高三数学函数的奇偶性试题
- 格式：docx
- 大小：623.31 KB
- 文档页数：15
高三数学函数的奇偶性试题
1. 设是定义在上的奇函数，当时，，则的图像与圆的公共点的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】根据奇函数的定义，可知x＜0时，f（x）＝x－1直接检验可得x＞0是与圆有一个公共点，x＜0时没有公共点，但注意到奇函数中f（0）＝0恰好在圆周上，所以两者有两个公共点.选B
【考点】函数的奇偶性，图像的公共点
2. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）＝3x，则f（log94）的值为（ ）
A．－2 B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据对数性质，f（log94）＝f（log32）
因为f（x）是奇函数，于是f（log32）＝－f（－log32）＝－f（log3），且log3<0
故f（log94）＝－f（log3）＝－
【考点】函数的奇偶性，分段函数
3. 已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足 ， ，若存在实数a，使得 成立，则实数b的取值范围是
A．(-1,1) B． C． D．
【答案】C，
【解析】由f (x)的解析式知，当0≤＜1时，f (x)=是增函数，其值域为[0,1]，当≥1时，f
(x)=是减函数，值域为（0,1]，故当≥0时，值域为[0,1]，因为f (x)是奇函数，根据奇函数的对称性知，当≤0时，值域为[-1,0]，所以f (x)的最小值为-1，
由存在实数a，使得 成立知，＞=-1，①
当≥0时，，解得，
因为g(x)是偶函数，由偶函数的对称性知，当b≤0时，不等式的解为，
所以实数b的取值范围是，故选C．
【考点】函数奇偶性，指数函数与幂函数图像性质，含参数不等式成立问题
4. 已知，.现有下列命题：
①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】对①，，成立； 对②，左边的可以取除之外的任意值，而右边的，故不成立；
注：.
当时成立.
对③，，所以在内单调递增，且在处的切线为.作出图易知③成立
法二、根据图象的对称性，可只考虑的情况. 时，，则，所以，所以③成立.
标准答案选A，笔者认为有错，应该选C.题干中的应理解为函数的定义域，而不是后面三个命题中的范围，因为在它的前面是逗号.如果前是句号，则选A.
【考点】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.
5. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Ａ
【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．
【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．
6. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
【答案】{x|－7
【解析】设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，
f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋4x(x<0)， ∴f(x)＝
由f(x)＝5得
或
∴x＝5或x＝－5.
观察图像可知由f(x)<5，得－5
∴由f(x＋2)<5，得－5
∴－7
∴不等式f(x＋2)<5的解集是
{x|－7
7. （5分）（2011•湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，则g（x）=（ ）
A．ex﹣e﹣x B．（ex+e﹣x） C．（e﹣x﹣ex） D．（ex﹣e﹣x）
【答案】D
【解析】根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）=﹣g（x）
由f（x）+g（x）=ex，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x，
∴g（x）=（ex﹣e﹣x）
故选D
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，是解答本题的关键．
8. 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以在R上是减函数，又为奇函数，所以，所以，所以原不等式可化为，所以，故选B.
【考点】导数的综合应用问题
9. 已知且，若，则 . 【答案】 【解析】由得，令，则，又由得，而函数是奇函数，∴，即，．
【考点】奇函数的性质．
10. 已知定义在上的函数满足为奇函数，函数关于直线对称，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，则．又因为关于直线对称，所以关于对称，所以，则，于是8为函数的周期，所以，故选B．
【考点】1、抽象函数；2、函数的奇偶性；3、函数的对称性；4、函数的周期性．
11. 已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，log2x，则在内满足方程的实数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x-8）=log2（x-8）．
由log2（x-8）+1=0，得x的值．当9＜x＜10时，求得x无解，从而得出结论．
【考点】函数性质的综合应用.
12. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
【答案】2
【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.
13. 函数是上的奇函数，是上的周期为4的周期函数，已知,且,则的值为___________．
【答案】2
【解析】本题就是要待计算式中的每个式子计算化简，由已知，，因此，，，，，从而已知式为，∴.
【考点】奇函数与周期函数的定义.
14. 函数，若，则（ ）
A．2018 B．－2009 C．2013 D．－2013
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，．
【考点】函数的奇偶性．
15. 若函数，则函数（ ）
A．是偶函数，在是增函数 B．是偶函数，在是减函数
C．是奇函数，在是增函数 D．是奇函数，在是减函数
【答案】A
【解析】由定义易得，函数为奇函数.
求导得：.（这里之所以在分子提出来，目的是便于将分子求导）
再令，则
.
当时，，所以在时单调递减，，从而.所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.
巧解：由定义易得，函数为奇函数.结合选项来看，函数在上必单调，故取特殊值来判断其单调性. ，，所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.选A
【考点】函数的性质.
16. 已知函数为奇函数，且当时，，则( )
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
【答案】D
【解析】.
【考点】奇函数的性质及应用
17. 已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】Ｃ
【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为， ，，故，即：，故选Ｃ．
【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．
18. 设是周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为是周期为2的奇函数，所以. 【考点】函数的基本性质. 19. 已知一个奇函数的定义域为则=___________.
【答案】
【解析】奇函数的定义域要关于原点对称，于是对应于，所以.
【考点】奇函数的概念.
20.
定义在上的偶函数满足且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】，故函数是以为一个周期的周期函数，，故选B.
【考点】1.函数的周期性；2.函数的奇偶性
21. 已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】依题意，g(x)+h(x)= .....（1），∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)； ∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)=" ......(2)
解(1)和(2)组成的方程组得h(x)= ，g(x)=
∴ag(x)+h(2x)=a + ，∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=，∴= ，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，
∴原不等式化为a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，
可得a(t－)≥－(t2+)，∵当t∈[2,4]时，t－t>0恒成立，∴a≥ ==
，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，
令u=t－,求导得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[ ]，令f(u)=u+，u∈[]，
