利用导数研究双变量恒成立问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

导数二轮复习微专题

利用导数研究双变量恒成立问题

作为进一步学习数学和其他自然学科的基础，导数在数学教学体系内具有重要的地位和广泛的应用。近些年来，导数内容受到广大教育工作者的广泛关注，并成为命题热点。作为分析问题和解决问题的有力工具，导数能够与函数、不等式、解析几何等串联起来，所以，将传统内容与导数内容相结合，在知识网络的交汇处设计问题成为趋势。这样的命题思路不仅能有效检验学生的基础功底，强化能力考察力度，同时也能使试题具有更为广泛的实践意义。因此，在实际教学过程中，我们要突出导数的重要性，强化学生运用导数知识解决数学问题的意识。

一、2022年高考命题的要求

2022高考命题优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。并坚持把创新思维和学习能力考查渗透到命题全过程，落实“重思维、重应用、重创新”的命题要求，使高考由“解答试题”转向“解决问题”。

二、2022年高考命题的十项原则

1. 方向明确，立意鲜明，情景新颖，贴近实际。

2. 考查基础，变换情景，设问科学，注重创新。

3. 入易出难，路多口小，层层设卡，步步有难。

4. 材料在外，答案在内，考查思维，体现能力。

5. 体现国情，公平公正，以生考熟，直击软肋。

6. 起点很高，高屋建瓴，落点较低，回归体系。

7. 重点必考，主干多考，次点轮考，补点选考。

8. 共性好考，个性难考，试题开放，探究创新。

9. 小口切入，深入挖掘，小中见大，思维穿透

10. 掌握理论，学以致用，学科价值，重在应用。

三、部分高考压轴题函数模型 年份 函数模型 考查内容及思想方法

2013Ⅱ理 )ln()(mxexfx 证明不等式

2014Ⅱ理 xbexaexfxx1ln)(

证明不等式

2015Ⅱ理 2()mxfxexmx 双变量恒成立问题

2016Ⅱ理 2)1()2()(xaexxfx 零点求参，双变量问题，极值点偏移问题

2017Ⅱ理 xeaaexfxx)2()(2 讨论单调性 零点求参

2017Ⅱ理 )ln()(xaaxxxf 证明极值范围

2018Ⅱ理 xaxxxfln1)( 证明双变量不等式

2018Ⅱ理 2)(axexfx 证明不等式，零点

2019Ⅰ理 ()sinln(1)fxxx 证明函数零点个数

2019Ⅱ理 11lnxfxxx 证明零点个数，证明切线相等

2019Ⅱ 理 32()2fxxaxb 利用最值求参数

2020Ⅱ理 121)(32xxaxexfx 单调性，恒成立求参

2020Ⅱ 理 xxxf2sinsin)(2 .33()8fx 最值，证明不等式

2020 Ⅱ 理 3()fxxbxc 切线，零点的范围

2021新课标Ⅱ 𝑓(𝑥)=𝑥(1−1𝑛𝑥) 双变量恒成立问题，极值点偏移问题

思考1：基本元素 ,ln,,ln,xxxexexx多项式函数

思考2：基本问题和应对策略

1.切线问题：注意两类切线问题。

2.含参讨论：关键是临界点的确定。

3.数形结合：利用导数做未知函数图像要注意四部曲。

4.双变量问题 : 将双变量转化为单变量。

5.极值点偏移：利用分析法构造对称函数，借助单调性研究。

6.函数同构：注意函数类型及形式。 7.放缩问题：重点指对函数、三角函数的切线放缩。

8.找点卡根：借助极限思想分析，内置函数放缩法。

9.恒成立问题：端点效应，端点找点变元定参法。

思考3体现了哪些核心素养？

（一）利用直观想象探寻解题思路

（二）利用逻辑推理揭秘问题本质

（三）利用数学运算简化解题过程

四、本专题复习的意义：主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力。

微专题“利用导数研究双变量恒成立问题”教学设计(2课时)

教学设计

1.教学背景

新高考形式下试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查，要求学生理解准，速度快，方法多，思维强，才能拿下高分。因此在平常的复习备考中要培养学生善于总结方法，吃透本质，做到一题多解，一题多变，多题同解，不断提高学生创新能力，转化化归能力，突出逻辑推理，数学抽象，数学运算等核心素养。

2．教学内容解析

本课是高三二轮导数章节复习之后对重点内容设置的微专题复习课，不一定要做到面面俱到，而是要把握重点、聚焦难点、力求突破难点．在问题的逐级递进中，让学生逐渐领悟解决该类问题常用的思想方法，并在此基础上优化方法，从而让学生活用知识，升华思想，提高能力．通过习题的训练，让学生学会识别题目的类型、联想方法，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”．根据教学内容，微专题计划两课时完成．

3．学生学情分析 此课的授课对象为高三物理方向平行班的学生．学生此时刚好复习完了函数部分的所有知识点，会画简单函数的图象，会通过图象研究、理解函数的性质和所涉及到的基本题型也有了一定的认识．但在深刻度上还有所欠缺．按照新高考的要求，所以在教学中要引导学生归类题型，总结方法，注重题与题之间的连通性和变通性，从而在浩如烟海的数学题目中寻找解题的规律．

根据以上分析，本节课的教学重难点确定为：

教学重点：将双变量转化为单变量常见的方法

教学难点：如何将双变量转化为单变量

4．教学目标设置

将双变量转化为单变量常见的方法

5．教学策略分析

在“学生主体、教师主导”的新课标理念下，运用变式探究式教学策略，实现对教学难点的突破．

策略1.一题多变

通过一题多变，给学生的思维发展提供阶梯，让学生在探究中感悟知识，建构同构问题的求解模型，提高学习效率．

策略2.一题多解

引导学生对导数问题从不同角度加以思考，探求不同的解决方法，训练思维的多向性，实现对数形结合法、复合函数性质解题方法的整理归纳．注重不同方法的对照、对比和优选，通过对多种解法的探究和呈现，更好的提高学生解题的灵活性和敏捷性．

策略3.多题归一

引导学生将探究所得的方法应用到同类问题的求解中，让学生学会识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”，做到抽丝剥茧，柳暗花明．

6.教学流程

经典再现

引出课题 师生互动

研究课题 例题讲解

吃透本质 回归梳理

提炼升华 课后训练

巩固加深 讲高考 明方向 现经典

1（2021全国新高考Ⅱ卷）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥(1−1𝑛𝑥)

（2）设𝑎,𝑏为两个不相等的正数且𝑏𝑙𝑛𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑏=𝑎−𝑏,证明：2<1𝑎+1𝑏<𝑒

2.①(2020全国卷Ⅰ）若242log42logabab，则（）

A.2ab B.2ab C.2ab D.2ab

②(2020全国卷Ⅱ）若2233xyxy，则（）

A.ln(1)0yx B.ln(1)0yx

C.ln||0xy D.ln||0xy

3、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数1()lnfxxaxx．

（1）讨论()fx的单调性；

（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．

4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点．

(I)求a的取值范围；(II)设12,xx是()fx的两个零点，证明：122xx．

5．(2015高考数学新课标2理科)设函数2()mxfxexmx．

(Ⅰ)证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

(Ⅱ)若对于任意12,[1,1]xx，都有12()()1fxfxe，求m的取值范围．

讲典例 寻解法 备高考

角度一：同构法转单变量

例1.①（2022届江苏省苏南三校高三2月阶段调研）若存在两个不相等的正实数x,y,使得ee0yxmyx成立,则实数m的取值范围是（ ）

A．1m B．1m

C．1m D．1m

②（2022届安徽省芜湖市高三上学期期末）设实数1,xyR,e为自然对数的底数,若elneeyyxxy,则（ ）

A．elneyx B．elneyx C．eeyx D．eeyx 变式1：已知函数1lnfxkxx，其中k为非零实数.

（2）当4k时，在函数2'2gxfxxx的图象上任取两个不同的点11,Mxy、22,Nxy.若当120xxt时，总有不等式12124gxgxxx成立，求正实数t的取值范围：

角度二：利用方程消元+齐次化转单变量

例2.（2022年武汉市江岸区1月调研考试）

已知函数𝑓(𝑥)=𝑥∙𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥3−𝑥,𝑎𝜖𝑅（2）若𝑥1,𝑥2(𝑥1<𝑥2)是𝑓(𝑥)的两个不同极值点，证明：3𝑙𝑛𝑥1+𝑙𝑛𝑥2>1

变式2：（2022金太阳湖北2月联考）已知函数()3lnfxxax

（2）设1212,()()'()()xxxxfxfxfx是的两个零点，是的导函数.

判断123)'(4xxf的正负并加以证明

变式3：已知函数.

若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.

角度三：利用根与系数的关系转单变量

例3.（2022湖北高三上学期10校联考）

已知函数𝑓(𝑥)=2𝑙𝑛𝑥,,𝑔(𝑥)=12𝑎𝑥2−2𝑥(𝑎)

（2）设函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)−(𝑎+2)𝑥+3

(i)证明：函数h(x)有两个极值点𝑥1,𝑥2;

(ii)对(i)中的两个极值点𝑥1,𝑥2，若ℎ(𝑥1)+ℎ(𝑥2)≤−𝑎−3恒成立求实数a的取值范围。 ()ln1xfxaexaR()fx1212,xxxx122ln3xx21xx