导数中双变量问题的四种策略

双变量问题的几种处理策略

策略一：合的思想

问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点，

，线段的中点为

，记直线的斜率为，试证明：．

解析：因为

∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与

的大小．

令,则, ∴在上位增函数．

又，∴， ∴，即

二：分的思想

问题2：若1

ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，，

都有，

求a 的取值范围．

解析∵ ，∴

由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ ()

11,y x A ()

22,y x B AB

),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=x

x f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=

--=--=12x x >k )(0x f '1

212

ln

x x x x -2

12

x x +12x x >12ln

x x 1)1(

2)

(21

2

1

2

2

112+-=+-x x x x x x x x )1(1)

1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0)

1()1()1(41)(2

22≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12

=>h x x h 1)1(

2ln 1

2

1

2

1

2+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1

)

()(1

212-<--x x x g x g 1)()(1

212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2

++-=

'x a

x x F

由在恒成立． 设，，则 ∴在上为增函数，∴.

策略3：变得思想

设函数x x x f ln )(=，若，求证 解析：, ,所以在上是增函数，上是减函数.

因为，所以

即,

同理. 所以 又因为当且仅当“”时，取等号. 又，, 所以,

所以， 所以：.

问题4：已知函数()2

1ln ,2

f x x x mx x m R =-

-∈，若函数()f x 有两个极值点12,x x ,求证: 2

12x x e >

解析：欲证212x x e >,需证: 12ln ln 2x x +>,

若()f x 有两个极值点12,x x ,即函数()'f x 有两个零点,又()'ln f x x mx =-, 所以12,x x 是方程()'0f x =的两个不同实根

31

3)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x

x x x x x a x F []2,1∈x =)(x m 3132

++

+x x x []2,1∈x 031

2)(2>+-='x

x x m )(x m []2,12

27

)2(=≥m a 1),1,1

(,2121<+∈x x e x x 4

2121)(x x x x +

x f x g ln )

()(==e x x x g 1,0ln 1)(==+=),1(+∞e )(x g )1

,0(e

11

211<+<

111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+)ln(ln 211211x x x x x x ++<

)ln(ln 212

2

12x x x x x x ++<)ln()2()ln()(

ln ln 211

2212112122121x x x x

x x x x x x x x x x x x +++=++++<+,421

2

21≥++

x x x x 21x x =1),1,1(,2121<+∈x x e

x x 0)ln(21<+x x )ln(4)ln()2(21211

2

21x x x x x x x x +≤+++

)

ln(4ln ln 2121x x x x +<+42121)(x x x x +<

于是,有1122ln 0{

ln 0

x mx x mx -=-=,解得12

12

ln ln x x m x x +=

+,

另一方面,由1122ln 0{

ln 0

x mx x mx -=-=,得()2121ln ln x x m x x -=-,

从而可得

2112

2112

ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+,

于是()()22

212111122

211

1ln

ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==

--.又120x x <<, 设2

1x t x =

,则1t >.因此, ()121ln ln ln ,1

t t x x t ++=-1t >. 要证12ln ln 2x x +>,即证:

()1ln 2,1

1

t t t t +>>-.

即当1t >时,有()

21ln 1

t t t ->

+. 设函数()()21ln ,11t h t t t t -=-≥+,则()()()()

()()2

22

212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++, 所以, ()h t 为()1,+∞上的增函数.注意到, ()10h =,因此, ()()10h t h ≥=.

于是,当1t >时,有()

21ln 1

t t t ->

+. 所以,有12ln ln 2x x +>成立, 2

12x x e >.

问题5：x m x x x f x --=2

2

1ln )(已知函数，若()x f 有两个极值点x 1，x 2，（x 1

x x x x x a 1

21

12ln 2ln ->

-恒成立，求整数a 的最大值。

解析：mx x mx x x f -=--+=ln 11ln )(/

因为

x 1

，x 2

是()x f 的两个极值点，