专题07 函数中的双变量问题(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数
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专题7 函数中的双变量问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导
数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函
数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.
(一) 与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有
1212,,,xxfxfx
的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利
用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意
12,xxDÎ,当
12xx¹
时恒有
12
120fxfx
xx-
>
-,则
yfx=在D上单调递增；
(2)若对任意
12,xxDÎ,当
12xx¹
时恒有
12
12fxfx
k
xx-
>
-,则
yfxkx=-在D上单调递增；
(3)若对任意
12,xxDÎ,当
12xx¹
时恒有
12
1212fxfx
k
xxxx-
>
-,则k
yfx
x=+在D上单调递增；
(4)若对任意
12,xxDÎ,当
12xx¹
时恒有
12
12
12fxfx
xx
xx-
>+
-,则
2
yfxx=-在D上单调递增.
【例
1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期调研）已知函数
212ln
()x
fx
x+
=
．
(1)求()fx
的单调区间；
(2)存在
12,(1,)xxÎ+¥
且
12xx¹
，使
1212lnlnfxfxkxx-³-
成立，求k
的取值范围．
【解析】
（1）由题意得
34lnx
fx
x-
¢
=
，令()0fx¢
=
得1x=
，
(01),xÎ
时，()0fx¢
>
，()fx
在(0,1)上单调递增；
,(1)xÎ+¥
时，()0fx¢
<
，()fx
在(1,)+¥
上单调递减；
综上，()fx
单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+¥
．
（2）由题意存在
12,(1,)xxÎ+¥
且
12xx¹
，不妨设
121xx>>
，
由（1）知,(1)xÎ+¥
时，
(
)fx
单调递减．
1212lnlnfxfxkxx-³-
等价于
2112lnlnfxfxkxx-³-
，
即
2211lnlnfxkxfxkx+³+
，
即存在
12,(1,)xxÎ+¥
且
12xx>
，使
2211lnlnfxkxfxkx+³+
成立．
令()()lnhxfxkx=+
，则()hx
在(1,)+¥
上存在减区间．
即2
34ln
()0kxx
hx
x-
¢
=<在
(1,)+¥
上有解集，即
24lnx
k
x<
在(1,)+¥
上有解，
即
2
max4lnx
k
xæö
<
ç÷
èø，(1,)xÎ
+¥
；令
24lnx
tx
x=
，(1,)xÎ+¥
，
3412lnx
tx
x-
¢
=，
1,exÎ
时，()0tx¢
>，()tx
在
1,e上单调递增，
e,x¥
Î+
时，()0tx¢
<
，()tx
在
e,+¥
单调递减，
∴
max2
()(e)
etxt
==
，∴2
ek<
．
(二) 与极值点有关的双变量问题
与极值点
12,xx
有关的双变量问题,一般是根据
12,xx
是方程
0fx¢
=
的两个根,确定
12,xx
的关系,再通过消
元转化为只含有
1x
或
2x
的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为
12,xx的齐次式,然后转化
为关于2
1x
x的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
【例2
】（2024届黑龙江省双鸭山市高三下学期第五次模拟）已知函数2
()ln(1)(R)fxxaxa
x=+-+Î
.
(1)当1a=-
时，讨论()fx
的单调性；
(2)若
1212,xxxx<
是()fx
的两个极值点，证明：
211
4
2fxfx
a-<-．
【解析】（1）当1
a=-
时，2
()ln1,()fxxxfx
x=+++
的定义域为(0,)+¥，
所以2
222122(2)(1)
()1xxxx
fx
xxxx¢+-+-
=-+==，令()0fx¢
=
，解得1x=
，
当(0,1)xÎ
时，()0fx¢
<
，当(1,)xÎ+¥
时，()0fx¢
>
，
故()fx
在(0,1)
上单调递减，在(1,)+¥上单调递增．
（
2）2
22122
()axx
fxa
xxx¢-+-
=--=，
由题意可知，
1212,xxxx<
是方程2
20axx-+-=的两根，
则1
0
2
180a
aì
>
ï
í
ï
D=->
î
，解得1
0
8a<<
，所以
121
xx
a+=
，
122
xx
a=
，
要证
2
21
211818
4
222aa
fxfx
aaaaaæö
-<-=×-=×-
ç÷
èø
2
21
1212
124
2xxa
xxxx
xx-
=×+-=
，
即证
21
2211
21
1222
ln1ln1xx
xaxxax
xx
xxéù
-
+-+-+-+<êú
ëû，
只需证
12
221
21
112
122
lnxx
xxx
axx
xxx
xx-
-+--<
，
需证
21
22121
21
112
12122
ln2,xx
xxxxx
axx
xxx
xxxx-
--
<-+=+
+
令2
1(1)x
tt
x=>
，则需证12(1)
ln
1tt
t
t
t--
<+
+，
设1
ln(1)t
gttt
t-
=-
>
，则2
11
1111
44
2222111
(1)1
1
222
()0
2tt
ttttt
gt
tttt-
--
¢æö
-
ç÷
----+
èø
=-==-<，
所以函数()gt
在(1,)+¥
上单调递减，所以()(1)0gtg<=
，因此1
ln,t
t
t-
<
由1t>得，2(1)
0
1t
t-
>
+，所以12(1)
ln
1tt
t
t
t--
<+
+，故
211
4
2fxfx
a-<-得证,
【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数
21
ln40
2fxxaxxa=+->
.
(1)当3a=时，试讨论函数
fx
的单调性；
(2)设函数
fx
有两个极值点
1212,xxxx<
，证明：
12ln10fxfxa+>-
.
【解析】（1）当3a=时，
21
3ln4
2fxxxx=+-
定义域为
0,xÎ+¥
，
213
343
4xx
xx
fxx
xxx--
-+
=+-==¢
，
令
0fx¢
=
解得1x=
或3，且当01x<<或3x>时，
0fx¢
>
，当13x<<
时，
0fx¢
<
，
所以当01x<<或3x>时，
fx
单调递增，当13x<<
时，
fx
单调递减，
综上
fx
在区间
0,1
，
3,+¥
上单调递增，
fx
在区间
1,3
单调递减.