下载文档原格式
第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
苏汝铿统计物理答案【篇一：125本物理学名著精编版】>1 爱因斯坦文集2 费曼物理学讲义(原声录音) 出国留学必备书之一！3 费曼物理学讲义_卷一4 费曼物理学讲义_卷二5 费曼物理学讲义_卷三6 费曼物理学讲义习题集7 别闹了，费曼先生！8 泡利物理学讲义(共六卷) 出国留学必备书之一！9 faraday(法拉第)_lectures on the forces of matter 10faraday(法拉第)_the chemical history of a candle 11 从抛物线谈起—混沌动力学引论12 多粒子系统的量子理论13 量子力学与路径积分（费曼）出国留学必备书之一！ 14 物理力学讲义（钱学森）15 物理学家用微分几何出国留学必备书之一！16 相对论（索末菲）17 相对论的意义18 算法大全19 相对论量子场20 相对论量子力学21 引力论与宇宙论22 自然哲学之数学原理宇宙体系23 物理学进展200124 history of modern physics25 nobel lectures(1998--2001)26 numerical recipes in c27 phy question28 physics review letter(vol74-vol86)29 thermal physics30 topics appl. phys vol 80 carbon nanotubes31 trends in colloid and interface science xiv32 relativity the special and general theory33 interact（斯坦福直线加速器实验室）34 introduction to tensor calculus and continuum mechanics35 lect statistic36 mathematicalhandbook37 relativity the special and general theory -by albert einstei38 gre物理sub试题（爆全）39 北大物理类研究生入学考题40 大学物理课件41 概率统计课件42 核辐射物理电子讲义43 计算机常用算法44 计算物理讲义45 离子束分析（课件）46 数据结构算法课件(部分)47 数值计算课件48 hilbert空间问题集 halmos49 波动学《伯克利物理学教程》第三卷上、下册50 场论（朗道）51 场论与粒子物理学（上册）（李政道）出国留学必备书之一！52 场论与粒子物理学（下册）（李政道）53 非平衡态热力学和耗散结构(李如生)54 分形物理学55 辐射的量子统计性质（路易塞尔）56 高等量子力学（第二版）(杨泽森)57 高温辐射物理和量子辐射理论（李世昌）58 孤子理论59 经典力学( goldston，戈德斯坦著)出国留学必备书之一！ 60 固体的电子结构61 固体化学导论62 固体物理导论（基泰尔）出国留学必备书之一！63 固体物理习题详解（基泰尔）64 固体物理学（黄昆）65 光和物质的奇异性 66 光学(planck)67 光学原理上册、下册(m.玻恩 e.沃耳夫)68 广义相对论（刘辽）69 广义相对论dirac70 广义相对论引论（俞允强）71 规范场的量子理论导引72 规范场论（胡瑶光）73 规范场与群论、完全可积问题74 计算物理学(张开明顾昌鑫)75 结晶化学导论(第二版)76 经典电动力学(jackson_vol1) 出国留学必备书之一！ 77 经典电动力学(jackson_vol278 经典电动力学习题答案(jackson_2nd)79 经典和现代数学物理方程(陆振球) 出国留学必备书之一！ 80 空间群表81 李代数李超代数及在物理学中的应用82 理论电化学83 理论物理基础（彭恒武徐锡中）84 理论物理学基础教程丛书统计物理学(苏汝铿)85 理论物理学基础教程丛书量子力学(苏汝铿)86 理论物理学中的计算机模拟方法(w.heermann)87 量子场论上册(c.依捷克森) 出国留学必备书之一！ 88 量子场论下册(c.依捷克森)89 量子场论导引（上、下册）杨炳麟90 量子电动力学（栗弗席茨）出国留学必备书之一！91 量子混沌 92 量子力学(messiah，梅西亚著)vol193 量子力学(messiah梅西亚著，)vol294 量子力学（非相对论理论）上册(朗道) 出国留学必备书之一！95 量子力学（非相对论理论）下册(朗道)96 量子力学（fermi，费米著。
14QM-2.16设氢原子处在基态，求：
（1） 它在动量表象中的表达式；
（2） x p 和2
x p 的平均值；
（3） x 和2x 的平均值；
解：氢原子基态波函数为 120121
(,,)r a r e a
φθϕπ-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2
1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为
2cos //223/200011()()1/21/20
1/23/222
3222
1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr
a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθϕππππ∞-----+∞==-=--+=+⎰⎰⎰⎰h h h h h h h g g h h h h h
于是
|()|0
x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==⎰
由于被积函数对x p 是奇函数
22222542250004
2
2
2|()|1|()|3
8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθϕπ∞-∞∞-∞∞==
=+=⎰⎰⎰⎰⎰h h h
而223223243532
113434()4!32
r a r a r a x e x dxdydz a
e r dxdydz a e r dr a
a a a ππ
---====⋅=⎰⎰⎰g
2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出：
（1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级；
（2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；
（3）μ+和e -
形成的束缚态能级。
解：氢原子束缚态的能级公式为： 42
22
(2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为：
42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n
πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。
（2）对于μ原子来说，束缚态的能级为：
42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n
μππ=-
=-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。
（3）μ+和e -
形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n
π=-= 其中e m 为电子质量。
14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r
=-+>，求粒子的能量本征值。
解：由于E>0是连续谱，所以仅讨论E<0
在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
'''2222222(1)
()()[22]()0
E l l R r R r r r a A R r r r μμ
μ+++-+
⋅-⋅⋅=h h h
令
/r ρ=h
代入得
'''222
1
21
()()[((1))]()0
4A R R l l R μρρρρρ++-++=h （１） 由方程可知ρ→∞，R 的近世值为1/2e ρ-
0ρ→，解的形式为s ρ，而
2(1)[(1)2/]s s l l A μ+=++h 的正数解
即
1)/2s =
所以可令 1
2()()s R A e ρρρωρ-=，代入（１）得
'''()(22)()()1()0R s s ωρρωρωρ++--=
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p ）在ρ→∞趋于０则有解
()(122,)F S s ωρρ=++
且
1s n +=- n ＝０、１、２…..
所以 本征值为
2
222(1)nl a E n s μλ=-++h
而1)/2s =
第14组 彭毅 200431020117 姜麟舜 200431020119。
