8对数函数综合(1)

第8课 对数与对数函数1．对数式的化简与求值(1)(2021汇编，25分)完成下列问题：(Ⅰ)lg 27＋lg8－lg 1000lg1.2＝________；(Ⅱ)log 225·log 322·log 59＝________；(Ⅲ)2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2＝________；(Ⅳ)若3a ＝4b ＝6c ，则1a ＋12b －1c＝________；(Ⅴ)已知log 147＝a ，14b ＝5，则log 352＝________(用a ，b 表示)．答案：(Ⅰ)32 (Ⅱ)6 (Ⅲ)2 (Ⅳ)0(Ⅴ)1－a a ＋b解析：(Ⅰ)原式＝lg 8271000lg 65＝12lg 64×271000lg 65＝12lg 43×33103lg 65＝314336lg lg 321025.662lg lg 55⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭== (Ⅱ)(法一)log 225·log 32 2·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6.(法二)log 225·log 322·log 59＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝lg52lg2·32lg 2lg3·lg32lg5＝6.(Ⅲ)2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(lg2＋2lg5＋lg2)＝2lg5＋lg2(2lg2＋2lg5)＝2lg5＋2lg2＝2.(Ⅳ)设3a ＝4b ＝6c ＝k >0，易知k ≠1，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则1a ＋12b －1c ＝1log 3k＋12log 4k －1log 6k ＝log k 3＋12log k 4－log k 6＝log k 3×26＝log k 1＝0. (Ⅴ)∵14b ＝5，∴b ＝log 145.∵a ＝log 147，∴a ＋b ＝log 1435，1－a ＝log 1414－log 147＝log 142，∴log 352＝log 142log 1435＝1－aa ＋b.(2)(2019北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10-10.1 答案：A解析：设太阳的亮度为E 1，天狼星的亮度为E 2，根据题意，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，故lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.2．对数函数的图像及性质 a ．对数函数图像过定点问题(3)(2018张家港模拟，5分)若函数f (x )＝log a (x －1)＋4(a >0，且a ≠1)的图像过定点(m ，n )，则log m n ＝__________．答案：2解析：令x －1＝1，得x ＝2，则f (2)＝log a (2－1)＋4＝4，故函数图像过定点(2，4)，∴m ＝2，n ＝4，∴log m n ＝2.b ．对数函数图像的辨析(4)(2019浙江，4分)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )答案：D解析：对于函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 当a >1时，可得y ＝1ax 是减函数，图像恒过(0，1)点，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数，图像恒过⎝⎛⎭⎫12，0点；当0＜a ＜1时，可得y ＝1ax 是增函数，图像恒过(0，1)点，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数，图像恒过⎝⎛⎭⎫12，0点，∴D 选项中的图像满足要求．故选D.c ．利用对数函数图像求取值范围(5)(2018湖北黄冈月考，5分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫2e ＋1e ，2＋e 2 解析：作出函数f (x )的图像，如图．设a <b <c ，则0<a <1<b <e<c ，∴f (a )＝－ln a, f (b )＝ln b, f (c )＝2－ln c ，∴－ln a ＝ln b ＝2－ln c ，∴ln a ＋ln b ＝ln ab ＝0，ln b ＋ln c ＝ln bc ＝2，∴ab ＝1，bc ＝e 2，∴a ＝1b ，c ＝e 2b ，∴a ＋b ＋c ＝1b ＋b ＋e 2b ＝b ＋1＋e 2b .令g (x )＝x ＋1＋e 2x，由对勾函数的单调性知，g (x )在(1，e)上单调递减，∴g (e)<b ＋1＋e 2b <g (1)，即2e ＋1e <b ＋1＋e 2b<2＋e 2，∴a＋b ＋c 的取值范围为(2e ＋1e，2＋e 2)．d ．利用对数函数的图像与性质比较大小(6)(2021汇编，20分)(Ⅰ)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )(2018天津)A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b(Ⅱ)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则实数a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(Ⅲ)若2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 2b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 12c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(Ⅳ)已知a ＝2log 2π，b ＝3log 3π，c ＝5log 5π，则实数a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案：(Ⅰ)D (Ⅱ)A (Ⅲ)B (Ⅳ)D解析：(Ⅰ)因为a ＝log 2e>1，b ＝ln2<lne ＝1，c ＝log 1213＝－1－1·log 23＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a >b .答案选D.(Ⅱ)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，∵y ＝log 2x 是增函数，∴log 27>log 25>log 23>0.∵log 27＝1log 72，log 25＝1log 52，log 23＝1log 32，∴log 32>log 52>log 72,∴a >b >c .(Ⅲ)直接通过图像的交点位置比较大小，在同一坐标系中作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图像，如图所示．由图像可知b ＞c ＞a .(Ⅳ)∵a ＝2lgπlg2>0，b ＝3lgπlg3>0，c ＝5lgπlg5>0，∴a b ＝2lg33lg2＝lg9lg8>1，可得a >b ， c a ＝5lg22lg5＝lg25lg52>1，可得c >a .综上可得c ＞a ＞b .e ．对数型复合函数的定义域、单调性、奇偶性和值域问题 (7)(2021汇编，21分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(Ⅰ)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(Ⅳ)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (Ⅴ)若函数f (x )在区间(－∞，1]上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅵ)若f (x )>0在区间[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅶ)若函数f (x )为偶函数，求a 的值．答案：(Ⅰ)(－3，3) (Ⅱ)(－∞，－3]∪[3，＋∞) (Ⅲ)±1 (Ⅳ)2 (Ⅴ)[1，2) (Ⅵ)⎝⎛⎭⎫32，3 (Ⅶ)0 解：设u (x )＝x 2－2ax ＋3.(Ⅰ)由f (x )的定义域为R ，知x 2－2ax ＋3>0的解集为R ，则Δ＝4a 2－12<0，解得－3<a <3，所以实数a 的取值范围为(－3，3)．(3分)(Ⅱ)函数f (x )的值域为R 等价于u (x )＝x 2－2ax ＋3取遍(0，＋∞)上的所有值，所以只要u (x )min ＝u (a )＝3－a 2≤0，解得a ≤－3或a ≥3，所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(6分)(Ⅲ)因为f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)．又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2，所以u (x )min ＝3－a 2＝2，解得a ＝±1.(9分)(Ⅳ)因为函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以方程x 2－2ax ＋3＝0有两个实数解x 1＝1，x 2＝3.由x 1＋x 2＝2a 得a ＝2.(12分)(Ⅴ)因为y ＝log 12x 为减函数，且函数f (x )在区间(－∞，1]上单调递增，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3在区间(－∞，1]上单调递减，所以a ≥1且u (1)＝4－2a ＞0，解得1≤a ＜2，所以实数a 的取值范围为[1，2)．(15分)(Ⅵ)因为f (x )>0在区间[1，2]上恒成立，所以0＜x 2－2ax ＋3<1在区间[1，2]上恒成立． 因为抛物线y ＝u (x )的对称轴为直线x ＝a ，所以(ⅰ)当a ≤1时，u (x )在区间[1，2]上单调递增，所以u (x )在区间[1，2]上的最小值为4－2a ，最大值为7－4a .要使0＜x 2－2ax ＋3<1在区间[1，2]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，4－2a >0，7－4a <1，不等式组无解．(ⅱ)当a ≥2时，u (x )在区间[1，2]上单调递减，所以u (x )在区间[1，2]上的最大值为4－2a ，最小值为7－4a .要使0＜x 2－2ax ＋3<1在区间[1，2]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，4－2a <1，7－4a >0，不等式组无解．(ⅲ)当32≤a ＜2时，u (x )在区间[1，2]上的最大值为4－2a ，最小值为3－a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧32≤a <2，4－2a <1，3－a 2>0，解得32<a < 3.(ⅳ)当1＜a ＜32时，u (x )在区间[1，2]上的最大值为7－4a ，最小值为3－a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧1<a <32，7－4a <1，3－a 2>0，不等式组无解．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，3.(18分)(Ⅶ)因为函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即log 12(x 2－2ax ＋3)＝log 12(x 2＋2ax ＋3)，解得a ＝0.经验证，当a ＝0时， f (x )是定义域为R 的偶函数，符合题意，所以a 的值为0.(21分)f ．解与对数函数有关的不等式或方程(8)(2018山东济南模拟，5分)设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥－2的解集为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤2解析：∵f (－x )＝log 12(x 2＋1)＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∴f (x )为R 上的偶函数．设z ＝x 2＋1，则g (z )＝log 12z .易知 z ＝x 2＋1在区间[0，＋∞)上单调递增，g (z )＝log 12z 在区间(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，∴不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥－2可化为f (t )＋f (－t )≥－2.又∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴2f (t )≥－2，∴f (t )≥－1.又∵f (1)＝log 122＝－1，∴f (t )≥f (1)．∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (x )在R 上为偶函数，∴|t |≤1，即－1≤t ≤1，即－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2，∴不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥－2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤2.(9)(经典题，5分)若log a (a 2－3)>log a 2a >0，则实数a 的取值范围是________． 答案：(3，＋∞)解析：由题意可知a >0，且a ≠1.又由a 2－3>0，得a >3，∴log a (a 2－3)>log a 2a >0，即log a (a 2－3)>log a 2a >log a 1，∴a 2－3>2a >1.由a 2－3>2a ，即(a －3)(a ＋1)>0，得a >3或a <－1(舍)；由2a >1，得a >12.又a >3，∴a >3，∴a 的取值范围为(3，＋∞)．(10)(2018全国Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________． 答案：－7解析：因为f (x )＝log 2(x 2＋a )，所以f (3)＝log 2(9＋a )＝1＝log 22，所以9＋a ＝2，即a ＝－7.3．指数函数、对数函数的综合(11)(2019河南安阳期末，12分)已知函数f (x )＝log 2(1＋2x +1＋4x a )＋bx (a ，b ∈R )． (Ⅰ)若a ＝1，且f (x )是偶函数，求b 的值；(Ⅱ)若a ＝4，且A ＝{x |f (x )＝(b ＋1)(x ＋1)}＝∅，求实数b 的取值范围． 答案：(Ⅰ)b ＝－1 (Ⅱ)(－∞，log 23) 解：(Ⅰ) 当a ＝1时， f (x )＝log 2(1＋2x +1＋4x )＋bx ＝2log 2(1＋2x )＋bx .因为f (x )是偶函数，所以f (x )－f (－x )＝0，即2log 21＋2x1＋2－x＋2bx ＝0，即2x ＋2bx ＝0，所以b ＝－1.(4分)(Ⅱ)当a ＝4时， 方程f (x )＝(b ＋1)(x ＋1)即log 2(1＋2x +1＋4x +1)＋bx ＝(b ＋1)(x ＋1)，即log 2(12x ＋2x +2＋2)＝b ＋1.因为A ＝∅，所以方程log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＋2＋2＝b ＋1无实根．(8分)因为12x ＋2x +2＋2≥212x ×2x ＋2＋2＝6，当且仅当x ＝－1时等号成立，所以log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＋2＋2≥log 26，所以当b ＋1<log 26，即b <log 23时，A ＝∅. 故实数b 的取值范围是(－∞，log 23)．(12分)随堂普查练81．(2021汇编，12分)计算下列各题：(Ⅰ)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________；(Ⅱ)lg5·lg8000＋（lg23）2lg600－12lg0.036－12lg0.1＝________；(Ⅲ)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________．答案：(Ⅰ)12 (Ⅱ)34 (Ⅲ)54解析：(Ⅰ)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(lg32－lg49)－43lg232＋12lg245 ＝12×(lg25－lg72)－43×32lg2＋12lg(5×72) ＝12×(5lg2－2lg7)－2lg2＋12×(lg5＋2lg7) ＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7 ＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12. (Ⅱ)lg5·lg8000＋（lg2 3）2lg600－12lg0.036－12lg0.1＝lg5·lg （8×103）＋（3lg2）2lg （6×102）－12lg 361000－12lg110＝lg5·（lg8＋3）＋3·（lg2）2（lg6＋2）－12（lg36－lg1000）＋12＝lg5·（3lg2＋3）＋3·（lg2）2（lg6＋2）－12（2lg6－3）＋12＝3lg5·lg2＋3lg5＋3·（lg2）24＝3lg2·（lg5＋lg2）＋3lg54＝3lg2＋3lg54＝34.(Ⅲ)(法一)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9＝⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3 ＝56·lg3lg2·32·lg2lg3＝54. (法二)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝(log 223＋log 323)(log 32＋log 232) ＝⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32 ＝56log 23·32log 32 ＝54.2．(经典题，5分)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m >0，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，且易知m ≠1.将a ，b 的值代入1a ＋1b＝2，得1log 2m ＋1log 5m ＝2，即log m 2＋log m 5＝log m 10＝2＝log m m 2，∴m 2＝10，∴m ＝10.3．(2018黑龙江哈尔滨一模，5分)函数y ＝log a (x －3)＋1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为( )A.12B.14C.18D.116 答案：D 解析：∵函数y ＝log a (x －3)＋1的图像恒过定点A ，且y ＝log a x 的图像恒过定点(1，0)，∴令x －3＝1，得x ＝4，y ＝log a 1＋1＝1，∴A (4，1)．∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴4m ＋n ＝1.又m >0，n >0，∴由基本不等式得1＝4m＋n ≥24mn ＝4mn ，当且仅当4m ＝n ，即m ＝18，n ＝12时等号成立，∴mn ≤116，∴mn 的最大值为116.4．(2019浙江东阳校级月考，4分)若a -2>a 2(a >0且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x －1)的图像大致是( )答案：C解析：若a -2>a 2(a >0且a ≠1)，即1a2>a 2，则0<a <1.对于函数f (x )＝log a (x －1)，其定义域为(1，＋∞)，且在定义域上为减函数，图像过定点(2，0)，分析选项，只有C 符合题意．故选C.5．(2019天津，5分)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A解析：因为a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2＝log 1215＝log 25>1，c ＝0.50.2＝⎝⎛⎭⎫1215>12，且c ＝0.50.2<0.50＝1，所以b >c >a .故选A.6．(2018河北定州期中，5分)已知函数f (x )＝log a (x 2－2ax )在[4，5]上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，4)B ．(1，4]C ．(1，2)D ．(1，2] 答案：C解析：设g (x )＝x 2－2ax ，则f (x )＝log a [g (x )]，且g (x )的对称轴为x ＝a .当a >1时，f (x )在[4，5]上为增函数，y ＝log a x 在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性可知，g (x )在[4，5]上为增函数，且g (x )>0在[4，5]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤4，g （4）＝16－8a >0，解得1<a <2；当0<a <1时， f (x )在[4，5]上为增函数，y ＝log a x 在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性可知，g (x )在[4，5]上为减函数，且g (x )>0在[4，5]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≥5，g （5）＝25－10a >0，不等式组无解． 综上，a 的取值范围是(1，2)．7．(经典题，5分)函数f (x )＝log 2xx )的最小值为________．答案：－14解析：由题意，f (x )＝log 2 xx )＝12log (xx ) ＝14logx )＝14log＋＝14log＋2)＝14)2＋] ＝14[(log )2＋＋1－1] ＝14(log ＋1)2－14， ∴当＋1＝0，即x ＝22时，函数f (x )取得最小值，最小值为－14.8．(2018全国Ⅲ，5分)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b 答案：B解析：因为a ＝log 0.20.3＝lg0.3lg0.2＝lg3－1lg2－1，b ＝log 20.3＝lg0.3lg2＝lg3－1lg2，所以ab ＝lg3－1lg2－1×lg3－1lg2＝（lg3－1）2lg2（lg2－1），a ＋b ＝lg3－1lg2－1＋lg3－1lg2＝（lg3－1）（lg4－1）lg2（lg2－1）.因为lg2>0，lg2－1＝lg2－lg10＝lg0.2<0，lg3－1＝lg3－lg10＝lg0.3<0，lg4－1＝lg4－lg10＝lg0.4<0，所以ab <0，a ＋b <0，ab －(a ＋b )＝（lg3－1）2lg2（lg2－1）－（lg3－1）（lg4－1）lg2（lg2－1）＝（lg3－1）（lg3－lg4）lg2（lg2－1）<0，所以ab <a ＋b <0.故选B.9．(2018江苏模拟，5分)已知函数f (x )＝log a x 2＋a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (－3)<f (4)，则不等式f (x 2－3x )<f (4)的解集为________．答案：(－1，0)∪(0，3)∪(3，4)解析：函数f (x )＝log a x 2＋a |x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝log a (－x )2＋a |-x |＝log a x 2＋a |x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，∴f (－3)＝f (3)．又∵f (－3)<f (4)，∴f (3)<f (4)．当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (3)<f (4)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (x 2－3x )<f (4)，∴0<|x 2－3x |<4，解得－1<x <4且x ≠0，x ≠3，故不等式的解集为(－1，0)∪(0，3)∪(3，4)．10．(2021改编，12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (3－x )，a >0且a ≠1. (Ⅰ)设F (x )＝f (x )＋g (x )，①当a ＝3时，求F (x )的单调区间；②当0<a <1时，函数F (x )的最小值为－2，求a 的值．(Ⅱ)设G (x )＝f (x )－g (x )，求使G (x )＞0成立的x 的取值范围．答案：(Ⅰ)①F (x )的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(1，3) ②12(Ⅱ)当a ＞1时，x 的取值范围为(1，3)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围为(－1，1) 解：(Ⅰ)①当a ＝3时，函数F (x )＝log 3(x ＋1)(3－x )＝log 3(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0可得F (x )的定义域为(－1，3)．(1分) 令u (x )＝－x 2＋2x ＋3(－1<x <3)，则u (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，所以F (x )的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(1，3)．(4分)②由①知F (x )＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]．因为－1<x <3，所以0<－(x －1)2＋4≤4，所以当0＜a ＜1时，F (x )min ＝log a 4＝－2，即a -2＝4，解得a ＝12.(8分)(Ⅱ)由G (x )＝log a (x ＋1)－log a (3－x )＝log a x ＋13－x>0，－1<x <3，可得：当a >1时，x ＋13－x>1，解得1<x <3；当0<a <1时，0<x ＋13－x<1，解得－1<x <1.综上可知，当a ＞1时，x 的取值范围为(1，3)； 当0＜a ＜1时，x 的取值范围为(－1，1)．(12分)课后提分练8 对数与对数函数A 组(巩固提升)1．(2016全国Ⅱ，5分)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案：D解析：函数y ＝10lg x ＝x ，定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．A 选项，定义域为R ，值域为R ，错误；B 选项，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，错误；C 选项，定义域为R ，值域为(0，＋∞)，错误；D 选项，定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．故选D.2．(2018山东月考，5分)若点(a ，b )在函数f (x )＝ln x 的图像上，则下列点中不在函数f (x )的图像上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，－b B ．(a ＋e ，1＋b )C.⎝⎛⎭⎫ea ，1－b D ．(a 2，2b )答案：B解析：∵ (a ，b )在函数f (x )＝ln x 的图像上，∴b ＝ln a ，∴－b ＝ln 1a，∴点⎝⎛⎭⎫1a ，－b 在函数f (x )＝ln x 的图像上；∵ln e a＝lne －ln a ＝1－b ，∴点⎝⎛⎭⎫e a ，1－b 在函数f (x )＝ln x 的图像上；∵ln a 2＝2ln a ＝2b ，∴点(a 2，2b )在函数f (x )＝ln x 的图像上；∵ln(a ＋e)≠ln a ＋lne ＝1＋b ，∴点(a ＋e ，1＋b )不在函数f (x )＝ln x 的图像上．故选B.3．(2016浙江，6分)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．答案：4 2解析：设t ＝log b a ，由a >b >1，知t >1，代入log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，即2t 2－5t＋2＝0，解得t ＝2或t ＝12(舍去)，所以log b a ＝2，即a ＝b 2.因为a b ＝b a ，所以b 2b ＝b a ，则a＝2b ＝b 2，解得a ＝4，b ＝2.4．(2018北京期中，5分)设偶函数f (x )＝log a |x －b |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上是增函数，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＝f (b ＋2)B ．f (a ＋1)>f (b ＋2)C ．f (a ＋1)<f (b ＋2)D ．不能确定 答案：B解析：∵函数f (x )＝log a |x －b |为偶函数，∴b ＝0，∴f (x )＝log a |x |.∵函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，函数y ＝|x |在(－∞，0)上是减函数，∴0<a <1.又∵函数y ＝|x |在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵1<a ＋1<2＝b ＋2，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b ＋2)．5.(2019山东菏泽期末，5分)给出四个函数，分别满足：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)；③h (x 1x 2)＝h (x 1)＋h (x 2)；④t (x 1x 2)＝t (x 1)t (x 2)．又给出四个函数图像如图8－1，正确的匹配方案是( )图8－1A ．①－丁，②－乙，③－丙，④－甲B ．①－乙，②－丙，③－甲，④－丁C ．①－丙，②－甲，③－乙，④－丁D ．①－丁，②－甲，③－乙，④－丙 答案：D解析：对于①：正比例函数y ＝kx (k ≠0)符合①式，证明如下：令f (x )＝kx (k ≠0)，∵f (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2), f (x 1)＋f (x 2)＝kx 1＋kx 2＝k (x 1＋x 2)， ∴f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．故①-丁；对于②：根据指数运算性质，可知指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)符合②式，证明如下： 令g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，∵g (x 1＋x 2)＝a 12＋x x ，g (x 1)·g (x 2)＝a 1x ·a 2x ＝a 12＋x x ，∴g (x 1＋x 2)＝g (x 1)·g (x 2)．故②-甲；对于③：根据对数运算性质，可知对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)满足③式，证明如下： 令h (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，∵h (x 1x 2)＝log a (x 1x 2)，h (x 1)＋h (x 2)＝log a x 1＋log a x 2＝log a (x 1x 2)，∴h (x 1x 2)＝h (x 1)＋h (x 2)．故③-乙．对于④：一元二次函数y ＝x 2符合④式，证明如下：令t (x )＝x 2，∵t (x 1x 2)＝(x 1x 2)2＝x 21x 22，t (x 1)t (x 2)＝x 21·x 22，∴t (x 1x 2)＝t (x 1)t (x 2)．故④-丙． 故选D.6．(2018安徽月考，5分)已知方程kx ＋3＝log 2x 的根x 0满足x 0∈(1，2)，则( ) A ．k <－3 B ．k >－1 C ．－3<k <－1 D ．k <－3或k >－1 答案：C解析：如图，函数y ＝log 2x 的图像经过A (1，0)，B (2，1)，直线y ＝kx ＋3经过点P (0，3)．要使方程kx ＋3＝log 2x 的根x 0满足x 0∈(1，2)，需满足k P A <k <k PB ，而k P A ＝3－00－1＝－3，k PB ＝3－10－2＝－1，∴－3<k <－1.7．(2019天津一模，5分)已知a ＝log 130.60.3，b ＝log 1214，c ＝log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a答案：C解析：a ＝log 130.60.3＝0.3log 130.6，b ＝log 1214＝2，c ＝log 130.50.4＝0.4log 130.5.因为0<log130.6<log 130.5<1，所以0<0.3log 130.6<0.4log 130.5<1，所以a <c <b .故选C.8．(2018福建质检，5分)设函数f (x )＝212log 0,log (),0，>⎧⎪⎨-<⎪⎩x x x 若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：由题意知a >0时，－a <0，∴log 2a >log 12a ，∴log 2a >－log 2a ，即2log 2a >0，∴log 2a >0，解得a >1；当a <0时，－a >0，∴log 12(－a )>log 2(－a )，∴－log 2(－a )>log 2(－a )，∴2log 2(－a )<0，∴log 2(－a )<0，∴0<－a <1，即－1<a <0.综上，a 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．9．(2017全国Ⅰ，5分)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 答案：D解析：令2x ＝3y ＝5z ＝k >1，则lg2x ＝lg3y ＝lg5z ＝lg k ，即x lg2＝y lg3＝z lg5＝lg k ，∴x ＝lg k lg2，y ＝lg k lg3，z ＝lg klg5，∴2x 3y ＝23×lg3lg2＝lg9lg8>1，可得2x >3y ； 5z 2x ＝52×lg2lg5＝lg25lg52>1，可得5z >2x . 综上可得5z >2x >3y .10．(2018重庆期中，5分)函数f (x )＝log 2(x 2－2x －8)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 答案：A解析：由x 2－2x －8>0，得x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t ＝x 2－2x －8，则y ＝log 2t .当x ∈(－∞，－2)时，t ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9为减函数， y ＝log 2t 为增函数，∴f (x )＝log 2(x 2－2x －8)为减函数；当x ∈(4, ＋∞)时，t ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9为增函数，y ＝log 2t 为增函数，∴f (x )＝log 2(x 2－2x －8)为增函数．故函数f (x )＝log 2(x 2－2x －8)的单调递减区间是(－∞，－2)．11．(2018江西一模，5分)若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －4(a >0)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，4]B ．(0，4)C ．(2，4)D.(]0，4答案：D解析：∵函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －4的值域为R ， ∴u (x )＝x ＋ax－4可以取到所有的正数．如图，由对勾函数图像可知y ＝x ＋ax(a >0)的值域为(－∞，－2a ]∪[2a ，＋∞)，∴u (x )＝x ＋a x －4的值域为(－∞，－2a －4]∪[2a －4，＋∞)，要使u (x )＝x ＋ax－4可以取所有的正数，只需满足2a －4≤0，解得0<a ≤4.故选D.12．(2019湖南株洲校级月考，12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (x 2－3x ＋3)，且0＜a ＜1.(Ⅰ)解关于x 的不等式g (x )＞f (x )；(Ⅱ)若函数g (x )在区间[m ，n ](m ＞2)上的值域为[log a (t ＋3n )，log a (t ＋3m )]，求实数t 的取值范围；(Ⅲ)设函数F (x )＝a f (x )-g (x )，求满足F (x )是整数的x 的集合M . 答案：(Ⅰ)(2－2，2＋2) (Ⅱ)(－6，－5)(Ⅲ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫2－2，1，43，2，52，2＋2解：(Ⅰ)因为0＜a ＜1，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x 2－3x ＋3>0，x 2－3x ＋3<x ＋1，解得2－2＜x ＜2＋2，所以不等式的解集为(2－2，2＋2)．(4分)(Ⅱ)因为y ＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34在(32，＋∞)上单调递增，且0＜a ＜1，所以g (x )在[m ，n ](m ＞2)上单调递减，所以g (x )在[m ，n ]上的值域为[g (n )，g (m )]，即[log a (n 2－3n ＋3)，log a (m 2－3m ＋3)]．又函数g (x )在区间[m ，n ](m ＞2)上的值域为[log a (t ＋3n )，log a (t ＋3m )]，所以n 2－3n ＋3＝ t ＋3n, m 2－3m ＋3＝ t ＋3m ，所以方程x 2－6x ＋3－t ＝0在(2，＋∞)上有两个不等实根m 和n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36－4（3－t ）>0，22－6×2＋3－t >0，解得－6＜t ＜－5，所以实数t 的取值范围是(－6，－5)．(8分)(Ⅲ)因为F (x )＝a f (x )-g (x )＝a 2log (1)log (33)＋－－＋aax x x ＝x ＋1x 2－3x ＋3(x ＞－1)，所以F (x )＝x ＋1（x ＋1）2－5（x ＋1）＋7＝1（x ＋1）＋7x ＋1－5≤127－5＝27＋53，当且仅当x ＝7－1时等号成立，所以0＜F (x )≤27＋53.因为3＜27＋53＜4，所以F (x )的所有可能取得的整数值为1，2，3.(10分)当F (x )＝1时，x ＋1x 2－3x ＋3＝1，解得x ＝2＋2或2－2；当F (x )＝2时，x ＋1x 2－3x ＋3＝2，解得x ＝52或1；当F (x )＝3时，x ＋1x 2－3x ＋3＝3，解得x ＝2或43.故满足F (x )是整数的x 的集合M ＝{2－2，1，43，2，52，2＋2}．(12分)B 组(冲刺满分)13.(2018江西二模，5分)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝⎛⎭⎫e 2019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2018e 2019＝10092(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 答案：B解析：易知f (x )的定义域为(0，e)．∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e （e －x ）x ＝ln[e x e －x·e （e －x ）x ]＝lne 2＝2，∴10092(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2018e 2019＝12[f ⎝⎛⎭⎫e 2019＋f ⎝⎛⎭⎫2018e 2019＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2019＋ f ⎝⎛⎭⎫2017e 2019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2018e 2019＋f ⎝⎛⎭⎫e 2019]＝12×(2×2018)＝2018，∴a ＋b ＝4， ∴a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.14．(2019河北衡水中学高三统考，5分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －2），x >2，0，x ＝2，ln ()2－x ，x <2，若f (x )≤|x－a |对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[1，2]D ．[－1，1]答案：A解析：将函数f (x )的图像向左平移2个单位长度，得到函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，0，x ＝0，ln （－x ），x <0的图像．画出函数f (x )，g (x )的图像如图所示，设h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x，当0＜x ＜1时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ＞1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 所以h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1，所以直线y ＝x －1在曲线y ＝ln x 的上方，且易知直线y ＝x －1与曲线y ＝ln x 切于点(1，0)．根据图像的对称性，直线y ＝－x －1与曲线y ＝ln(－x )切于点(－1，0)，且直线y ＝－x －1在曲线y ＝ln(－x )的上方．而曲线y ＝|x ＋2－a |＝|x －(a －2)|的最低点的坐标为(a －2，0)，故若满足f (x )≤|x －a |对任意的x ∈R 恒成立，即g (x )≤|x ＋2－a |对任意的x ∈R 恒成立，则－1≤a －2≤1，即1≤a ≤3.故选A.15．(2018珠海期末，5分)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义：使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1，1000]内这样的企盼数共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个 答案：B解析：∵函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，∴f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，∴f (1)·f (2)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝lg3lg2·lg4lg3·…·lg （k ＋2）lg （k ＋1）＝log 2(k ＋2)．若f (1)·f (2)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2n (n ∈Z )．又∵k ∈[1，1000]， ∴k ∈{2，6，14，30，62，126，254，510}， ∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．。

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ）A ．1100xy e =B ．100ln y x =C ．100y x =D ．1002x y =⨯ 2．若1122a a -<，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．0a >C ．01a <<D ．01a ≤≤3．xx f 2)(=，xx g 3)(=，xx h )21()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系是（ ）A ．)()()(x f x g x h <<B ．)()()(x h x f x g <<C ．)()()(x f x h x g <<D ．)()()(x h x g x f <<4．若b x <<1，2)(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题5．函数xe y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 21log =ln2，则log a b 与a 21log 的关系是_________________．7．函数2x y =与xy 2=的图象的交点的个数为____________．三、解答题8．比较下列各数的大小： 52)2(－、21)23(－、3)31(－、54)32(－．9．设方程222xx =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，222xx >-．答案1．A 指数增长最快．2．C 在同一坐标系内画出幂函数21x y =及21-=xy 的图象，注意定义域，可知10<<a ．3．B 在同一坐标系内画出xx f 2)(=，xx g 3)(=，xx h )21()(=的图象，观察图象可知．4．D b x <<1，则0log log 1b b x b <<=，则10<<a ，则01log log =<a a x ， 可知b a c <<<<10．5．xy e = 指数增长最快．6．log a b ＜a 21log 由a 21log =ln20>，则10<<a ，而ab ＞1，则1>b ，则0log <b a ，而0log 21>a ，则log a b ＜a 21log ．7．3 在同一坐标系内作出函数2x y =与xy 2=的图象，显然在0<x 时有一交点， 又2=x 时，2222=，3=x 时，3223>，4=x 时，4224=，而随着x 的增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点．8．解： 52)2(－＝522、21)23(－＝21)32(、3)31(－＝－271、54)32(－＝54)32(．∵52)2(－＞1、3)31(－＜0，而21)23(－、54)32(－均在0到1之间．考查指数函数y ＝x)32(在实数集上递减，所以21)32(＞54)32(．则52)2(－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．9．证明：设函数2()22x f x x =+-，方程222x x =-在(0,1)内的实数根为m ， 知()f x 在(0,1)有解x m =，则()0f m =．用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()()0f x f m >=，即2()220x f x x =+->，所以当x m >时，222x x >-．备选题1．设7210625.0=y ，74203.0=y ，7832.0=y ，则（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．213y y y >>D ．123y y y >>1．B 74125.0=y ，74304.0=y ，而幂函数74x y =在0>x 上为增函数，则132y y y >>．2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取101,53,54,3四个值，则相应于C 1， C 2， C 3，C 4的a 值依次为（ ）A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,342．C 作直线1=y ，与四个函数的图象各有一个交点，从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于 C 1，C 2， C 3，C 4的a 值依次为101,53,3,34．指数函数复习【要点链接】1．掌握指数的运算法则；2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．函数a y x+=2的图象一定经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知三个实数a ，ab a =，bc a =，其中10<<a ，则这三个数之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 3．设1()()2xf x =，x ∈R ，那么()f x 是（ ）A ．奇函数且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数且在(0,)+∞上是增函数C ．奇函数且在(0,)+∞上是减函数D ．偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4．函数121xy =-的值域是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1)(0,)-∞-+∞U C ．(1,)-+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞U二、填空题5．若函数()12x f x =-的定义域为是_______________．6．函数xa a a x f )33()(2+-=是指数函数，则a 的值为_________． 7．方程2|x |=2－x 的实数解有_________个．三、解答题8．已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．9．若函数y ＝1212·－－－xx aa 为奇函数． （1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．答案1．A 当0=a ，图象不过三、四象限，当1-=a ，图象不过第一象限．而由图象知函数a y x+=2的图象总经过第一象限． 2．C 由10<<a ，得101=<<a a a a，则1<<b a ，所以1a a a ba>>，即a c b <<．3．D 因为函数1()()2x f x ==⎪⎩⎪⎨⎧≥)0(,2)0(,)21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．4．B 令12-=xt ，02>x，则12->x，又作为分母，则1->t 且0≠t ，画出ty 1=的图象，则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞U ． 5．(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x ≤1，则x ≤0.6．2 知1332=+-a a ， 0>a 且1≠a ，解得2=a ．7．2 在同一坐标系内画出y=2|x | 和 y=2－x 的图象，由图象知有两个不同交点． 8．解：∵()g x 是一次函数，可设为)0()(≠+=k b kx x g ， 则[()]f g x b kx +=2，点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上， 可得b k +=222，得12=+b k ．又可得[()]g f x b k x+⋅=2，由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上， 可得b k +=45．由以上两式解得3,2-==b k ， ∴()23g x x =-．9．解：先将函数y ＝1212·－－－x x a a 化简为y ＝121－－x a ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋xx 2121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－21－121－x ，∴x 2－1≠0．∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x＜22x．∴12x－22x＜0，12x－1＞0，22x－1＞0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递增．备选题1．函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上的最大值是4，则a 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．51．C 函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上为增函数，则最大值是=1a 4，则4=a ．2．函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，值域___________． 2． {x |x ≥2，或x ≤0} {y |y ≥1}由022≥-x x ，得定义域为{x |x ≥2，或x ≤0}； 此时022≥-x x ，则值域为{y |y ≥1}．对数函数【要点链接】1．掌握对数的运算法则；2．熟练掌握对数函数的图像，并会灵活运用对数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．4123log =x，则x 等于（ ） A ．91=x B ．33=x C ．3=x D ．9=x2．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知log 0log log 31212>==+x x x a a a， 0<a<1，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ）A ．x 3<x 2<x 1B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 14．若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于（ ）A ．12B C ．2 D ．2二、填空题5．函数23log 12-=-x y x 的定义域是 ．6．设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅，则(2)f = ． 7．已知3log 21=a ，31log 21=b ，21log 31=c ，则a 、b 、c 按大小关系排列为___________．三、解答题8．若)(x f 3log 1x +=， )(x g 2log 2x =，试比较)(x f 与)(x g 的大小．9．若不等式0log 2<-x x m 在（0，21）内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．A 2log 24123-==x，则2log 3-=x ，则9132==-x ． 2．C y ＝lg （x －12－1）＝xx－＋11lg ，易证)()(x f x f -=-，所以为奇函数，则图象关于原点对称．3．D ∵0<a<1，∴a<1<a+1<a2，∴x 2<1<x 3<x 1．4．A 10≤≤x 时，11121≤+≤x ，要使值域也是[0，1]，就有0)(≥x f ，则10<<a ，则)(x f 在[0，1]为增函数，则01log =a ，121log =a ，解得=a 12．5．2(,1)(1,)3+∞U 可知023>-x ，012>-x 且112≠-x ，解得32>x 且1≠x ．6．23由已知得2log )21(1)21(2⋅+=f f ，则21)21(=f ，则x x f 2log 211)(⋅+=，则=⋅+=2log 211)2(2f 23．7．b c a <<03log 2<-=a ，13log 2>=b ，2log 3=c ，则10<<c ，那么有b c a <<．8．解：43log 4log )3(log )()(xx x g x f x x x =-=-．当10<<x 时，1430<<x ，则043log >xx ，则)()(x g x f >；当34=x 时，143=x ，则)()(x g x f =；当341<<x 时，1430<<x ，则043log <xx ，则)()(x g x f <；当34>x 时，143>x ，则043log >x x ，则)()(x g x f >．9．解：由0log 2<-x x m 得x x m log 2<.在同一坐标系中作2x y =和x y m log =的图象．要使x x m log 2<在（0，21）内恒成立， 只要x y m log =在（0，21）内的图象在2x y =的上方，于是0<m<1．∵x=21时y=x 2=41，∴只要x=21时21log m y =≥41． ∴21≤m 41，即161≤m. 又0<m<1，∴所求实数m 的取值范围161≤m<1．备选题1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．1()2xy = B ．xy 1=C ．)(log 3x y -=D ．3x y -= 1．D A 、C 是非奇非偶函数，B 是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D ．2．10002.11=a，10000112.0=b，则=-ba 11（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A2.11log 11000=a ，0112.0log 11000=b ， 则11000log 0112.02.11log 1110001000===-b a ．3．如果函数()(3)xf x a =-，()log a g x x =它们的增减性相同，则a 的取值范围是______________． 3．21<<a由03>-a 且13≠-a ，及0>a 且1≠a ，得10<<a ，或21<<a ，或32<<a ．当10<<a 或32<<a 时，)(x f 与)(x g 一增一减，当21<<a 时，)(x f 与)(x g 都为增函数．同步测试题 A 组一、选择题1．已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ．23a a -2．若函数)(log b x y a +=（0>a 且1≠a ）的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则 ( )A ． 2,2==b a B ．2,2==b aC ．1,2==b aD ．2,2==b a3．已知(),()log xa f x a g x x ==，(01)a a >≠且，若(3)(3)0f g ⋅< ， 则()f x 与()g x 同一坐标系内的图象可能是（ ）4．若函数xx f 211)(+=，则)(x f 在R 上是（ ） A ．单调递减，无最小值 B ．单调递减，有最小值 C ．单调递增，无最大值 D ．单调递增，有最大值5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f nn n6．函数f (x )=log a 1+x ，在（－1，0）上有f (x )>0，那么（ ）A ．f (x )(－ ∞,0)上是增函数B ．f (x )在（－∞，0）上是减函数C ．f (x )在（－∞，－1）上是增函数D ．f (x )在（－∞，－1）上是减函数二、填空题7．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则1[()]4f f = ．8．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ，y=(21)x ，y=2x ，y=10x的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 ．9．已知)23(log )(221x x x f --=，则值域是 ；单调增区间是 ．三、解答题10．求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且）最小值．11．已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明：1<ab ．12．已知函数()m mx x x f --=221log )(．（1）若m ＝1，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数，求实数m 的取值范围．B 组一、选择题1．已知函数y=kx 与y=12log x 图象的交点横坐标为2，则k 的值为（ ）A ． 12- B ．14 C ．12 D ．14-2．已知函数b a y x+=的图象不经过第一象限，则下列选项正确是（ ）A ．2,21-==b a B ．3,2-==b a C ．1,21==b a D ．0,3==b a3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值 为（ )A ．14 B ．2 C ．4 D ．124．若函数()11x mf x e =+-是奇函数，则m 的值是（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2二、填空题5．如图，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线1nt y ae -=，那么桶2中水就是2nty a ae -=-．假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再经过______ 分钟桶1中的水只有8a ．6．已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数， 则a 的取值范围是__________．三、解答题7．已知函数xxa b y 22++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3， y min =25，试求a 和b 的值．8．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--．)1(>p （1）求()f x 的定义域；（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．答案A 组1．A 32a=，则2log 3=a ，33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -． 2．B 由已知可得)1(log 0-=b a ，则2=b ，又2log log 1a a b ==，则2=a ． 3．C (3)(3)0f g ⋅<，则(3)0g <，则10<<a ，则()f x 与()g x 都为减函数．4．A 121>+x，则12110<+<x，则)(x f 无最大值，也无最小值， 而显然)(x f 为减函数5．D 逐个验证可知D 不正确6．D 01<<-x 时，110<+<x ，而f (x )>0，则10<<a ，画出f (x )=log a 1+x 的图象，知f (x )在（－∞，－1）上是减函数．7．91 241log )41(2-==f ，则913)]41([2==-f f ． 8．D 、C 、B 、A 画出图象可知．9．[)+∞-,2，[)1,1-有0232>--x x ，则13<<-x ，在1-=x 时223x x --有最大值4， 令223x x t --=，则40≤<t ，则24log log 2121-=≥t ，则值域是[)+∞-,2，在[)1,1-上，223x x t --=递减，则)23(log )(221x x x f --=单调增区间是[)1,1-．10．解：当1>a 时，⎩⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．当10<<a 时，⎩⎨⎧>≤-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx 且）最小值为1．11．证明：画出函数x x f lg )(=的图象，可以看出在]1,0(上为减函数，在),1[+∞上为增函数， ∵b a <<0时有)()(b f a f >，则不可能有b a <≤1， 则只有10≤<<b a 及b a ≤<<10这两种情况． 若10≤<<b a ，显然1<ab ；若b a ≤<<10，则)()(b f a f >化为b a lg lg >，则b a lg lg >-，则0lg lg <+b a ，0)lg(<ab ，可得1<ab ． 由以上讨论知，总有1<ab ．12．解：（1）方程012=--x x 的根为251±=x ， 所以012>--x x 的解为251-<x 或251+>x ，于是函数的定义域为),251()251,(+∞+⋃--∞． （2）因为函数的值域为R ，所以(){}m mx x u u --=⊆+∞2,0，故04042≥-≤⇒≥+=∆m m m m 或．（3）欲使函数在区间()31,-∞-上是增函数，则只须()()⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤-031312312m m m ⎩⎨⎧≤-≥⇒2322m m ， 所以2322≤≤-m ．B 组1．A 由y=12log x ，当2=x 时，1-=y ，代入y=kx 中，有k 21=-，则21-=k ．2．A 当2,21-==b a 时，2)21(-=x y ，其图象是x y )21(=的图象向下平移了2个 单位，则就不会经过第一象限了．3．C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数，则最大值是1log =a a ，最小值是2log 1)2(log a a a +=，则)2log 1(31a +=，则322log -=a ， 23log 2-=a ，42223==-a ． 4．D 由)()(x f x f -=-，得1111---=-+-x x e m e m ，则112--=-+x x x e m e me ， 可得112---=x x x e m e me ，则2=m ． 5．10 根据题设条件得：55n n ae a ae --=-，所以512n e -=． 令8nt a ae -=，则18nt e -=，所以3151()2nt n e e --==， 所以t=15．15－5=10（分钟），即再经过10分钟桶1中的水就只有8a ． 6．a ∈（1，2）a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜x2（0＜x 1≤）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2） 7．解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ， ∴当x =－1时，u min =－1 ； 当x =0时，u max =0 ．.233222233225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8．解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩， 所以f (x )的定义域为（1，p ）． （2）∵22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+． ∴当112p -≤，即13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值；当112p p -<<，即3p >时，当12p x -=时，()f x 有最大值22(1)log 4p +， 但没有最小值．综上可知：当13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值；当3p >时，()f x 有最大值22(1)log 4p +，但没有最小值．备选题1．若log 4［log 3（log 2x ）］＝0，则21－x 等于（ ）A ．42B ．22C ．8D ．41．A 依题意可得x ＝8，则21－x ＝42．2．函数|,12|)(-=x x f 若a ＜b ＜c ，且)()()(b f c f a f >>，则下面四个式子中成立的是（）A ．0,0,0<<<c b aB ．0,0,0>≥<c b aC ．c a 22<-D ．222<+a c2．D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象，可知a ＜0，c ＞0，所以2a -1<0, 2c -1>0,又由)()(c f a f >，得1-2a >2c -1，所以222<+a c ．3．比较log 20.4，log 30.4，log 40.4的大小．3．解：∵对数函数y ＝log 0.4x 在（0，＋∞）上是减函数，∴log 0.44＜log 0.43＜log 0.42＜log 0.41＝0．又反比例函数y ＝x 1在（－∞，0）上也是减函数．所以2log 14.0＜3log 14.0＜4log 14.0，即log 20.4＜log 30.4＜log 40.4．4．已知函数x x f 2)(=．（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）把)(x f 的图像经过怎样的变换，能得到函数22)(+=x x g 的图像；(3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像．4．解：（1）Q 函数)(x f 定义域为R ，又 ()22()x x f x f x --===，∴函数)(x f 为偶函数．（2）把)(x f 的图像向左平移2个单位得到．(3)函数)(x f 的图像如右图所示．。

第8课时对数与对数函数[考试要求]1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg_N．以e为底的对数叫做自然对数，log e N记为ln_N．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数恒等式：a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：log a b＝log log>0，且≠1；>0；>0，且≠1.3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b ＝1log；(2)log am b n ＝log a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；c ＞0，且c ≠1；d ＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x ．()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．()(3)函数y ＝ln1+1−与y ＝ln (1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121的图象重合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A 版必修第一册P 140习题4.4T 1改编)函数y ________．[由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1，12＜x ≤1.所以函数y 1.]2．(人教A 版必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小：(1)log 0.56________log 0.54；(2)log 213________log 123.[答案](1)<(2)＝3．(人教A 版必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．[(log 43＋log 83)×log 32+×lg 2lg 3＝56.]4．(人教A 版必修第一册P 141习题4.4T 12改编)若log a 23＜1，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞)[当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由0<<1，23<log ，得0<a <23.综上，a ∈0(1，＋∞)．]考点一对数的运算[典例1](1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m ＝3n ＝k 且1+1＝2，则k ＝()A．5B．6C．5D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．(1)B(2)－log62[(1)因为2m＝3n＝k且1+1＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以1＝log k2，1＝log k3，1+1＝log k2＋log k3＝log k6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝6.故选B.(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b＝() A．23B．2C．6D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．(1)C(2)4[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝log233＝13log23，所以＝2log2313log23＝6.故选C.(2)原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2×lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2×(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2×lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4．]考点二对数函数的图象及应用[典例2](1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤1时，4x＜log a x，则a的取值范围是()A．02B21C．(1，2)D．(2，2)(1)A(2)B[(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1<b<1.综上，0<a-1<b<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f2＜log a12，则a a1.]的图象和函数y＝log＜a≤22.]对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝a x-2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A BC D(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．(1)AD(2)(3，＋∞)[(1)易知g(x)＝log a|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝a x-2单调递减，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝a x-2单调递增，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b1，所以a＋2b＝a＋2，令g(x)＝x＋2(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例3](1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是() A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b(1)D(2)C[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.法二(图象法)：log1213＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，如图，由图可知c＞a＞b.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2<1log2<1log2<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.]解与对数有关的不等式[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B．012C122D．(0，2](2)设函数f(x)＝log2，＞0，log12(−p，＜0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是() A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)(1)C(2)C[(1)因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.(2)由题意可得＞0，log2＞−log2或＜0，log12(−p＞log2(−p，解得a>1或－1<a<0.故选C.]对数函数性质的综合应用[典例5](1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln2r12K1，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则实数a的值为________．(1)A(2)ACD(3)2[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有1＞0，≥1，即2−>0，≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2)．(2)令2r12K1>0，解得x>12或x<－1，∴f(x)的定义域为−∞，−∪+∞，又f(－x)＝ln−2r1−2K1＝ln2K12r1＝ln＝－ln2r12K1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln2r12K1＝ln1+令t＝1＋22K1，t>0且t≠1，则y＝ln t，又t＝1＋2在+∞上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)+∞上单调递减，故C正确；由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则f(－x)＝ln e−B+1＋x＝f(x)＝ln e B+1－x，即ln e B+1e−B＝2x，化简得ln e ax＝2x，解得a＝2．]题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则() A．x＞y B．x＋1＞y＋1C．ln(x－y)＜0D．12＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则() A．当m>14时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x12对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R(3)已知函数f(x)＝ln(1+2－x)＋2，则f(lg3)＋f________．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min ＝________．(1)ABD(2)AC(3)4(4)5[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x，所以ln x＋x＞ln y＋y.对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)，所以x＞y，故A正确；对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，1＜1，所以x＋1＞y＋1，故B正确；对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误；对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，所以2－x＜2－y，即12＜2－y，故D正确．故选ABD.(2)对于A，若m>14，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln2+−y轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f(x)＝ln++−14＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－12，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝+＋m－14≥34，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.(3)设g(x)＝ln(1+2－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg3)＋f lg f(lg3)＋f(－lg3)＝g(lg3)＋2＋g(－lg3)＋2＝4.(4)由题意得1≤≤9，1≤2≤9，∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．]点拨：易忽视g(x)的定义域．课时分层作业(十三)对数与对数函数一、单项选择题1．若x log34＝1，则4x＋4－x的值为()A．103B．3C．4D．13A[∵x log34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，∴4x＋4－x＝3＋3-1＝103.故选A.]2．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x 的图象可能是()A BC DB[∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a1，∴g(x)＝lo g1x＝log a x，函数f(x)＝a x与函数g(x)＝lo g1互为反函数，∴函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．故选B.]3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．1+1＝1B．2+2＝1C．1+1＝2D．2+1＝2A[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，1＝log k2，1＝log k3，1＝log k6，1+1＝1.]4．(2024·陕西师大附中模拟)已知a＝log23，b＝log34，c＝32，则()A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜bB[因为32＞23，则3＞232，故log23＞log2232＝32，所以a＞c；因为42＜33，则4＜332，故log34＜log3332＝32，所以b＜c.则有b＜c＜a.故选B.]5．(2024·福建龙岩期中)推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是()(参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)A．2033年B．2034年C．2035年D．2036年C[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，则n ln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝ln3ln11−ln10≈11，又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．故选C.]6．(2024·安徽安庆模拟)已知f(x)＝log1(x2－ax＋a)的值域为R，且f(x)在(－3，2－1)上单调递增，则实数a的取值范围是() A．[－2，0]B．−12，0∪[4，＋∞)C．[－2，0]∪[4，＋∞)D．[0，4]B[因为函数f(x)＝log12x2－ax＋a)的值域为R，所以x2－ax＋a取得一切正数，即方程x2－ax＋a＝0有实数解，得Δ＝a2－4a≥0，解得a≤0或a≥4.又函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)在(－3，－1)上单调递增，所以函数y＝x2－ax＋a在(－3，－1)上单调递减，且x2－ax＋a＞0在(－3，－1)上恒成立，−1，++≥0，解得a≥－12，综上，实数a12≤a≤0或a≥4.故选B.]二、多项选择题7．(2023·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6，4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0，4]上单调递增AB[由题意可得+6＞0，4−＞0，解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A 正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．故选AB.]8．已知函数f(x)＝|log a(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间−12，1上的最小值为0D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]ACD[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0，0)，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈−12，1时，x＋12，所以f(x)＝|log a(x＋1)|≥log a1＝0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1，2]上单调递增知log a2≥1，解得1<a≤2，故D正确．]三、填空题9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．(－∞，0)[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)．设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ，由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．]10．函数f(x)＝log2·lo g2(2x)的最小值为________．[依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2+－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x f(x)的最小值为－14.]四、解答题11．设f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．[解](1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以log 2−=1，log 22−2=log 212，即−=2，2−2=12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x－2x＝2−－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，94≤2−≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2，12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.12．已知函数f (x )＝log +.(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．[解](1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，所以log 2(1＋a )＝0，所以a＝0.经检验，当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0.(2)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log +.由题意得log 2(1＋a )－log +≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)．所以1+≥4+2，4+2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是−12，−13．(2024·湖北宜昌协作体期中)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数．(1)求a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋x，h(x)＝x2－2x＋m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．[解](1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(2－x＋1)－ax＝log2(2x＋1)＋ax，log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log1＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log2ax＝0，log22+11+22＋2ax＝0，log22x＋2ax＝0，x＋2ax＝0，(1＋2a)x＝0，所以1＋2a＝0，即a12.(2)g(x)＝log2(2x＋1)＋12，因为对任意的x1∈0，4，存在x2∈0，5，使得g(x1)≥h(x2)，所以g(x)在0，4上的最小值不小于h(x)在0，5上的最小值，因为g(x)＝log2(2x＋1)＋12在0，4上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1，因为h(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，所以h(x)在0，1上单调递减，在1，5上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝m－1，所以1≥m－1，解得m≤2，所以m的取值范围为(－∞，2]。

对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。

第8讲 对数函数及性质（教师版）一．学习目标：（1）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（2）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（3）了解指数函数y=a x与对数函数互为反函数（）二．重点难点：重点：对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数函数在a >1与0<a <1时图象、性质的区别．②对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．三．知识梳理：1.定义：形如（）的函数。

（1）定义域：（0,+）数的自变量。

而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。

（2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f -1(x)表示.（3）指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

四．典例剖析：题型一 对数函数的概念例1 （一）指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1[思路探索] 严格按照对数函数的形式判断，对于形似的函数要辨别清楚． 解 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．课堂小结： 1.同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x 2等都不是对数函数，只有y ＝log ax (a >0，且a ≠1)才是．2．判定一个函数为对数函数，必须满足：log x a y =0,1a a >≠且log xa y =0,1a a >≠且1a >01a <<∞(1)log ax 的系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x .（二）已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1， 即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)． 从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2. 课堂练习1： 下列函数中是对数函数的是 ( )． ①y ＝log x2； ②y ＝log ax (a ∈R)； :③y ＝ln；④y ＝log x(x ＋2)；A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析 上述4个函数均不符合对数函数的定义，没有对数函数．答案A 例2（1）求下列函数的定义域：（1）y =（2）2lg(23)y xx =+- 答：（1）x ∈(0,12) (2) x ∈(-∞,1-∪(1-∪[3,+ ∞)课堂练习2：（1）（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C（2）(2011年江西理科高考)若f (x )f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 答案 A题型二 对数函数的图像例3（1） 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A. 3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35答：A 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1>a 2>a 3>a 4， 所以C 1，C 2，C 3，C 4的底值依次由大到小．（2）（2013年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A（3）已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图像如图所示，则a ，b 满足的关系是A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1【解析】 首先由于函数φ(x )＝2x＋b －1单调递增，可得a >1；又－1<f (0)<0，即－1<log a b <0，所以a －1<b <1，故0<a －1<b <1.（4）．（2012年高考全国新课标）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 答：B课堂练习3：（1）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0 B ．恒为正数 C ．恒为负数 D ．不大于0解析：选B 由题意知，x 0是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x和y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，由图知，⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1>log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数． （2） (2010年全国高考题Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解：画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴b＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <1，函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a >1＋21＝3，即a ＋2b >3.题型三 对数函数性质及应用例4（定点性）不论a 为何值，f(x)=3+log (35)a x + 恒过定点 。

对数函数综合应用1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A 和B的关系．2．已知函数f（x）=log a（x+2），（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最小值．（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．5．已知函数f（x）=．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．7．已知函数，对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．（1）求实数m的值；（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．8．已知函数f（x）=（a＞1）．（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．对数函数综合应用参考答案与试题解析1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A和B的关系．解：（1）∵函数f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵当x＞0时，f（x）=log2x ∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x）（2）∵log2x≥2，解得﹣≤x＜0或x≥4 ∴集合A={x|x≥4或﹣}，依题意2x≥16，解得x≥4或x≤﹣4，≤2x≤1解得﹣≤x≤0∴集合B={x|x≥4或﹣}，∴A是B的真子集；2．已知函数f（x）=log a（x+2），（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．解：（1）函数f（x）的图象经过M（7，2）点，则有log a（7+2）=2，解得：a=3，（2）若a=3，函数f（x）=log3（x+2），当x∈（1，25]时，3＜x+2≤27，∴1＜log3（x+2）≤3，即y∈（1，3]，所以函数f（x）的值域为（1，3]．又不等式f（x）≤﹣1⇔不等式log3（x+2）≤log3⇔0＜x+2≤⇒﹣2＜x≤﹣．∴不等式的解为：﹣2＜x≤﹣．（3）函数f（x）=log a（x+2），当x=﹣1时，y=0，依题意，点（﹣1，0）在函数f（x）=log a（x+2）的图象上，则点（0，﹣1）在函数f（x）=log a（x+2）的反函数的图象上那么P点的坐标为（0，﹣1）．3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最小值．（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．解：（1）、∵不等式2（）2+9+9≤0，∴，∴．∴．∴=（log2x﹣1）•（log2x﹣3）=（log2x）2﹣4log2x+3=（log2x﹣2）2﹣1．故当log2x=2时，的最小值是﹣1；当log2x=0时，的最大值是3．（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴﹣lga=lgb，故a＜1＜b．②证明：∵﹣lga=lgb，∴，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b﹣b2＜3．4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．解：（1）f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x）．若要上式有意义，则，即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}（2）由于h（x）=f（x）+g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=log a（﹣x+1）+log a（1+x）=h（x）．所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函数．（3）f（x）＞g（x），即log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于解得﹣1＜x＜0．当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．5．已知函数f（x）=．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，∴log4（a•12+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=﹣1可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3 ∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．7．已知函数，对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．（1）求实数m的值；（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．解：（1）由条件得：∴（m2﹣1）x2=0对定义域内的任意x成立∴m2﹣1=0∴m=1或m=﹣1 当m=1时不成立∴m=﹣1（2）由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），当0＜a＜1时，x∈（b，a）的值域为（0，a），函数在x∈（b，a）上是减函数，所以，这是不可能的．当a＞1时，x∈（b，a）的值域为（a，+∞），所以，函数在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3 所以，，解得综上：，b=38．已知函数f（x）=（a＞1）．（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．解：（1）为使函数有意义，需满足a﹣a x＞0，即a x＜a，又a＞1，∴x＜1，即函数定义域为（﹣∞，1）．又由＜log a a=1，∴f（x）＜1，∴函数的值域为（﹣∞，1）．设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞log a1=0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，1）上是减函数．（2）设y=，则a y=a﹣a x，∴a x=a﹣a y，∴x=．∴f（x）=的反函数为f﹣1（x）=（x＜1）．由f﹣1（x2﹣2）＞f（x），得f（x2﹣2）＞f（x），∴解得﹣1＜x＜1．故所求不等式的解为{x|﹣1＜x＜1}．9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．解：（I）由题设知：|x﹣1|+|x﹣2|﹣3＞0，∴①，或②，或③．解①可得x＞5，解②可得x∈∅，解③可得x＜0．不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为（﹣∞，0）∪（5，+∞）．（II）不等式f（x）≥0 即|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3≥0，即m≥．∵1，∴m≥==1+，即m≥1+．由于函数y=1+在[1，]上是增函数，故当x=1时，y 取得最小值为2；当x=时，y 取得最大值为5，由题意可得，m大于或等于y的最大值5，故m的取值范围是[5，+∞）．10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是a．解：不等式f（x）＞（x﹣1）lgm，即lg＞lgm x﹣1，∵常用对数的底10＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（m﹣1）x+m x a＞m x，移项得（1﹣a）m x＜1x+2x+3x+…+（m﹣1）x，因为m是正整数，所以两边都除以m x，得1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，…（*）不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1﹣a∵g（x）=（）x+（）x+（）x+…+（）x在[1，+∞）上是一个减函数∴当x=1时，g（x）的最大值为+++…+=×=因此1﹣a＜，得实数a的取值范围是a＞，结合m≥2得a。

对数函数一、定义及性质 定义：图象：性质：二、习题精练 [1]定义域值域1、求下列函数的定义域、值域（1）)416(log 2x y -= （2）)12(log 5.0-=x y （3）xx y --=312lg2、要使函数)1(log +=x y a 的值域为R ；则∈x ( ):A R :B ),1(+∞- :C ),0(+∞ :D ),1(+∞ 3、已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f .求)()()(32x f x f x g +=的最值.4、已知124()()3x xa f x g ++⋅=对一切(],1x ∈-∞都有意义，求a 的取值范围5、已知()log (1)(0,且1)x a f x a a a =->≠，求()f x 的定义域值域 [2]单调性应用1、(1) 212log (32)y x x =--的单调区间是_______________(2) 22log (32)y x x =--的单调区间是_______________o x y o xy(3) 2log (32)a y x x =--的单调区间是_______________ (4) log (1)(0,1)x a y a a a =->≠的单调区间是___________2、函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2 D ．43、函数)(log 221a ax x y --=在)31,(--∞上递增，求a 的范围4、求下列方程的解（1）3)3(log 2=+x （2）)1(log )1(log 23-=-x x （3）1)1lg()lg(2++=+x x x（4）02lg lg 32=++x x （5）5log 16log 24=+x x （6）)1x 2(log )x 1(log )x 3(log )x 3(log 25.0425.04++-=++-（7）lg 10xx= （8）5log 15x x-=5、不等式21331log (8)log ()2x x->的解集是________； 不等式2log (8)log 2a a x x ->的解集是______ 不等式0)3x 3x (log 2)3x (<---的解集是_______ 不等式12x xlog )2x (log 24<--+的解集是_______6、设0,1a a >≠，若2log 2log a a <，则a ∈________7、已知)1,0(11log )(≠>-+=a a xxx f a（1）求函数的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求解关于x 的不等式)(x f >0[3]图象与性质1、log (0,1)a y x a a =>≠的图象与log (0,1)b y x b b =>≠的图象关于x 轴对称;则b a ,之间关系是_______2、对于01a <<，给出下列四个不等式①1log (1)log (1)a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+ ③111aa a a ++< ④111aaaa++>其中成立的是 ：A ．①与 B ．①与④ C ．②与③D ．②与④3、若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =( )(A)24 (B) 22(C) 14 (D) 124、已知01x y a <<<<，则有()()log 0a A xy <()()0log 1a B xy <<()()1log 2a C xy <<()()l o g 2a D x y > 5、设()f x gx =，若,abc <<且()()()f a f c f b >>，则 A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac = D ．1ac <6、已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）7、设1()fx -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --++=，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 28、方程x x2log 12=+-的解共有( )个:A 0 :B 1 :C 2 :D 39、方程x x 3)4(log 2=+的实数根的个数是( )个:A 0 :B 1 :C 2 :D 310、．已知方程02=+x x的实数根为a ，2log 2=+x x 的实数根为b ，x x =5.0log 的实数根为c ；则c b a ,,的大小顺序是( ):A a c b >> :B a b c >> :C c b a >> :D c a b >> 11、已知方程3lg =+x x 的解为1x ，方程310=+xx 的解为2x ；则=+21x x ( ) :A 6 :B 3 :C 2 :D 1 12、对于01a <<，给出下列四个不等式D ①1log (1)log (1)a a a a+<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+ ③111aaaa++<④111aaaa++>其中成立的是 A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④13、已知函数)1lg()(22+++=x x x x f ，若M a f =)(；则=-)(a f ( ):A M a -22 :B 22a M - :C 22a M - :D M a 22- 14、设01,0,1x a a <<>≠，试比较(1)a og x -与(1)a og x +的大小15、已知不等式1)312(log )(log 266--<-x x m 的整数解有且仅有一个是1，求实数m 的取值范围16、函数)2(lo g )(2-+=x x x f b 的反函数为)1,0(),(1≠>-b b x f ，（１）求函数)(1x f -及其定义域；（２）设)2log (22)(1b n f n p +=-，若),(233)(N n n p nn ∈+<-求b 的取值范围。

对数函数综合应用一、单选题(共10道，每道10分)1.函数在上为减函数，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性2.已知定义在上的偶函数，在x≥0时，，若，则a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合3.已知函数，对任意的，且时，满足，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性4.若函数满足对任意的，当时，，则实数a的取值范围是( )A.a＞1B.C.0<a<1D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性5.已知函数，则下列说法正确的是( )A.若函数是定义在上的偶函数，则b=±1B.若函数是定义在上的奇函数，则b=1C.若b=-1，则函数是定义在上的增函数D.若b=-1，则函数是定义在上的减函数答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性6.设函数，给出下列命题：①函数的值域是；②函数有最小值；③当a=0时，函数为偶函数；④若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．正确的命题是( )A.①③④B.②③C.②④D.①③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性7.已知函数，则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性8.设函数，则不等式的解集是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合9.已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用10.若函数有最小值，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性。

第8讲对数与对数函数(第一种方式)e是什么？e≈ 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967 6277240766303535475945713821785251664274就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

(第二种方式)对数相关的数学故事和名言：对数，延长了天文学家的生命“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难以想象，于是便产生了简化计算的想法．从1603~1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．正在标尔基犹豫不决的时候，1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．“对数”（logarithm）一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．16世纪末至17世纪初的时候，在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，不管你是天文学家，还是什么学家，把时间花在大量的计算上都不好．德国的史提非在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数）。

第10讲对数与对数函数知识梳理1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y<，当1x≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)必考题型全归纳题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln3411e812-+=______．【对点训练1】（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．【对点训练2】（2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为________．【对点训练3】（2024·山东淄博·统考二模）设0,0p q >>，满足()469log log log 2p q p q ==+，则pq=__________.【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）计算34223log 32log 9log log 64⋅-+的值为______.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）若14log 2a =，145b =，用a ，b 表示35log 28=____________【对点训练6】（2024·上海·高三校联考阶段练习）若123==a b m ，且112a b-=，则m =__________．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）()()()226622lg 3lg 2log 3log 2lg 3lg 2⋅+++=____________；【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2)l g (o 24x x <-解集为_____．【对点训练9】（2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()2f x ≥-的解集是__________.【对点训练10】（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log 17x x +=的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()log a y x b =+（a ，b 为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b =C ．0.5a =，0.5b =D ．2a =，0.5b =【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点（）A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,2)D ．(2,0)【对点训练12】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数()()22log 1f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【对点训练13】（2024·北京·高三统考学业考试）将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x-+【对点训练14】（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）AB ．2C D 【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(,1]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(,1)-∞【对点训练16】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a与2b 大小关系为______．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，则a 等于_________【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a的取值范围是______．【对点训练20】（2024·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【对点训练21】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数()214log 2y x x =--的单调递区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【对点训练22】（2024·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()f x 的图像关于直线1x =对称D ．()f x 有最小值，但无最大值【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log ,1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[2,)+∞C ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,1[2,)⋃+∞【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________.【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【对点训练29】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m ，n 满足：ln e ln m n n n m =-，则nm的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2024·广东惠州·统考一模）若62,63a b ==，则（）A ．1ba>B ．14ab <C ．2212+<a b D ．15b a ->【对点训练31】（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x ，2x 分别是方程e 3x x +=和ln 3x x +=的根，若12x x a b +=+，实数a ，0b >，则271b ab+的最小值为（）A ．1B ．73C ．679D ．2【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．10。