高中数学例题：对数函数性质的综合应用

指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。

应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。

假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。

由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。

应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。

已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。

解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。

应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。

假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。

求解该国货币的贬值率。

解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。

设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。

对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1 , 1） 1 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分：对数函数图像及性质应用例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。

求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数，且 1<u“ 2 (x 23) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数，且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时，S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数；⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。

高中数学指数对数函数的性质及应用实例一、指数函数的性质指数函数是高中数学中非常重要的一个函数，它具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

2. 单调性：对于指数函数y=a^x，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：指数函数y=a^x是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：当底数a>1时，指数函数的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴上有一条垂直渐近线x=0。

5. 过点(0,1)：对于任何正数a，指数函数都过点(0,1)。

6. 指数函数的性质与变换：指数函数y=a^x的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持指数函数的性质不变。

例如，考虑指数函数y=2^x和y=0.5^x。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它也具有一些重要的性质：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 单调性：对于对数函数y=loga(x)，当底数a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

3. 奇偶性：对数函数y=loga(x)是奇函数还是偶函数，取决于底数a的奇偶性。

4. 渐近线：对数函数y=loga(x)的图像在x轴上有一条水平渐近线y=0。

5. 过点(1,0)：对于任何正数a，对数函数都过点(1,0)。

6. 对数函数的性质与变换：对数函数y=loga(x)的图像在平面上的平移、伸缩、翻转等变换中，保持对数函数的性质不变。

例如，考虑对数函数y=log2(x)和y=log0.5(x)。

我们可以通过绘制函数图像来验证上述性质。

三、指数对数函数的应用实例指数对数函数在实际问题中有广泛的应用，下面举两个例子来说明：例1：财务利润问题某公司的年利润以10%的速度递增。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象O x y y = l o g x a >x<a11( )底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log 1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y＝2z ； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ． （1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 1 1 11 1 1xxxx y yy yOO OO ABC D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭， 求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。

第2课时 对数函数性质的应用A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·某某某某众兴中学高一期末测试)函数f (x )＝3－lg x 的定义域为( A ) A ．(0,1 000] B ．[3,1 000] C ．(0，11 000]D ．[11 000，3][解析] 由题意得3－lg x ≥0， ∴lg x ≤3，∴0<x ≤103＝1 000， 故选A ．2．(2019·某某市南开区高一期末测试)函数f (x )＝lg(1－x 2)的单调递减区间为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－1,0)[解析] 由题意得1－x 2>0，∴x 2<1，∴－1<x <1. 令u ＝1－x 2，函数f (x )的单调递减区间即为u ＝1－x 2在(－1,1)上单调递减区间， 又u ＝1－x 2在(0,1)上递减，故选B ．3．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是( B )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．4．(2019·某某文，5)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 27>log 24＝2，log 38<log 39＝2，log 38>log 33＝1，∴1<b <2，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a ，故选A ．5．(2019·全国卷Ⅱ理，6)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |[解析]∵函数y ＝x 3在R 上是增函数， ∴若a >b ，则a 3>b 3，∴a 3－b 3>0，故选C ．6．(2019·某某泸西一中高一期中测试)函数y ＝lg|x |x的图象大致是( D )[解析]∵函数y ＝lg|x |x是奇函数，∴其图象关于原点对称，排除A 、B ；又∵x ＝1时，y ＝0，排除C ，故选D ．二、填空题7．(2019·某某某某高一期中测试)不等式log 2x <12的解集为__(0，2)__.[解析] 由题意得log 2x <log 2212，∴0<x <212，∴0<x <2，故不等式的解集为(0，2)．8．(2019·某某云天化中学高一期末测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－1x ≥2，则f [f (2)]＝__2__.[解析]∵x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)， ∴f (2)＝log 33＝1， ∴f [f (2)]＝f (1)，又∵x <2时，f (x )＝2e x －1，∴f (1)＝2e 0＝2，∴f [f (2)]＝f (1)＝2. 三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0x ＋3＞0，∴－3<x <1∴函数f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]．∴y ＝log a t ，t ∈(0,4]． 当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4， ∴函数f (x )的值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，y max ＝log a 4，∴函数f (x )的值域为(－∞，log a 4]．(2)∵函数f (x )有最小值－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1log a 4＝－2，得a ＝12.B 级 素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)∪(－∞－3) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析]∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数． 又∵y ＝log a u (a ＞1)为增函数，∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D ．2．(2018·某某文，5)已知a ＝log 372，b ＝(14)13 ，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析]∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log 1315＝log 35>log 372>log 33＝1，又(14)13 <(14)0＝1，∴c >a >b ，故选D ． 3．(2019·某某理，6)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1,0.51<0.50.2<0.50，∴12<0.50.2<1，∴12<c <1，∴a <c <b ，故选A ． 4．已知函数f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值X 围为( B ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)[解析] 由题意得a >0且a ≠1,2－ax >0，∴x <2a ，即函数f (x )的定义域为(－∞，2a )．∵函数在[0,1]上为减函数，∴2a>1，即a <2，∵函数y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是减函数，又t ＝2－ax 为减函数，∴y ＝log a t 是增函数，∴a >1，∴1<a <2.二、填空题5．已知f (x )＝|log 2x |，若f (a )>f (4)，则a 的取值X 围是__(0，14)∪(4，＋∞)__.[解析]∵f (4)＝|log 24|＝2.∴不等式化为f (a )>2，即|log 2a |>2，∴log 2a >2或log 2a <－2，∴a >4或0<a <14.6．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__1__. [解析]∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，∴－ln(－1＋a ＋1)＝ln(1＋a ＋1)， ∴ln(1＋a ＋1)＋ln(－1＋a ＋1)＝0， ∴ln[(a ＋1)2－1]＝0， ∴ln a ＝0，∴a ＝1. 三、解答题7．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12 (－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－log 12－x ≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.∴不等式的解集{x |x ≥14或－4≤x <0}．8．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞03－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x |－32＜x ＜32}．(2)f (x )－g (x )为奇函数．证明：由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]，∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )． 当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值X 围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值X 围是(－32，0)．9．(2019·某某宿迁市高一期末测试)已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )为偶函数． (1)某某数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴ln(1－x )＋ln(a ＋x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )， ∴ln(1－x )－ln(1＋x )＝ln(a －x )－ln(a ＋x )， ∴ln 1－x 1＋x ＝ln a －x a ＋x ，∴1－x 1＋x ＝a －x a ＋x， 整理得2x (a －1)＝0，∵x 不恒为0，∴a －1＝0，∴a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )，要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >01－x >0，∴－1<x <1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1) ＝ln(1－x22)－ln(1－x21)当－1<x1<x2<0时，x21>x22，1－x21<1－x22，∴ln(1－x22)>ln(1－x21)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)>0，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，当0≤x1<x2<1时，x21<x22，∴1－x21>1－x22，∴ln(1－x21)>ln(1－x22)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0,1)上是减函数．综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．。

高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。

在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。

本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。

一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。

其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。

对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。

对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。

对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。

二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。

主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。

公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。

公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。

三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。

在复利计算中，常常需要用到对数函数。

例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。

用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。

2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。

对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。

即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。

指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

其中，底数$a$决定了函数的性质。

当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。

指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。

例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。

二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。

当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。

例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。

三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。

对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。

四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。

指数与对数函数的性质及应用指数函数和对数函数是高中数学中重要的一类函数，它们具有独特的性质和广泛的应用。

本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、指数函数的性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。

指数函数的一般形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

1. 指数函数的增减性：当底数大于1时，指数函数是递增的；当底数小于1时，指数函数是递减的。

这意味着指数函数的图像会随着指数的增大或减小而逐渐上升或下降。

2. 指数函数的图像：当底数a大于1时，指数函数的图像会在y轴的正半轴上方逐渐上升；当底数a小于1时，指数函数的图像会在y轴的正半轴下方逐渐下降。

3. 指数函数的性质：指数函数具有“积化和差”、“商化和差”、“幂化积”和“对数指幂”等性质，这些性质对于简化指数函数的计算和推导非常有用。

二、对数函数的性质对数函数是指以一个大于1的底数为底，自变量为实数的函数。

对数函数的一般形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数。

1. 对数函数的增减性：对数函数是递增的。

这意味着对数函数的图像会随着自变量的增大而逐渐上升。

2. 对数函数的图像：当底数a大于1时，对数函数的图像会在y轴的正半轴上方逐渐上升；当底数a小于1时，对数函数的图像会在y轴的正半轴下方逐渐下降。

3. 对数函数的性质：对数函数具有“对数和差”、“对数积化和差”、“对数差化积”和“指数对数”等性质，这些性质对于简化对数函数的计算和推导非常有用。

三、指数与对数函数的应用指数函数和对数函数在各个学科领域都有广泛的应用，下面以几个典型的问题为例进行说明：1. 复利问题：复利是指每经过一定周期后的利息能够累积到本金上，形成新的本利之和。

复利问题可以通过指数函数来描述，利用指数函数的性质可以计算出复利的增长趋势和最终的本利总和。

2. 生物增长问题：生物的繁殖和生长过程可以使用指数函数来描述。

高中数学解对数函数的基本性质和变化趋势对数函数是高中数学中重要的一类函数，它具有许多独特的性质和变化趋势。

在解题过程中，我们需要了解对数函数的基本性质，并运用这些性质来分析和解决问题。

本文将围绕对数函数的基本性质和变化趋势展开讨论，并通过具体的题目举例，说明其考点和解题技巧。

1. 对数函数的基本性质对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

它的定义可以表示为：y = logₐx，其中a为底数，x为真数，y为对数。

对数函数的基本性质包括：（1）性质1：对数函数的定义域为正实数集，即x > 0。

例如，求解方程log₂(x - 3) = 2，首先根据对数函数的定义域，得到x - 3 > 0，解得x > 3。

然后，将x > 3代入方程中，得到log₂(x - 3) = 2，进一步求解得到x = 7。

（2）性质2：对数函数的图像关于直线y = x对称。

例如，考虑函数y = log₂x和y = x的图像。

通过观察可以发现，这两个函数的图像关于直线y = x对称，即对数函数的图像是一条开口向上的曲线。

（3）性质3：对数函数的图像在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减。

例如，比较函数y = log₂x和y = log₂(x + 1)的图像。

可以发现，当x > -1时，y = log₂x的值大于y = log₂(x + 1)的值，即对数函数在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减。

2. 对数函数的变化趋势对数函数的变化趋势是解题过程中需要重点关注的内容。

在求解问题时，我们需要根据对数函数的性质来分析其变化趋势，从而得出结论。

下面通过具体的题目来说明。

题目：已知函数f(x) = log₃x，g(x) = log₃(x + 1)，求解不等式f(x) > g(x)的解集。

解析：根据对数函数的性质，我们知道对数函数在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减。

因此，要求解不等式f(x) > g(x)，即找到使得f(x)大于g(x)的x的取值范围。

高一数学对数函数知识点例题对数函数是数学中一个重要的函数，广泛应用于各个领域。

在高中数学中，对数函数也是学习的重点内容之一。

本文将为大家介绍高一数学对数函数的知识点并提供一些例题进行讲解。

1. 对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意一个正数a（a≠1）和正数x，以a为底的x的对数，记作logₐx，即x=aⁿ，n=logₐx。

其中，a被称为对数的底，x被称为真数，n被称为对数。

对数函数的性质如下：（1）logₐa=1，即对数a以自身为底的结果为1；（2）logₐ1=0，即对数a以1为底的结果为0；（3）logₐ(ab)=logₐa+logₐb，即对于乘法运算，对数函数的结果等于对数的和；（4）logₐ(a/b)=logₐa-logₐb，即对于除法运算，对数函数的结果等于对数的差；（5）logₐaⁿ=nlogₐa，即对于指数运算，对数函数的结果等于对数乘以指数。

2. 对数函数的例题例题1：已知log₂3=0.631和log₂5=2.322，求log₅3的值。

解析：根据对数函数的性质，我们可以利用换底公式进行计算。

换底公式如下：logₐb=logₐc/logₐb，其中a为对数底。

根据题目给出的已知信息，我们有：log₅3=log₂3/log₂5代入已知的对数值，可以计算得到：log₅3=0.631/2.322≈0.272因此，log₅3的值约为0.272。

例题2：已知logₐ10=2和log₁₀b=0.5，求logₐb的值。

解析：根据对数函数的性质，我们可以利用换底公式进行计算。

根据题目给出的已知信息，我们可以先用对数的倒数性质来换底，得到logₐb的表达式：logₐb=log₁₀b/log₁₀a代入已知的对数值，可以计算得到：logₐb=0.5/2=0.25因此，logₐb的值为0.25。

3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有许多应用，特别是在科学和工程领域。

以下举一个应用对数函数的例子。

第二章 2．2 2．2.2 第22课时 对数函数的性质及应用提能达标过关一、选择题1．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c ，故选D ．2．函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选C ∵y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1＝lg 1－x1＋x ，由1－x 1＋x >0，得⎩⎨⎧1－x >0，1＋x >0或⎩⎨⎧1－x <0，1＋x <0.∴－1<x <1，其定义域为(－1，1)，关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，其图象关于原点对称．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是() A ．[－1，2] B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x ≤2或⎩⎨⎧x >1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x >1，故选D ． 4．已知函数f (x )＝|log 3x |，若a ≠b 时，有f (a )＝f (b )，则( )A ．a <b <1B ．a >b >1C ．ab ＝3D ．ab ＝1解析：选D ∵f (a )＝f (b )，∴|log 3a |＝|log 3b |.又∵a ≠b ，不妨设a >b ，则有log 3a ＝－log 3b ，即log 3a ＋log 3b ＝0.∴log 3(ab )＝0，∴ab ＝1.故选D ．5．(2019·厦门高一检测)函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值解析：选A 由|x －1|>0得，函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x >1，－x ＋1，x <1，则有g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，∴a >1.∴f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上为增函数且无最大值．故选A ．二、填空题6．函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________． 解析：当a >1时，f (x )max ＝f (3)＝log a 3＝1，∴a ＝3.当0<a <1时，f (x )max ＝f (2)＝log a 2＝1，∴a ＝2(舍去)．∴a ＝3.-=-=答案=-=-：37．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵当x ≤2时，－x ＋6≥4，又f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当x >2时，⎩⎨⎧3＋log a 2≥4，a >1，解得1<a ≤2.-=-=答案=-=-：(1，2]8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，当x <0时，－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－[1－log 2(－x )]＝log 2(－x )－1.∴当x >0时，由1－log 2x <0，得x >2；当x <0时，由log 2(－x )－1<0，得－2<x <0.∴不等式f (x )<0的解集为{x |x >2或－2<x <0}．-=-=答案=-=-：{x |x >2或－2<x <0}三、解答题9．设函数f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1，2]时，求f (x )的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧f （1）＝1，f （2）＝log 212，得⎩⎨⎧log 2（a －b ）＝1，log 2（a 2－b 2）＝log 212，∴⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a ＋b ＝6，∴a ＝4，b ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝log 2(4x －2x )，设t ＝2x ，∵x ∈[1，2]，∴t ∈[2，4]．令u ＝4x －2x ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14， ∴当t ＝4，即x ＝2时，u max ＝12.故f (x )的最大值为log 212.10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由题意知f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，由⎩⎨⎧x ＋1>0，4－2x >0，得－1<x <2.∴函数f (x )－g (x )的定义域是(－1，2)．(2)由f (x )－g (x )>0，得f (x )>g (x )，即log a (x ＋1)>log a (4－2x )．① 当a >1时，由①可得x ＋1>4－2x ，解得x >1.又∵－1<x <2，∴1<x <2；当0<a <1时，由①可得x ＋1<4－2x ，解得x <1. 又∵－1<x <2，∴－1<x <1.综上知，当a >1时，x 的取值范围是(1，2)； 当0<a <1时，x 的取值范围是(－1，1)．。

对数函数性质的应用一．对数函数的定义域、值域例1、求函数)35(log 21-=x y 的定义域。

解：由题意，得0)35(log 21≥-x ，结合对数函数的图像与性质，得1350≤-<x ， 解得5443≤<x ，所以函数)35(log 21-=x y 的定义域为}.5443|{≤<x x 点评：本题的易错点是注意了被开方数要大于等于0，却忽略了对数函数本身的定义域。

求解对数型复合函数的问题时，应该首先保证对数的真数大于0.二．对数函数的单调性对数函数的单调性受底数a 的制约，所以当题目中关于对数函数的底数的条件仅仅是“a>0且1≠a ”时，就要注意对底数进行分类讨论。

例2、)1(log )(++=x a x f a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 解：（1）当a>1时，2log )1()(max a a f x f +==，11log )0()(0min =+==a a f x f ，所以a a a =++12log ，所以a ＝21，不合题意，舍去； （2）当0<a<1时，11log )0()(0max =+==a a f x f ，2log )1()(min a a f x f +==，所以a a a =++12log ，所以a ＝21，故选B. 点评：对于对数函数的底数，要根据单调性的不同，分a>1和0<a<1两种情况讨论。

三．对数函数的图像过定点（1，0）根据01log =a （a>0且1≠a ）可知，对数函数的图像经过定点（1，0）例3、若函数112log -+=x x y a（a>0且1≠a ）的图像过定点P ，则点P 的坐标为________. 解：当1112=-+x x ，即x ＝－2时，y ＝0，故点P 的坐标为（－2，0）. 点评：对复合函数112log -+=x x y a （a>0且1≠a ），内层函数112-+=x x μ就是外层函数μa y log =的自变量，因为外层函数的图像过定点（1，0），所以令1=μ，得x 的值，从而得复合函数经过的定点。

2.2 对数函数互动课堂疏导引导2.2.1 对数与对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x=N(a>0,a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N 记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把log e N 记为lnN.疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b 是什么数,都有a b >0,即不论b 是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=log a N 中真数N 永远是正数,换句话说负数和零没有对数. (2)指数与对数的关系: a x=N(a>0,a ≠1)x=log a N. (3)负数和零没有对数. 2.对数的运算 (1)换底公式: ①log a b=alog blog c c ,即有log c a ·log a b=log c b; ②log b a=blog 1a ,即有log ab ·log b a=1; ③log a m b n=mnlog a b; (2)对数恒等式:a logaN=N.疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质. 3.对数式与指数式的关系 【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.●案例1下列四个命题中,真命题是( ) A. lg2lg3=lg5B. lg 23=lg9C.若log a M+ N=b,则M+N=a bD.若log 2M+ log 3N=log 2N+log 3M,则M=N 【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的-=-=答案=-=-一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:log a (M ±N)=log a M ±log a N, log a (M ×N)=log a M ×log a N, log aN M =Nlog M log a a ,log a N n =(log a N) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前. ●案例2求值: (1)7log -133;(2)lg5·lg20+lg 22;(3)已知log 23=a,3 b=7,求log 1256的值.【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log 37=b,然后设法将log 1256化成关于log 23和log 37的表达式即可求值. (1) 7log -133=733log 3 =73. (2)lg5·lg20+lg 22=lg5(lg4+lg5)+lg 22=2lg2·lg5+lg 25+lg 22=(lg2+lg5) 2=1. (3)解法一:∵log 23=a,∴2 a=3.又3 b =7,∴7=(2 a ) b =2 ab.故56=2 3+ab.又12=3·4=2 a ·4=2 a+2, 从而56=(2 a+2)aab ++23 =1223++a ab .故log 1256=log 121223++a ab =23++a ab. 解法二:∵log 23=a,∴log 32=a1. 又3 b=7,∴log 37=b.从而log 1256=12log 56log 33=4log 3log 8log 7log 3333++=2log 212log 37log 333++=a ab 12113•+•+=23++a ab . 解法三: ∵log 23=2lg 3lg =a,∴lg3=alg2. 又3 b=7,∴lg7=blg3. ∴lg7=ablg2.从而log 1256=12lg 56lg =3lg 2lg 27lg 2lg 3++=2lg 2lg 22lg 2lg 3a ab ++ =aab++23. 【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.2.2.2 对数函数及其性质1.概念一般地,我们把函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2.对数函数的性质a>1 0<a<1图象性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)图象过定点(1,0)(4)在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数疑难疏引对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即log a1=0;(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=log a x在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,图象由左向右逐渐下降,即当0<a<1时,y=log a x在(0,+∞)上是减函数;(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=log a x>0;0<x<1,则y=log a x<0;当0<a<1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴下方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴上方,即当0<a<1时,x>1,则y=log a x<0;0<x<1,则y=log a x>0.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于0,等于1来也不行,底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(1,0)点.●案例1比较大小:(1)log0.27和log0.29;(2)log35和log65;(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);(4)log85和lg4.【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.(2)考查函数y=log a x底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm)x在R上单调递增,故(lgm)1.9<(lgm)2.1.若0<lgm<1即1<m<10,则(lgm)x在R 上单调递减,故(lgm) 1.9>(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1. (4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log 85>lg5>lg4,即log 85>lg4. 【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有: (1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定; (4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较; (5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.●案例2已知函数y=lg(x 2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性. 【探究】 注意到12+x +x=xx -+112,即有lg(12+x -x)=-lg(12+x +x),从而f(-x)=lg(12+x +x)=-lg(12+x -x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性. 由题意12+x -x>0,解得x ∈R,即定义域为R. 又f(-x)=lg ［1)(2+-x -(-x)］=lg(12+x +x) =lgxx -+)1(12=lg(12+x -x) -1=-lg(12+x -x)=-f(x). ∴y=lg(12+x -x)是奇函数. 任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则121+x <122+x ⇒121+x +x 1<122+x +x 212111x x ++>22211x x ++,即有121+x -x 1>121+x -x 2>0, ∴lg(121+x -x 1)>lg(122+x -x 2),即f(x 1)>f(x 2)成立.∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. 又f(x)是定义在R 上的奇函数, 故f(x)在(-∞,0)上也为减函数. 【溯源】研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.●案例3作出下列函数的图象: (1)y=|log 4x|-1; (2)y=log 31|x+1|. 【探究】 (1)y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去,得到y=|log 4x|的图象,再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log 4x|-1的图象.(2)y=log 31|x+1|的图象可以看成由y=log 31x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 31x 的图象作出,然后关于y 轴对称,即得到函数y=log 31|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log 31|x+1|的图象. 函数(1)的图象作法如图①～③所示. 函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x ≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x ≤0时,其图象与x ≥0时的图象关于y 轴对称.对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x 轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y 轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(0<a<1)到原来的a 倍,纵坐标不变而得到;y=af(x)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0<a<1)或伸长(a>1)到原来的a 倍而得到.●案例4已知f(x)=2+log 3x, x ∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y 取最大值时,x 的值.【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.【解】 ∵f(x)=2+log 3x,∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log 3x) 2+2+log 3x 2=(2+log 3x) 2+2+2log 3x=log 32x+6log 3x+6=(log 3x+3) 2-3.∵函数f(x)的定义域为［1,9］,∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x 2≤9,1≤x ≤9. ∴1≤x ≤3.∴0≤log 3x ≤1.∴6≤y=(log 3x+3) 2-3≤13.∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( ) A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年. 设再过n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,根据题意,得2(1+20%)n >12,即1.2n>6, 两边取对数,得nlg1.2>lg6, ∴n>2.1lg 6lg =3lg 2lg 23lg 2lg + =14471.03010.024771.03010.0-+⨯+. ∴n=10,即2 006+10=2 016. 因此,选B.【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.3.反函数的图象和性质对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0且a ≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x 对称.疑难疏引 (1)f(a)=b f -1(b)=a;(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a); (3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域; (4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x 对称.在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？ 【探究】先求原函数的值域.由-1≤x<0,∴-1<x 2-1≤0.∴51<5x2-1≤1,即51<y ≤1,y=5x2-1⇒log 5y=log 55x2-1⇒log 5y=x 2-1x 2=1+log 5y.∵-1≤x<0,∴x=-y 5log 1+,即y=-x 5log 1+ (51<x ≤1). 【溯源】求反函数时,首先要求值域,然后解关于x 的方程,第三要把解出的方程中的x 、y 互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出. 关于对数运算的几点提示:(1)对数式log a N=b 中各字母的取值范围(a>0且a ≠1,N>0,b ∈R)容易记错. (2)解决对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)的单调性问题时,忽视对底数a 的讨论.(3)关于对数式log a N 的符号问题,既受a 的制约又受N 的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.以1为分界点,当a 、N 在同侧时,log a N>0;当a 、N 在异侧时,log a N<0. 活学巧用 1.3log 9log 28的值是( ) A.32 B. 1C.23 D. 2【思路解析】 考查有关对数的运算性质,log a m b n=mnlog a b. 【-=-=答案=-=-】 A2. 若log 2［log 21(log 2x)］=log 3［log 31(log 3y)］=log 5［log 51(log 5z)］=0,则x 、y 、z 的大小关系是( ) A. z<x<y B. x<y<z C. y<z<x D. z<y<x【思路解析】 依特殊的对数式log a 1=0及log a a=1可分别求出相应的x 、y 、z 的值. log 5［log51(log 5z)］=0,可知log51(log 5z)=1,所以log 5z=51,可得z=551.同理可得x=221,y=331,借助分数指数幂可得这三个数的大小,-=-=答案=-=-为D. 【-=-=答案=-=-】 D3. 下列各式中成立的是( )A. log a x 2=2log a xB. log a |xy|=log a |x|+log a |y|C. log a 3>log a 2D. log ayx=log a x- log a y【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.A 、D 的错误在于不能保证真数为正,C 的错误在于a 值不定.选B. 【-=-=答案=-=-】B 4. 求下列各式中的x:(1)log 54x=-21; (2)log x 5=23; (3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.【解】 (1)原式转化为(54)-21=x,所以x=25.(2)原式转化为x 23=5,所以x=325.(3)由对数性质得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-07811,0117822x x x x x x x 解得x=8.5. 已知log a 2=m,log a 3=n,则a 2m-n=__________.【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算. ∵log a 2=m,log a 3=n, ∴a m =2,a n=3. ∴a2m-n=n maa 2 =n m a a 2)( =322=34.【-=-=答案=-=-】34 6. (1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 【解】 (1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5,∴b=log 35. 又∵log 32=a, ∴log 330=21log 3(2×3×5)=21 (log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 7. (1)将下列指数式写成对数式: ①2 10=1 024;②10 -3=10001;③0.3 3=0.027;④e 0=1. (2)将下列对数式写成指数式: ①log 0.46.25=-2; ②lg2=0.301 0;③log 310=2.095 9; ④ln23.14=x. 【思路解析】应用指数式与对数式的等价关系求解. 【-=-=答案=-=-】 (1)①log 21 024=10;②lg10001=-3;③log 0.30.027=3;④ln1=0.(2)①0.4 -2=6.25;②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10;④e x=23.14.8. 已知log a 3>log b 3>0,则a 、b 、1的大小关系是.【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a 与b 的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决. 【解法一】 由log a 3>log b 3>0a 3log 1>b3log 1>0log 3b>log 3a>0log 3b>log 3a>log 31.∵y=log 3x 是增函数,故b>a>1. 【解法二】分别作出y=log a x 与y=log b x 的图象,然后根据图象特征进行推断. ∵log a 3>log b 3>0,∴a>1,b>1. 故y=log a x 与y=log b x 均为增函数. 又∵log a 3>log b 3>0,∴当x>1时,y=log a x 的图象应在y=log b x 图象的上方,如图所示.根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1. 【-=-=答案=-=-】 b>a>19. 比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 23.4, log 28.5; (2)log 0.31.8, log 0.32.7;(3)log a 5.1, log a 5.9(a>0,a ≠1).【解】 (1)考查对数函数y=log 2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log 23.4<log 28.5.(2)考查对数函数y=log 0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8>log 0.32.7.(3)当a>1时,y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,于是log a 5.1<log a 5.9; 当0<a<1时,y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,于是log a 5.1>log a 5.9. 10. 求函数y=log 31(-x 2+4x+5)的定义域和值域.【解】 函数有意义,必须-x 2+4x+5>0⇒x 2-4x-5<0⇒-1<x<5, ∴函数的定义域为{x|-1<x<5}.由-1<x<5,∴在此区间内(-x 2+4x+5) max =9.∴0≤-x 2+4x+5≤9.从而log 31(-x 2+4x+5)≥log 319=-2, 即值域为{y|y ≥-2}. 11. 已知函数f(x)=log abx bx -+ (a>1且b>0). (1)求f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性.【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.【解】 (1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+00b x b x bx ,解得x<-b 或x>b.∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). (2)由于f(-x)=log a (b x b x --+-)=log a (b x b x +-)=log a (b x b x -+)-1=-log a (bx bx -+)=-f(x),所以f(x)为奇函数.12. 求函数y=log 21(-x 2+2x+3)的值域和单调区间. 【思路解析】 通过换元,令t=-x 2+2x+3,是复合函数的问题. 【解】 设t=-x 2+2x+3,则t=-(x-1)2+4. ∵y=log 21t 为减函数,且0<t ≤4, ∴y ≥log 214=-2,即函数的值域为［-2,+∞). 再由函数y=log 21(-x 2+2x+3)的定义域为-x 2+2x+3>0,即-1<x<3, ∴t=-x 2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减. 而y=log 21t 为减函数. ∴函数y=log 21(-x 2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3). 13. 函数y=lg|x|( )A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见-=-=答案=-=-.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y 轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.【-=-=答案=-=-】 B14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x 上所有点…( )A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出-=-=答案=-=-.【-=-=答案=-=-】 A15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x 的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R 要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u 能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x 的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;当a ≠0时,有⎩⎨⎧<-=∆>0440a a ⇔ a>1. ∴a 的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数⇔a=0或⎩⎨⎧>-=∆>0440a a ⇔0< a ≤1. ∴a 的取值范围为0≤a ≤1.16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log 2a)=b,log 2［f(a)］=2(a ≠1),求f(log 2x)的最小值及对应的x 的值.【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.【解】 由已知得log 22a-log 2a+b=b,log 2(a 2-a+b)=2,即log 2a(log 2a-1)=0,a 2-a+b=4,①②由①得log 2a=1,∴a=2.代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.∴f(log 2x)=log 22x-log 2x+2=(log 2x-21) 2+47.∴当log 2x=21时,f(log 2x)取得最小值47,此时x=2. 17. 已知y=log a (2-ax)在区间［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值范围.【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a 是一样的,可知a>0且a ≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.【解】 先求函数定义域:由2-ax>0,得ax<2,又a 是对数的底数,∴a>0且a ≠1.∴x<a2. 由递减区间［0,1］应在定义域内,可得a2>1,∴a<2. 又2-ax 在x ∈［0,1］上是减函数,∴y=log a (2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.由复合函数单调性可知a>1,∴1<a<2.18. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49= 1.060 2)【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.∴lg(1+x)= 103010.02 =0.0602 ∴1+x=10 0.060 2.又∵lg11.49=1.060 2,∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.∴10 0.060 2=1.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.【-=-=答案=-=-】 14.9%19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x 对应的值.【-=-=答案=-=-】 120. 已知函数f(x)=a x +k 的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).【思路解析】 根据函数f(x)=a x +k 的图象过点(1,3),可列出一个关于a 和k 的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x +k 的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a 和k 的方程.【解】 依题意得a 1+k=3,a 0+k=2,解得a=2,k=1.∴f(x)=2x +1.。

对数运算及对数函数习题课课时过关·能力提升基础巩固1.log2+log2的值为()A.1B.C.-D.-1解析:原式=log2=log2.-=-=答案=-=-:B2.函数y=lg(x+1)的图象大致是()解析:函数y=lg(x+1)的图象可看作是y=lg x的图象向左平移1个单位长度得到的.故选C.-=-=答案=-=-:C3.函数f(x)=log2(2x)的图象可由y=log2x的图象经下列哪种变换而得到()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位解析:∵f(x)=log2(2x)=log22+log2x=1+log2x,∴y=log2x的图象向上平移1个单位可得到f(x)=1+log2x 的图象.-=-=答案=-=-:C4.函数f(x)=lg(+x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数解析:∵≥-x,∴+x>0恒成立.∴f(x)的定义域为R.又f(-x)=lg(-x)=lg=lg(+x)-1=-f(x),∴f(x)为奇函数. -=-=答案=-=-:A5.已知a>0,,则lo a等于()A.2B.3C.4D.5解析:∵,a>0,∴a=.∴lo a=3.-=-=答案=-=-:B6.函数y=log2(x-1+1)的值域为()A.RB.(0,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-∞,1)∪(0,+∞)解析:∵x-1+1=+1≠1,∴y=log2(x-1+1)≠log21=0,∴所求值域为(-∞,0)∪(0,+∞).-=-=答案=-=-:C7.函数f(x)= |ln x|的单调递减区间是.解析:作出函数f(x)=|ln x|的图象如图所示,则单调递减区间为(0,1).-=-=答案=-=-:(0,1)8.若函数f(x)=log2(x2+ax+1)为偶函数,则a=.解析:∵f(x)=log2(x2+ax+1)为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴log2(x2-ax+1)=log2(x2+ax+1).∴2ax=0对定义域内的任意x恒成立.∴a=0.-=-=答案=-=-:09.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),若f(a)=,则f(-a)=.解析:∵x∈(-1,1),且f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x), ∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-.-=-=答案=-=-:-10.已知f(x)=log3x.(1)作出函数f(x)的图象;(2)若f(a)<f(2),利用图象求a的取值范围.解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.(2)令f(x)=f(2),即log3x=log32,解得x=2.由图象知:当 0<a<2时,恒有f(a)<f(2).故所求a的取值范围为(0,2).能力提升1.函数y=2+log2x(x≥2)的值域为()A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞)解析:∵x≥2,∴log2x≥1,∴2+log2x≥3.-=-=答案=-=-:D★2.函数y=的图象大致是()解析:易知函数y=f(x)=为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B;当x=1时,f(1)==0,排除C,故选D.-=-=答案=-=-:D3.若函数f(x)=在(-∞,+∞)内为增函数,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,3)C.D.(1,3)解析:由题意知解得1<a<3.-=-=答案=-=-:D4.=.解析:原式==1.-=-=答案=-=-:15.已知函数f(x)=的最小值为-1,则a的取值范围是.解析:∵当x≥时,log2x≥log2=-1,∴当f(x)的最小值为-1时,-+a≥-1,∴a≥-.-=-=答案=-=-:6.函数f(x)=log2(x2-1)-log2(x+1)在x∈[3,5]上的值域为.解析:∵f(x)=log2(x2-1)-log2(x+1)=log2=log2(x-1),∴当x∈[3,5]时,f(x)为增函数.∴f(x)的值域为[1,2].-=-=答案=-=-:[1,2]★7.已知实数x满足-3≤lo x≤-,求函数y=的值域.解:y==(log2x-1)(log2x-2)=lo x-3log2x+2.∵-3≤lo x≤-,∴≤log2x≤3.令t=log2x,则t∈,y=t2-3t+2=,∴当t=时,y min=-;当t=3时,y max=2.故函数的值域为.★8.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1,m≠1)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)探究函数f(x)在(1,+∞)内的单调性.解:(1)由已知条件得f(-x)+f(x)=0对定义域中的x均成立.∴log a+log a=0,即=1,∴m2x2-1=x2-1对定义域中的x均成立.∴m2=1,即m=1(舍去)或m=-1.(2)由(1)得f(x)=log a.设t==1+,∴当x1>x2>1时,t1-t2=<0,∴t1<t2.当a>1时,log a t1<log a t2,即f(x1)<f(x2),∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)内是减函数.同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)内是增函数.。

2.2 对数函数
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一、对数函数
名师点拨 1.对对数函数定义的理解：
(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a>0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a>0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象：
对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交．
作直线y＝1与函数y＝log a x的图象相交，则交点横坐标为a.
x(a>0，且a≠1)的图自主思考1函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数y＝log
1
a
象有怎样的关系？
提示：观察课本第70页图2.2­3知，两函数的图象关于x轴对称．事实上，函数y＝
x的图象上，log a x图象上任一点P(x，y)关于x轴的对称点P′(x，－y)都在函数y＝log
1
a
所以这两个函数的图象关于x轴对称．
自主思考2a，b在什么情况下，log a b>0？什么情况下，log a b<0?
提示：观察对数函数图象知，
当a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0,1)时，log a b>0.
当a∈(0,1)，b>1或a>1，b∈(0,1)时，log a b<0.
二、反函数
对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．
名师点拨对数函数和指数函数的区别与联系
将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：。