破解双变量不等式问题的两个“妙招”

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篇思路探寻

而t=x+x2+y2>0，所以t≥45.

当t=45时，x=310,y=25，符合题意，故选A.

我们引入新元t，通过等量代换构造关于y的一元二

次方程，即可根据方程有解的必要条件，利用Δ≥0建立

不等式，利用判别式法求得t的取值范围.四、利用解析几何知识求解

在解答代数问题受阻时，我们不妨转换思考问题的

角度，从代数式的几何意义入手，利用解析几何知识来解

题.一般地，可将y=x看作一条直线，将y=x2+k看作

一条抛物线，将x2+y2=1看作一个圆，构造出几何图

形.这样便可通过研究直线、曲线、圆的方程及其位置关

系，确定目标式取最值的情形，从而求得目标式的最值.解：因为x,y>0，2x+y=1，所以该式可看作一条直线

的方程，

设z=x+x2+y2,该式可看作直线2x+y=1上在第

一象限的点P(x,y)到y轴的距离d与原点的距离之和.

设原点关于直线2x+y=1的对称点的坐标为O1(m,n)，由此可以得到如下的方程组：

ì

í

îïï

ïï2⋅m+02+n+02-1=0,

(-2)⋅n-0m-0=-1,解得ì

í

îïï

ïïm=45,

n=25,

所以O1()45,25.由图形的对称性可得，|PO1|=|PO|,

所以z=|PO1|+d，所以当PO1⊥y轴时z最小，

故当且仅当x=310，y=25时，zmin=45.故选A.

我们从代数式的几何意义入手，将2x+y=1看作一

条直线，将z=x+x2+y2看作直线2x+y=1上在第一

象限的点P(x,y)到y轴的距离d与原点的距离之和，便

将问题转化为解析几何问题，利用点关于直线的对称性、

直线之间的垂直关系求得目标式的最值.

总之，求解多元最值问题，需运用发散性思维，将问

题与所学的知识关联起来，寻找各个知识点与问题中式

子、数量之间的契合点，从不同角度进行分析、思考，以获

得不同的解题方案.

（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）双变量不等式问题是近几年高考试题中的“常客”，

且常以压轴题的形式出现，这类问题的难度一般较大，侧

重于考查函数的单调性、导数与函数单调性之间的关系、

不等式的性质等.解答双变量不等式问题，往往需通过构

造同构式、指定主元，才能将问题转化为常规的单变量不

等式问题，以利用函数、导数、不等式的性质顺利求得问

题的答案.

一、构造同构式

在解答双变量不等式问题时，我们可先将不等式进

行适当的变形，使不等号两边式子的结构相同或相似；然

后根据其特征，构造函数模型，将双变量看作函数的两个

自变量；再根据函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性

求得函数的最值，从而证明不等式成立.

例1.已知f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx,其中1

证明：对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2>-1.

证明：设x1>x2，函数g(x)=f(x)+x，

由f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx可得：g(x)=12x2+(1-a)x+(a-1)lnx，

对g(x)求导得g'(x)=x+a-1x-(a-1)，破解双变量不等式问题的两个“妙招”李遐龄

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篇而x+a-1x-(a-1)≥2x⋅a-1x-(a-1)

=1-(a-1-1)2，

因为10，

所以g(x)在定义域内单调递增，

又因为x1>x2，所以g(x1)>g(x2).

所以f(x1)+x1>f(x2)+x2，

则f(x1)-f(x2)

x1-x2>-1.

同理可证当x1

x1-x2>-1.

我们先将不等式f(x1)-f(x2)

x1-x2>-1化为f(x1)+x1>

f(x2)+x2，即可构造出同构式，据此构造出函数g(x)=

f(x)+x，转而将双变量不等式问题转化为单变量函数g(x)的单调性问题，利用导数与函数单调性之间的关系

判断出函数的单调性，即可证明不等式.

例2.已知函数f(x)=lnx+x2-3x，对于任意

的x1,x2∈[1,10]，当x2>x1时，不等式f(x1)-f(x2)>

m(x2-x1)

x1x2恒成立，求实数m的取值范围.

解：将f(x1)-f(x2)>m(x2-x1)

x1x2变形可得f(x1)-

mx1>f(x2)-mx2，

设函数h(x)=f(x)-mx，即h(x)=lnx+x2-3x-mx，

求导得h'(x)=1

x+2x-3+mx2≤0，

将其变形可得关于m的不等式m≤-2x3+3x2-x.

设函数F(x)=-2x3+3x2-x，

求导得F'(x)=-6x2+6x-1=-6(x-12)2+12<0，

可知函数F(x)在[1,10]上单调递减，

所以F(x)min=F(10)=-1710，即m≤-1710，

所以参数m的取值范围为(-∞,-1710].

先将目标不等式f(x1)-f(x2)>m(x2-x1)

x1x2变形，构

造出同构式和函数h(x)=f(x)-mx，即可将问题转化为

关于单变量x的函数最值问题.值得注意的是，在求最值

时，不仅运用到了分离参数法，还用到了导数法.若无法

直接求得参数的范围，就可以考虑对参数进行适当的变

形，将其与题目中的条件相联系，把问题转变为求某一个函数的最值问题，这样可使解题思路柳暗花明.二、指定主元

对于双变量不等式问题，往往可根据已知条件和解题需求，指定其中一个变量为主元，根据两变量之间的联系，将问题转化为关于该主元的不等式问题来求解.通常可将已知取值范围或已知关系式的变量指定为主元，通过研究主元的范围、变化规律、最值来探究另一个变量的取值范围.

例3.对于任意n∈N*，恒有(1+1

n)2n+a≤e2，求实数a

的最大值.

解：在(1+1

n)2n+a≤e2的两边同时取对数，可得(n+

a2)ln(1+1

n)≤1.由1+1

n>1，可得a2≤1ln(1+1

n)-n,

设g(x)=1ln(x+1)-1

x(x∈(]0,1)，

则g'(x)=(1+x)[ln(1+x)]2-x2

x2(1+x)[ln(1+x)]2.

设h(x)=(1+x)[ln(1+x)]2-x2(x∈(]0,1)，

则h'(x)=[ln(1+x)]2+2ln(1+x)-2x，

h″(x)=2[ln(1+x)-x]1+x.

再设f(x)=ln(1+x)-x，则f'(x)=11+x-1<0，

从而可知f(x)在(]0,1上单调递减，

所以f(x)

所以h(x)在(]0,1上单调递减，

从而可知h(x)

所以g(x)在(]0,1上单调递减，

所以g(x)≥g(1)=1ln2-1，

即a2≤1ln2-1，所以实数a的最大值为2ln2-2.

我们将n看作主元，通过分离参变量，将a用含n的函数式表示出来.再构造函数，通过研究其导数，判断出函数的单调性，求得函数的最值，进而求得参数的取值范围.虽然双变量不等式问题较为复杂，但我们只要能根据不等式的结构特征构造出同构式，或结合题意指定合适的主元，便能将问题转化为简单的单变量单调性、最值问题，利用函数的单调性、导数的性质来解题，快速求得问题的答案.（

作者单位：江苏省东台中学）思路探寻

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