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a. 21．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数．求实数a 的取值范围．【解析】。

1．已知函数f (x )＝x －a x，若116<a <12，则f (x )零点所在区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】 C【解析】 根据零点存在性定理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故选C.2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4) 【答案】 B【解析】 利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 3．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 【答案】 C【解析】 利用零点存在性定理得到f (3)·f (2)<0，故选C.4．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．与m 有关【答案】 A 【解析】5．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，2)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]【答案】 A【解析】 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根．∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m <2时满足条件，故选A.6．在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A ．32人B ．35人C ．40人D ．45 人 【答案】 B【解析】 设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当1≤x ≤30且x ∈N 时，m ＝800，y max ＝800×30－12 000＝12 000， 当30<x ≤45且x ∈N 时，m ＝800－20(x －30)＝1 400－20x ，则y ＝(1 400－20x )x －12 000＝－20x 2＋1 400x －12 000，对应的抛物线开口向下， 因为x ∈N ，所以当x ＝－ 1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B.7．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( ) A ．可在7秒内追上汽车 B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米 【答案】 D8．某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3【答案】 D【解析】 设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【答案】 A 【解析】10．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．(－∞，3]D ．(0，3] 【答案】：C【解析】：由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，∵f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0＜a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．11．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )(导学号 55460092)A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】：B【解析】：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．12．函数f (x )＝1－3xx －1的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．[0，1]∪[1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)【答案】：A【解析】：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠1，解得x ≤0且x ≠1，即x ≤0.13．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )【答案】：D 【解析】：14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】：A【解析】：f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知f 2(x )与f 4(x )为“同根函数”．15．已知函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】：[1，＋∞)【解析】：∵f (x )＝x 2＋1－ax ，∴f ′(x )＝xx 2＋1－a . 又函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，且当a ≥1时，f ′(x )＜0，而0＜a ＜1时，f ′(x )的符号不确定，故当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】：217．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a 、b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】：(1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)∵f (x )单调递减， ∴0＜a ＜1，又f (0)＜0，即a 0＋b ＜0， ∴b ＜－1.即a 的取值范围是(0，1)，b 的取值范围是(－∞，－1)． (3)画出y ＝|f (x )|的草图(图略)，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解． ∴实数m 的取值范围是{0}∪[3，＋∞)． 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2，2]上是单调函数，∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.∴k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．19．已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．20．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的【解析】式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．【解析】(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′ (4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4)．21．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．22．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？。

第四章函数应用[ 自我校正 ]①指数函数②对数函数③幂函数函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根之间存在着密切的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f ( x)的图像与 x 轴有交点?函数 y＝ f ( x)有零点．2.确立函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与 x 轴的交点个数或转变成两个函数图像的交点个数定性判断．2x x设 g( x)＝e＋ |e－ a|， x∈[0， ln 3]，此中 a≤22.(1) 当＝ 1 时，函数() 能否存在零点，若存在，求出全部零点；若不存在，说明理a g x由；(2)求函数 g( x)的最小值．【出色点拨】使用换元法和分类议论思想求解．【规范解答】(1) 当a＝1 时，设t＝ e x ( 明显t∈[1,3])，则 h( t )＝ t 2＋ t －1，－1＋ 5－1－ 52令 h( t )＝ t ＋ t －1＝0，解得 t ＝2或 t ＝2都不知足 t ∈[1,3]，∴函数 g( x)不存在零点．(2) 设 t ＝ e x ，则 h ( t ) ＝ t 2＋ | t － a |( 明显 t ∈[1,3]) ．当 a ≤1时， h ( t ) ＝ t 2＋ t －a 在区间 [1,3] 上是增函数，所以 h ( x ) 的最小值为 h (1) ＝ 2－ a .当 1＜a ≤2 2时，t 2－ t ＋ at ≤a ， h ( t )＝t 2＋ t－aa ＜ t因为函数 h ( t ) 在区间 ( a, 3] 上是增函数，在区间 [1 ，a ] 上也是增函数， 又函数 h ( t ) 在 [1,3]上为连续函数，所以函数 h ( t ) 在 [1,3] 上为增函数，所以 h ( t ) 的最小值为 h (1) ＝ a .综上可得，当 a ≤1时， g ( x ) 的最小值为 2－a ；当 1＜a ≤2 2时， g ( x ) 的最小值为a .[ 再练一题 ]21. 已知函数 f ( x ) ＝ x ，x ≥2，若对于 x 的方程 f ( x ) ＝k 有两个不一样的实x －3， x ＜ 2.根，则实数 k 的取值范围是 ________.【导学号： 04100081】2，x ≥2，【分析】在同一坐标系中作出f ( x ) ＝xx －3， x ＜2及 y ＝k 的图像 ( 以下列图 ) ．可知，当 0＜k ＜ 1 时，y ＝k 与 y ＝ f ( x ) 的图像有两个交点，即方程 f ( x ) ＝ k 有两个不一样的实根．【答案】(0,1)用二分法求函数的零点或方程的近似解1. 看清题目的精度，它决定着二分法的结束．2.依据 f ( a0)· f ( b0)＜0确立初始区间，高次方程要先确立有几个解，再确立初始区间．3.初始区间的选定一般在两个整数间，不一样初始区间结果是同样的，但二分的次数相差较大．4.取区间中点 c，计算中点函数值 f ( c)，确立新的零点区间，直到所取区间( a n，b n)中， a n与 b n按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．3求 2的一个近似值． ( 精度为 0.01)【出色点拨】利用转变与化归思想求解．【规范解答】设 x＝32，∴x3－ 2＝ 0，令f ( x) ＝x3－ 2，则f ( x) 的零点即为32的近似值，下边用二分法求解．由 f (1)＝－1＜0，f (2)＝6＞0，能够把初始区间定为[1,2] ，用二分法逐次计算，列表以下：区间中点值中点函数近似值[1,2] 1.5 1.375 ＞ 0[1,1.5] 1.25－ 0.046 9 ＜0[1.25,1.5] 1.3750.599 6＞ 0[1.25,1.375] 1.312 50.261 0＞ 0[1.25,1.312 5] 1.281 250.103 3＞ 0[1.25,1.281 25] 1.265 6250.027 3＞ 0[1.25,1.265 625] 1.257 812 5－0.01 ＜ 0[1.257 812 5,1.265 625]因为 1.265 625 － 1.257 812 5＝ 0.007 812 5＜ 0.01 ，故区间 [1.257 812 5,1.265 625]上的任一值皆可看做函数 f ( x)的零点的近似值，即31.265 625. 2的一个近似值是[ 再练一题 ]2.用二分法求 5的近似值． ( 精度为 0.1)【解】设 x＝5，则x2＝ 5，即x2－ 5＝ 0，令 f ( x)＝ x2－5.因为 f (2.2)＝－ 0.16＜ 0. f (2.4)＝0.76 ＞ 0，所以 f (2.2)· f (2.4)＜ 0，说明这个函数在区间(2.2,2.4) 内有零点x0，取区间 (2.2,2.4) 的中点x＝ 2.3，则 f (2.3)＝0.29.因为 f (2.2)· f (2.3)＜0，∴ x0∈(2.2,2.3)，再取区间 (2.2,2.3)的中点x2＝ 2.25，f (2.25)＝0.062 5.因为 f (2.2)· f (2.25)＜0，所以 x0∈(2.2,2.25)．因为|2.25 － 2.2| ＝0.05 ＜0.1 ，所以5的近似值可取为 2.25.函数建模1.解函数应用题可概括为四步：(1)读题； (2) 建模； (3) 求解； (4) 复原．此中“建模”是最重点的一步．建模就是将实质问题数学化，正确建模的前提是认识常见的函数模型．2.函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是依据实质问题成立适合的函数模型，并利用所得的函数模型解说相关现象，或对发展趋向进行展望．提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200 辆 / 千米时，造成拥塞，此时车流速度为0；当车流密度不超出20 辆 / 千米时，车流速度为60 千米 / 小时．研究表示：当20≤x≤200 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当 0≤x≤200 时，求函数v( x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/ 小时 ) f ( x) ＝x·v( x) 能够达到最大，并求出最大值．( 精准到 1 辆 / 小时 )【出色点拨】【规范解答】(1) 由题意知：当 0≤x≤20 时，v( x) ＝ 60；当 20≤x≤200 时，设v( x) ＝ax＋b，200a＋b＝ 0，由已知得20a＋b＝ 60，1a＝－，3解得200b＝3.故函数 v( x)的表达式为60，0≤x≤20，v( x)＝13－ x，20≤x≤200.(2)依题意并由 (1) 可得60x，0≤x≤20，f ( x)＝13x－x，20≤x≤200.当 0≤x≤20 时，f ( x) 为增函数，故当 x＝20时，其最大值为60×20＝ 1 200 ；当 20≤x≤200 时，1f ( x)＝3x(200－ x)1210 000＝－ ( x－ 100)＋.33所以，当 x＝100时， f ( x)在区间[20,200]上获得最大值10 000.3又 1 200＜10 000，所以当x ＝100 时， (x) 在区间 [0,200]上获得最大值10 000≈3 333，3f3即当车流密度为100 辆 / 千米时，车流量能够达到最大，最大值约为 3 333 辆/ 小时．[ 再练一题 ]3.为了在夏天降平和冬天供暖时减少能源消耗，房子的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为 6 万元．该建筑物每年的能源耗费资用( 单位：万元 ) 与隔热层厚度x ( 单位： cm)知足关系：() ＝kC C x3x＋ 5(0 ≤x≤10) ，若不建隔热层，每年能源耗费资用为8万元．设 f ( x)为隔热层建筑花费与20年的能源耗费资用之和．(1)求 k 的值及 f ( x)的表达式；(2)隔热层修筑多厚时，总花费 f ( x)达到最小，并求最小值．k【解】(1) 由题设，每年能源耗费资用C( x)＝3x＋5，再由 C(0)＝ 8，得k＝ 40，40所以 C( x)＝3x＋5.而建筑花费为C1( x)＝6x.最后得隔热层建筑花费与20 年的能源耗费资用之和为40f ( x)＝20C( x)＋C1( x)＝20×3x＋5＋6x800＝3x＋5＋ 6x(0 ≤x≤10) ．(2) 在f ( x) ＝800＋ 6x中，3x＋ 5令3＋5＝， 3x ＝t－5，xt800400∴ g( t )＝t＋2t－ 10＝2 t＋t－ 10，∵0≤x≤10，∴t∈[5,35] ，由函数的性知，g( t ) 在t∈(0,20] 上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴ g( t )在 t ＝20有最小．∴当 3x＋ 5＝ 20，即x＝5 ，f ( x) min＝70.∴当隔修筑 5 cm 厚，用达到最小70 万元.函数与方程思想在数学上，解方程是很重要的内容，可是能将精准解求出来的方程不是好多，于五次以上的一般代数方程．一般的超越方程，以及生活和物理研究中的方程，我只好求它的有理近似解．而将解方程的化函数的零点的，利用函数的整体性来局部性是求方程近似解的一般方法．解方程是求函数的零点，指数方程、数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程便可化函数零点的求解．x2的数解的个数．判断方程 3－ x ＝0【出色点】像含有指数函数、数函数的方程属于超越方程，没法用公式求出它的解，所以在确立它的解的个数，只好化判断函数像的交点的个数来解决．【范解答】法一函数 f ( x)＝3x－ x2，用算器作出x， f ( x)的表：x⋯－3－ 2－101234⋯f ( x)2423521251865⋯－27－9－3⋯2由表可知， f (－1)＝－3<0， f (0)＝1>0.又函数的像是的，∴函数在( － 1,0) 内有零点．∵f ( x)＝3x－ x2在(－∞，0)上是增函数，∴方程在 ( － 1,0) 内有一个数根．故方程 3x－x2＝ 0 只有一个数解．法二结构两个函数x2，在同一坐系内画出函数x2 的像，y＝3和 y＝ x y＝3和 y＝x如．由可知两个函数像只有一个交点，故方程3x－x2＝ 0 只有一个数解．[ 再一 ]4.求方程 lg x－x2＋ 4＝0 的根个数．【解】列表以下：x⋯0.010.1110⋯y＝lg x⋯－ 2－ 101⋯x⋯－ 3－ 2－ 10123⋯y＝ x2－4⋯50－ 3－ 4－ 305⋯描点、得，由合性可知，函数y＝lg x 与 y＝ x2－4的像有两个交点，即方程 lg x－ x2＋4＝0的根个数 2.1. 已知函数f ( x) ＝2－ | x| ，x≤2，函数 g( x)＝3－ f (2－x)，函数y＝ f ( x) x－2， x>2，－g( x)的零点个数()A． 2B． 3C． 4D． 5【分析】当 >2，() ＝－1，(x ) ＝(x－2) 2；x g x x f 当 0≤x≤2 ，g( x) ＝ 3－x，f ( x) ＝ 2－x；当 x<0， g( x)＝3－ x2，f ( x)＝2＋x.因为函数y ＝() － () 的零点个数就是方程f(x) － (x) ＝ 0 的根的个数．f x g x gx>2，方程 f ( x)－ g( x)＝0可化 x2－5x＋5＝0，其根 x＝5＋5或 x＝5－ 5( 舍22去) ；当 0≤ x ≤2时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝0 可化为 2－ x ＝ 3－ x ，无解；当 x <0 时，方程 f ( x) － ( ) ＝0 可化为x 2＋ － 1＝ 0，其根为x－ 1－ 5x－1＋ 5＝或 ＝g xx22(舍去)．所以函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数为 2.【答案】A2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况.加油时间加油量 ( 升 )加油时的累计里程 ( 千米 )2015 年 5 月 1日12 35 0002015年 5月 15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100 千米均匀耗油量为 ( )【导学号： 04100082】A ．6升B ．8 升C ．10 升D ．12 升【分析】因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48升，而行驶的行程为 35 600－ 35 000＝ 600( 千米 ) ，故每 100 千米均匀耗油量为 48÷6＝ 8( 升 ) ．【答案】 B3. (2016·天津高考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin2ω x 1 1＋ sin ω x － ( ω ＞ 0) ，x ∈ R. 若 f ( x )22 2在区间 ( π， 2π ) 内没有零点，则ω 的取值范围是 ()11 5A. 0，8B. 0， 4∪ 8，15 1 1 5 C. 0，8D. 0，8 ∪ 4，81－ cos ω x1 1 12π【分析】f ( x ) ＝2＋ 2sin ω x － 2＝ 2(sin ω x － cos ω x ) ＝ 2 sin ω x － 4 .因为函数 f ( x ) 在区间 ( π， 2π ) 内没有零点，Tπ0＜ ω ＜ 1.所以 ＞ 2π － π，即＞ π，所以2ωπ ππ当 x ∈(π ， 2π ) 时， ω x － 4 ∈ ω π － 4 ， 2ω π － 4 ，若函数 f ( x ) 在区间 ( π ，2π )π π k 1 1内有零点，则 ω π－ 4 ＜ k π ＜2ω π － 4 ( k ∈ Z) ，即 2＋ 8＜ ω ＜ k ＋ 4( k ∈ Z) ． 1 1 5 5当 k ＝0 时， 8＜ω ＜ 4；当 k ＝ 1 时， 8＜ ω ＜4.所以函数 f ( x)在区间(π，2π)内没有零点时，115 0＜ω≤8或4≤ ω≤8.【答案】D4. 若函数f ( x) 在定义域 { x| x∈ R 且x≠0} 上是偶函数，且在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，f (2)＝0，则函数 f ( x)的零点有()A．一个B．两个C．起码两个D．没法判断【分析】∵ f ( x)是偶函数，∴ f (－2)＝ f (2)＝ 0，应选 B.【答案】B5. 若函数f ( x) ＝ |2 x－ 2| －b有两个零点，则实数b的取值范围是 __________ ．【分析】由 f ( x)＝|2x－2|－ b＝0得|2x－2|＝ b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与 y＝b 的图像，以下图，则当 0<b<2 时，两函数图像有两个交点，进而函数 f ( x)＝|2x－2|－ b 有两个零点．【答案】(0,2)x2＋2x－3， x≤0，6.函数 f ( x)＝的零点个数为()－2＋ln x，x>0A． 0B． 1C． 2D． 3【分析】2y 轴左边，当x>0时，由令 f ( x)＝0，得 y ＝x ，y ＝3－2x，其图象如图(1)12f ( x)＝0，得 y3＝ln x，y4＝2，其图象如图(1) y 轴右边，∴ f ( x)有2个零点．(1)【答案】C。

专题09 一次函数图象和性质及应用学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015广元】如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， BC =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．82【答案】C ．【解析】【考点定位】1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质．2．【2015泸州】若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ） A．B． C． D．【答案】B ．【解析】【考点定位】1．根的判别式；2．一次函数的图象．3．【2015峨边中考模拟】如图：2y x =和4y ax =+的图象相交于点A （m ，3），则不等式24x ax <+的解集为：（ ）A ．x ＜23B ．x ＞3C ．x ＞23 D ．x ＜3【答案】A ．【解析】试题分析：∵函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点A （m ，3），∴3=2m ，m =32，∴点A 的坐标是（32，3），∴不等式24x ax <+的解集为x ＜32．故选A ． 【考点定位】一次函数与一元一次不等式．4．【2015德阳】如图，在一次函数6y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴的上方满足上述条件的点P 的个数共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C．【解析】【考点定位】1．一次函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．二、填空题：（共4个小题）5．【2015内江】在平面直角坐标系xOy 中，过点P （0，2）作直线l ：12y x b =+（b 为常数且b ＜2）的垂线，垂足为点Q ，则tan ∠OPQ = ． 【答案】12． 【解析】 试题分析：如图，设直线l 与坐标轴的交点分别为A 、B ，∵∠AOB =∠PQB =90°，∠ABO =∠PBQ ，∴∠OAB =∠O PQ ，由直线的斜率可知：tan ∠OAB =12，∴tan ∠OPQ =12；故答案为：12．【考点定位】1．一次函数图象上点的坐标特征；2．解直角三角形．6．【2015资阳雁江区中考适应】如图，直线24y x =+与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点C ′恰好落在直线AB 上，则点C ′的坐标为 ．【答案】（-1，2）．【解析】【考点定位】1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移；4．综合题．7．【2015宜宾】如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△A OB 沿直线AB 翻折，得△ACB ．若C （32，32），则该一次函数的解析式为 ．【答案】y =【解析】【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．待定系数法求一次函数解析式；3．综合题．8．【2015达州】在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 1C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线1y x =+上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．【解析】【考点定位】1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015凉山州】在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y ，确定点M 坐标为（x ，y ）．（1）用树状图或列表法列举点M 所有可能的坐标；（2）求点M （x ，y ）在函数1y x =-+的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径是2，求过点M （x ，y ）能作⊙O 的切线的概率． 【答案】（1）答案见试题解析；（2）29；（3）59． 【解析】 试题分析：（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O 的切线，则可计算出过点M （x ，y ）能作⊙O 的切线的概率．试题解析：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；【考点定位】1．列表法与树状图法；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．切线的性质；4．综合题．10．【2015广安】为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y 元，试求出y与x的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【答案】（1）大货车用8辆，小货车用7辆；（2）y=100x+9400．（0≤x≤10，且x为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．【解析】【考点定位】1．一次函数的应用；2．方案型；3．最值问题．。

第二章 第一讲A 组基础巩固一、选择题1．下列图象中表示函数图象的是 ( B )[解析] 如果满足函数的定义，那么要求定义域中的任意一个x 要有唯一确定的y 与其对应，不能出现一对多的情况，故选B.2．(2017·河北省衡水市故城高中高三上学期第一次月考数学试题)已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为 ( B )A.3[解析] 根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论． 解：由图象可知g (2)＝1， 由表格可知f (1)＝2， ∴f [g (2)]＝f (1)＝2， 故选B.3．(2017·福建省建阳一中上学期第二次月考数学试题)已知函数g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (12)等于 ( C ) A ．1B ．3C ．15D ．30[解析] 当g (x )＝12时，x ＝14，所以f (12)＝f [g (14)]＝1－(14)2(14)2＝15.4．(2017·河北省衡水市高三下学期三月点睛金榜大联考(六)数学试题)已知函数f (x )满足条件：∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0且f (x ＋t )－f (x )<0(其中t 为正数)，则函数f (x )的解析式可以是 ( D )A ．y ＝1xB ．y ＝x 3C ．y ＝sin xD ．y ＝－3x[解析] 由已知f (x ＋t )－f (x )<0(其中t 为正数)，得f (x ＋t )<f (x )，故f (x )为减函数；由f (x )＋f (－x )＝0，得f (x )＝－f (x )，故f (x )也是奇函数，对照各选项，只有D 符合．5．(2016·广东模拟) 设函数f (x )满足f (1－x1＋x )＝1＋x ，则f (x )的表达式为 ( A )A.21＋xB ．21＋x 2C ．1－x 21＋x 2D ．1－x 1＋x[解析] 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f (1－x 1＋x )＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ＞0(12)x，x ≤0，则f [f (－4)]＝ ( C )A ．－4B ．－14C ．4D ．6[解析] 因为－4＜0，所以f (－4)＝(12)－4＝16，所以f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4，故选C.7．设f ：x →x 2是集合M 到集合N 的映射．若N ＝{1,2}，则M 不可能是 ( C ) A ．{－1} B ．{－2，2} C ．{1，2，2}D ．{－2，－1,1，2}[解析] 由映射的定义，集合M 中的每一个元素在集合N 中必须有唯一的元素与它对应，对选项C,22＝4∉N .故选C.8．(2016·四川绵阳中学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 方法一：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0，得2a ＋2＝0，可见不存在实数a 满足条件，当a <0时，由f (a )＋f (1)＝0，得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.方法二：由指数函数的性质可知：2x >0，又因为f (1)＝2，所以a <0，所以f (a )＝a ＋1，即a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，故选A.方法三：验证法，把a ＝－3代入f (a )＝a ＋1＝－2，又因为f (1)＝2，所以f (a )＋f (1)＝0，满足条件，从而选A.二、填空题9．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是_[－3,1]_.[解析] 要使函数y ＝3－2x －x 2有意义，则3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，则函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．10．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为_1_；满足_2_.11．(2017·浙江省鉴湖中学高三模拟数学试题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝_2_.三、解答题12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1).(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．[答案] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0(2)见解析[解析] (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：13．(能力挑战题)若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1.(1)求f (2)f (12)的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 018)的值．[答案] (1)－1 (2)0[解析] (1)因为f (x )＝x 2－1x 2＋1＝1－2x 2＋1，所以f (2)f (12)＝1－222＋11－2(12)2＋1＝－1.(2)由f (x )＝1－2x 2＋1得，f (1x )＝1－2(1x )2＋1＝1－2x 2x 2＋1＝2x 2＋1－1，所以，两式两边分别相加，得f (x )＋f (1x )＝0，所以，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 018)＝f (1)＋0×2017＝0.B 组能力提升1．(2016·中山模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．(2017·江西省重点中学协作体高考二模数学试题)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 ( D )(注：结余＝收入－支出)A ．收入最高值与收入最低值的比是3：1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 [解析] 根据折现统计图即可判断各选项．解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为80－20＝60，故B 正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确， 由图可知，前6个月的平均收入为16(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45万元，故D 错误，故选D.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x <1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( D )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析] f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x >1，故选D.4．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为_[－1,2]_，函数y ＝f (x ＋2)的定义域为_[－3,0]_.[解析] ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 又－1≤x ＋2≤2，∴－3≤x ≤0， ∴f (x ＋2)的定义域为[－3,0]．5．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f (52)的值.[答案]52[解析] 当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)；当P 点在BC 上运动时， y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)； 当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f (52)＝52.。

第二章 第三讲A 组基础巩固一、选择题1．(2017·北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是 ( D )A ．y ＝cos xB ．y ＝－x 2C ．y ＝(12)|x |D ．y ＝|sin x |[解析] cos(－x )＝cos x ，所以y ＝cos x 为偶函数，在[0，π2]上为减函数，不满足题意；y＝－x 2为开口向下的二次函数，关于y 轴对称为偶函数，在(0，＋∞)上单调减，不满足题意；y ＝(12)|x |，(12)|－x |＝(12)|x |为偶函数，当x >0时，y ＝(12)x 在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，f (x )＝|sin x |，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |为偶函数，当x ∈[0，π2]时，函数为增函数，故选D.2．(2016·金华模拟)若函数f (x )＝x 2(2x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝ ( A )A.12B ．23C ．34D ．1[解析] 由已知f (x )为偶函数，得f (－1)＝f (1)， 即－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )，所以a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.3．(2017·西藏日喀则一中高三上学期第一次月考数学试题)函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x －1，则f (log 213)的值为 ( A )A ．－2B ．－23C ．7D ．32[解析] 由奇函数的性质及对数运算法则可求答案． 解：由题意得，f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23)＝－(2log 23－1)＝－(3－1)＝－2.故选A.[点拨] 该题考查函数的奇偶性、对数的运算法则，属基础题，正确运用对数的运算法则是解题关键．4．已知f (x )在R 上满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2017)＝ ( B )A ．－2B ．2C ．－98D ．98[解析] 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (2017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝2.故选B.5．(教材改编题)已知函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( C )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数[解析] 由题意可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确，当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )，当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数(但不存在最小正周期)，选项C 不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．故选C.6．(2016·吉林长春三校联考调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1.若f (a )＝23，则f (－a )＝ ( C )A.23B ．－23C ．43D ．－43[解析] 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，且h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝1－(f (a )－1)＝43.7．(2017·河北省衡水市故城高中高三上学期第一次月考数学试题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 ( B )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 由题意可先判断出f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，从而可比较2－a 2与a 的大小，解不等式可求a 的范围解：∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增 又∵f (x )是定义在R 上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增 ∴f (x )在R 上单调递增 ∵f (2－a 2)＞f (a ) ∴2－a 2＞a解不等式可得，－2＜a ＜1 故选B.8．(2015·贵州遵义航天高级中学二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有 ( B )A ．f (14)<f (－14)<f (32)B ．f (－14)<f (14)<f (32)C ．f (14)<f (32)<f (－14)D ．f (－14)<f (32)<f (14)[解析] 因为f (x －2)＝－f (x )，所以T ＝4，且关于x ＝－1对称，由奇函数和单调性得到f (－14)<f (14)<f (32)．故选B.二、填空题9．(2017·上海交通大学附属中学高三上学期摸底数学试题)函数f (x )＝2x ＋a 2x －a 为奇函数，则实数a 的值为_1或－1_.[解析] 函数f (x )＝2x ＋a 2x －a 为奇函数，可得2－x ＋a 2－x －a ＝－2x ＋a2x －a，化简即可得出结论．解：∵函数f (x )＝2x ＋a2x －a 为奇函数，∴2－x ＋a 2－x －a ＝－2x ＋a 2x －a， ∴1＋a ·2x 1－a ·2x ＝－2x ＋a 2x －a ， ∴a ＝1或－1.故答案为1或－1.[点拨] 本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．(教材改编题)已知定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数．若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是 －1≤m <12.[解析] 由偶函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |).因为f (x )在区间[0,2]上是减函数，所以0≤|m |<|1－m |≤2，解得－1≤m <12.11．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|25－x |，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )的值是 －25.[解析] 由题意可得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. [点拨] 注意周期性定义f (x ＋T )＝f (x )在解题中的应用． 三、解答题12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围[答案] (1)m ＝2 (2)(1,3] [解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)的值．[答案] (1)f (x )是以4为周期的函数 (2)x 2－6x ＋8 (3)1 [解析] (1)因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，f (x )是以4为周期的函数． (2)x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，f (－x )＝－2x －x 2.因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2.当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， 所以f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2. 因为f (x )以4为周期，所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.(3)由(1)，(2)可知f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝504×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝1.B 组能力提升1．(原创题)已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值可以是 ( B )A.23B ．2C ．4D ．6[解析] 方法一：因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数f (x )关于x ＝1对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋12＝1，既a ＝2.方法二：由y ＝f (x )定义域知y ＝f (x ＋1)，定义域为(2－2a ，a )，且为偶函数，∴2－2a＋a ＝0，∴a ＝2.2．(2017·湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋5)＝－f (x )，当x ∈(0,5)时，f (x )＝x 2－x ，则f (2016)＝ ( A )A ．－12B ．－16C ．－20D ．0[解析] 因为f (x ＋5)＝－f (x )，所以f (x ＋10)＝－f (x ＋5)＝f (x )，f (x )的周期为10，因此f (2016)＝f (－4)＝－f (4)＝－(16－4)＝－12，故选A.3．(2016·重庆市南开中学高三月考试题)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( B )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[分析] 由f (x )是偶函数，则f (x )＝f (|x |)，单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小．[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∵log 47＝log 27＞1，|log 123|＝|log 23－1|＝log 23，又∵2＝log 24＞log 23＞log 27＞1， 0．2－0.6＝(15)－0.6＝50.6＞512＞412＝2， ∴0.2－0.6＞|log 2 3|＞|log 4 7|＞0.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数； ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)；即c ＜b ＜a .故选：B.[点拨] 本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小．4．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝_2_.[解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1.设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ， ∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1， ∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．5．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1] 上既是奇函数，又是减函数. (1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0. (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围. [答案] (1)见解析 (2)[0,1)[解析] (1)若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2<0，则－1≤x 1<－x 2≤1， 因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)>0. 所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立． 若x 1＋x 2>0，则1≥x 1>－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)<0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈、[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇔f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2>a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2<0，解得0≤a <1.故所求实数a 的取值范围是[0,1)．。