含参变量的无穷积分(北工大)

含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。

这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。

其次，含参量积分具有可微性。

设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。

这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。

此外，含参量积分还具有积分区间可微性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。

这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。

1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。

例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。

2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。

例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。

3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。

例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。

4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。

§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰，或(,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f xr r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰01.(0)1cos dx r r r r xππ=-≠+⎰ 设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，001cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝.将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是 ，1()ln(1ln ln 2I r πππ=+=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -===.证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn a y x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a ===.例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x∂=∂ 即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。

湖北大学硕士学位论文关于无穷积分收敛的必要条件的探讨姓名：孙幸荣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：文胜友20080501关于无穷积分收敛的必要条件的探讨作者：孙幸荣学位授予单位：湖北大学1.期刊论文关冬月关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件-内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(5)数项级数∑∞n=1un与广义积分∫+∞af(x)dx之间可以互相转化,函数项级数∑∞n=1un(x) (x∈I)与含参变量广义积分∫+∞af(x,y)dx (y∈I)之间也可以互相转化.鉴于此,无穷级数与无穷积分在收敛性及相关的性质方面有诸多相似之处.本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛的必要条件的不同之处,并给出几个必要条件.2.期刊论文张千祥无穷级数与无穷积分的关系探讨-安庆师范学院学报(自然科学版)2002,8(4)本文讨论了无穷级数与无穷积分的关系,给出∫+∞αf(x)d(x)收敛时,limx→∞f(x)=0成立的几个充分条件.3.期刊论文王宇凡.WANG Yu-fan关于无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛的必要条件-阴山学刊（自然科学版）2007,21(4)本文从无穷级数收敛的必要条件出发,通过无穷积分和无穷级数的紧密联系,给出无穷积分收敛的一个必要条件.4.期刊论文毛一波.MAO Yi-bo反常积分与无穷级数的对数审敛法-重庆文理学院学报（自然科学版）2007,26(1) 利用比较判别法,给出了无穷积分和瑕积分敛散性的对数判别法;对比无穷积分和无穷级数,同时给出了无穷级数的对数审敛法.5.期刊论文朱水源无穷积分+∞∫0 sinx/x dx的敛散性的判别和计算-宿州教育学院学报2007,10(6)本文就无穷积分+∞∫0 sinx/x dx这一反常积分问题,给出了Dirichlet判别法、留数计算法、Laplace变换(像函数积分法)、无穷级数(近似)计算法.这些无疑是解决诸如+∞∫0 sinx/x dx类积分问题的有效手段.6.期刊论文刘宁谈无穷级数与广义积分的关系-重庆职业技术学院学报2004,13(3)本文叙述了无穷级数与广义积分的区别与联系,并给出了收敛的无穷积分其被积函数趋于零的充要条件.7.期刊论文梁洪亮浅谈等价关系的应用-高等数学研究2004,7(4)将等价关系应用于求极限和判定无穷积分、无穷级数的敛散性,可极大地方便问题求解.8.期刊论文许志红.钱祖平.益晓新有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算-解放军理工大学学报(自然科学版)2001,2(4)在阻抗边界条件下，有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位函数可被表达成电偶子源的直达波，镜像源的反射波与一个无穷积分或一个贝塞尔函数级数之和的解析形式。

含参变量积分求导例题
当我们求含参变量的积分求导时，我们需要使用链式法则和基本的微积分规则。

下面我将以一个例题来说明。

假设我们要求函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt$ 的导数。

首先，我们可以将积分写成定积分的形式：
$$f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt = F(x) F(0),$$。

其中 $F(x)$ 是原函数，即 $F'(x) = e^{x^2}$。

接下来，我们可以使用基本的微积分规则来求导。

根据定积分的性质，我们可以得到：
$$f'(x) = F'(x) F'(0).$$。

根据链式法则，我们知道 $F'(x) = e^{x^2}$，而 $F'(0)$ 则是常数。

因此，我们可以得到：
$$f'(x) = e^{x^2} F'(0).$$。

至此，我们求得了含参变量积分的导数。

请注意，$F'(0)$ 是一个常数，可以通过计算 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的导数来确定具体的值。

总结起来，对于函数 $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t^2} dt$，它的导数为 $f'(x) = e^{x^2} F'(0)$，其中 $F(x)$ 是原函数，满足 $F'(x) = e^{x^2}$。

希望这个例题能够帮助你理解含参变量积分的求导过程。

如果你还有其他问题，请随时提问。

教案27含参变量有限积分一、含参变量有限积分定义设二元函数),(y x f 在区域{}I u b x a y x D ∈≤≤=,|),(有定义，I u ∈∀，一元函数),(u x f 在],[b a 可积，称⎰=ba dx u x f u ),()(ϕI u ∈为含参变量有限积分定义，u 为参变量。

二、含参变量有限积分性质 1、极限性质：如果二元函数),(u x f 在0u u =点关于x 一致连续，（即0>∀ε，0),(0>∃u εδ，当δ<-||0u u 时，],[b a x ∈∀，有ε<-|),(),(|0u x f u x f ．）则 ⎰⎰⎰==→→bab a u u bau u dx ux f dx u x f dx u x f ),(),(),(0lim lim．2、连续性：若二元函数),(u x f 在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰=ba dx u x f u ),()(ϕ在区间I 上连续，且⎰⎰⎰→→→====ba uu bau u bauu dx u x f dx u x f u u dx u x f ),(),()()(),(lim lim lim 0000ϕϕ．即可在积分号下取极限。

3、可微性（积分号下求导）若),(),,(u x f u x f u '在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰⎰'='b au ub adx u x f dxu x f ),(),()(．4、莱布尼兹公式：若函数)(u a ϕ=与)(u b ψ=在区间],[d c 上连续，可导；函数),(u x f 与),(u x f u '在区域{})()(,|),(u x u d u c u x D ψϕ≤≤≤≤=内连续，则)(]),([)(]),([),(),()()()()()(u u u f u u u f dx u x f dxu x f u u u uu u ϕϕψψψϕψϕ'⋅-'⋅+'=⎰⎰'．5、可积性（积分号下求积分）若二元函数),(u x f 在区域{}d u c b x a u x D ≤≤≤≤=,|),(连续，则⎰⎰⎰⎰=dad cdcbadu u x f dx dx u x f du ),(),(．例1 设⎰⎰-=xxtr t d dr e x f 02][)(，求)(x f 、)(x f '．解：0>∀a ，设{}x t a x a t x D ≤≤≤≤-=0,|),(，则函数⎰-=xtr dr e t x g 2),(及2),(x x et x g -='在区域D 上连续，所以，222][)(xxxx xtrxedr et d dr ex f ---==='⎰⎰⎰．将上式从0到x 积分，)1(21)0()(22-=+=--⎰x xte f dt tex f ． 例 2 在闭区间]3.1[上求一线性函数bx a +，用其近似代替函数2)(x x f =，使得⎰-+3122)(dx x bxa 最小。

含参变量无穷积分的一致收敛性论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质.关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法无穷积分⎰+∞adxxf)(与级数∑∞=1nnu的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分⎰+∞adxyxf),(与函数级数()∑∞=1nnxu之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解.1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法我们很自然的可以想到运用定义来证明.定义 设∀∈y 区间I ,无穷积分()⎰+∞adx y x f ,收敛,若∀ε>0,0A ∃(通用)>0,∀0A>A ,有|(,)(,)Aaaf x y dx f x y +∞-⎰⎰dx |=|(,)Af x y dx +∞⎰|ε<,则称无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ，方法常常是采取适当放大的方法.例 1[]1证明：无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[a ，+∞]（a >0）一致收敛，而在（0，+∞）上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axye dt e xy t dx y y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令ε),,0(，对,0>∀ε解不等式ε<-Ay e ，有y A ε1ln>,取yA ε1ln0=，则0A A >∀，有ε<⎰+∞-Axydx ye，因此，dx ye Axy ⎰+∞-在（0，+∞）是收敛的，但不能断定是一致收敛的，因为我们所找到的0A 不仅跟ε有关，而且与),0(+∞∈y 有关.事实上，dx ye Axy ⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的，只需取=εe21，,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=A y A A A ，则01''''ε>==---⎰e e dx e y y A xy ，但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0>a ），由不等式： y a ≥,有Ay Aa e e --≤,解不等式Aa e ε-<,有1lnA aε>,于是取yA ε1ln=，0A A >时，对一切[)+∞∈,a y ,有ε<≤=--+∞-⎰Aa Ay Axy e e dx ye ，所以， dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）一致收敛. 此题中，我们还可以计算出dx ye xy ⎰+∞-0在),0(+∞上的收敛值.事实上，对任意),0(+∞∈y ，都有ξξy xy e dx ye ---=⎰10，所以,1)1(lim lim 0=-=-+∞→-+∞→⎰ξξξξy xy e dx ye ，即dx ye xy ⎰+∞-0在（0，+∞）收敛于1.定理 1[]2（柯西一致收敛准则）无穷积分dx y x f a⎰+∞),(在区间I 一致收敛∃>∀⇔,0ε0A ,0>1A ∀0A >与有,,02I y A A ∈∀>ε<⎰21),(A A dx y x f .定理 2[]3（魏尔斯特拉斯 M 判别法）若I y B x B ∈∀>∀>∃,,0，有 ),(),(y x F y x f ≤, 且无穷积分()dx y x F a ⎰+∞,收敛，则无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定 的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。