第1章多自由度体系自由振动分析

振动分析1. 引言振动分析是一种研究和分析物体振动行为的方法。

振动是指物体在固有频率下的周期性运动。

振动分析可以应用于各个领域，如工程、物理学、机械等，以帮助我们理解和掌握物体的振动特性。

本文将介绍振动分析的基本概念、方法和应用。

2. 振动分析方法2.1 自由振动自由振动是指物体在无外力作用下以自身固有频率振动的现象。

自由振动可以用简谐振动模型来描述。

简谐振动是指物体在恢复力作用下按正弦或余弦函数的规律周期性振动。

2.2 强迫振动强迫振动是指物体在外力作用下振动的现象。

外力作用会改变物体原来的振动特性，使振动频率改变。

强迫振动可以通过叠加法和复合振动模型来描述。

2.3 阻尼振动阻尼振动是指物体在有耗散力的情况下振动的现象。

耗散力会使振动逐渐减弱，最终停止。

阻尼振动可以通过阻尼振动模型来描述。

2.4 频域分析频域分析是指将振动信号转换到频域进行分析的方法。

频域分析可以通过傅里叶变换将时域信号转换成频谱图，以研究振动信号中的频率成分和幅度。

频域分析常用于诊断和解决振动问题。

2.5 时域分析时域分析是指在时间轴上分析振动信号的方法。

时域分析可以通过绘制波形图、自相关函数和互相关函数来分析振动信号中的时间特性。

时域分析常用于振动信号的处理和特征提取。

2.6 模态分析模态分析是指通过确定物体的振动模态和固有频率来分析其振动特性的方法。

模态分析可以通过模态测试和有限元法进行，以确定物体的振动模态和模态参数。

模态分析可以帮助我们了解和设计物体的振动特性。

3. 振动分析应用振动分析在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的振动分析应用：3.1 结构健康监测振动分析可以用于结构健康监测，以检测和评估结构的损伤和变形情况。

例如在桥梁和建筑物中安装振动传感器，通过实时监测结构的振动信号，可以及时发现和诊断可能存在的结构问题。

3.2 故障诊断振动分析可以用于故障诊断，以检测和诊断机械设备的故障和异常情况。

通过分析机械设备的振动信号，可以判断是否存在轴承故障、不平衡、松动等问题，从而进行及时维修和更换。

影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度
危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏；
琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检测；
?
√
√．系统设计和系统辨识
系统尚不存在，需要设计合理的系统参数，使系统在已知激励下达到给定的响应水平。

系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响应识别系统参数，
以便更好地研究系统特性。

?√√已知系统的激励和响应
求系统参数
?√√确定系统的激励
实际系统力学原理微分
方程
解析
解
数学工具
理论分析
解决振动问题的方法。

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析自由度是描述物体运动状态的重要概念，而多自由度振动系统则是指由多个物体组成的振动系统。

在工程领域中，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是非常重要的研究内容。

特征值问题是指在多自由度振动系统中，寻找系统的固有振动频率和振动模态的问题。

对于一个n自由度振动系统，其特征值问题可以表示为：[K] {x} + [M] {x} = \lambda [M] {x}其中[K]是系统的刚度矩阵，[M]是系统的质量矩阵，{x}是系统的振动位移向量，\lambda是特征值。

解特征值问题可以得到系统的特征值和特征向量，从而确定系统的固有振动频率和振动模态。

在解特征值问题时，常常采用模态分析的方法。

模态分析是一种将多自由度振动系统的特征值问题转化为一组独立振动模态的方法。

通过模态分析，可以得到系统的振动模态和相应的特征值。

振动模态是指系统在不同频率下的振动形态，而特征值则代表了系统的固有振动频率。

在进行模态分析时，通常需要进行模态求解和模态分解两个步骤。

模态求解是指求解特征值问题，得到系统的特征值和特征向量。

而模态分解则是将系统的振动模态表示为一组独立的振动模态，通常采用线性组合的形式表示。

在实际工程中，多自由度振动系统的特征值问题和模态分析具有广泛的应用。

例如，在建筑结构设计中，通过模态分析可以确定结构的固有振动频率，从而避免共振现象的发生。

在机械系统中，通过模态分析可以评估系统的动态性能和稳定性。

在航天器设计中，模态分析可以帮助设计师优化结构，提高航天器的抗振能力。

总之，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是工程领域中重要的研究内容。

通过解特征值问题和进行模态分析，可以得到系统的固有振动频率和振动模态，从而对系统的振动特性进行分析和优化。

在实际应用中，特征值问题和模态分析对于工程设计和结构分析具有重要的意义。

第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。

多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。

因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。

即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。

3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。

（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。

5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。

（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。

（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。

（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。

（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。