第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛教案及说明：甘肃省：双曲线及其标准方程

双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。

2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。

三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。

2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。

四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。

2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。

3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。

4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。

五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。

2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。

说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。

在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。

通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。

六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。

2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。

八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。

2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。

九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。

2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。

双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 双曲线的定义和性质的理解。

2. 双曲线标准方程的推导和应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究双曲线的定义和性质。

2. 运用几何画图工具，直观展示双曲线的形状和特点。

3. 通过例题讲解和练习，巩固双曲线标准方程的应用。

四、教学准备1. 教学课件和几何画图工具。

2. 练习题和答案解析。

五、教学过程1. 导入：复习直线、圆和椭圆的相关知识，引导学生思考曲线的一般性质。

2. 新课：介绍双曲线的定义和性质，通过几何画图工具展示双曲线的形状和特点。

3. 推导双曲线的标准方程：引导学生运用已知知识，推导出双曲线的标准方程。

4. 应用：通过例题讲解和练习，让学生掌握双曲线标准方程的应用。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。

6. 作业布置：布置适量练习题，巩固所学知识。

教案说明：本教案根据甘肃地区的高中数学教学要求，以学生为中心，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

在教学过程中，通过问题驱动法和几何画图工具，引导学生主动探究双曲线的定义和性质，注重练习和应用，使学生能够熟练掌握双曲线标准方程的应用。

六、教学拓展1. 引导学生思考双曲线与其他曲线的关系，如抛物线和椭圆。

2. 探讨双曲线的应用领域，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星体运动等。

七、练习与反馈1. 提供一组练习题，让学生独立完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。

2. 针对学生的练习情况，进行反馈和讲解，帮助学生纠正错误和不清晰的地方。

八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。

2. 提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

九、作业布置1. 布置一组练习题，要求学生按时完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。

2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。

三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。

四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。

5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。

五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。

六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。

七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。

八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。

九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。

2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。

十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。

双曲线及其标准方程教案教案标题：双曲线及其标准方程教学目标：1. 理解双曲线的定义和性质。

2. 掌握双曲线的标准方程的推导和应用。

3. 能够绘制双曲线的图像并进行相关分析。

教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一幅双曲线的图像来引起学生对双曲线的兴趣和思考。

Step 2：双曲线的定义和性质（15分钟）1. 教师简要介绍双曲线的定义，并解释双曲线与直角坐标系的关系。

2. 教师引导学生发现双曲线的对称性、焦点和准线等性质，并进行简单的解释和讨论。

Step 3：双曲线的标准方程的推导（20分钟）1. 教师通过几何推导的方式，引导学生推导双曲线的标准方程。

2. 教师讲解标准方程的含义和各参数对双曲线图像的影响。

Step 4：双曲线的图像绘制与分析（25分钟）1. 教师通过示范，教学课件或黑板上的绘制，让学生掌握双曲线的图像绘制方法。

2. 学生根据教师的指导，自主绘制双曲线的图像，并进行相关的分析与讨论。

Step 5：练习与巩固（15分钟）1. 学生个别或小组完成相关的练习题，巩固所学内容。

2. 教师对学生的练习情况进行及时的指导和反馈。

Step 6：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，并给予一些例子。

2. 学生进行小组或个人的拓展性应用探究，如双曲线在工程设计或物理问题中的应用等。

Step 7：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并回顾学生的学习情况。

2. 学生对本节课的教学效果进行自我评价，并提出问题和建议。

教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的双曲线图像绘制和分析练习，加深对双曲线的理解。

2. 引导学生进行更深入的研究和探索，如双曲线的参数方程等。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。

2. 学生完成的练习题和拓展性应用探究的成果。

高中数学教案《双曲线的定义及其标准方程》【活动方案】一、说教材学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。

如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。

所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

二、说学情知识方面，学生已经学习了椭圆和抛物线，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。

能力方面，学生有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。

三、教学目标（一）知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。

（二）过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。

（三）情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

四、教学重难点（一）重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程；（二）难点：双曲线标准方程的推导。

五、教学法（一）教法：可采用引导探究法，充分利用青少年富有创造性，对体验成功的渴望的特点，让学生自觉主动地创造性的去分析问题、讨论问题、解决问题；（二）学法：在学习方法的制定上，要充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，在与学生的互动交流中注重培养学生类比推理、数形结合解决问题的能力，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度。

六、教学过程（一）回顾椭圆【设置问题】在课的开始可以设置几个问题让学生回答，在学生回答之后，把双取线定义和标准方程的答案展示出来，然后演示椭圆的生成过程。

【设计意图】通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，之后告诉学生：我们要学习一种新的曲线——双曲线。

【创设情境】播放一首“悲伤双曲线的MTV”，让学生认识双曲线。

双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其性质。

2. 掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。

二、教学内容：1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。

2. 双曲线的性质：双曲线是中心对称图形，其两支分别向无穷远延伸，且不存在最大值和最小值。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)），其中\(a\) 称为实轴半长，\(b\) 称为虚轴半长。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质及其标准方程。

2. 教学难点：双曲线标准方程的求法和应用。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 教学手段：利用黑板、PPT、几何画板等教学辅助工具。

五、教学安排：1. 课时：本章共4 课时。

2. 教学过程：第1 课时：介绍双曲线的定义和性质。

第2 课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

第3 课时：练习双曲线标准方程的求解和应用。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。

2. 课后作业：布置有关双曲线的练习题，检验学生对知识的掌握情况。

3. 单元测试：进行一次双曲线知识点的测试，全面评估学生的学习效果。

七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，加强对难点知识点的讲解。

2. 注重培养学生运用双曲线知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对双曲线图像的认识，加强直观教学。

八、拓展与延伸：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。

2. 介绍双曲线的变形式，如双曲函数、双曲线方程的解法等。

3. 引导学生深入研究双曲线的性质，探寻更多规律。

九、课后作业：（1）经过点\(A(2,0)\) 和\(B(-2,0)\) 的双曲线。

双曲线及其标准方程教学目标1.掌握双曲线定义和标准方程；2.通过类比椭圆研究双曲线，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力；3.通过画双曲线的图形和建立双曲线的标准方程，让学生感知几何图形的曲线美，对称美；方程的简洁美，培养学生学习数学的兴趣.教学重难点1.教学重点：双曲线的定义及其标准方程；2.教学难点：双曲线点的轨迹的追踪和标准方程的推导.教学过程一、复习引入平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.二、实验探究1.动手画一画；2.请根据你所做的图形，探究以下问题.（各题中M点为图形上任意一点）(1)满足MF1−MF2=2a,2a=0的动点M的轨迹是______________;(2)满足MF1−MF2=2a,2a=F1F2的动点M的轨迹是___________;(3)先完成以下探究中①—⑤:①如图1中,设F2H=2a,则MF1,MF2与2a,三者具有怎样的数量关系?________________________________________.②如图2中,设F1H=2a,则 MF1,MF2与2a,三者具有怎样的数量关系?________________________________________.③将满足图1和图2中动点M的轨迹用集合P 表示为P={M|_____________________________}④常数2a与F1F2的大小关系怎样?______________________.⑤观察画出的图形,请你为上述集合P的对应的平面曲线命一个名称:曲线叫做____________.⑥归纳总结,双曲线的定义：____________________________________________________________________________其中这两个定点F1,F2 , 叫做__________,两焦点的距离F1F2=2c叫做____________.三、双曲线标准方程的推导(类比椭圆标准方程的推导)(1)回顾:求椭圆的标准方程的方法是什么?步骤是哪些?(2)独立完成双曲线标准方程的推导（3）双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________.三、感受理解例1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.变式: 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例2.已知方程x 29−y2m+1=1表示双曲线，则实数m的取值范围为__________.变式 1.已知方程x 2m +y21−m=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为__________.变式2.已知方程x 2m +y21−m=1表示双曲线，则实数m的取值范围为__________.四、归纳提炼1、通过本节课你学会了哪些知识?2、通过本节课你掌握了哪些方法?3、通过本节课的学习,你还有其它收获或体会吗?。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。

2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。

3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。

4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。

2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。

3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。

4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。

5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。

6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。

3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。

七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。

2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。

八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。

“用二分法求方程的近似解（一）”教案说明一、授课内容的数学本质本课时的主要任务是结合中的例1，介绍二分法的基本操作思路，在此基础上又从算法思想的角度归纳了二分法的一般操作步骤，并使学生尝试用二分法按给定的精确度、借助计算器或计算机等，求一个具体方程的近似解. 借以体验从具体到一般的认识过程，渗透运动变化（逐步逼近）和极限思想（无限逼近），初步体会“近似是普遍的、绝对的，精确则是特殊的、相对的”辩证唯物主义观点，树立追求真理、崇尚科学的信念.函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，有着不可替代的重要位置。

二分法的设置是通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来，加强了函数与方程的联系，突出函数的应用，这又是本节课要渗透的一个数学思想所以本节课的本质是向学生渗透函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。

二、教学目标定位本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识。

但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算机的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。

所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。

课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯.【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n 一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。

2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。

4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。

5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。

六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。

七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。

2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。

3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。

2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

3. 第三课时：例题分析与实际应用。

4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。

九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。

2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

《双曲线的标准方程》教学设计一、教学目标：（一）知识技能目标1、理解双曲线的定义2、能根据已知条件求双曲线的标准方程3、进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法（二）过程性目标1、提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

2、培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。

3、培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

（三）情感、价值观目标1、亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

2、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

3、养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二、教学重点、难点：本节的教学重点理解和掌握双曲线的定义及其标准方程难点是双曲线标准方程的推导三、教法与学法教学方法：引导发现法问题式教学法为了培养学生的自主学习能力，激发学生的学习兴趣，尽量设计大家熟悉的实例，在教学中采取引导发现法，结合问题式教学，利用多媒体等手段构建数学模型，引导学生进行观察讨论，归纳总结，合作交流。

学法指导: 自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式；引导学生进行“问题式学习”，培养学生分析和解决问题能力。

四、教学过程：课堂实验取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．（老师找同学在黑板上示范）分析绘图原理拉链在拉开、闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F2F|，动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F2F|，而|F2F|为定长，所以点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为|F2F|=2a，即|MF1|-|MF2|=2a ，如上图（B）。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。

(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。

1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。

(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。

1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。

(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。

第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。

(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。

(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。

2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。

第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。

(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。

(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。

3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。

第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。

双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。

三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。

2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。

3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。

4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。

四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。

2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。

3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。

4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。

5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。

双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义和性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 双曲线的定义和性质。

2. 双曲线的标准方程及其应用。

三、教学难点：1. 双曲线的标准方程的推导和应用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT课件和教学素材。

2. 学生准备笔记本和文具。

五、教学过程：1. 引入：通过复习椭圆的定义和性质，引导学生思考椭圆和双曲线的关系，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：a. 讲解双曲线的定义和性质，引导学生通过图形理解双曲线的特点。

b. 推导双曲线的标准方程，并解释其含义。

c. 举例说明双曲线的标准方程在实际问题中的应用。

3. 练习：让学生独立完成一些关于双曲线标准方程的练习题，巩固所学知识。

4. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。

5. 作业布置：布置一些有关双曲线标准方程的应用题，让学生课后思考和练习。

教案说明：本教案以甘肃地区的高中数学教学大纲为依据，结合当地学生的实际情况进行设计。

在教学过程中，注重引导学生从实际问题中发现双曲线的应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

通过练习题的设置，让学生巩固所学知识，提高数学综合素质。

六、教学拓展：1. 引导学生探索双曲线的几何性质，如渐近线、焦点、准线等。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。

七、课堂互动：1. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题。

2. 组织小组活动，让学生合作解决有关双曲线的实际问题。

八、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习题和小组活动，评价学生对双曲线及其标准方程的理解和应用能力。

2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，鼓励创新和思考。

九、教学反思：1. 反思本节课的教学效果，检查学生对双曲线知识的掌握程度。

2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略，提高教学质量。

8.3 双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c 的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体 ， 一根拉链，小夹子教学过程：一、复习提问师：椭圆定义是什么？生：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆。

（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入1、设问师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思考（老师在黑板上画出两个点21,F F ,使F 1在左侧,F 2在右侧.记21F F =2c,2c>0）。

师： 在椭圆里到两个定点的距离的和这个常数是正数，那么，平面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。

师：可能是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零） 师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F 1F 2的中垂线。

老师做出21,F F 的中垂线。

师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F 1F 2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F 1F 2的中垂线的左侧。

师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于非零常数的点的轨迹到底是是什么呢？我们一起做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链具体做法：老师在拉开的拉链两侧各取一点打结（实验前已经测量好，使两结之间的距离小于两定点间的距离），请两位同学协助将两点分别固定在定点F 1，F 2处，使拉链头在21,F F 的上方。

2008年第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《几何概型》教案及其说明一、《几何概型》的教学目标：1、教学目标：1〕学生能够正确区分几何概型及古典概型；2〕学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；3〕提高学生自主探究问题、解决问题的能力；4〕渗透数学的基本思想：猜想验证思想、以旧引新思想等等；5〕通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

2、教学目标的设置意图：几何概型概念中的核心是它的两个特征，〔1〕试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；〔2〕每个基本事件出现的可能性相等〔等可能性〕，尤其是特征〔2〕，所以教学的重点不是“如何计算概率〞，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

几何概型是对古典概型有益的补充，几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例。

在强化几何概型概念教学的同时，将几何概型概念形成的教学通过猜想验证思想逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性。

二、《几何概型》在教材中的地位：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型是对古典概型有益的补充，将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件；2、学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。

三、《几何概型》的重难点分析：1、《几何概型》的重难点：1〕学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别；2〕学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；3) 通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；4〕难点在于把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题；2、几何概型的学习是建立在古典概型的学习基础之上，少数学生受古典概型学习的影响，容易忽视对几何概型的判断和选择，不善于把求未知量的问题转化成几何概型求概率的问题，而常常转化成古典概型进行分析；因此在教学中结合[课前练习]、[问题初探]进行深入讨论，让学生真正体会到判断几何概型的特点以及重要性，利用回顾、猜想、试验、对比等手段来帮助学生解决问题。