例谈导数中双变量问题的常见处理策略

导数中双变量处理策略

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

导数-双变量问题处理策略

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

【构造函数利用单调性证明】

形式如：1212|()()|||fxfxmxx

例1、设函数．

(1)讨论函数在定义域内的单调性；

(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．

【任意与存在性问题】

例2、 已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．

（1）若函数xfy在e,1上的图像恒在xgy的上方，求实数a的取值范围．

（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，

求实数a的取值范围．

【整体换元——双变单】

例3、已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.

(Ⅰ) 当时, 求的最大值;

(Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证:

.

【对称轴问题12xx的证明】

例4、已知函数

⑴求函数的单调区间和极值；

⑵已知函数对任意满足，证明：当时，

⑶如果，且，证明： 221()(2)ln(0)axfxaxax()fx(3,2)a12,[1,3]xx12(ln3)2ln3|()()|mafxfxmxxxfln)(Cbaxxg21)(l3,2ba)()()(xgxfxFlC21,xx21xx2)()(2121xxgxx11()(xxfxxeR).()fx()ygxx()(4)gxfx2x()();fxgx12xx12()()fxfx124.xx

【实战演练】

1.已知函数f(x)=x2－ax+(a－1)，.

（1）讨论函数的单调性；

精心整理

精心整理导数-双变量问题处理策略

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

【构造函数利用单调性证明】

形式如：

1212|()()|||fxfxmxx

例1、设函数221

()(2)ln(0)ax

fxaxa

x．

(1)讨论函数()fx在定义域内的单调性；

(2)当(3,2)a时，任意12,[1,3]xx，12(ln3)2ln3|()()|mafxfx恒成立，求实数m的取值范围．

【任意与存在性问题】

例2、已知函数2a

fxx

x，lngxxx，其中0a．

（1）若函数xfy在e,1上的图像恒在xgy的上方，求实数a的取值范围．

（2）若对任意的

12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有

1fx≥

2gx成立，

求实数a的取值范围．

【整体换元——双变单】

例3、已知函数

xx

xfln

)(的图象为曲线C,函数baxxg

21

)(的图象为直线l.

(Ⅰ)当3,2ba时,求)()()(xgxfxF的最大值;

(Ⅱ)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为21,xx,且21xx,求证:2)()(

2121xxgxx.

精心整理

精心整理【对称轴问题

12xx的证明】

例4、已知函数11

()(xx

fxx

eR).

⑴求函数()fx的单调区间和极值；

⑵已知函数()ygx对任意x满足()(4)gxfx，证明：当2x时，()();fxgx

⑶如果12xx，且12()()fxfx，证明：124.xx

【实战演练】

1.已知函数f(x)=

21

x2－ax+(a－1)lnx，1a.

（1）讨论函数()fx的单调性；

（2）证明：若5a，则对任意x

1,x2(0,)，x1x2，有12

12()()

1fxfx

xx.

2.设3x是函数23,xfxxaxbexR的一个极值点.

（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求fx的单调区间；

（2）设225

0,

4xagxae，若存在12,0,4，使得121fg成立，求a的取值范围.

3.已知函数21

()ln(1)(0)

例谈课堂答问中常见问题的处理策略

作者：马龙

来源：《语文教学与研究·上旬刊》 2017年第4期

是学生能清晰、明确地理解并把握问题的指向和范围，不会在思考的过程中出现“答非所问”“南辕北辙”的情况。

这种情况下，教师要敏锐地捕捉问题中给学生造成认知障碍的关键词语，并用合适的语言及时进行转换。以周晓枫的《斑纹》一文的教学片段为例：

师：文中写了关于蛇怎样的文化意义？

生：第三段中有一个故事，说蛇在伊甸园因为说出了一个真相，受到上帝的惩罚，是受难者。

师：那作者是说蛇是受了委屈，应该值得同情吗？

师：我们看整段文字，看看作者是不是要说这一层意思？我们关注几个词语“伺机偷袭”“洗劫巢穴”“狭长而腥臭”，这些词语中有怎样的态度？

生：蛇对天堂累积了仇恨，所以他偷袭鸟。

师：这是它（蛇）的行动表现，那么，蛇是一个怎样的形象？

生：阴险、狠毒、残忍…

师：对了，这才是人类赋予蛇的文化意义，狠毒、残忍、阴鸷…

在这个教学片断中，教师提问后进行了两次纠正与启发。

学生回答的第一句话显然是“文不对题”的，而且脱离了文本表述的中心，误将“前因”，也就是“蛇因过错受罚”当成了“后果”，也就是“蛇从此成变得阴险、狠毒”。教师通过反问来引导学生回归文本，从而让学生意识到文本中心把握的失当。

学生的第二句话回答，已经意识到蛇的形象特点，但并未理解“文化意义”这个词应该对某一事物的内在特质进行概括，而只是将“行为表现”当作答案。因此教师肯定学生“进步”的同时，将问题更加明确化，引导学生透过现象概括本质。

最后教师的有意识地对“文化意义”这一词语进行重复强调，实际上提醒学生再次关注问题中“文化意义”这个词语的意义指向，使用怎样的语言进行表述才是属于“文化意义”的范畴。

这个教学环节中，学生并未准确理解和把握问题中“文化意义”这个词语的内涵，根本原因还在于提问中“文化意义”这个词过于抽象，已经超出了学生的认知范围，教师的两次纠正和启发则是“化抽象为具体”，引导学生能真正地去弄“懂”这个较为抽象的词语的内涵和外延。

数学

篇方法集锦双变量问题比较复杂，且具有较强的综合性.其考查形式呈现多样化的特点，对同学们的数学思维和运算能力有较高的要求.当题目中出现了双变量时，很多同学会习惯性地把自变量看成主元，导致解题过程繁琐，甚至有时不知该如何下手.那么，如何高效地解答这类问题呢？有三个“妙招”.一、分离参数若已知一个变量的取值范围，要求另外一个变量的取值范围，则不能按照常规思路，将已知取值范围的变量作为主元，而要变换一下思路，采用分离参数法，将要求的变量分离出来，并构造出新函数，将问题转化为关于另一个变量的函数最值问题.利用导数法或函数的性质求最值，就可以得到另一个变量的取值范围.例1.对任意n∈N*,恒有(1+1n)2n+a≤e2恒成立，求实数a的最大值.解：在(1+1n)2n+a≤e2的两边取对数得：(n+a2)ln(1+1n)≤1.所以a2≤1lnæèöø1+1n-n，设F()x=1ln()1+x-1x(x∈(0,1]),则F′()x=(1+x)ln2()1+x-x2x2(1+x)ln2(1+x),设h()x=(1+x)ln2()1+x-x2，则h′()x=ln2()1+x+2ln()1+x-2x，h″()x=2[ln()1+x-x]1+x，再设m()x=ln(1+x)-x，则m′()x=11+x-1<0，所以m(x)在(0,1]上单调递减，则m()x

-2.将a分离出来，再将离散的变量n用连续的变量x表示出来，把问题变成函数最值问题，就可以用函数思想来解题.二、确立主元对于含有两个变量的问题，有时可以将其中的一个变量看作常数，将另外一个变量看成主元来求解.运用这种方法解题，要明确两个变量对已知关系式和目标式的影响，选取合适的变量作为主元.一般地，若已知变量的取值范围或已知含有该变量的等量关系式，则可以将该变量视为主元.例2.试证明：e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1≥32.证明：令f()x=e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1=2(t-ex+x2)2+12(ex-x)2+1≥12(ex-x)2+1.令g()x=ex-x,则g′()x=ex-1，所以g(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，易得g(x)的最小值为g()0=1，即12(ex-x)2+1≥32，综上可得，e2x-2t()ex+x+x2+2t2+1≥32.三、利用函数的单调性因为双变量问题中含有变量，所以可以构造函数，将问题看作函数问题，利用函数的单调性来求得问题的答案.可根据函数单调性的定义判断函数的单调性，也可根据导函数与函数单调性之间的关系来进行判断.例3.已知函数f()x=lnx+kx.对任意x1>x2>0,f()x1-f()x20)，因为f()x1-f()x2

高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中双变量存在性和任意性问题(含)

第 07 讲：导数中的双变量存在性和随意性问题的

【知识重点】

在平常的数学学习和高考取，我们常常会碰到不等式的双变量的存在性和随意性问

生因为关于这种问题理解不清， 很简单和不等式的恒建立问题混杂，

很棘手，或在解题中出现知识性错误 .

1、双存在性问题

“存在 x1 ( a, b ) ，存在 x2 (c, d ) ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 建立”称为

题，存在 x1 ( a,b) ，存在 x2 ( c, d ) ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 建立，即

起码有一个值 f ( x ) 比函数 g ( x) 在区间 ( c, d ) 内的一个函数值小 . ，

（见下列图 1）

“存在 x1 (a, b) ，存在 x2 ( c, d ) ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 建立”，即

一个值 f ( x) 比函数 g ( x) 在区间 (c, d ) 内的一个函数值大，即 f ( x)

2） 高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中双变量存在性和任意性问题(含)

个值 f ( x) 比函数 g ( x) 在区间 ( c, d ) 内的随意一个函数值都要大 , 即

3、存在随意性问题

“存在 x1 (a, b) ，对随意的 x2 (c, d ) ，使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 建立”

意性问题 . 存在 x1 (a,b) ，对随意的 x2 ( c, d) ，使得 f ( x1 ) g (

间 ( a, b) 内起码有一个值 f ( x) 比函数 g( x) 在区间 (c, d ) 内的随意一

f ( x)min g( x)min . （见下列图 3）

“存在 x1 (a, b) ，对随意的 x2 (c, d ) ，使得 f (x1 ) g ( x2 ) 建立”

内 至 少 有 一 个 值 f (x ) 比 函 数 g (x ) 在 区 间 (c, d ) 内 的 任 意 一

导数双变量问题

导数的概念

一元函数的导数

在数学中，导数是描述函数局部变化率的概念。对于一元函数，导数表示函数在某一点的切线斜率。它可以通过极限的定义来求解，即函数在该点的变化量与自变量变化量的比值。

多元函数的导数

对于多元函数，导数的概念稍微复杂一些。我们先来看双变量函数的导数。双变量函数的导数可以看作是函数在某一点沿着某个方向的变化率。和一元函数类似，双变量函数在该点处的导数也可以通过极限的定义来求解。

部分偏导数

定义

双变量函数的导数中，最常见的是部分偏导数。部分偏导数是指在函数中固定一个变量，把其他变量视为常量，然后对所选择的变量求导。

示例

假设有双变量函数f(x, y)，我们想要求f对x的偏导数。为了求解，我们保持y不变，然后对x求导。这样就得到了关于x的偏导数。

方向导数

定义

方向导数是双变量函数在某一点沿着某个方向的变化率。在二维平面上，方向导数可以通过求得偏导数的方式来计算。 公式

方向导数的公式可以表示为：Df(x, y) = ∇f(x, y) · u，其中∇f(x, y)是双变量函数的梯度向量，u是单位向量。

梯度向量

定义

梯度向量是双变量函数在某一点的导数。梯度向量的方向是函数在该点变化最快的方向，而梯度向量的模是函数在该点变化的速率。

公式

梯度向量的公式可以表示为：∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别是函数对x和y的偏导数。

高阶偏导数

除了一阶偏导数，我们还可以求解双变量函数的高阶偏导数。高阶偏导数是指对函数的偏导数再次求导的过程。

应用领域

经济学

导数在经济学中有广泛的应用。例如，在微观经济学中，导数可以表示边际效应，帮助我们理解市场供需关系和消费者行为。

物理学

导数在物理学中也有重要的应用。例如，在运动学中，速度和加速度可以表示为位置函数的导数。 工程学

工程学中的许多问题也可以通过导数来求解。例如，在电路设计中，电流和电压之间的关系可以通过求解导数来获得。

试卷第1页，共6页第六章 导数与不等式恒成立问题 专题九 双

变量不等式恒成立问题 微点4 双变量不等式恒

成立问题之消元法、主元法

导数微专题

第六章 导数与不等式恒成立问题专题九 双变量不等式恒成立问题微点4 双变量不等式恒成立问题之消元法、主元法

近年来“双变量不等式恒成立问题”在高考或模考中备受青睐，屡见不鲜，成为高考与模

考命题的高频考点，因而成为学优生力求攻克的难点.此类问题不仅形式多样，而且联

系的知识面较广，构造思维要求较高，解法灵活，其求解过程中渗透着函数与方程、转

化与化归、分类讨论以及数形结合等数学思想，因此此类问题能较好地评价学生的思维

能力与应变能力.面对这类问题，很多学生常常是束手无策，或者无法正确转化、漏洞

百出.

本节我们来研究如何应用消元法、主元法解决双变量恒成立问题.

1.什么是双变量问题

导数中有一类问题涉及到两个变量，例如 m 和 n、a和b 、

1x

和

2x

，我们称之为双变

量问题.

2.消元法破解双变量不等式恒成立问题试卷第2页，共6页

2.1 消元的目的

若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影

响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，

从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表

达式，进而可构造函数求得值域.

2.2 常见消元的方法

（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消

元，在消元的过程中要注意以下几点：

① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称

为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）.

② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择t

为主元，且有



,xftaxb

，则t

除了满足自身的范围外，还要满足

aftb

（即解不等式）.

（2）反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数.如果要求解（或者要证明）的结

20上海中学数学• 2019年第12期

例谈双变量范围求解问题的相关策略

200333 上海市曹杨中学蔡真逸

摘要：双变量范围求解问题一直是上海高考的热点，也是学生学习的难点.笔者对双变量范围问

题进行分类，针对不同类型的实例给出相应的解题策略，类比至多变量范围求解问题.

关键词：双变量范围；策略

双变量范围求解问题一直是上海高考的热点，

由于涉及函数最值问题、不等式有解恒成立问题、数

形结合思想，综合性强，成为学生学习的难点之一.

笔者结合具体实例，归纳整理求解此类问题的相关

策略.

_、相互间无限制的双变量范围求解

策略1先将一个变量当作参数，看成关于另

一个变量的函数，转化为两个单变量范围求解问题.

例1如果不等式+ —cos

2.r

^asin

.r

—且对一■

4

切xe

[〇，f]，je

(〇，+ «=)恒成立，求实数a

的取

值范围.

解：子 + i

^asia.r

+ cos

2 对(0，+〇〇)恒

4 y

成立•所以 asiar

+ cos2.r

< ( + +告).=3，即

asin

..r

+cos

2:r

<3 对[〇，f

]恒成立•令 ^ = sin

,r

，

?6[〇，1]，转化为以+1 —〖2<3对斤[〇，1]恒成立.

解得 a

6(—m

,3].

评注：本问题中两个变量.r

与J

之间没有限

制，相互独立，所以可先将一个变量.r

看作参数，将

问题转化为关于^的不等式恒成立问题，再转化为

关于.r

的不等式恒成立问题.

策略2整体换元，转化为求函数值域问题.

例2已知正数.r

，y

，求2 的取值范围.

解：设x2 + y2

2.r2 +.r3/1+上

2 + 2 'r

X

(〇，+ oo

)，则l+t2

"2+7，/€(0，+〇〇).解得

—4, +〇〇).

评注：利用代数变换，将问题转化为求关于2的

X

函数值域，从而将问题转化为单变量范围求解问题.二、等式限制型双变量范围求解

策略3利用等式消元，转化为求函数值域问题.

例 3 已知函数 /(.r)= |lg.r|，/(a)=/(6)，且

导数双元问题处理技巧

导数双元问题是指同时涉及到两个变量的导数问题，这类问题通常比较复杂，需要一定的技巧来处理。以下是一些处理导数双元问题的技巧：

1. 建立关系式：首先需要建立两个变量之间的关系式，以便将两个变量联系起来。可以通过代数方法或者图形方法来建立关系式。

2. 确定导数的定义域：在处理导数问题时，需要先确定函数的定义域，特别是对于双元问题，需要特别注意定义域的限制条件。

3. 求导：根据题目要求，对函数进行求导。在求导过程中，需要注意变量的替换和链式法则的应用。

4. 寻找极值点：通过求导数等于零的点，可以找到函数的极值点。在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后令导数等于零，解出对应的值。

5. 判断单调性：通过判断导数的正负性，可以确定函数的单调性。在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后根据导数的正负性来判断函数的单调性。

6. 求解最值：在找到极值点和单调性后，可以求解函数的最值。在双元问题中，需要分别对两个变量求最值，然后根据实际情况进行取舍。

7. 验证答案：最后需要对答案进行验证，确保答案的正确性和合理性。可以通过代入法或者图形法来进行验证。

总之，处理导数双元问题需要一定的技巧和耐心，需要综合考虑函数的定义域、导数的计算、极值点的寻找、单调性的判断以及最值的求解等多个方面。同时需要注意细节和计算准确性，以免出现错误。

双变量问题——韦达定理妙用

大招总结

题型特点：函数求导后主导函数为二次函数，涉及两根（两极值点）问题，可以利用两根和与积的关系进行消元，代换后变成单变量问题，题目就迎刃而解了。

典型例题

.2ln2-3)()(,,)()2()()1().0(ln--)(1

21212

＞证明：有两个极值点若的单调性；讨论＞：已知函数例

xfxfxxxfxfaxaxxxf

+=

。＞所以＞上递增，在所以，＞，则＞设元，多元化单元韦达定理整体利用，消有两个极值点，且时，函数＜＜）知当）证明：由（（上递增。上递减，在，在，＞时，，当＜时，及当有两个不相等的正根，方程＞时，＜＜上单调递减，当在函数故，时，当的判别式的方程则关于＞，＞不妨设＞，＞）（解：

2ln2-3)()(,2ln2-3)4()(),4()(022-1-21)(),(1ln-2121ln-41421.121ln-41)ln(-]2-)[(-)()().ln(-)(-)(ln--ln--)()(.21,21)(81012),()∞,(),0()(∴0)(),(∈0)()∞,(∈),0(∈,48-11,48-1-1,,0)(0Δ810)∞,0()(∴,0≤)(,0≥)(0≤Δ81≥,8-1Δ01-2),00(1-2)(),00(1-2-)(1

212121221212122212122221211212121212121212121222

xfxfhththtttththttaataaaxxxxxxaxxxxxxaxxxaxxxaxxxfxfaxxaxxxfaxxxxxfxfxxxxfxxxxaaxaaxxxxfaxfxfxgaaxaxxaxxaxxgaxxxaxxf

+=+∞==′=+=+=+=++=++=+=+==++′′++===′+′==++=+=′

.2--)(-)(,,)()2()()1(.ln-1)(2

212121axxxfxfxxxfxfxaxxxf

＜证明：存在两个极值点若的单调性；讨论：已知函数例+=

1导数中的利用韦达定理研究双变量问题

题型一：利用韦达定理消元求范围问题

【精选例题】

1已知函数fx=x2+2lnx+1．

(1)求曲线y=fx

在点1,f1

处的切线方程；

(2)若函数gx

=fx

-2axa∈R

有两个极值点x

1,x

2，且x

1

2

1-gx

2的取值范围．

【答案】(1)4x-y-2=0；(2)0,e2-1

e2-4

【详解】(1)fx=x2+2lnx+1,fx

=2x+2

x，∴f1=2,f1

=4,∴曲线y=fx

在点1,f1

处的切

线方程为y-2=4x-1，即4x-y-2=0.

(2)gx

=x2-2ax+2lnx+1，则函数gx

的定义域为0,+∞

,gx

=2x-2a+2

x=2x2-ax+1

x，

若函数gx有两个极值点x

1,x

2，且x

1

20，且x

1+x

2=

a>0,x

1x

2=1，∴x

2=1

x

1

e

1<1．∴gx

1-gx

2=x2

1-2ax

1+2lnx

1-x2

2+2ax

2-2lnx

2

=x

1+x

2x

1-x

2-2ax

1-x

2+2lnx

1-2lnx

2=x

1+x

2x

1-x

2-2x

1+x

2x

1-x

2+2lnx

1-2ln1

x

1

=-x

1+x

2x

1-x

2+4lnx

1=-x

1+1

x

1x

1-1

x

1+4lnx

1=1

x2

1-x2

1+4lnx

11

e

1<1

．

设ht=1

t2-t2+4lnt1

e

，则ht

=-2

t3-2t+4

t=-2t2-12

t3<0在t∈1

e,1

上恒成立．

故ht在1

e,1

单调递减，从而ht>h1=0,ht

e=e2-1

e2-4．因此，gx

1-gx

2的取值

范围是0,e2-1

e2-4

．

【跟踪训练】

1已知函数fx=lnx+a

x+1-2a(a∈R).

(1)讨论函数fx

的单调性；

(2)若fx

两个极值点x

1，x

2，且x

1∈e,e2

，求fx

值域法破解双变量压轴题的四种情形

1基本原理.

第1类.“任意=存在”型

2211,DxDx，使得)()(

21xgxf,等价于函数)(xf在

1D上上的值域A是函数

)(xg在

2D上的值域B的子集,即BA.

其等价转化的基本思想:函数)(xf的任意一个函数值都与函数)(xg的某一个函数值相等,

即)(xf的函数值都在)(xg的值域之中.此类型出现频率最高.

第2类.“存在=存在”型

2211,DxDx，使得)()(

21xgxf，等价于函数)(xf在

1D上的值域A与函数)(xg

在

2D上的值域B的交集不为空集,即BA.

其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.

第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型

2211,DxDx，使得)()(

21xgxf恒成立等价于

maxmin)()(xgxf.其等价转化的

基本思想是函数)(xf的任何一个函数值均大于函数)(xg的任何一个函数值.同理，可得其

他类型.

第4类.mxfxfbaxx|)()(|],,[,

2121型.

由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为mxfxf|)()(|

minmax，解决掉双变量

转化为求最值.

2.典例分析

第1类问题问题应用.

例1.已知函数

lnfxaxxaR.

（1）若1a，求曲线

yfx在1x处切线方程；

（2）讨论

yfx的单调性；（3）1

2a时，设

222gxxx

，若对任意

11,2x

，均存在

20,3x

，使得

12fxgx

，求实数a

的取值范围.

解析：（2）

fx定义域为

0,，1

'1ax

a

xf

xx

，

当0a时，

'0fx恒成立，所以

fx在

0,上单调递增；

当0a时，1

0,x

a





时

'0fx恒成立，1

,x

a





时

'0fx恒成立，

所以

fx在1

0,

a





1

第二十二讲 双变量问题之换元法与主元法

知识与方法

1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于1

2x

x的整体结构，通过将1

2x

x

换元成t把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.

2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有

1x和

2x两个变量，将其中一个变量看成

主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.

典型例题

【例1】已知函数()

lnfxxx=.

（1）求曲线()

yfx=在点()()

1,1f处的切线方程；

（2）设0ba，证明：()()()()

ln2faabfabfb+++−.

解：（1）由题意，()

1lnfxx=+，所以()

11f=，()

10f=，故所求切线方程为1yx=−.

（2）证法1：要证()()()()

ln2faabfabfb+++−，

只需证()()()

lnln2lnlnaaabababbb++++−，

即证()()

lnln2lnlnln2lnaaaaabbabbbb+−++−−，也即证2

lnln

2aab

ab

abb+



+， 故只需证21

lnln

2

1aa

a

bb

ab

b+



+，即证21

lnln0

2

1aa

a

bb

ab

b+

−

+， 令a

t

b=，由0ba知01t，所以只需证21

lnln0

12tt

t

t+

−

+对任意的01t成立，

设()21

lnln

12tt

gtt

t+

=−

+()

01t，则()2

ln0

1t

gt

t=

+，所以()

gt在()

0,1上单调递减，

又()

10g=，所以()

0gt恒成立，故21

lnln0

12tt

t

t+

−

+对任意的01t成立，

从而()()()()

ln2faabfabfb+++−

证法2：要证()()()()

ln2faabfabfb+++−，

只需证()()()

lnln2lnlnaaabababbb++++−，

即证()()()

lnln2lnln0aaabababbb++−+++， 2

学生版

275第15讲函数中的双变量系列问题

脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶

题型一双变量问题之转化同构

思维导图-----方法梳理

若问题的不等式或等式中含有

1x，

2x两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细

分题型，本题型先分析：若对任意的

1x，

2x在区间D上，某关于

1x和

2x的具有轮换对称性的不等式恒成立，

求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为

12fxfx这种同构形式，根据函数

fx的单调

性来研究参数的取值范围.

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹

例1.已知函数1

2lnfxx

x.

（1）求曲线

yfx在点1,1f处的切线方程；

（2）若对任意的

12,0,xx，不等式

12

1211

fxfxm

xx恒成立，求实数m的取值范围.

学生版

276例2.已知函数xfxe，其中2.71828e为自然对数的底数.

（1）设函数

223gxxaxafx，aR，试讨论函数

gx的单调性；

（2）设函数2hxfxmxx，mR，若

121

,,2

2xx





且

12xx，都有

21121221xhxxhxxxxx成立，

求实数m的取值范围.

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

1.（多选）若正实数a、b满足lnlnsinsinbababa，则下列不等式可能成立的有（）

A.01abB.1baC.01baD.01ab

2．已知函数

sinfxxax，若对任意

12,xxR且

12xx，不等式

12

12fxfx

a

xx



恒成立，则实数a的取值范

围为（）

A.1

,

2





B.1

,

2





C.1

,

2





D.1

,

2







3．已知函数

lnfxmxaxm，

1xx

gx

e，其中m、a均为实数.

（1）求

双变量问题重难点【九大题型】

【题型1 双变量单调性问题】................................................................................................................................2

【题型2 双变量的最值（取值范围）问题】........................................................................................................3

【题型3 双变量问题转化为单变量问题】............................................................................................................4

【题型4 与极值点有关的双变量问题】................................................................................................................5

【题型5 与零点有关的双变量问题】....................................................................................................................6

【题型6 双变量的恒成立问题】............................................................................................................................7

专题22 双变量含参不等式证明方法之消参减元法

【例题选讲】

[例1] 已知函数f(x)＝ax2－x－ln1x．

(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．

解析 (1)∵f(x)＝ax2－x－ln1x＝ax2－x＋ln x，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝2ax－1＋1x，∴k＝f′(1)＝2a．

∵f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，∴2a＝2，即a＝1．

∴f(1)＝0，故切点坐标为(1,0)．∴切线方程为y＝2x－2．

(2)∵f′(x)＝2ax－1＋1x＝2ax2－x＋1x，

∴由题意知方程2ax2－x＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根x1，x2，

∴Δ＝1－8a＞0，x1＋x2＝12a＞0，x1x2＝12a＞0，∴0＜a＜18．

f(x1)＋f(x2)＝ax21＋ax22－(x1＋x2)＋ln x1＋ln x2＝a(x21＋x22)－(x1＋x2)＋ln(x1x2)

＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝ln12a－14a－1，

令t＝12a，g(t)＝ln t－t2－1，则t∈(4，＋∞)，g′(t)＝1t－12＝2－t2t＜0，

∴g(t)在(4，＋∞)上单调递减．∴g(t)＜ln4－3＝2ln2－3，即f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．

[例2] (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝1x－x＋aln x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)－f(x2)x1－x2

解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2－ax＋1x2．

(Ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．