函数奇偶性常见经典试题

函数奇偶性试题

1．函数f〔x〕＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕是偶函数，那么g〔x〕＝ax3＋bx2＋cx〔 〕

A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数

解析：f〔x〕＝ax2＋bx＋c为偶函数，xx)(为奇函数，

∴g〔x〕＝ax3＋bx2＋cx＝f〔x〕·)(x满足奇函数的条件．

2．函数f〔x〕＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，那么〔 〕

A．31a，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0

D．a＝3，b＝0

解析：由f〔x〕＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．

又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴31a．

3．f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f〔x〕＝x2－2x，那么f〔x〕在R上的表达式是〔 〕 A．y＝x〔x－2〕 B．y ＝x〔｜x｜－1〕 C．y ＝｜x｜〔x－2〕 D．y＝x〔｜x｜－2〕

解析：由x≥0时，f〔x〕＝x2－2x，f〔x〕为奇函数，

∴当x＜0时，f〔x〕＝－f〔－x〕＝－〔x2＋2x〕＝－x2－2x＝x〔－x－2〕．

∴,,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f〔x〕＝x〔|x|－2〕

4．f〔x〕＝x5＋ax3＋bx－8，且f〔－2〕＝10，那么f〔2〕等于〔 〕

A．－26 B．－18 C．－10 D．10

解析：f〔x〕＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，

f〔－2〕＋8＝18，∴f〔2〕＋8＝－18，∴f〔2〕＝－26．

5．函数1111)(22xxxxxf是〔 〕

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数

D． 既是奇函数又是偶函数

解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f〔－x〕＋f〔x〕＝0．

6．假设)(x，g〔x〕都是奇函数，2)()(xbgaxf在〔0，＋∞〕上有最大值5， 那么f〔x〕在〔－∞，0〕上有〔 〕

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1

D．最大值－3

解析：)(x、g〔x〕为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．

又f〔x〕在〔0，＋∞〕上有最大值5， ∴f〔x〕－2有最大值3．

∴f〔x〕－2在〔－∞，0〕上有最小值－3， ∴f〔x〕在〔－∞，0〕上有最小值－1．

7. 设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,那么f(7.5)等于( )

B.－0.5 D.－1.5

解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=

f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.

8. 定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )

A.(22，3) B.(3，10)

C.(22，4) D.(－2，3)

解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.

∴f(a－3)＜f(a2－9).

∴9319113122aaaa ∴a∈(22,3).

9．函数2122)(xxxf的奇偶性为________〔填奇函数或偶函数〕 ．

10．假设y＝〔m－1〕x2＋2mx＋3是偶函数，那么m＝_________．

解析：因为函数y＝〔m－1〕x2＋2mx＋3为偶函数，

∴f〔－x〕＝f〔x〕，即〔m－1〕〔－x〕2＋2m〔－x〕＋3＝〔m—1〕x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．

11．f〔x〕是偶函数，g〔x〕是奇函数，假设11)()(xxgxf，那么f〔x〕的解析式为_______．

解析：由f〔x〕是偶函数，g〔x〕是奇函数，

可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，∴11)1111(21)(2xxxxf．

12．函数f〔x〕为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，那么方程f〔x〕＝0的所有实根之和为________．

13. 假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么xf(x)<0的解集为_________.

解析：由题意可知：xf(x)＜00)(00)(0xfxxfx或

3030 )3()(0 )3()(0xxxxfxfxfxfx或或

∴x∈(－3,0)∪(0,3)

14. 假设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，

∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,

∴b=－a(x1+x2)＜0.

15．设定义在［－2，2］上的偶函数f〔x〕在区间［0，2］上单调递减，假设f〔1－m〕＜f〔m〕，求实数m的取值范围．

16．函数f〔x〕满足f〔x＋y〕＋f〔x－y〕＝2f〔x〕·f〔y〕〔xR，yR〕，且f〔0〕≠0，

试证f〔x〕是偶函数．

16．证明：令x＝y＝0，有f〔0〕＋f〔0〕＝2f〔0〕·f〔0〕，又f〔0〕≠0，∴可证f〔0〕＝1．令x＝0，

∴f〔y〕＋f〔－y〕＝2f〔0〕·f〔y〕f〔－y〕＝f〔y〕，故f〔x〕为偶函数．

17.函数f〔x〕是奇函数，且当x＞0时，f〔x〕＝x3＋2x2—1，求f〔x〕在R上的表达式．

解析：此题主要是培养学生理解概念的能力．

f〔x〕＝x3＋2x2－1．因f〔x〕为奇函数，∴f〔0〕＝0．

当x＜0时，－x＞0，f〔－x〕＝〔－x〕3＋2〔－x〕2－1＝－x3＋2x2－1，

∴f〔x〕＝x3－2x2＋1．

因此，.)0()0()0(12012)(,,2323xxxxxxxxf

18.f〔x〕是定义在〔－∞，－5］［5，＋∞〕上的奇函数，且f〔x〕在［5，＋∞〕上单调递减，试判断f〔x〕在〔－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

18．解析：任取x1＜x2≤－5，那么－x1＞－x2≥－5．

因f〔x〕在［5，＋∞］上单调递减，所以f〔－x1〕＜f〔－x2〕f〔x1〕＜－f〔x2〕f〔x1〕＞f〔x2〕，即单调减函数．

点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．

19.设函数y＝f〔x〕〔xR且x≠0〕对任意非零实数x1、x2满足f〔x1·x2〕＝f〔x1〕＋f〔x2〕，

求证f〔x〕是偶函数．

解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，

f〔1〕＝2f〔1〕，∴f〔1〕＝0．

又令x1＝x2＝－1，

∴f［－1×〔－1〕］＝2f〔1〕＝0，

∴〔－1〕＝0．又令x1＝－1，x2＝x，

∴f〔－x〕＝f〔－1〕＋f〔x〕＝0＋f〔x〕＝f〔x〕，即f〔x〕为偶函数．

点评：抽象函数要注意变量的赋值，分外要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体标题问题要求构造出适合结论特征的式子即可．

函数的奇偶性试题参考答案

1A 2A 3D 4A 5B 6C 7B 8A

9奇函数

10 0

1111)(2xxf

12 0

13 (－3，0〕∪(0，3〕

14 (－∞,0〕

15 21m