高考专题函数的奇偶性与周期性
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全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
2.3 函数的奇偶性与周期性
[知识梳理]
1．函数的奇偶性
(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
(2)奇偶函数的性质
①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．
2．函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
4．函数的周期性
定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数周期的常见结论
设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝1fx，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－1fx，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
6．掌握一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数； 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a>0且a≠1)为奇函数；
(3)函数f(x)＝logab－xb＋x为奇函数；
(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为奇函数．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A1P39A组T6)已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－12＋11＝－2.故选A.
(2)(必修A1P39B组T3)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
答案 C 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
解析 ∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减，
∴f(x)在(0，＋∞)内也单调递减．
又∵f(－2)＝0，∴f(2)＝0，
函数f(x)的大致图象如右图，
∴xf(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.
3．小题热身
(1)(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln (x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln (a＋x2－x)＝xln (x＋a＋x2)，则ln (x＋a＋x2)＋ln (a＋x2－x)＝0，
∴ln [(a＋x2)2－x2]＝0，得ln a＝0，
∴a＝1.
(2)(优质试题·山西四校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(2)＝3，则f(优质试题)＝________.
答案 3
解析 ∵f(x)＝－fx＋32， 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
∴f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数，
则f(优质试题)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝3.
题型1 函数奇偶性的判断
典例 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(1－x) 1＋x1－x；
(2)f(x)＝ －x2＋2x＋1，x>0，x2＋2x－1，x<0；
(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.
用定义法、性质法．
解 (1)当且仅当1＋x1－x≥0时函数有意义，所以－1≤x<1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数． 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
(3)解法一：因为 4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，所以函数的定义域关于原点对称．
所以f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，
又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，
所以f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
解法二：求得函数f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
化简函数f(x)，可得f(x)＝4－x2x，
由y1＝x是奇函数，y2＝4－x2是偶函数，
可得f(x)＝4－x2x为奇函数．
方法技巧
判断函数奇偶性的方法
1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f－xfx＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.
4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
冲关针对训练
1．(优质试题·广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝1＋x2 B．y＝x＋1x
C．y＝2x＋12x D．y＝x＋ex
答案 D
解析 易知y＝1＋x2与y＝2x＋12x是偶函数，y＝x＋1x是奇函数．故选D.
2．判断下列各函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg 1－x2|x2－2|－2；
(2)f(x)＝ x2＋xx<0，0x＝0，－x2＋xx>0.
解 (1)由 1－x2>0，|x2－2|－2≠0得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，
所以f(x)＝lg 1－x2－x2－2－2＝－lg 1－x2x2. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
因为f(－x)＝－lg [1－－x2]－x2＝－lg 1－x2x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
又f(0)＝0，故对任意的x∈(－∞，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
题型2 函数奇偶性的应用
角度1 已知函数奇偶性求值
典例 (优质试题·湖南质检)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
本题用转化法，将f(x)－g(x)转化为f(x)＋g(x)．
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.故选C.
角度2 已知函数奇偶性求解析式
典例 设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足fx－32
