2011-12-1空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及坐标运算一、基础知识点1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c ，那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z}，使得p ＝ .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个 ，a ，b ，c 都叫做 ．2．空间向量的正交公解及其坐标表示单位正交基底三个有公共起点O 的 的单位向量e 1，e 2，e 3称为单位正交基底．空间直角坐标系以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz .空间向 量的坐 标表示对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z}，使得p＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z ).3.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量运算 坐标表示 a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) λa (λa 1，λa 2，λa 3) a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a ∥b a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0|a | a 21＋a 22＋a 23cos 〈a ，b 〉 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 234.空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB→＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.题型一 正交分解与坐标表示1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．若向量a ⊥b ，则a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D ．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝α a ＋β b ＋γ c,则γβα，，分别为（ ） A.52，－1，－12 B.52，1，12 C ．－52，1，－12 D.52，1，－123.已知a,b,c 是不共面的三个向量，则构成空间向量的一个基底的一组向量是（ ）A.3a,a+b,a+2b B .2b,b-2a,b+2a C .a,2b,b-c D .c,a+c,a-c4.四棱锥P —OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA→＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a 、b 、c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.5、如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .题型二 空间向量的坐标表示和运算6、已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是7、以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，如图，建立空间直角坐标系，则与DB1→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,2，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)8、已知A 、B 、C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P 点的坐标．(1)OP→＝12(AB →－AC →)； (2)AP →＝12(AB →－AC →)9、设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，则k ＝________； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则k ＝________.10、已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)、C (0,5,1)，M 为BC 的中点，则|AM→|＝________.11、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为12、已知a ＝(1－t,1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a|的最小值是13、已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，求当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标．14、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.15．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是AA 1、CB 1的中点． (1)求BM 、BN 的长；(2)求△BMN 的面积．空间向量的正交分解及坐标运算（中午练习）1. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，若A 为原点则点B 的坐标是2. 已知a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于3. 已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为4.若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB→|取得最小值时，x 的值等于5.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则x= ; y= .6.已知向量a =(0,-1,1),b =(4,1,0),|λa +b |=29,λ∈R 且λ>0,则λ= .7.已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，B (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．8.如图,正四棱锥S-ABCD 的侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,O 为底面ABCD 的中心. (1)求CE 的长;(2)求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值;。

高考数学知识点归纳：空间向量的正交分解及坐标2017高考数学知识点归纳：空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点：空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那幺对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。

基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

2017高考数学必考点【空间向量的正交分解及坐标】讲解为大家精心总结的，希望大家能够在复习数学考点的时候多下功夫，这样就能在高考数学考试中取得满意的成绩。