山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题与答案
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山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.
已知集合
220Mxxx
，{210}NxxZ
，则MN
（）A.13
,
22
B.1
,1
2
C.{0,1,2}D.{0,1}
2.已知复数z满足
12i32iz
，则复数z的实部为（）A.8
5B.8
5C.1
5D.1
5
3.数列
na
满足2
1nnaa
，*nN
，则“
12a
”是“
na
为单调递增数列”的（）
A
.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体
中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.2
9B.8
27C.4
9D.1
2
5.如图在正方体
1111ABCDABCD
中，点O为线段BD的中点.设点P在线段
1CC上，直线OP与平面
1ABD
所成的角为
，则sin的取值范围是A.3
[,1]
3B.6
[,1]
3C.622
[,]
33D.22
[,1]
3
6.如图，
1F
､
2F
是双曲线C：22
2210,0xy
ab
ab的左､右焦点，过
2F
的直线与双曲线C交于A､B两
点.若A是
2BF中点且
12BFBF
则该双曲线的渐近线方程为（）
2A.23yxB.22yxC.3yxD.2yx
7.已知函数
3222,1
1311
22,1
326axx
fx
xaxaxx
，若对任意
12xx
都有
121222fxfxxx
，则实数a的取值范围是（）
A.
,2
B.
1,C.1
2,
2
D.3
,
4
8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最
大半径为（）A.3
3B.2
6C.6
12D.6
6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.一组数据
1220231232023(),,,aaaaaaa
，记其中位数为k，均值为m，标准差为
1s
，由其得
到新数据
123202321,21,21,,21aaaa
的标准差为
2s
，下列结论正确的是（）
A.
1012ka
B.
10111012ama
C.mkD.
212ss
10.已知函数
12π
sin0,,,
2fxxxx
为
fx
的两个极值点，
且
12xx的最小值为π
2，直线π
3x为
fx
图象的一条对称轴，将
fx的图象向右平移π
12个单位长度后得到函数
gx
的图象，
下列结论正确的是（）
A
.4ω=B.π
6
C.
fx在间π
,0
6
上单调递增D.
gx图象关于点π
,0
6
对称11.已知函数
2sinπ,02
1
2,2
2xx
fx
fxx
，下列说正确的是（）
A.当
*2,22xnnnN
时，1
sinπ2
2nfxxn
B.函数
fx在
*1
2,2
2nnn
N
上单调递增
C.方程
lg2fxx
有4个相异实根
D.若关于x的不等式
2fxkx在
2,4
恒成立，则1k
12.圆柱
1OO
高为1，下底面圆O的直径AB长为2，
1BB
是圆柱
1OO
的一条母线，点,PQ
分别在上、下
底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．
A.若PAPB3，则P点的轨迹为圆
B.若直线OP与直线
1OB
成45，则P的轨迹是抛物线的一部分
C.存在唯一的一组点,PQ
，使得APPQ
D.
1APPQQB的取值范围是[13,235]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点
1,1A
，
3,By，向量
1,2a
，若AB
与a
成锐角，则y的取值范围为________．
14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为
上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R_______．
15.若关于x
的不等式
221exxax
在
0,
恒成立，则实数a
的取值范围是______．
16.已知椭圆22
22:10xy
Cab
ab，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是
点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为
_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
sinsinsinsinCBcbaAB
．
（1）求角C的大小
（2）若ACB
的平分线交AB于点D，且2CD，2ADDB，求ABC的面积．
18.如图，三棱锥–SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC平面ABC，点P在侧棱SA上．
（1）当P为侧棱SA的中点时，求证：SA平面PBC；
（2）若二面角PBCA––的大小为60°，求PA
SA的值．
19.已知在数列
na
中，
*
1121
1,
nnn
aaan
n
N
（1）求数列
na
的通项公式；
（2）若数列
nb的通项公式n
na
b
n在
kb
和
1kb
之间插入k个数，使这2k个数组成等差数列，将插入的
k个数之和记为
kc
，其中1k，2，…，n，求数列
nc
的前n项和．
20.某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都
在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
,AA
,AB
,BA
,BB
王同学9天6天12天3天
张老师6天6天6天12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望
EX
；
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
0PM
，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证
明．
РPMNMN
．
21.已知函数
lnfxx
，
xgxe
．
