第二章--行波,波动方程

⑴ 线变
l
l
F
F
S
一段固体棒，当在其两端沿轴的方向 加以方向相反大小相等的外力时， 其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。 以F 表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，
则叫F∕S 叫做应力，以 l 表示棒的长度，
以 Δl 表示在外力 F 作用下的长度变化。
则 Δl∕l 叫相对长度变化，又叫应变
u
y
u
●
o
x
已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，
x 轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示 设 t 时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：
x0
y0 A cos( t a )
y
u
●
o
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。 则当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时 P 点质元将以相同的振幅和频率， 重复 o 点质元的振动，
P 点振动的位相 t 时刻 P点质元振动的表达式：
2

x
y A cos( t
2

x a )
y
x
o
●
u
P
●
x
2
y A cos( t

x a )
因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数 利用关系 2 ，u
但 P 点振动的位相要比 o 点落后。
y
x
o
●
u
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
由于沿波传播方向每隔一个波长 λ ，
位相就要落后 2π ，每隔单位长度位相落后 2π∕λ
设 P 点距 o 点的距离为 x，
P 点振动的位相要比 o 点落后 x 2π ∕λ
y
x
o
●
u
P
●
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。 什么是物质的弹性？
2.3 物体的弹性变形
物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时， 形状或体积都会发生或大或小的变化。 这种变化统称为形变 当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。 在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式： 线变 切变 体变
y A cos( t
2

x a )
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t ) y( x , t )
x ut
y
t
u
ut
o
●
x
●
x x
●
x
y A cos( t
2

x a )
3. 沿负向传播的平面简谐波的表达式
2.
波长 λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质 元之间的距离叫做波长。记作 λ
λ
λ
纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长
横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”——包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。
3.
周期 T、频率 ν 与波长 λ 的关系
y A cos( t
2

x a )
2) 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。
y A cos( t 0
2

x a )
波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 3) 当x、t 变化时，
波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻 离开平衡位置的位移
以 V 表示原体积，ΔP 表示压强的改变，
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“ － ”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源
媒质
作机械振动的物体——波源
传播机械振动的物体
在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，
媒质的质元的振动状态在各时刻都相同
----质元的振动同相 表明波具有空间上的周期性。 引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。
λ
2.
波长 λ
λ
在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间
的距离叫做波长。记作 λ 从外形上看， 横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷， 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长
横波
从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变， 外形有波峰波谷之分
横波只能在弹性固体中传播
纵波
在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。
纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播
4.
波的特征
(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流” 。 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
o
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
●
x
u
o
●
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同）， 它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。 因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的 振动状态就可以了。 即:平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元 的振动表达式
一．平面简谐波的波函数（波的表达式） 波函数的含义：
与简谐振动表达式对比说明
是简谐振动质点的运动方程
x =Acos ( t o )
表示时刻 t 质点离开平衡位置
的位移，取决于位相 t o
一．平面简谐波的波函数（波的表达式）
给出一个能够描述媒质中所有质元的 波函数 波的表达式 运动状态的方程，即振动表达式 应表示出所有质元在时刻 t 的位移， 除了取决 t o 外， 还应与质元的位置坐标有关
机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等 变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。
如无线电波、光波、等
虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播， 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。
§2.1 行波
x
x0
y0 A cos( t a )
P 点振动的位相要比 o 点落后 x2π ∕ λ
t 时刻o 点质元的振动位相：
t 时刻 P 点质元的振动位相：
t a
t a
2

x
y
x
o
●
u
P
●
x
x0
y0 A cos( t a )
t
a
结果： t 时刻 P点质元振动的振幅和频率与o 点相同，
实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。
⑴ 线变
l
l
F
F
S
胡克定律
在弹性限度内，应力和应变成正比。
F l E S l
E 为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，
叫杨氏模量。
⑵ 切变
F
S
F
S
d

D
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图， 这种形式的形变叫切变。 外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力
波的时间上的周期性和空间上的周期性 是密切联系的，这种联系就表现在： 在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即 某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。 如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度， 则这一联系可用公式表示为
u

T

这是表示波的基本特征的重要公式
u
将上式改写
施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ф， 叫切变的应变。 d D
F
⑵ 切变
S
F
S
d

D
F
F
在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。
F d G G S D
G 称作切变弹性模量。由材料的性质决定。
⑶ 体变
P
V
V P K V
一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图， 以 ΔV∕ V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4.
波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质， (1) 固体中的横波 (2) 固体棒中的纵波
u
G

u
E

G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
球面波
二．描述波的物理量
1.
周期 T、频率 ν
波是机械振动的传播，在传播的过程中， 媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性， 即每隔一定的时间，媒质中各质元的 振动状态都将复原。 媒质中振动状态复原时所需的最短时间， 也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。