第二章 波函数和 Schrodinger 方程

I.波函数与Schrodinger方程1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。

经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。

但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流密度。

薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。

薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。

薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。

薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。

通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。

波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。

通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。

波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。

波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。

2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。

波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。

3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。

不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。

求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。

4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。

在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。

通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。

5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。

通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。

量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。

其中，1C 、2C 是任意复常数。

2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。

2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。

Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。

Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。

它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。

通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。

方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。

下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。

这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。

波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。

根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。

这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。

由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。

但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。

哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。

它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。

例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。

通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。

解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。

自主学习01 教材内容第二章波函数与薛定谔方程知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；明确波函数的意义。

2.理解量子力学的两个基本原理（测不准原理和态迭加原理）的内容，并明确它们从不同侧面反映了微观粒子波动性的本质。

s3.明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。

4.领会一维定态的求解方法以及一维定态的基本性质。

5.领会束缚态、一维散射态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振6.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、势、线性谐振子[本章教学难点]明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。

掌握定态问题的求解方法，一维定态问题的一般性质。

2.1薛定谔方程的引进[本节要求]掌握一维势箱中粒子的薛定谔方程的求解方法及部分物理量的计算 [重点难点]1． 薛定谔方程的建立 2． 薛定谔方程的求解的过程 3． 物理量的计算 [本节内容]在经典力学中, 力学体系在t 时刻的状态由其坐标r 和相应的动量p 或速度v 决定, 其运动状态随时间的变化规律遵从牛顿运动方程. 如果我们知道力学体系的初始状态, 即可从牛顿方程求出体系在任一时刻的运动状态. 而微观粒子的量子态用波函数),(t r ψ描述,一旦),(t rψ确定,粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率都完全确定, 那么量子态),(t rψ怎样随时间演化以及在各种具体情况下如何求出波函数呢? 薛定谔（E.Schrodinger,1926）提出的波动方程成功地解决了这个问题.下面从一个最简单的途径来引进这个方程.先讨论自由粒子情况.自由粒子能量与动量之间的关系是m p E 22=(1)由德布罗意关系,粒子的能量E 和动量p与跟粒子运动相联系的波的角频率ω和波矢k 之间有k p E==ω(2)也就是说,与具有一定能量E 和动量p 的粒子相联系的是平面单色波()()()()()Et r p i tr k i p ee t r -⋅-⋅==2/32/32121,ππψω (3)由此式可得ψψE t i =∂∂,ψψp i =∇-,ψψ222p =∇- (4)利用式(1),可以得出0)2()2(222=-=∇+∂∂ψψm p E m t i(5)对自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即许多平面单色波的叠加p d e p t r Et r p i 3)(23)()2(1),(-⋅⎰∞-∞+=ϕπψ (6)其中m p E 22=.可证 p d Ee p t i Et r p i 3)(23)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∂∂ϕπψp d e p p Et r p i 3)(22322)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∇-ϕπψ所以0)2)(()2(1)2(3)(22322=-∞-∞+=∇+∂∂-⋅⎰p d e m p E p m t i Et r p iϕπψ可见ψ仍满足方程(5) .所以式(5) 是自由粒子情况下波函数满足的方程.值得注意的是,如在经典能量动量关系(1)中作替换∇-=→∂∂→i p p ti E ˆ (7) 然后作用于波函数,就可得方程(5).其次考虑在势场)(r V中运动的粒子,按经典粒子的能量关系式 ()r V m p E+=22 (8)对上式作替换(7),并作用于波函数上,即得薛定谔方程),(ˆ),()(2),(22t r H t r r V m t r t i ψψψ≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=∂∂ (9)应该强调,薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,但这个方程是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它,其正确性,归根到底只能靠实践来检验. 另一方面, 薛定谔方程只含对时间的一阶导数, 为何可以描述波动过程呢? 在经典力学中, 波动方程022=∇-u a u tt 有周期性的解, 而热传导方程022=∇-u a u t 则描述不可逆过程, 没有周期性的解. 实际上,()t r k A u ω-⋅=cos 或()t r k A ω-⋅sin 都不满足热传导方程, 这是因为(以余弦函数为例)()()()πωωπωωωω+-⋅=-⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-⋅=∂∂=t r k A k t r k A k u t r k A t r k A t u u tcos cos 23cos sin 222 (10)这样t u 使相位增加23π,u 2∇使相位增加π,可见周期函数不可能满足热传导方程. 薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数, 但在t ∂∂ψ前面出现2πi e i =,正好使两者相位一致, 因而有周期性的解, 而且薛定谔方程中i 因子的出现, 使得波函数一般是复函数. 关于薛定谔方程的两点讨论: 1.定域的几率守恒对薛定谔方程(9)取复共轭,并注意到V V =*,得*)2(22ψψV m t i +∇-=∂∂-* (11))11()9(⨯-⨯*ψψ,得*)*(2*)*(2)*(2222ψψψψψψψψψψ∇-∇⋅∇-=∇-∇-=∂∂m mt i (12)令),(),(*t r t rψψρ= (13)*)ˆˆ*(21*)*(2ψψψψψψψψp pm m i j -=∇-∇-= (14)则式(12) 化为0=⋅∇+∂∂j t ρ(15)在空间闭区域V 中对上式积分,并根据高斯（Gauss ）定理,得⎰⎰⋅-=S V s d j x d dt d 3ρ (16)上式左边代表在闭区域V 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增加,而右边代表单位时间内通过封闭曲面S 而流入V 的几率（或粒子数）.所以j具有几率流密度的意义.在式(16)中,让∞→V（全空间）.对任何实际的波函数,是满足平方可积条件的,即∞→r 时,()εψ+-∝23r （0>ε）.可证明,式(16)右边面积分趋于零.所以),(32=∞-∞+⎰x d t r dt d ψ从此式可见=∞-∞+⎰x d t r 32),( ψ常数 (与时间无关) (17)这与预期的一样,在全空间找到粒子的几率的总和应不随时间改变.波函数的归一化不随时间而改变.若在初始时刻波函数是归一化的,则在以后任何时刻都是归一化的.2.定态与能量本征值方程讨论一种常见而且极重要的情形,即势场V(r)不显含t.此时,薛定谔方程存在下列形式的解)()(),(t f r t rψψ= (18)代入薛定谔方程,分离变数后,得E r r V m r dt df t f i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=)()(2)(1)(122 ψψE 是既不依赖于t,也不依赖于r的常数,这样E i t f dt d -=)(ln所以iEt e t f -~)(.因此,得到形如下式的特解Etie r t r -=)(),(ψψ (19)其中)(rψ满足下列方程 ())()()(2ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-≡ (20)此式称为不含时间的薛定谔方程.形如(19)的波函数描述一个简谐振动,它的角频率是E =ω,按德布罗意关系,E 就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量.如果粒子初始时刻(t=0) 处于某一能量本征态()()r r Eψψ=0,,其中()r E ψ满足方程(20),若()r V 或Hˆ不显含时间t,容易验证()()()iEt r t r E -=exp ,ψψ满足含时薛定谔方程(9) ,并与初始时刻一样,()t r ,ψ也满足不含时薛定谔方程(20).也就是说,体系处于形如式(19)所描述的状态时,能量具有确定值.我们把这种具有确定能量值的状态称为定态,方程(20) 称为定态薛定谔方程.容易证明,粒子处于定态时,粒子在空间的几率密度()rρ、几率流密度()r j及任何不显含时间t 的力学量的平均值都不随时间而改变.数学上,把一个算符F ˆ作用于一个函数上而得到一个常数f 乘以该函数的方程,称为f 或算符F ˆ的本征方程,常数f 称为算符F ˆ的本征值.因此,定态薛定谔方程也称为能量或哈密顿算符H ˆ的本征值方程.设ψn 是体系哈密顿算符H ˆ的属于本征值E n 的本征函数,则体系的定态波函数为()()t iE n n ne r t r -=ψψ, (21)它也是含时薛定谔方程(9) 的特解,而含时薛定谔方程(9) 的一般解可表示为()()()t iE n n nn n n ne r c t r c t r -∑∑==ψψψ,, (22)它是若干定态波函数的叠加,按态叠加原理,当体系处于()t r , ψ态时,发现粒子处于()t r n ,ψ的几率为2nc .既然体系处于()t r ,ψ态时,其能量可以取各种不同的值,所以波函数(22) 不是定态波函数.在这种态下,粒子的几率密度()rρ和几率流密度()r j 都要随时间改变.除守恒量外,任何不显含时间t 的力学量的平均值也要随时间改变. 思考题1. 设()()()r c r c r E E 21210,ψ+ψ=ψ,问()0,r ψ是否为定态, 为什么? 求()t r , ψ. 答: ()0,r ψ不是定态.()()()t E iE t E iE e r c e r c t r 221121, ψ+ψ=ψ-.2. 计算r e ikr =ψ1和e ikr-=ψ2相应的几率流密度, 并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.答:re r v mr k j 221==, 描述向外传播的球面波; r e r v j22-=, 描述向内传播的球面波.3. 粒子在一维势场中运动, 若所处的外场均匀但与时间有关, 即()()t V t x V =,,试用分离变量法求解一维薛定谔方程.答:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+λ-μλ±⎰=ψt ds s V t i x ieAe t x 02,, 其中A 和λ为常数, 由归一化条件和初始条件确定.2.2 波函数的统计诠释[本节要求]认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；波函数的平方给出了位置的测量结果；明确波函数的意义。

schrodinger方程Schrodinger方程是一个描述量子力学中粒子随时间演化的数学方程。

它的主要思想是将粒子的位置信息转化为波函数的形式，并根据波函数的随时间演化，计算出粒子在时间上的变化。

下面将分步骤详细阐述Schrodinger方程的相关知识。

1. 量子态和波函数在量子力学中，我们无法精确地描述粒子的位置和动量信息，而只能用量子态来描述。

量子态可以是一个列向量，也可以是一个常数乘以列向量。

而波函数则是一个数学函数，它是用来描述量子态的工具。

波函数是一个复函数，它的平方即为粒子出现在某一位置时的概率。

波函数的模方必须为正值，且在整个空间上积分等于1，保证了粒子一定会存在于某个位置。

2. Schrodinger方程的基本形式Schrodinger方程的基本形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) =\hat{H}\psi(x,t)$其中，$\hbar$是普朗克常数除以$2\pi$，$\hat{H}$是量子力学中的哈密顿算符。

哈密顿算符描述了物理系统的能量与动量的关系，它是粒子的动能加势能的和。

3. Schrodinger方程的一维形式一维Schrodinger方程的形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partialx^2}\psi(x,t)+V(x)\psi(x,t)$其中，$m$是粒子的质量，$V(x)$是势能函数。

这个方程可以用于描述一个自由粒子在势场中的运动。

4. Schrodinger方程的应用Schrodinger方程在量子力学中的应用非常广泛，它可以用于解决各种静态和动态问题。

静态问题包括计算某个势场下粒子的定态波函数和能量本征值。

动态问题包括计算粒子在势场中受到外界时间依赖作用的状态演化，以及计算一些简单的量子力学现象。

量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。

它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。

波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。

它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。

根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。

薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。

然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。

因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。

对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。

以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。

代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。

除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。

例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。

对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。

这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。

总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。