江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(25)

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（13）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合A={y|y=﹣e x+2}，B={x|{y=}，则（∁R B）∩A__________．2．若集合M={x|x2≥4}，P={x|≤0}，则M∪P=__________．3．已知f（）=3x﹣2，则f（x）=__________．4．函数f（x）=的定义域为__________．5．求函数y=x+2的值域__________．6．若对于任意x∈R，方程a=有解，则实数a的取值范围是__________．7．设定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围为__________．8．已知函数f（x）=﹣2x3+ax，若对于区间（1，2）内任意两个不等的实数p，q，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是__________．9．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为__________．10．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为__________．11．已知函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1．若函数y=|f（x）|在（1，2）上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．12．若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是__________．13．已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），（a＞0且a≠1）．若f（x）在区间[，]上为增函数时，则a的取值范围为__________．14．设实数a≥1，使得不等式x|x﹣a|+，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是__________．二．解答题15．已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x|x﹣4|，x∈[0，m]，其中m∈R且m＞0．如果函数f（x）的值域为[0，λm2]，试求实数λ的最小值．17．因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设支架FG高为h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（y=GD﹣GC）．（1）当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；（2）当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC＜GA1≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（13）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合A={y|y=﹣e x+2}，B={x|{y=}，则（∁R B）∩A（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：由A中y=﹣e x+2＜2，得到A=（﹣∞，2），由B中y=，得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，即B=[﹣1，1]，∵全集R，∴∁R B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则（∁R B）∩A=（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，2）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若集合M={x|x2≥4}，P={x|≤0}，则M∪P=（﹣∞．﹣2]∪（﹣1，+∞）．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用不等式的性质和并集定义求解．解答：解：∵M={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤﹣2}，P={x|≤0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∪P={x|x≤﹣2或x＞﹣1}=（﹣∞．﹣2]∪（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞．﹣2]∪（﹣1，+∞）．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．3．已知f（）=3x﹣2，则f（x）=3x2﹣2（x≥0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：令t=，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），注意定义域．解答：3x2﹣2（x≥0）解：令t=（t≥0），则x=t2，所以f（t）=3t2﹣2（t≥0），所以f（x）=3x2﹣2，（x≥0），故答案为：3x2﹣2，（x≥0）．点评：已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围．易错点是忽视定义域．4．函数f（x）=的定义域为（，0）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．解答：解：要使函数有意义，则，解得，＜x＜0，则函数的定义域是（，0）．故答案为：（，0）．点评：本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．5．求函数y=x+2的值域（﹣∞，3]．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用换元法求函数的值域．解答：解：令t=，t≥0；故x=2﹣t2；y=2﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+3≤3；故函数y=x+2的值域为（﹣∞，3]；故答案为：（﹣∞，3]．点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．6．若对于任意x∈R，方程a=有解，则实数a的取值范围是[0，]．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：a应取的范围，方程才有解，x≠0时，分子分母同除以x2，原方程化为a==，先求分母的范围，再求整个分式的范围，可得答案．解答：解：当x=0时，a=0，当a≠0时，a==，∵=≥，∴∈（0，]综上，a∈[0，]故答案为：[0，]点评：本题主要考查求函数的值域，变形化为二次函数求范围是解题的关键，本题在分子分母同除以x时，易漏掉对0的讨论．7．设定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围为．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：首先要考虑函数的定义域，得出一个参数m的取值范围，然后在根据奇函数在对称区间上的单调性相同这一性质，得出在整个定义域上的单调情况，从而把原不等式通过移项，根据奇函数将负好移到括号内，再根据单调性去掉函数符号，又得到一个参数的取值范围，最后两个范围求交集可得最后的结果．解答：解：∵f（x）定义在[﹣2，2]∴即﹣2≤m≤1 ①又∵f（x）定义在[﹣2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减∴f（x）在[﹣2，0]上也单调递减∴f（x）在[﹣2，2]上单调递减又∵f（1+m）+f（m）＜0⇔f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m）∴1+m＞﹣m 即m＞﹣②由①②可知：﹣＜m≤1故答案为：（﹣，1]点评：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的关系性质，即：“奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反”．还要注意考虑定义域的问题，这一点常常容易忽略，所以本题也属于易错题，是一道中档题．8．已知函数f（x）=﹣2x3+ax，若对于区间（1，2）内任意两个不等的实数p，q，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是[24，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：＞0恒成立，只需该函数在（1，2）内的导数大于0恒成立．解答：解：由题意，要使＞0恒成立，只需f′（x）＞0在（1，2）上恒成立．因为f′（x）=﹣6x2+a，所以﹣6x2+a＞0在（1，2）上恒成立，即a＞6x2，x∈（1，2）恒成立，只需a＞6×22=24，又2∉（1，2），所以a≥24为所求．故答案为[24，+∞）点评：本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题的基本思路．属于中档题．9．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8．考点：函数的周期性；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=f（x），y=log5|x﹣1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解；解答：解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；点评：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是2015届高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题．10．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．11．已知函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1．若函数y=|f（x）|在（1，2）上单调递增，则实数m 的取值范围是（﹣∞，2]∪[4，+∞）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分判别式大于或等于0以及判别式小于0两种情况讨论，然后数形结合解决问题．解答：解：易知△=m2﹣4（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，①当△=0时，m=2，此时f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，显然该函数在（1，2）上递增．②当△＞0，即m≠2时，f（x）=（x﹣1）[x﹣（m﹣1）]．对称轴为x=．若m﹣1＞1，则m＞2，此时需≥2，所以m≥4．若m﹣1≤1时，即m≤2时，显然满足题意．综上，m的取值范围是（﹣∞，2]∪[4，+∞）．故答案为（﹣∞，2]∪[4，+∞）点评：本题考查了利用函数思想、数形结合思想来研究函数的单调性的问题．要注意分情况讨论．分类合理，不重不漏．12．若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．13．已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），（a＞0且a≠1）．若f（x）在区间[，]上为增函数时，则a的取值范围为．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=ax2﹣x+1，利用复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：t=ax2﹣x+1，若a＞1，则函数t=ax2﹣x+1只需要区间[，]上为增函数即可，此时满足，即，解得a≥2，若0＜a＜1，则函数t=ax2﹣x+1只需要区间[，]上为减函数即可，此时满足，即，解得，综上a的取值范围为，故答案为：点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据复合函数之间的关系是解决本题的关键．14．设实数a≥1，使得不等式x|x﹣a|+，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是[1，]∪[，+∞）．考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=x|x﹣a|，则由题意可得 f min（x）≥a﹣，分1≤a≤2和a＞2两种情况分别求出实数a的范围，再取并集即得所求．解答：解：∵a≥1，不等式x|x﹣a|+，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，等价于x|x﹣a|≥a﹣．令f（x）=x|x﹣a|，则有 f min（x）≥a﹣．当1≤a≤2时，f（x）=x|x﹣a|=，∴f min（x）=f（a）=0，∴0≥a﹣，解得a≤，故1≤a≤．当a＞2时，f（x）=x（a﹣x），此时f min（x）=f（1）或f（2），故有，即，解得a≥．综上可得1≤a≤或a≥．故答案为[1，]∪[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二．解答题15．已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．分析：根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q 的真假，列出不等式解得．解答：解：若p真，则f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，∴0＜2a﹣6＜1，且2a﹣6≠1∴3＜a＜且a≠．若q真，令f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，则应满足∴∴a＞，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则∴＜a≤3或a≥．点评：本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．16．已知函数f（x）=x|x﹣4|，x∈[0，m]，其中m∈R且m＞0．如果函数f（x）的值域为[0，λm2]，试求实数λ的最小值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：去掉绝对值，画出函数f（x）的图象，结合图象，讨论m的取值，用m表示出λ，根据m的取值，从而求得λ在每种情况下的最小值，对每种情况下的λ作比较，取最小的即可．解答：解：∵f（x）=x|x﹣4|=；该函数图象如下：当0＜m≤2时，﹣m2+4m=λm2，解得λ=﹣1，∵0＜m≤2，∴≥，﹣1≥1，∴此时λ最小值为1；当2＜m≤2+2 时，λm2=4，λ=，∵2＜m≤2+2 ，∴4＜m2≤12+8 ，≥=3﹣2 ，∴此时λ最小值为3﹣2 ；当m≥2+2 时，m2﹣4m=λm2，解得λ=1﹣，∵m≥2+2 ，∴0＜≤2 ﹣2，∴1﹣≥3﹣2 ，∴此时λ最小值为3﹣2 ；综上得λ的最小值为3﹣2 ．点评：本题考查处理绝对值函数的方法，利用分段函数图象解决问题的方法，以及二次函数图象及值域，根据λ的范围求λ最小值的方法．17．因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设支架FG高为h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（y=GD﹣GC）．（1）当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；（2）当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC＜GA1≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据三角形的相似，求出GC，GD的长，从而可构建函数，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；（2）根据三角形的相似，求出GC，GD的长，由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即对x∈[140，180]恒成立，从而对x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范围．解答：解：（1）因为FG=40，AG=100，所以由，即，解得，同理，由，即，解得所以因为，所以y在[140，180]上单调递减，故当x=140cm时，y取得最大值为140cm（2）由，得，由，得，所以由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即对x∈[140，180]恒成立从而对x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，∴h的取值范围为[40，70）．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是构建函数模型．。

江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2?（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D2.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：答案：A3. 的展开式中的系数是（）B. C.5 D.20参考答案：A4. 若直线与圆交于两点,且关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D5. 等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( ）A． 7 B． 8 C． 16 D．15参考答案：D6. 已知两个单位向量，满足，则的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．7. 如图，F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则等于A．6 B．4C．3 D．2参考答案：A8. 复数A．i B．－i C．D．参考答案：C据已知得：【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 设全集，集合则集合（A）（B）（C）（D）参考答案：B略10. 定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 。

江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合A={1,2},则满足的集合B的个数是A.8B.3C.1D.4参考答案：D略2. 将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.4. 设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若与在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是A、[0，2]B、[0，1]C、[1，2]D、[-1，0]参考答案：B略5. 设向量，，则“”是“//”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A当时，有，解得；所以，但，故“”是“”的充分不必要条件6. 已知函数f（x）=（0＜a＜3），若＜，+=1-a ，则（）A．f（）＜f（） B．f （）=f（）C．f（）＞f（） D．f （）与f（）的大小不能确定参考答案：A略7. 已知全集为实数集R,集合A={x|x2－3x＜0}，B={x|2x＞1},则(C R A)∩B（A）(－∞,0]∪[3,+∞)（B）(0,1]（C）[3,+∞)（D）[1,+∞)参考答案：C本题考查集合的运算.集合,集合.所以或,所以,故选C.8. （5分）已知程序框图如图则输出的i为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10参考答案：C【考点】：程序框图．【专题】：计算题．【分析】：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．解：由程序框图可得解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体此时i=9故选C．【点评】：考查程序框图的基本内容，考查简单的逻辑推理能力．模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．9. 过点（5，0）的椭圆与双曲线有共同的焦点，则该椭圆的短轴长为A． B． C．D．参考答案：B10. 复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则|z1?z2|=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则z1?z2=cosxsinx﹣cosxsinx+i （﹣cos2x﹣sin2x）=﹣i．则|z1?z2|=1．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是参考答案：12. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，则曲线C1上的点到曲线C2的最远距离为。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（03）一、填空题1．已知集合A={y|y=，x∈R}；B={y|y=log2（x﹣1），x∈R}，则A∩B=__________．2．已知，，则=__________．3．设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=__________．4．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的__________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．5．已知函数f（x）=x2+abx+a+2b．若f（0）=4，则f（1）的最大值为__________．6．在数列{a n}中，若a1=1，a2=，（n∈N*），则该数列的通项a n=__________．7．在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为__________．8．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为__________．9．函数y=log在区间（m，m+1）上为减函数，则m的取值范围为__________．10．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=__________．11．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是__________．12．若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为__________．13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0）时，f（x）=log2x，已知a=f（4），b=f （﹣），c=f（），则a，b，c的大小关系为__________．（用“＜”连接）14．已知a，b，c（a＜b＜c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数成等比数列，则的值为__________．二、解答题15．在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．（1）求角A；（3）若，求角C的取值范围．16．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数f（n）=+++…+（n∈N*，且n≥2），求函数f（n）的最小值．17．（16分）已知函数f（x）=x2﹣（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调增区间．18．已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范围．19．（16分）已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（03）一、填空题1．已知集合A={y|y=，x∈R}；B={y|y=log2（x﹣1），x∈R}，则A∩B=（0，+∞）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A={y|y=，x∈R}，可得A={y|y＞0}，由B={y|y=log2（x﹣1），x∈R}，可得B={y|y∈R}，根据交集定义即可求解．解答：解：由集合A={y|y=，x∈R}，可得A={y|y＞0}，由B={y|y=log2（x﹣1），x∈R}，可得B={y|y∈R}，可得B={y|y∈R}，∴A∩B={y|y＞0}，故答案为：（0，+∞）．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2．已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．3．设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．△ABC 中，“A=”是“sinA=”的充分不必要条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的求值．分析：根据A=可以判断sinA=，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件．解答：解：若A=，根据三角函数的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，当sinA=，比如sin=，显然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．5．已知函数f（x）=x2+abx+a+2b．若f（0）=4，则f（1）的最大值为7．考点：函数的最值及其几何意义；函数最值的应用．专题：计算题．分析：由若f（0）=4可得，a+2b=4，代入f（1）并化简可得，f（1）=﹣2b2+4b+5，由二次函数的性质分析可得答案．解答：解：由若f（0）=4得，a+2b=4，则f（1）=1+ab+a+2b=5+ab=5+（4﹣2b）b=﹣2b2+4b+5=﹣2（b﹣1）2+7≤7，当且仅当b=1时，f（1）取最大值为7；故选答案为7．点评：用配方法求二次函数的最值问题6．在数列{a n}中，若a1=1，a2=，（n∈N*），则该数列的通项a n=．考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：把已知条件的左边变形后得到﹣=﹣，则{}为等差数列，根据首项和公差写出等差数列的通项公式，求出倒数即可得到a n的通项公式．解答：解：由=+，﹣=﹣，∴{}为等差数列．又=1，d=﹣=1，∴=n，∴a n=．故答案为：．点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道综合题．7．在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：根据正弦、余弦定理化简已知条件，然后利用基本不等式即可求出所求式子的最大值．解答：解：在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：ab•=ac•+bc•，化简得：3c2=a2+b2≥2ab，故≤，即的最大值为．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．8．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．解答：解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．9．函数y=log在区间（m，m+1）上为减函数，则m的取值范围为[1，2]．考点：对数函数的单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：题目给出了对数型的复合函数，内层函数是二次函数，外层函数是对数函数，因对数的底数小于1，所以外层函数为减函数，要使复合函数为减函数，需要内层函数为增函数，同时需要函数的真数要大于0．解答：解：令t=﹣x2+6x﹣5，由t＞0得：x∈（1，5），因为为减函数，所以要使在区间（m，m+1）上为减函数，则需要t=﹣x2+6x﹣5在区间（m，m+1）上为增函数，又函数t=﹣x2+6x﹣5的对称轴方程为x=3，所以，解得1≤m≤2．故答案为[1，2]．点评：本题考查了对数函数的单调区间，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循同增异减的原则，解答时极易忽略函数的定义域，是易错题型．10．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．12．若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．考点：二倍角的正切；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．解答：解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．点评：本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0）时，f（x）=log2x，已知a=f（4），b=f （﹣），c=f（），则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．（用“＜”连接）考点：对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由题设条件，分别求出a=f（4）=log24=2，b=f（﹣）=﹣f（）=﹣，c=f（）==﹣log23，由此能判断a，b，c的大小关系．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，∴a=f（4）=log24=2，b=f（﹣）=﹣f（）=﹣，c=f（）==﹣log23，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意反函数性质的灵活运用．14．已知a，b，c（a＜b＜c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数成等比数列，则的值为20．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：设等差数列的公差为d，通过讨论哪一个数是等比中项，分三种情况列出方程求出三个数，再求值．解答：解：设等差数列的公差为d，交换这三个数的位置后：①若b是等比中项，则b2=（b﹣d）（b+d）解得d=0，不符合；②若b﹣d是等比中项则（b﹣d）2=b（b+d）解得d=3b，此时三个数为﹣2b，b，4b，，则的值为20．③若b+d是等比中项，则同理得到d=﹣3b此时三个数为4b，b，﹣2b 则的值为20．故答案为：20点评：解决等差数列、等比数列的问题时，常采用设出首项、公差、公比，利用基本量的方法列出方程组来解．二、解答题15．在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．（1）求角A；（3）若，求角C的取值范围．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）根据余弦定理可知代入题设等式整理求得sin2A的值，进而求得A．（2）根据（1）中求得A可知B+C的值，进而把sinB转化成sin（π﹣C）对化简整理求得进而求得tanC的范围，确定C的范围．解答：解：（1）∵，，，又∵，∴，而△ABC为斜三角形，∵cosB≠0，∴sin2A=1．∵A∈（0，π），∴．（2）∵，∴即tanC＞1，∵，∴．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．对于解三角形常用公式，应熟练记忆余弦定理的公式．16．已知数列{a n}中，a1=1，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若函数f（n）=+++…+（n∈N*，且n≥2），求函数f（n）的最小值．考点：等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；数列的应用．专题：综合题．分析：（1）把点P代入直线方程中，可得a n+1﹣a n=1，进而可知数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得a n．（2）根据（1）中求得的数列{a n}的通项公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）﹣f （n）＞0，进而推断所以f（n）是单调递增，故可知f（2）是函数f（n）的最小值．解答：解：（1）由点P（a n，a n+1）在直线x﹣y+1=0上，即a n+1﹣a n=1，且a1=1，数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，a n=1+（n﹣1）•1=n（n≥2），a1=1同样满足，所以a n=n．（2），，．所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是．点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．17．（16分）已知函数f（x）=x2﹣（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．（1）求m的值；（2）求函数f（x）的单调增区间．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）由题意，可先解出函数的导数f′（x）=x﹣（a+m）+，再由f′（1）=0建立方程即可求出m的值；（2）由（1）可得f′（x）=x﹣（a+1）+==，比较a与1，0的大小，分为三类讨论得出函数f（x）的单调增区间．解答：解：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（a+m）+…由f′（1）=0得1﹣（a+m）+a=0，解得m=1．…（2）由（1）得f′（x）=x﹣（a+1）+==…当a＞1时，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，此时f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）…当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．…当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）．…当a≤0时，由f′（x）＞0得x＞1，此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）．综上，当a＞1时，f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）．…（16分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及分类讨论的思想及高次不等式的解法，解题的关键是理解导数的符号与函数单调性的对应，本题中解不等式也是一个计算难点，可分区间讨论解出不等式的解集从而得出函数的单调区间18．已知函数f（x）=（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先确定定义域为（0，+∞），求导，则由“f′（x）≥0，为增区间，f′（x）≤0，为减区间”求解．（2）将“不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”转化为：m＞，“对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得f（x）在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．解答：解：（1）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，当f′（x）＞0，解得0＜x＜e，当f′（x）＜0，解得x＞e，∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，∴m＞，对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，∴下面即求f（x）=在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．当2a≤e时，即0＜a≤时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）max=f（2a）=；当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）max=f（2a）=；当a＜e＜2a时，即＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，∴f（x）max=f（e）=．综上得：当0＜a≤时，m＞；当a≥e时，m＞；当＜a＜e时，m＞．点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．19．（16分）已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．考点：指数函数综合题．分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．解答：解：（1）（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1即存在t∈（0，1）使得∴a＜0或a＞2；（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立∴设m（x）=令∴所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1点评：考查学生利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由等差数列的定义，若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．结合a n+1+a n=4n﹣3，得即可解得首项a1的值；（2）由a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*），用n+1代n得a n+2+a n+1=4n+1（n∈N*）．两式相减，得a n+2﹣a n=4．从而得出数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．进一步得到数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．下面对n进行分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别求和即可；（3）由（2）知，a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别解得a1的取值范围，最后综上所述，即可得到a1的取值范围．解答：解：（1）若数列{a n}是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．由a n+1+a n=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，解得d=2，a1=．（2）由a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*），得a n+2+a n+1=4n+1（n∈N*）．两式相减，得a n+2﹣a n=4．所以数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．由a2+a1=1，a1=2，得a2=﹣1．所以a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，a n=2n，a n+1=2n﹣3．S n=a1+a2+a3+…+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣2+a n﹣1）+a n=1+9+…+（4n﹣11）+2n=+2n=．②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）═1+9+…+（4n﹣7）=．所以S n=（k∈Z）．（3）由（2）知，a n=（k∈Z）．①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1．由≥5，得a12﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10．令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6．当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a12﹣a1≥2．解得a1≥2或a1≤﹣1．②当n为偶数时，a n=2n﹣3﹣a1，a n+1=2n+a1．由≥5，得a12+3a1≥﹣4n2+16n﹣12．令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4．当n=2时，g（n）max=4，所以a12+3a1≥4．解得a1≥1或a1≤﹣4．综上所述，a1的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、不等式的解法、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于压轴题．。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（04）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为__________．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=__________3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=__________．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是__________．5．定义运算a b=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是__________．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=__________．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有__________条．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是__________．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是__________．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有__________个零点．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是__________．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=__________．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n 和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为__________．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A 1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（04）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用a2+b2﹣c2=ab，代入到余弦定理中求得cosC的值，进而求得C解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==∴C=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．解答：解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由已知中不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，我们分别讨论2m=m﹣1时，2m＜m﹣1时，2m＞m﹣1时满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案解答：解：∵设不等式＜0的解集为A∵不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则（，）⊊A①当2m=m﹣1时，A=∅，不成立；②当2m＜m﹣1，即m＜﹣1时，不等式解为A=（ 2m，m﹣1），不符合条件，舍去；③当2m＞m﹣1时，不等式解为A=（m﹣1，2m），则m﹣1≤且2m≥，解得≤m≤，即m取值范围是≤m≤．故答案为：≤m≤点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于m的不等式组，是解答本题的关键5．定义运算a b=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：新定义．分析：先根据题中的运算定义表示出sin15°cos15°，然后利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值得到即可．解答：解析：依题意，可知sin15°cos15°=sin15°cos215°+sin215°cos15°=sin15°cos15°（cos15°+sin15°）=×2sin15°cos15°（sin45°cos15°+cos45°sin15°）=sin30°sin（15°+45°）=．故答案为点评：考查学生会利用题中规定的新运算法则进行化简求值，会利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式进行化简，会利用特殊角的三角函数值进行求值．学生做题时会变换角是解题的关键．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：若f（x）=是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x=1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a 的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=﹣14．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，C（0，0），A（3，0），B（0，4），设D（x，0），E（0，y）．则=（x，﹣4），=（3，0），=（﹣3，y），=（0，4）．∵•=6，•=8，∴3x=6，4y=8，解得x=2，y=2．则•=（﹣3，2）•（2，﹣4）=﹣6﹣8=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有3条．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求函数的导数，设切点为M（a，b），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．解答：解：∵y=3x﹣x3，∴y'=f'（x）=3﹣3x2，∵P（2，2）不在曲线S上，∴设切点为M（a，b），则b=3a﹣a3，f'（a）=3﹣3a2则切线方程为y﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（x﹣a），∵P（2，2）在切线上，∴2﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（2﹣a），即2a3﹣6a2+4=0，∴a3﹣3a2+2=0，即a3﹣a2﹣2a2+2=0，∴（a﹣1）（a2﹣2a﹣2）=0，解得a=1或a=1，∴切线的条数为3条，故答案为：3．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．注意点P不在曲线上，所以必须单独设出切点．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是．考点：三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正切型函数的图象，要使函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则ω＜0且函数y=tanωx的周期T≥2π．解答：解：∵函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，∴ω＜0，||≥2π解得：．故答案为：．点评：本题考查了正切型函数的图象与性质，解题时要根据函数在（﹣π，π）内是减函数，先判断ω的正负，再利用周期求ω的范围．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有7个零点．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：探究型．分析：先求出方程f（x）=0在区间[0，2）上的根的个数，再利用其周期为2的条件即f（x+2）=f（x），即可判断出所有根的个数．解答：解：当0≤x＜2时，令f（x）=x3﹣x=0，则x（x﹣1）（x+1）=0，解得x=0，或1；已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故答案为7．点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．考点：简单线性规划；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．解答：解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=0．考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：证明题．分析：根据题意得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）即函数的周期为3．由函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称得到f （﹣﹣x）=f （x+），所以可得函数f （x）是偶函数．结合奇偶性、周期性可得答案．解答：解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f =0；故答案为0．点评：解决此类问题的关键是周期利用函数的对称性与周期性得到函数是偶函数，再结合着函数的三个性质求解问题，2015届高考经常考查这种周期性、单调性、奇偶性、对称性相结合的综合问题．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n 和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：等差数列{a n}中，首项不为零，前n项和S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，整理得++≥λ；若设t=，求函数y=t2+t+的最小值，得λ的最大值．解答：解：在等差数列{a n}中，首项不为零，即a1≠0；则数列的前n项之和为S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，∴a n2+a1a n+a12≥λa12，即++≥λ；设t=，则y=t2+t+=+≥，∴λ≤，即λ的最大值为；故答案为．点评：本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的基础题目．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是2015届高考中的常考内容，要认真掌握．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π﹣B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据余弦定理表示出b2=a2+c2﹣2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，∴S△ABC=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴△ABC的面积最大值为．点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题．分析：（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．解答：解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有||=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由，得，即．∴，于是．…．点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．考查计算能力．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==，当v＞50时，=，由此能将y表示成速度v的函数关系式．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由导数求得当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．解答：解：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==30•=，当v＞50时，==，∴．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由==0，得v=100．当50＜v＜100时，y′＜0，函数单调递增，∴当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，所以，当v=100时，y取得最小值．答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A 1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．考点：数列与解析几何的综合；数列递推式．专题：计算题．分析：（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标．（3）由，写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求出S （n）的最大值．解答：解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4时，S（n）单调递减．又，．∴n=2或3时，S（n）取得最大值…（18分）点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，方程等价于x=a或或，分类讨论，即可讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）确定函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0，对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞），即可得出结论．解答：解：（1）当a=﹣1，x∈[0，+∞）时，f（x）=﹣x3+x+1，从而f′（x）=﹣3x2+1．当x=1时，f（1）=1，f′（1）=﹣2，所以函数y=f（x）（x∈[0，+∞））的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0．…（2）f（x）=g（x）即为ax3+|x﹣a|=x4．所以x4﹣ax3=|x﹣a|，从而x3（x﹣a）=|x﹣a|．此方程等价于x=a或或…所以当a≥1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，﹣1；当﹣1＜a＜1时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解a，﹣1，1；当a≤﹣1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，1．…（3）当a＞0，x∈（a，+∞）时，f（x）=ax3+x﹣a，f′（x）=3ax2+1＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0．所以当x∈[a，a+2]时，f（x）∈[f（a），f（a+2）]，∈[，]，当x∈[a+2，+∞）时，f（x）∈[f（a+2），+∞）．…因为对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞）．…从而≥f（a+2）．所以f 2（a+2）≤1024，即f（a+2）≤32，也即a（a+2）3+2≤32．因为a＞0，显然a=1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．…（16分）点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．考点：逆变换与逆矩阵；逆矩阵的简单性质（唯一性等）．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先写出时针旋转的旋转变换矩阵M1，再利用矩阵的乘法，求出点P'的坐标；（Ⅱ）先求M=M2M1，再求点的变换，从而利用函数y=x2求出变换的作用下所得曲线的方程解答：解：（Ⅰ），所以点P（2，1）在T1作用下的点P'的坐标是P'（﹣1，2）．…（Ⅱ），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是{，，即，所以，所求曲线的方程是y﹣x=y2点评：本题以变换为载体，考查矩阵的乘法，考查点在变换下点的坐标的求法，属于中档题22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值解答：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2又由消t，得x﹣y﹣m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．点评：本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意知变量的可能取值是1，3，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量对应的概率和分布列，做出期望和方差．（2）本题要求的概率是答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，包括若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；和若第一题正确和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题，两种情况，写出概率．解答：解：（1）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又；∴，．∴ξ的分布列为：∴Eξ=1×+3×=；Dξ==（2）当S 8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．此时的概率为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年2015届高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．考点：组合及组合数公式；有理数指数幂的运算性质；数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：（1）由于r，s，t为整数，且0≤t＜s＜r，下面对r进行分类讨论：r最小取2时，符合条件的数a有一个，当r=3时，符合条件有的数a有3个，由此求得数列{a n}的前三项．（2）同理可得r=4时，r=6时，r=7时，分别算出符合条件的数a的个数，最后利用加法原理计算即得．解答：解：（1）∵r、s、t为整数且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此时符合条件的数a有=1；…当r=3时，s，t 可在0，1，2中取，符合条件有的数a有=3；…故数列{a n}的前三项为：20+21+22=7，20+21+23=11，20+22+23=13．（2）同理，r=4时，符合条件有的数a有=6；…r=5时，符合条件有的数a有=10；…r=6时，符合条件有的数a有=15；…r=7时，符合条件有的数a有=21；…因此，a36是r=7中的最小值，即 a36=20+21+27=131．…点评：本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念，既要会合理分类，又要会合理分步，一般是先分类，后分步．21。

2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷数 学 2014.11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．集合{}1,2的子集个数为 ▲ ． 2．“0x ∀>，1x +>”的否定是 ▲ ． 3．函数()sin cos f x x x =的最大值是 ▲ ． 4．已知tan α=且3(,2)2∈παπ，则cos α＝ ▲． 5．等差数列{}n a 中，122,a a +=788,a a +=则该数列前十项的和10S = ▲ ． 6．平面向量a =，b (=-，则a 与b 的夹角为 ▲ ．7．已知3()2=-++f x ax cx ，若(5)7=f ，则(5)-=f ▲ ． 8．如图，在∆ABC 中，已知4=B π，D 是BC 边上一点，10=AD ，14=AC ，6=DC ，则=AB ▲ ．9．已知直线30ax by --=与()e x f x x =在点(1,e)P 处的切线互相垂直，则ab= ▲． 10．函数1lg 1y x =-+的零点个数是 ▲ ．11．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，3AB AD AC ABADAC+=，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ ．12．已知正实数,x y 满足24x y +=，则14y x y+的最小值为 ▲．CDBA13．已知函数22(1)()21(1)x ax x f x ax x ⎧-+=⎨-<⎩≥，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为 ▲ ．14．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知向量a ),cos x x =，b ()cos ,cos x x =，()2f x =a b1-．(1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程； (2)当[]0,x π∈时，若()1f x =-，求x 的值．16．(本题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=． （1）求tan A 的值； （2）若4B π=，3c =，求△ABC 的面积S ．17．(本题满分14分)如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为100km ，从A到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25/km h ，再乘汽车到C ，车速为50/km h ，记∠=BDA θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ； （2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？18．(本题满分16分)已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-． (1) 2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域； (2) 2a >，解关于x 的不等式()F x ≥0．19．(本题满分16分) 设函数32()(,)2b f x x x cx bc =++∈R ．（1）2=b ，1=-c ，求()=y f x 的单调增区间；θDCBA（2）6b =-，()()g x f x = ，若()g x ≤kx 对一切[]0,2x ∈恒成立，求k 的最小值()h c 的表达式；20．(本题满分16分)已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S .若424S S =,221n n a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m *∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为{}m b ；①求数列{}m b 的通项公式m b ； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 的前m 项和为m T ，求所有使得等式111+-=-+m m t T t T t c 成立的正整数m ，t ．2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷数 学 (附加) 2014.11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ， 求证：AB ·CD = BC ·DE ．B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知a ，b 是正实数，求证：22(1)(1)9a b a b ab ++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)NME DC BA在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．23．(本小题满分10分)某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望．2014—2015学年第一学期期中考试高三数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．4 2．0,x $>使1x + 3．12 4．14 5． 30 6．23p7．3-8． 9．12e -10．3 11． 12．1 13．0a ³ 14． 23[,)77二、解答题 (本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)ABCD P解：解：（1）()2f x =2cos cos )x x x +1-2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+ …………………………………………………………………………2分3222262k x k πππππ+≤+≤+263k x k ππππ⇒+≤≤+，…………………………5分即函数()f x 的单调递减区间2[,],Z 63k k k ππππ++∈-------------------------------------6分 令26226k x k x πππππ+=+⇒=+，------------------------------------------------------------8分 即函数()f x 的对称轴方程为,Z 26k x k ππ=+∈-----------------------------------------------9分 （2）()1f x =-，即12sin(2)1sin(2)662x x ππ+=-⇒+=--------------------------------10分[]130,2[,]666x x ππππ∈⇒+∈； 72662x x πππ+=⇒=----------------------------------------------------------------------------------12分1152666x x πππ+=⇒=-------------------------------------------------------------------------------14分（注：Z ∈k 漏写扣1分） 16．(本题满分14分)（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,-----------------------------------------------------------3分A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A . ------------------------------------------------------------6分（2） 20,2tan π<<=A A ,55cos ,552sin ==∴A A . --------------------------------------------------------------------------9分 ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+22=+=-----------------------------------------------------------11分 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,---------------------------------13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .----------------------------------------------------------14分17．(本题满分14分)解：（1）50sin =AD θ，所以A 到D 所用时间 θDCBA12sin =t θ---------------------------------------------------2分 5050c o s t a n s i n ==BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θθ所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θθ---------------------5分 所以122cos ()2sin -=+=+t t t θθθ------------------------6分（2）222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθθθθ----8分令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32∈ππθ，()t θ单调增；------10分 令0∠=BCA θ，则同理03<<πθθ，()0'<t θ，()t θ单调减-----------------------12分所以3=πθ，()t θ取到最小值；---------------------------------------------------------13分答：当3=πθ时，由A 到C 的时间t 最少----------------------------------------------14分注：若学生写03<<πθ，()0'<t θ，()t θ单调减，不扣分18．(本题满分16分)解：（1）()()()F x f x g x =-2121x x =---2221(13)23(01)x x x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩；-----------------2分13x ≤≤，[]2210,4x x --∈；--------------------------------------------------------------------------4分 01x ≤<，[)2233,0x x +-∈-；------------------------------------------------------------------------6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-；-----------------------------------------------------------7分（2）(1)(1)(1)()(1)(1)(1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩；-----------------------------------------------------------9分 1x ≥，()0F x ≥，2a >，得1≤x 或1x a ≥-；1x a ⇒≥-或1=x --------------------------12分 1x <，()0F x ≥，得1≤--x a 或1≥x ；1⇒≤--x a ------------------------------------------14分 综上：()01≥⇒≤--F x x a 或1≥-x a 或1=x --------------------------------------------------16分19．(本题满分16分)解： （1）322()(1)f x x x x x x x =+-=+-((0x x x =->0x ⇒<<或x -------------------------------------------------------1分 2()321(1)(31)0f x x x x x '=+-=+->1x ⇒<-或13x >-----------------------------2分所以1)-与)+∞为()y f x =单调增区间；----------------------3分 同理()0f x x <⇒<0x <<分()0f x '<113x ⇒-<<----------------------------------------------------------------------5分所以1(0,)3为()y f x =单调增区间---------------------------------------------------------6分综上 ()y f x =的单调增区间为1)-， 1(0,)3，)+∞-----7分 （2）()g x kx ≤即32|3|x x cx kx -+≤．当0x =时，上式对一切[0,2]x ∈恒成立；当(0,2]x ∈时，即2|3|x x c k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立．∴2max ()|3|h c x x c =-+，(0,2]x ∈--------------------------------------------------------9分I ）当94c ≥时，2max |3|-+x x c 在0x =时取得，∴()h c c =---------------------10分 II ）当94c <时， （ⅰ）若0≤c 则9204-<-<≤c c c 所以2max 9|3|4-+=-x x c c -------------------------------------------------------------12分 （ⅱ）904<<c 因为924-<-c c ，且2-<c c 所以2-c 不会是最大值；---------------------13分 所以2max 99(),984|3|max{,}994().48c c x x c c c c c ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤----------------------------15分由I ），II ），得9(),8()99().48⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩c c h c c c ≤---------------------------------------------------16分20．(本题满分16分)解：（１）421142563S S a d a d =⇒+=+，即12d a =；------------------------------1分2211n n n a a a nd =+⇒=-； ------------------ ------------------------------------2分所以11,2a d ==，21n a n =-；------------------ ------------------------------------4分 （２）22212mmn <-<221221m m n ⇒+<<+------------------ -----------------6分121112222m m n --⇒+<<+121212m m n --⇒+≤≤；------------------ -------------8分 得21122m m m b --=-； ------------------ ------------------------------------------------9分2122m m m c b -=-2121()22m m --==；------------------ -------------------------------------10分 得1412m m T ⎛⎫=-⎪⎝⎭，------------------ -------------------------------------------------------------11分 由111+-=-+m m t T t T t c ，得111++=+-m t m c c T t，化简得221(4)242-=--m t t ， 即1(4)242---=m t t ，即1(4)242--=+m t t ．------------------------------------------- 13分（*） 因为t 1240-+>，所以(4)20-⋅>m t ，所以t 4<，因为*t ∈N ，所以t 1=或2或3．当t 1=时，由（*）得325⨯=m，所以无正整数解；当t 2=时，由（*）得226⨯=m，所以无正整数解；当t 3=时，由（*）得28=m，所以3=m ．综上可知，存在符合条件的正整数3m t ==．-------------------------------------------16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲, 本题满分10分) 证明：由相交弦定理，得NMEDC BAAC ·CD = MC ·NC ．BC ·CE = MC ·NC ．∴AC ·CD = BC ·CE ． ……………3分即（AB + BC ）·CD = BC ·（CD + DE ）． ……6分也即AB ·CD + BC ·CD = BC ·CD + BC ·DE ．∴AB ·CD = BC ·DE ． ………………10分B ．(矩阵与变换, 本题满分10分)解：设A NM =则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=， 即218y x =．………………………………10分C ．(极坐标与参数方程, 本题满分10分)解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x +=，----------------------------------------------------------------------3分222:220C x y x y +--=-------------------------------------------------------------------6分即()()222:112C x y -+-=， 圆心到直线的距离d >-------------------------8分∴曲线12C C 与相离．-----------------------------------------------------------------------10分D ．(不等式选讲, 本题满分10分)∵a ，b 是正实数， ………………………… 2分∴1a b ++≥221a b ++≥ ………………………… 5分当a ＝b 时，以上两个不等式均取等号． ………………………… 7分相乘，得22(1)(1)9a b a b ab ++++≥． ………………………… 10分22．(本题满分10分)（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ……………………1分 设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………2分 因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 又DC DQ D = ……4分 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………5分（2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ， --------------------------------6分 点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅QC n， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n． -------------------------------------------------------------------------------------------8分 设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n θ．-------------------------------------- 9分所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π-------------------------------------- 10分23．(本题满分10分)（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．与=（1，2）共线的单位向量为__________．2．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是__________．3．已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是__________．（答案用区间表示）4．设α∈（π，2π），若，则的值为__________．5．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是__________6．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=__________．7．已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n和B n，若，则使为整数的正整数的个数是__________．8．已知=（λ，2λ），=（3λ，2），如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________．9．在等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a6|=__________．10．在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则=__________．11．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，n∈R），则mn=__________．12．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=__________．13．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为__________．14．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的范围是__________．二、解答题（共2小题，满分0分）15．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．16．设数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列；S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n．（1）求{a n}及{b n}的通项公式a n和b n；（2）f（n）=问是否存在k∈N+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，不等式﹣≤0恒成立，求正数a的取值范围．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．与=（1，2）共线的单位向量为±（，）．考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：利用单位向量的定义写出与共线的单位向量±并化简．解答：解：与=（1，2）共线的单位向量为±=±=±=±（，）．故答案为：±（，）．点评：本题考查了单位向量的概念与应用的问题，解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．2．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；作图题；数形结合．分析：由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）点评：本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．3．已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和 cos2α的值，再由=cos cos2α+sin sin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=cos cos2α+sin sin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．5．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：此题可以采用补集思想，先求出f（x）在R上是单调函数时的范围，取其补集即可．解答：解：当函数f（x）在R上为减函数时，有3a﹣1＜0且0＜a＜1且（3a﹣1）•1+4a≥log a1解得当函数f（x）在R上为增函数时，有3a﹣1＞0且a＞1且（3a﹣1）•1+4a≤log a1解得a无解∴当函数f（x）在R上为单调函数时，有∴当函数f（x）在R上不是单调函数时，有a＞0且a≠1且a或a即0＜a或或a＞1故答案为：（0，）∪【，1）∪（1，+∞）点评：本题考查补集思想和分类讨论思想，对学生有一定的思维要求．6．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=n2．考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a n=2n，可得数列首项a1=2，公比q=2，进而可得原式=log2，代入由对数的性质化简可得答案．解答：解：由等比数列的性质可得=a5•a2n﹣5=22n，=（2n）2，∵a n＞0，∴a n=2n，故数列首项a1=2，公比q=2，故log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2a1•a3•…•a2n﹣1=log2====n2，故答案为：n2点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．7．已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n和B n，若，则使为整数的正整数的个数是5个．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先将通项之比转化为前n项和之比，进而再用验证法得解．解答：解：==7+验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数．故答案为：5点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用．8．已知=（λ，2λ），=（3λ，2），如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是或λ＞0且．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得＞0，去除向量同向的情形即可．解答：解：∵与的夹角为锐角，∴=3λ2+4λ＞0，解得或λ＞0，当2λ=6λ2时两向量共线，解得λ=0或λ=，已知当λ=时，向量同向，不满足题意，∴λ的取值范围为：或λ＞0且故答案为：或λ＞0且点评：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题．9．在等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a6|=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据a1=，a4=﹣4求出公比q然后再根据等比数列的通项公式求出每一项再代入即可求出|a1|+|a2|+…+|a6|的值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q∵a1=，a4=﹣4∴=﹣4∴q=﹣2∵∴a2=﹣1，a3=2，a4=﹣4，a5=8，a6=﹣16∴|a1|+|a2|+…+|a6|=+1+2+4+8+16=故答案为点评：本题主要考查了数列的求和，属常考题，较易．解题的关键是求出等比数列{a n}的公比为q！10．在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则=．考点：平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：，带入即可得到，所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据三角形面积公式并结合图形即可求得．解答：解：；∴；∴；∴P，A，C三点共线，如图所示：∴；∴．故答案为：．点评：考查向量的减法运算，共线向量基本定理，以及三角形的面积公式．11．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，n∈R），则mn=．考点：向量的共线定理．专题：计算题；压轴题；待定系数法．分析：由题意可得===+，结合条件可得m=，n=，从而求得结果．解答：解：∵=2，∴====+．再由可得 m=，n=，故mn=，故答案为：．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，用待定系数法求出m=，n=，是解题的关键．12．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=4096．考点：等比数列的通项公式；导数的运算．专题：计算题．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可．解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′]则f'（0）=a1•a2…a8==84=4096．故答案为：4096．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．13．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把式子中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可．解答：解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴==1+= 7，当且仅当，x+y+y+z=1，即，时，取等号．∴则的最小值为7．故答案为7．点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键．14．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的范围是[﹣8，16]．考点：简单线性规划的应用；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先确定y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称，再利用函数是增函数，将不等式f （s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），化为具体不等式，利用可行域，即可求得3t+s的范围解答：解：y=f（x﹣2）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了2个单位．又由于y=f（x﹣2）图象关于（2，0）点对称，向左移2个单位，即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称．所以﹣f（4t﹣t2）=f（t2﹣4t）即不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），等价于f（s2﹣4s）≥f（t2﹣4t）因为函数y=f（x）是增函数，所以s2﹣4s≥t2﹣4t移项得：s2﹣4s﹣t2+4t≥0，即：（s﹣t）（s+t﹣4）≥0得：s≥t且s+t≥4或s≤t且s+t≤4可行域如图所示，则当s=﹣2，t=﹣2时，3t+s有最小值是﹣6﹣2=﹣8当s=﹣2，t=6时，3t+s有最大值是18﹣2=16故3t+s范围是[﹣8，16]故答案为：[﹣8，16]点评：本题考查函数的性质，考查不等式的化简，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（共2小题，满分0分）15．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．16．设数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列；S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n．（1）求{a n}及{b n}的通项公式a n和b n；（2）f（n）=问是否存在k∈N+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，不等式﹣≤0恒成立，求正数a的取值范围．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列的通项公式能求出a n=4+n﹣1=n+3，由，能求出b n=2n+1．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=，当k为正奇数时，k+27为正偶数，当k为正偶数时，k+27为正奇数，由此推导出符合条件的正整数k不存在．（3）将不等式变形并把a n+1=n+4，设g（n）=（1+）（1+）（1+）…（1+），由此能求出正数a的取值范围．解答：解：（1）∵数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列，∴a n=4+n﹣1=n+3，∵S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n，∴当n=1时，b1=S1=3，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，当n=1时，上式成立，∴b n=2n+1，n∈N*．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=，∴当k为正奇数时，k+27为正偶数，由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3），∴2k=43，k=（舍）当k为正偶数时，k+27为正奇数，由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1），即7k=26，k=（舍）因此，符合条件的正整数k不存在．（3）将不等式变形并把a n+1=n+4，代入得a≤（1+）（1+）（1+）…（1+），设g（n）=（1+）（1+）（1+）…（1+），∴===，又∵＜=2n+4，∴＞1，即g（n+1）＞g（n），∴g（n）随n的增大而增大，∴g（n）min=g（1）=，∴0＜a≤．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。

DCP高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作张家港高级中学2015-2016学年第一学期高三数学数学滚动检测卷（1） 命题：杨美 2015.8.30一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 . 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 . 3．设复数z 满足i i z 46)32(+=-（i 为虚数单位），则z 的模为 .4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 . 5．在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 .6．把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 .7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 .8．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是 .9．设方程42=+x x的根为0x ，若⎪⎭⎫⎝⎛+-∈21,210k k x ，则整数k = . 10．设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则)122sin(πα+的值为 . 11．如果圆()()422=-+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为 .12．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f(第16题图)PBCAD的解集为 .13．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 .14．已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点C B A ,,均在单位圆上，已知点A 在第一象限且横坐标是53，点B 在第二象限，点)0,1(C . （1）设θ=∠COA ，求θ2sin 的值； （2）若AOB ∆为正三角形，求点B 的坐标．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =． （1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．BAP NMOx yE17．甲、乙两地相距km 1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过h km /80，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的41倍，固定成本为a 元. （1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （h km /）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18．如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：ON OM ⋅为定值．19．已知函数()e x f x =（其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =⋅，且0a >，求()F x 的单调增区间；（2）若对任意12,x x ∈[]0,2，12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有21=a ，()235311≥+-=--n S a a S n n n n . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()n n a n b 12-=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若[])10()2(lg 2<<⋅⋅=+t a t t c n nn n ，且数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围．张家港高级中学2015~2016学年第一学期高三数学假期学习检测卷（1）（答题卷）命题：杨美2015.8.30一、填空题:1题 2题3题 4题5题 6题7题 8题9题 10题11题 12题13题 14题 试号 班级学号 ―――――――――――――――――――――――――请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效PA DB C(第16题图)17．(本小题满分14分)解:请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效BAP NMOx yE19．(本小题满分16分) 解:请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效 请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效20．(本小题满分16分)请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效张家港高级中学2015-2016学年第一学期高三数学滚动检测卷（1） 命题： 杜今芳2015.8.30附加题部分21. 【选做题】B. 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵A 1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量74⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． （1）求A 的特征值和对应的特征向量； （2）计算A 5α的值．C. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－π6)，点M 的极坐标为(6，π6)，直线l 过点M ，且与圆C相切，求l 的极坐标方程．班级 姓名 考试号 班级学号 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――马鸣风萧萧 22. 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．P A B C D。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B=__________．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=__________．3．图所示的流程图中，输出的结果是__________．4．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=__________．5．若的值为__________．6．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=__________．7．已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为__________．8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为__________．10．设函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为__________．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于__________．12．设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=__________．13．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为__________．14．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为__________．二、解答题.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinA﹣sinC=m成立，求实数m的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且A C⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．18．（16分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE 恒过一个定点．19．（16分）已知函数（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．20．（16分）已知数列{a n}是首项，公比的等比数列，设b n+15log3a n=t，常数t∈N*，数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）若{c n}是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．三、附加卷（A）（选修4-2：矩阵与变换）解答题（共1小题，满分10分）21．已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l'，求直线l'的方程．四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l 被⊙C截得的弦AB的长度．23．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．24．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（01）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z=﹣1﹣i，∴=﹣1+i．∴（1﹣z）=（1+1+i）•（﹣1+i）=﹣3+i．∴|（1﹣z）|=|﹣3+i|=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．3．图所示的流程图中，输出的结果是120．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=1时，不满足条件a≥2，输出S的值为120．解答：解：执行程序框图，有a=5，S=1S=5，a=4满足条件a≥2，有S=20，a=3满足条件a≥2，有S=60，a=2满足条件a≥2，有S=120，a=1不满足条件a≥2，输出S的值为120．故答案为：120．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．4．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30．考点：分层抽样方法．分析：学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人解答：解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．点评：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．5．若的值为．考点：二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．解答：解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．点评：本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1=2﹣1，是解题的关键．6．已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．解答：解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣1点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．7．已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．解答：解：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域（如图），由图可知S U=18，S A=4，则点P落入区域A的概率为．故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣2y≥0}对应面积的大小，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是8．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值解答：解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．点评：本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：用表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．解答：解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题．10．设函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为．考点：同角三角函数基本关系的运用；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：利用求导法则得到f（x）的导函数，由函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线为l，将x=1代入导函数解析式中求出导函数值，即为切线l的斜率，将x=1代入函数解析式中f（1）的值，得到切点坐标，确定出切线l的方程，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到切线l的距离d，用d﹣r即可求出圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离．解答：解：求导得：f′（x）=3x2+4，∴切线l的斜率k=f′（1）=3+4=7，且x=1时，f（1）=1+4+5=10，∴切线l的方程为y﹣10=7（x﹣1），即7x﹣y+3=0，将圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=，∴圆心（2，2）到切线l的距离d==，则圆2x2+2y2﹣8x﹣8y+15=0上的点到直线l的最短距离为d﹣r=﹣=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线上某点切线方程的斜率，圆的标准方程，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，其中直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．分析：首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．解答：解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出B、C两点的纵坐标进而得到a=3b是解题的关键，属于中档题．12．设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．13．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．解答：解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．点评：本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．14．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，+=，则实数λ的值为．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．解答：解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ===== ==．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．二、解答题.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinA﹣sinC=m成立，求实数m的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）根据A、B、C成等差数列得到，从而将化简得到ac=3．再由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，整理得到3=a2+c2﹣ac，两式联解即可得到；（2）根据C=﹣A，将等式左边展开，化简得到2sinA﹣sinC=，结合A的取值范围并利用正弦函数的图象与性质，算出2sinA﹣sinC∈（），由此即可得到实数m的取值范围．解答：解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得，∵，得，∴ac=3．①由余弦定理，得，∴3=a2+c2﹣ac，可得a2+c2=3+ac=6．由此联解①、②，得．（2）2sinA﹣sinC===，∵，∴，由此可得2sinA﹣sinC的取值范围为，即m的取值范围为（）点评：本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值，求三角形角B的大小和a+c的值，着重考查了平面向量数量积运算公式、运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．解答：解：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；…（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．…又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，…∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．…点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先由相似性表示AM，建立四边形AMPN的面积模型，（I）解关于x的不等式；（II）先对面积函数模型求导，用导数法求最值．解答：解：由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=（1）由S AMPN＞32得＞32，因为x＞2，所以3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0从而即AN长的取值范围是（2）令y=，则y′=因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米点评：本题主要考查用相似性构建边的关系，建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最值的能力．18．（16分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE 恒过一个定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点．解答：（1）解：∵椭圆的离心率为，且过点，∴，解得，所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…4分（2）解：设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分又|m|•|n|，所以|m|•|n|，当且仅当时取等号…8分从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为…9分（3）证明：因为A（﹣1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1），由，消去y，得，解得x=﹣1或x=，∴同理E（）∵k1k2=2，∴…12分∴直线DE的方程为，即y﹣，即y=…14分所以2k12y+4y﹣（3x+5）k1=0则由，得直线DE恒过定点…16分．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．19．（16分）已知函数（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题．分析：（1）先求出导数，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，从而写出切线方程得出切线恒过定点；（2）先令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此解得a的范围即可．（3）当时，．记．利用导数研究它的单调性，得出y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．解答：解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，整理得，所以切线恒过定点．（2）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，因为（*）令p'（x）=0，得极值点x1=1，，①当时，有x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p'（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；②当a≥1时，有x2＜x1=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；③当时，有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以．综上可知a的范围是．（3）当时，记．因为，所以y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，所以，设，则f1（x）＜R（x）＜f2（x），所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知数列{a n}是首项，公比的等比数列，设b n+15log3a n=t，常数t∈N*，数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求证：{b n}是等差数列；（2）若{c n}是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．考点：数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由题意知，，再由，得b1=﹣15log3a1+t=t+5，由此能够证明{b n}是等差数列．（2）由b n=5n+t，知，恒成立，再由是递减函数，知当n=1时取最大值，，由此能求出t的最小值．（3）记5k+t=x，，，，再分情况讨论进行求解．解答：解：（1）由题意知，，因为，b1=﹣15log3a1+t=t+5∴数列b n是首项为b1=t+5，公差d=5的等差数列．（2）由（1）知，b n=5n+t，，恒成立，即恒成立，因为是递减函数，所以，当n=1时取最大值，，因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（3）记5k+t=x，，，．①若c k是等比中项，则由c k+1•c k+2=c k2得化简得2x2﹣15x﹣50=0，解得x=10或（舍），所以5n+t=10，因而及．又由常数t∈N*，则舍去，②若c k+1是等比中项，则由c k•c k+2=c k+12得化简得x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．（16分）③若c k+2是等比中项，则由c k•c k+1=c k+22得化简得2x2﹣5x﹣100=0，因为△=52+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．则符合条件的k、t的值为．（18分）点评：本题考查等差数列的证明方法、以递减数列为载体求参数的最小值和利用分类讨论思想在等比数列中的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．三、附加卷（A）（选修4-2：矩阵与变换）解答题（共1小题，满分10分）21．已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y﹣2=0变为直线l'，求直线l'的方程．考点：逆矩阵与投影变换；矩阵与矩阵的乘法的意义．专题：计算题．分析：先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l'的方程．解答：解：∵，∴=…，在直线l上任取一点P（x′，y′），经矩阵AB变换为点Q（x，y），则，∴，即…代入x′+y′﹣2=0中得，∴直线l′的方程为4x+y﹣8=0…点评：本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l 被⊙C截得的弦AB的长度．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．解答：解：⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0…其圆心C坐标为（2，2），半径，又直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心C到直线l的距离，∴弦长…点评：考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题．23．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且．（1）试确定P、Q两点的位置．（2）求二面角C1﹣PQ﹣A大小的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角．专题：综合题．分析：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设，利用，得出关于a的方程并求解即可．（2）分别求出平面C1PQ、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角求二面角C1﹣PQ﹣A大小．解答：解：（1）以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，设，则，B1（2，0，2），D1（0，2，2），，，∵B1Q⊥D1P，∴，∴，解得a=1…∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（2）设平面C1PQ的法向量为，∵，又，∴，令c=﹣1，则a=b=2，…∵为面APQ的一个法向量，∴，而二面角为钝角故余弦值为…点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．24．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．考点：二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：（1）将n分别用1，2 代替求出C1，C2，利用多项式的乘法展开，求出C1，C2的小数部分B1，B2，求出C1B1，C2B2的值．（2）利用二项式定理表示出C n，再利用二项式定理表示出，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出C n B n的值．解答：解：（1）因为，所以，A 1=2，，所以C1B1=2；又，其整数部分A2=20，小数部分，所以C2B2=8．（2）因为①而②①﹣②得：=2（）而，所以，所以．点评：解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。

高中数学学习材料唐玲出品张家港高级中学2015-2016学年第一学期高三数学滚动检测卷（2） 命题：师全义 2015.10.18一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知集合{1,0,1},{012}A B =-=,,，则=B A . 2．cos(300)-= .3．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = . 4．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 . 5．函数()sin cos f x x x =的最大值是 .6．不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为 ．7．将函数()2sin 2f x x =的图象上每一点向右平移6π个单位，得函数()y g x =的图象，则()g x = .8．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 . 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2221()tan 2b c a A bc +-=， 则 sin A = .10．已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象上有一个最高点的坐标为()2,2,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为 .11．已知等比数列{}n a 的首项211-=a ，其前四项恰是方程0)2)(2(22=++++nx x mx x 的四个根，则=+n m .12．已知函数()f x = 22,0,3,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()f x 4<的解集为 .13．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .14．设a 、b 均为大于1的自然数，函数x a ab x f sin )(+=，b x x g +=cos )(，若存在实数k ，使得)()(k g k f =，则=+b a .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合{})24lg(2x x y x M --==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=113x x N ，{}a x x P <=．（1）求N M ；（2）若R N C P R =)( ，求实数a 的取值范围.16．已知函数22()23sin cos sin cos f x a x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．（1）若0a >，求函数()f x 的单调增区间； （2）若[,]44x ππ∈-时，函数()f x 的最大值为3，最小值为13-，求,a b 的值 .17．某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠=，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DN x m =，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．18．设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件:①当x R ∈时, ()f x 的最小值为0,且(1)(1)f x f x -=--恒成立; ②当(0,5)x ∈时,2()4|1|2x f x x ≤≤-+恒成立. (1)求(1)f 的值; (2)求()f x 的解析式;(3)求最大的实数(1)m m >,使得存在实数t ,只要当[1,]x m ∈时,就有()2f x t x +≤成立ABCDEF MNG第17题19．若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（d 为常数），则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数2()()xf x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈ (1)当0a <时，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在［－１，1］上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0a =时，求整数k 的所有值，使方程()2f x x =+在［1,+k k ］上有解.张家港高级中学2015~2016学年第一学期高三数学滚动检测卷（1）（答题卷）命题：师全义 2015.9.20请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效一、填空题:1题 2题3题 4题5题 6题7题 8题9题 10题11题 12题13题 14题 15．(本小题满分14分)班级 姓名 考试号 班级学号 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――16．(本小题满分14分)17．(本小题满分14分) 解:请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效ABCDEF MNG第17题18．(本小题满分16分)19．(本小题满分16分)解:请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效20．(本小题满分16分)请在各题目的答题区域内答题,超出黑色矩形框限定区域答案无效张家港高级中学2015-2016学年第一学期高三数学滚动检测卷（2） 命题： 杜今芳2015.10.18附加题部分21. 【选做题】B. 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵M=[]237m 的逆矩阵M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--m n 12,求实数m ,n 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 41212(t 为参数).若曲线C 与直线l :x y 21=相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.班级 姓名 考试号 班级学号 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――22. (本小题满分10分)如图,在四棱锥A -BCDE 中,底面BCDE 为平行四边形,平面ABE ⊥平面BCDE ,AB=AE ,DB=DE ,∠BAE=∠BDE=90°. (1) 求异面直线AB 与DE 所成角的大小; (2) 求二面角B -AE -C 的余弦值.(第22题)23. (本小题满分10分)设a n 是满足下述条件的自然数的个数:各数位上的数字之和为n (n ∈N *),且每个数位上的数字只能是1或2. (1) 求4321,,,a a a a 的值;(2) 求证:15 n a (n ∈N *)是5的倍数．NTMHGFEDCBA17\解：（Ⅰ）作GH ⊥EF ，垂足为H ， 因为DN x =，所以40,60NH x NA x =-=-， 因为,NH NAHG AM= 所以406010x x AM --=，所以6001040xAM x-=- ………………2分 过M 作//MT BC 交CD 于T ，则 MBCDW MBCT MTDNSS S =+1(40)60(60)2AM x AM =-⨯++⨯，所以600101(60)(60010)(40)6040240x x x y x x-+-=-⨯+⨯-- ()xx ---=4060524002………………………7分 由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,…………………………8分（Ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002x x x x y ，…………………10分所以当且仅当xx -=-4040040，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000， ……13分答：当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ．…………14分1819\解：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分 （Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（A ）)1(221+=+++n a a n n （B ）（B ）-（A ）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分 当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； ……………………………8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． ……………………………12分 故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分20\⑴因为e 0x >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>，又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a +<，所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．………………………………………4分⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，①当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………6分②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()f x 有极大值又有极小值．若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点，故()f x 在[]11-，上不单调．………………………………8分若0a <，可知120x x >>，因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.综上可知，a 的取值范围是2[,0]3-．……………………10分 ⑶当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x =--，因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，……………………………13分 又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1-．………………………………………………………16分。