高考常考的函数奇偶性专题

专题七

高考常考的函数奇偶性的题型总结

学习本专题必备知识点总结：

1. 奇偶函数的定义：（1）奇函数：若函数)(xf对于定义域内任意的自变量都有)(xf=)(xf，则称该函数为奇函数；（2）偶函数：若函数)(xf对于定义域内任意的自变量都有)(xf=)(xf，则称该函数为偶函数. 奇偶函数的定义要注意两点：（1）)(xf与)(xf的关系；记忆时可联系初中的知识点：负数的奇次方为负数，负数的偶次方为正数.

所以，有负号的为奇函数，没有负号的为偶函数.（2）)(xf与)(xf关系成立的前提是对于定义域内的自变量都成立，也就是说定义域一定要关于原点对称.

]1,1(,2xxy在如：时，既不是奇函数也不是偶函数；在]1,1[x时，则为偶函数了.

2. 奇偶函数的图像：奇函数的图像关于原点对称，如xyxysin,；偶函数的图像关于y轴对称，如xyxycos,2.我们可以通过判断函数的奇偶性得到函数图像是关于原点对称，还是关于y轴对称.

3. 奇偶函数的性质：（1）奇函数+奇函数=奇函数；（2）偶函数+偶函数=偶函数；（3）奇函数偶函数=奇函数；（4）奇函数奇函数=偶函数；（5）偶函数偶函数=偶函数；（6）奇函数+偶函数=非奇非偶函数. 上述6个运算性质可以这样记忆：把奇函数看作负数，偶函数看作正数进行运算，若运算的结果一定为正数，则函数为偶函数；若运算的结果一定为负数，则函数为奇函数；若结果不定，则函数为非奇非偶函数。（7）若函数)(xf为奇函数或偶函数，则)(xf和的奇偶性不变的常数为不等于)0()(axfa. （8）若奇函数)(xf在原点有定义，则)0(f=0.

一、关于函数奇偶性定义和图像的题型

函数奇偶性定义的题型一般以两种形式考察：（1）直接用定义证明函数的奇偶性；（2）利用奇偶函数的性质先判断函数的奇偶性，再利用奇偶函数的知识点来解题。

例1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：

（1）.2)3();22coslog()2(;sin23xyxxyxxxyx

解析：题（1）是三个奇函数相加，由定义或性质都易得题（1）中的函数为奇函数；题（2）是与对数函数有关的函数奇偶性的题目，用定义也不难得出为偶函数；题（3）为一个非奇非偶函数加上一个奇函数的题目，用定义来判断知其为非奇非偶函数 . 证明: (1) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.

..).()sin()sin()()(33于原点对称所以，原函数的图像关奇函数根据定义知，原函数为又因为xfxxxxxxxf

(2) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.

..).()22coslg(]2)2cos()lg[()(22轴对称于所以，原函数的图像关偶函数根据定义知，原函数为又因为yxfxxxxxf

(3) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称.

..),()(),()(),(2)(轴对称关于不关于原点对称，也不所以，原函数的图像既非奇非偶函数因此原函数为且所以但是因为yxfxfxfxfxxfx

总结：（1）用奇偶性的定义来证明时，要把握住定义的两个要点：①定义域首先要关于原点对称；②)(xf与)(xf的关系. （2）关于某个函数图像特征的题目，可以先判断该函数的奇偶性，如果是奇函数，则它的图像关于原点对称，如果为偶函数，则它的图像关于y轴对称 .（3）对于小题，还可以用奇偶函数的运算性质来判断.

练习1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：

（1）.cos)3(;3sintan5)2(|;|32xxyxxyxxy

参考答案：（1）偶函数，图像关于y轴对称；（2）奇函数，图像关于原点对称；

（3）非奇非偶函数，图像既不关于原点对称也不关于y轴对称.

例2. 解下列各题：

（1）设奇函数)(xf的定义域为[－5,5].若当x[0,5]时,

)(xf的图像如右图,则不等式)(xf<0的解是.

（2）设函数))((Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff

则)5(f（ ）c

A．0 B．1 C．25 D．5

（3）已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f

的x 取值范围是（ ）

A.（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D. ［12，23）

解析：题（1）给出了奇函数)(xf在x[0,5]时的图像，由奇函数的图像关于原点对称，我们容易画出的解；时的图像，由图像易得0)(]0,5[xfx题（2）也是已知函数))((Rxxf为奇函数，且给出一些条件，让我们求)5(f？. 题（3）是已知()fx为偶函数且在区间0,)单调增加，要求我们解抽象函数的不等式的题目.

（1）由上面的解析知x[－5,5]的图像，根据图像知)(xf<0的解是(－2,0)∪(2,5].

（2）),2(2)1()2()2()1()2()3()23()5(fffffffff

..25)5(.1)1(2)2()2()1()1().1()1(,21)1()()2()1()21(1),2()()2(正确因此选项所以且所以为奇函数，且又因为函数得令由条件Cfffffffffxffffxfxfxf

（3）由于()fx是偶函数,故()fx＝(||)fx

∴得1(|21|)()3fxf，再根据()fx的单调性

得|2x－1|＜13 解得13＜x＜23. 所以答案选A.

总结：已知奇偶函数在一定范围内的函数图像，可以利用奇偶函数图像的特点画出对应的另一部分图像（如例2（1）），然后利用图像易解. 当已经给出函数是奇函数或偶函数时，除了利用图像的特点外，别忘记定义中)(xf与)(xf的关系！已知函数为奇（偶）函数，并给出函数的单调性，解抽象函数的不等式时，注意由所给条件，可以转化成为基本不等式来解.

本专题典型的函数奇偶性的高考真题汇总及解析

较容易的基础题：

1. 函数1()fxxx的图像关于（ ）

A．y轴对称 B．直线xy对称 C．坐标原点对称 D．直线xy对称

2. 函数22log2xyx的图像（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于直线yx对称

C. 关于y轴对称 D. 关于直线yx对称

3. ()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（ ）

Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件

Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件

4．已知函数)(,21)(,11lg)(afafxxxf则若（ ） A．21 B．－21 C．2 D．－2

5．2(sincos)1yxx是（ ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

6. 已知函数1,21xfxa，若fx为奇函数，则a.

7．设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当(0,)x时，()lgfxx，则满足()0fx的x取值范围是________________.

中等难度的提高题：

1. 函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则( )

A. ()fx是偶函数 B. ()fx是奇函数 C. ()(2)fxfx D.(3)fx是奇函数

2. 已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．

（1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf；

（2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由．

较容易的基础题的参考答案：

1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. 21 7. (－1,0)∪(1,+∞).

第1题解析：

.)().()(.,0|)(Cxfxfxfxxxf为奇函数，选且它关于原点对称的定义域为函数

第2题解析：

..)().(22log22log)(.,22|)(122Axfxfxxxxxfxxxf选于原点对称为奇函数，因此图像关且它关于原点对称的定义域为函数

第3题解析：

.)()(2)()()(,1)(,1)(.)(),()(.)()()()(),(都是非奇非偶函数和为偶函数，但则如：令不一定为偶函数为偶函数时，但当一定为偶函数均为偶函数时，知：当由奇偶函数的运算性质xgxfxgxfxhxxgxxfxgxfxhxhxgxfxgxf

第4题解析：

方法一：由奇函数的定义易知函数.21)()()(afafxf为奇函数，所以

..21)(),(11lg)(Bafafaaaf因此答案选方法二： 第5题解析：

.,2sincossin21coscossin2sin22正确选项Dxxxxxxxy

第6题解析：

方法一：因为fx为上的Rx奇函数，所以00f.因此，.21a

.21).()()(axfxfxf由此可以得到为奇函数，所以方法二：因为

第7题解析：

.010)lg()0,(.10lg),0().lg()()0,(,lg)(),0()(xxxxxxxxfxxxfxRxf时，由当时，由因此，当时，当时，上的奇函数，且为定义在

中等难度题的参考答案：

1. D 2. （1）10x；（2）当0a时，)(xf为偶函数；

当0a时，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．

第1题解析：

(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，

函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，

函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.

(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数.故选D.

第2题解析：

（1）由1212)1(222xxxxx， 0122xx，

0)1(xx.  原不等式的解为10x．

（2）当0a时，2)(xxf，

对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf， )(xf为偶函数．

当0a时，2()(00)afxxaxx，，

取1x，得 (1)(1)20(1)(1)20ffffa，，