数学专题复习_函数的奇偶性

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性

【方法点拨】

1.常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

2.函数奇偶性、对称性间关系：

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a

对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．

(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

3. 函数对称性、周期性间关系：

若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．

(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)

4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.

【典型题示例】

例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5fxgx，()(4)7gxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221()kfk（ ）

A. 21 B. 22 C. 23 D. 24

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2fxfx，从而得到352110fff，462210fff，然后根据条件得到(2)f的值，再由题意得到36g从而得到1f的值即可求解.

1 / 26 高考数学复习考点知识与题型专题讲解

函数的奇偶性、周期性与对称性 考试要求

1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.

2.会依据函数的性质进行简单的应用． 知识梳理

1．函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小2 / 26 正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．

3．函数对称性常用结论

(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．

f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点a＋b2，0对称．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)

(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数．(×)

函数的奇偶性

●知识梳理

1.奇函数：对于函数

f（x）的定义域内随意一个

x，都有

f（－ x）=－f（x）〔或

f

（x） + f（－ x） =0〕，则称

f（ x）为奇函数

.

2.偶函数：对于函数

f（ x）的定义域内随意一个

x，都有

f（－ x） =f（ x）〔或

f

（ x）－ f（－ x）=0〕，则称

f（x）为偶函数

.

3.奇、偶函数的性质

（1）拥有奇偶性的函数，其定义域对于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶

函数的必需条件是其定义域对于原点对称） .

（2）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于 y 轴对称 .

（3）若奇函数的定义域包括数 0，则 f（0）=0.

（4）奇函数的反函数也为奇函数 .

（5）定义在（－∞， +∞）上的随意函数 f（x）都能够独一表示成一个奇函数与一

个偶函数之和 .

●点击双基

1.下边四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象必定与 y 轴订交 ②奇函数的图象必定经过原点 ③偶函数的图

象对于 y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数必定是 f（ x）=0（x∈R）

分析：①不对；②不对，由于奇函数的定义域可能不包括原点；③正确；④不对，

既是奇函数又是偶函数的函数能够为 f（ x）=0〔x∈（－ a， a）〕.

答案： A

2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋ c（a≠0）是偶函数，那么 g（x） =ax3＋bx2＋cx 是

A. 奇函数

C.既奇且偶函数

B.偶函数

D.非奇非偶函数

分析：由

f（x）为偶函数，知

b=0，有

g（x）=ax3＋cx（ a≠0）为奇函数

.

答案： A

3.若偶函数

f（x）在区间［－

1， 0］上是减函数， α、 β是锐角三角形的两个内角，

且α≠β，则以下不等式中正确的选项是

（cosα）＞ f（cosβ）

（sinα）＞ f（ cosβ）

精品文档

. 高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

一、选择题

1．(文)以下函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )

A．y＝x＋x3(x∈R)

B．y＝3x(x∈R)

C．y＝－log2x(x>0，x∈R)

D．y＝－1x(x∈R，x≠0)

[答案] A

[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，假设x＝0在定义域内，那么应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，应选A.

(理)以下函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )

A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|

C．f(x)＝12(ax＋a－x) D．f(x)＝ln2－x2＋x

[答案] D

[解析] y＝sinx与y＝ln2－x2＋x为奇函数，而y＝12(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．应选D.

2．(2021·安徽理，4)假设f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝( )

A．－1 B．1

C．－2 D．2

[答案] A

[解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，应选A.

3．(2021·河北唐山)f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，假设f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，那么f(1)等于( )

A．－12 B.12

C．1 D.32

[答案] B

[解析] 由条件知， f1＋g1＝2f－1＋g－1＝1，

∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数． 精品文档

. ∴ f1＋g1＝2g1－f1＝1，∴f(1)＝12.

4．(文)(2021·北京崇文区)f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，那么f(6.5)＝( )