奇偶性高考函数知识点

判断函数奇偶性应注意的问题

代红芳

一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的奇函数。

为理解定义，在学习时应注意以下两点：

1. 定义中要求“对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf或xfxf”成立，可见xf必有意义，即x也必属于xf的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。

2. 定义中的等式xfxf（或xfxf）是定义域上的恒等式，即对定义域内所有的x成立而不是仅对部分x成立。如函数,1|x|1x,1|x|1xf当1|x|时，都有xfxf，但它并不是偶函数，显然2x时，3xf，而当2x时，1xf，两者并不相等。

由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式xfxf，xfxf哪个成立。

判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若xfxf成立，则为偶函数；若xfxf成立，则为奇函数；若xfxf成立，则既是奇函数也是偶函数；若xfxf和xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。

下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。

一、忽视定义域出错。

例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。

1 第3节 函数的基本性质:奇偶性

知识点一 函数奇偶性

1.奇偶性的几何特征

一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．

2.函数奇偶性的定义

（1）偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

题型一、函数奇偶性的判断

例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.

解 (1)f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∵f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，∴f(x)＝1x是奇函数．

(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．

(3)f(x)＝xx－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

∵定义域不关于原点对称，∴f(x)＝xx－1既不是奇函数，也不是偶函数．

(4)f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{－1,1}．

∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)＝x2－1＋1－x2既为奇函数，又为偶函数．

反思感悟 判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．

(2)图象法．

跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x；(2)f(x)＝1－x2x；(3)f(x)＝ x2＋x，x>0，x2－x，x<0. 2 解 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．

(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

奇函数偶函数知识点归纳

奇函数和偶函数是数学中的基本概念，归纳如下：

1. 奇函数：若对于任何x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。即函数图像是关于原点对称的，如y=x^3、sin(x)等。

2. 偶函数：若对于任何x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。即函数图像是关于y轴对称的，如y=x^2、cos(x)等。

3. 奇偶性：每个函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。因此，我们可以将任何函数表示为奇函数或偶函数的组合。

4. 奇偶函数的性质：奇偶函数具有一些特殊的性质，如： - 奇函数与奇函数的乘积是偶函数； - 偶函数与偶函数的乘积是偶函数； - 奇函数与偶函数的乘积是奇函数； - 奇函数在区间[-a,a]上的积分为0，而偶函数则在[-a,a]上的积分为2倍其在[0,a]上积分的值。

5. 奇偶函数的应用：奇偶函数在数学和物理等领域中具有广泛的应用。例如，对称性是物理学中一个重要的概念，在处理对称性问题时，奇偶函数的性质常常会用到。

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1.3.2 奇偶性

课标要点

课标要点 学考要求 高考要求

1.奇函数、偶函数的概念 b b

2.奇函数、偶函数的性质 c c

知识导图

学法指导

1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．

2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．

3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.

知识点 奇、偶函数

1．偶函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3．奇、偶函数的图象特征

(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇ruize

函数．

(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．( )

(2)奇函数的图象关于y轴对称．( )

(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )

(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

2．下列函数为奇函数的是( )

A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝1x3 D．y＝－x2＋14

解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．

答案：C

3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )