2017-2018学年辽宁省大连市旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三数学上第二次联考(理)试题(附答案)

辽宁省大连市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±23．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( ) A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B 点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．49．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1 D．当n≥3时，2M≥2n+212．对∀x∈（0，），下列四个：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是__________．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为__________．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为__________．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为__________．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={2，3}，B={x|x2﹣4x+3=0}，则A∩B等于( )A．{2} B．{3} C．{1} D．{1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中方程变形得：（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或x=3，即B={1，3}，∵A={2，3}，∴A∩B={3}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z•=( )A．4 B．2 C．16 D．±2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z•的答案可求．解答：解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z•=（a+bi）•（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．3．对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点：散点图．专题：数形结合法．分析：通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．解答：解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C点评：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．A•A B．C•CC．C﹣﹣C•C D．A﹣﹣A•A考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步分析，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先从4名男医生中选2人，有C42种选法，再从3名女医生中选出1人，有C31种选法，则不同的选法共有C42C31种；故选：B点评：本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同5．在△ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=( )A．（﹣2，﹣4）B．（0，﹣4）C．（2，4）D．（0，4）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的几何意义和向量的坐标运算计算即可解答：解：=﹣=﹣=（1，4）﹣（2，0）=（1，4）﹣（1，0）=（0，4），故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．6．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为( )A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．解答：解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）故选：D点评：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．7．如图所示的流程图，最后输出n的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2n＞n2，n=3不满足条件2n＞n2，n=4不满足条件2n＞n2，n=5满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n的值是解题的关键，属于基础题．8．设F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B两点（B 点在第一象限，A点在第四象限），O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比为( )A．B．2 C．3 D．4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线AB的方程，代入抛物线方程，消去x，求得y1=﹣p，y2=p，运用两点的距离公式，计算即可得到结论．解答：解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），准线为x=﹣，设直线AB：y=（x﹣），联立抛物线方程，消去x，可得y2﹣2py﹣p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣p，y2=p，由M（﹣，y1），则|OM|===p，|OB|====p，即有|OB|=3|OM|．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用，同时考查直线和抛物线联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．9．用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有( )A．6个B．7个C．10个D．无数个考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．解答：解：∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；D点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．11．定义表示不超过X的最大整数．设n∈N*，且M=（n+1）2+n﹣2，则下列不等式恒成立的是( )A．M2≥2n+1B．当n≥2时，2M≥4n﹣2C．M2≥2n+1 D．当n≥3时，2M≥2n+2考点：基本不等式．专题：不等式．分析：分析：首先理解所表示的含义，然后把]2（进行化简，得到M=n＞0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决．解答：解：∵则n是正整数，∴2=2=（n+1）2等式成立，∴M=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，对于选项A：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项B：2M=2n≥4n﹣2，当n=3时，不成立对于选项C：M2=n2≥2n+1当n=1不成立，对于选项D：2M=2n≥2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，由图象可知，当n≥3时，2M≥2n+2恒成立，故选：D点评：本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把]2进化简成（n+1）2，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了．12．对∀x∈（0，），下列四个：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x2；③sinx+tanx＞x；④sinx•tanx＞2x2，则正确的序号是( )A．①、②B．①、③C．③、④D．②、④考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，求得导数，再令g（x）=sinx+﹣2x，求得导数，判断单调性，即可判断f（x）的单调性，进而得到结论；③令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断；④令x=，求出不等式左右两边的数值，即可判断．解答：解：①令f（x）=sinx+tanx﹣2x，求导f′（x）=cosx+sec2x﹣2=，∵x∈（0，），∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，即函数单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，∴sinx+tanx﹣2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正确；②令f（x）=sinxtanx﹣x2，f′（x）=cosxtanx+sinxsec2x﹣2x=sinx+﹣2x，g（x）=sinx+﹣2x，g′（x）=cosx+﹣2=cosx+﹣2+，由0＜x＜，则cosx∈（0，1），cosx+＞2，则g′（x）＞0，g（x）在（0，）递增，即有g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，）递增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正确；③令x=，则sinx+tanx=sin+tan=，x=，由＞，故③错误；④令x=，则sinxtanx=，2x2=，＜，故④错误．故选A．点评：此题考查了三角不等式的恒成立问题，主要考查三角函数的图象和性质，运用导数判断单调性，进而得到大小和特殊值法判断，是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是．考点：几何概型；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：首先分别求出区域M和△AOB的面积，利用几何概型公式解答．解答：解：由已知区域M的面积为=，△AOB的面积为=，由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是；故答案为：．点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答．14．若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，则++…+的值为﹣1．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：分别在已知的二项式中取x=0和，得到a0=1，，则答案可求．解答：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是在已知的二项式中对x值的选取，是基础题．15．设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为．考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值．解答：解：由y=x2+1，得：x2=y﹣1，x=．所以，y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数．它们的图象关于y=x对称．P在曲线y=x2+1上，点Q在曲线y=上，设P（x，1+x2），Q（x，）要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+1（x≥0）上，又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离d===．所以当=，即x=时，d取得最小值，则|PQ|的最小值等于2×=．故答案为：．点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程．解答：解：设点P是双曲线右支上一点，∴按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A=（c+x）﹣（c﹣x）=2x=2a，即x=a所以内切圆的圆心横坐标为a．由题意可得a=1，顶点A1（﹣1，0），A2（1，0），设P（m，n），则m2﹣=1，即n2=b2（m2﹣1），k1k2=1，可得•=1，即有=b2=1，即有双曲线的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知两个数列{a n}，{b n}，其中{a n}是等比数列，且a2=，a5=﹣，b n=（1﹣a n）．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥+．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a3=可得公比q，进而可得a n的表达式，计算可得结论；（Ⅱ）通过计算可得S n=+，对n分奇、偶数讨论即可．解答：（Ⅰ）解：∵a3==，∴q=﹣，∴a n=a2•q n﹣2=•=，∴b n=；（Ⅱ）证明：S n=b1+b2+…+b n=﹣=﹣•=+，当n为奇数时，S n=+（1+）＞+；当n为偶数时，S n=+（1﹣）≥+×=+；综上：S n≥+．点评：本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴，∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键．20．如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c•AB•sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c•AB•sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1，（e=2.71828…是自然对数的底数，a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x•f′（x）在区间；（Ⅲ）假设函数f（x）在区间（0，1）上有零点；即存在x∈（0，1），使得e x﹣ax2+（a﹣e+1）x﹣1=0；即，记；①若h（x）＜1，∴，即：；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣x2+（2﹣e）x﹣1，x∈（0，1）；H′（x）=e x﹣2x+2﹣e，H″=e x﹣2；当x∈（0，ln2），H″（x）＜0，当x∈（ln2，1），H″（x）＞0；∴当x∈（0，ln2），H′（x）单调递减，x∈（ln2，1），H′（x）单调递增；而H′（0）=1﹣0+2﹣e＞0，H′（1）=e﹣2+2﹣e=0，H′（ln2）=e ln2﹣2ln2+2﹣e=4﹣e﹣2ln2＜0；故在（0，ln2）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递增，在（x0，1）上H（x）单调递减；而H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＞0在（0，1）成立；即成立；②若h（x）＞e﹣2；∴，即；由于x∈（0，1），有x2﹣x＜0；即证e x+（e﹣2）x2﹣x﹣1＜0在x∈（0，1）恒成立；令H（x）=e x﹣（e﹣2）x2﹣x﹣1，H′（x）=e x﹣2（e﹣2）x﹣1，H″（x）=e x﹣2（e﹣2）；当x∈（0，ln2（e﹣2）），H″（x）＜0，H′（x）单调递减；当x∈（ln2（e﹣2），1），H″（x）＞0，H′（x）单调递增；而H′（0）=0，H′（1）=3﹣e＞0；∴在（ln2（e﹣2），1）上存在唯一的实数x0使得H′（x0）=0；所以，在（0，x0）上H（x）单调递减，在（x0，1）上H（x）单调递增；又H（0）=0，H（1）=0；故H（x）＜0在（0，1）成立，即成立．由①②可得，a∈（e﹣2，1）时，h（x）存在零点．点评：考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用，会正确求导，会求二阶导数并能运用二阶导数，函数零点的概念，以及掌握本题在证明函数存在零点时用到的方法．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF 交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．解答：证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）先将参数方程转化为普通方程，然后利用极坐标方程和普通方程之间的关系进行转化即可；（2）设极坐标方程，结合三角函数的最值性质进行求解即可．解答：解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，所以C1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=4，所以C2极坐标方程为ρ=4sinθ（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα，点Q极坐标为（ρ2，4sin（α+）），即ρ2=4sin（α+），则|OP||OQ|=ρ1ρ1=4cosα•4sin（α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin（2α+）+4∵α∈（0，），∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，此时P极点坐标（2，）．点评：本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，将参数方程和极坐标方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．选修4-5：不等式选讲24．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得的最小值．（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2﹣x|≤4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2﹣x|≥4，从而得到|2+x|+|2﹣x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的范围．解答：解：（1）∵=||+||=|2+|+|2﹣|≥|（2+）+（2﹣）|=4，所以的最小值为4．（2）∵|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|，不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2﹣x|），即|2+x|+|2﹣x|≤4．而|2+x|+|2﹣x|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，故|2+x|+|2﹣x|=4，∴﹣2≤x≤2，即实数x的取值范围为：．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。

旅顺口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=02． 已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x+2y=5B ．4x ﹣2y=5C ．x+2y=5D ．x ﹣2y=53． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个4． 已知函数f （x ）=，则的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．35． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．06． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．4D ．7． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0）D ．（0，1）8． 已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）9． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ． C ． D ．10．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=011．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④ D ．①③12．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A ．1B ．C ．D ．2二、填空题13．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．14．已知函数f （x ）=恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．15．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ． 16．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准线上，则双曲线的方程是 ．17．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．18．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．三、解答题19．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．20．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．21．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥EF．旅顺口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l 将圆 x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．2． 【答案】B【解析】解：线段AB 的中点为，k AB ==﹣，∴垂直平分线的斜率 k==2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y ﹣=2（x ﹣2）⇒4x ﹣2y ﹣5=0，故选B ．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．3． 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111] 4．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=3﹣2=．故选：A．5．【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．6．【答案】A【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x故=，∴k=，∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，故选：A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．7．【答案】C【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C9．【答案】D【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选D．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．10．【答案】B【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．11．【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．故选：B．12．【答案】C【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），又P为C上一点，|PF|=4，可得y P=3，代入抛物线方程得：|x|=2，P∴S△POF=|0F|•|x P|=．故选：C．二、填空题13．【答案】（﹣4，）．【解析】解：∵抛物线方程为y 2=﹣8x ，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F （﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P （m ，n ）到焦点F 的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P 到F 的距离等于P 到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n 2=8m=32，可得n=±4，因此，点P 的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．14．【答案】 （﹣3，0） ．【解析】解：由题意，a ≥0时， x ＜0，y=2x 3﹣ax 2﹣1，y ′=6x 2﹣2ax ＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上至多一个零点； x ≥0，函数y=|x ﹣3|+a 无零点， ∴a ≥0，不符合题意；﹣3＜a ＜0时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3﹣ax 2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；a=﹣3时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3﹣ax 2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；a ＜﹣3时，函数y=|x ﹣3|+a 在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x 3﹣ax 2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是（﹣3，0）． 故答案为（﹣3，0）．15．【答案】 【解析】试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：2222221111222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++==.考点：直线与直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．16．【答案】【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．17．【答案】．【解析】解：不等式组的可行域为：由题意，A（1，1），∴区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为：=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．18．【答案】30°．【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，故∠GEF即为EF与CD所成的角．又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．故答案为：30°【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．又f（x﹣y）=，所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]======，故函数f（x）奇函数．（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，∵f（x﹣2）==，∴f（x﹣4）=，则函数的周期是4．先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，设2≤x1≤x2≤3，则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，则f（x1）﹣f（x2）=，∴f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在[2，3]上为减函数，则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．20．【答案】【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}∴A∩B={x|0＜x＜1}（2）若A∩B=∅当A=∅时，有a﹣1≥2a+1∴a≤﹣2当A≠∅时，有∴﹣2＜a≤或a≥2综上可得，或a≥2【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．21．【答案】【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（，0）．∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴a﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A（﹣2，4），B（4，0），∴线段AB的中点C坐标为（1，2）．又∵|AB|=，∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=AD．∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，∴AD=4，∴BC=AD．又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，∴四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．设平面AQC的法向量为=（x，y，z），∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．∴cos＜，＞==﹣．∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（1）∵bsinA=，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，即得tanB=，∴B=…（2）△ABC的面积．由已知及余弦定理，得．又a2+c2≥2ac，故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为…24．【答案】【解析】（1）证明：如图，∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．∵EF⊂平面PDC，∴AF⊥EF．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．。

2017-2018学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. ）D.【答案】B所以的虚部是B.2. ）【答案】C故选C）B. C.【答案】B为第二象限角，所以故选B.4. 已知向量与的夹角为，则）【答案】B故选B.5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）D.【答案】B的正方形，一条长为侧棱与底面垂的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 已知数列）【答案】D【解析】两式相减可得，D.7. ）A. -2B. 0C. 2D. 4【答案】C【解析】，由图可知平移直线当直线经过点时，所以，的最大值为故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】种方法，（包括复合元素）种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不C.9. 已知函数的图象向左平移再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，的图象，（）C.【答案】A为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的标不变，得到的图象对应的函数解析式为故选A点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1则所得图像对应的解析式为（2）把函数10. 已知椭圆、的直线，若）D.【答案】A【解析】由题意可得椭圆的半焦距，且由可知点在以线段为直径的圆上，则.....................A不正确故选A11. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A. 甲、乙、丙B. 甲、丙、乙C. 乙、甲、丙D. 丙、甲、乙【答案】B数高，说明乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组，大于乙，这时可得乙为第2组，甲为第1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选B.12. 已知函数（）B. C. D.【答案】D递减，则在上为减函数故选D点睛：本题考查函数极值问题，转化到不等式恒成立问题.不等式恒成立问题常见方法：①分)；②数形结合).第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 已知实数．14. __________．【答案】11【解析】执行程序框图，当输入第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第五次循环，【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15. 、为__________．【解析】∵双曲线的两个焦点为点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确16. 等比数列项和记为．，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 中，角的对边分别为（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1，根据两角和的正弦公式可得；（2）结合（1），配方后可其求得试题解析：（1.（218. 甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据根据所给数据，利用茎叶图的作法可得茎叶图，根据茎叶图可（2）0，1，2，.. 试题解析：（1）茎叶图如图以甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩；（20，1，2，分布列为：【方法点睛】本题主要考查茎叶图的画法、方差与平均值的求法、中位数的定义以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该离散型随机变量的分布列与数学期望，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 中，，（1，求证：（2）求直线.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得利用线面平行的判定定理可得（2），，由此可以点为原点，直线量夹角余弦公式.试题解析：（1（2）∵底面是菱形，，则以点的法向量为，有得，则，设直线与平面所成角为∴直线与平面所成角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知直线与抛物线.（1（2，若矩形的外接圆圆心为.【答案】(2)30.【解析】试题分析：（1），可列出关于从而可得结果；（2），从而可得矩形.试题解析：（1）与,∴，满足题意.（2∴，，∴∴面积为21. 已知函数（1（2均恒成立，求实数.【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是【解析】试题分析：（1）上是单调递减函数，由（2简不等式，化简不等式，利用函数的导数，通过导函数的符号，时，在上单调递增，试题解析：（1上是单调递减函数，（2；时，在上单调递增点睛：通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类讨论是经常用到的数学思想方法．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线两点，且（1（2轴交于【答案】(2)4.【解析】试题分析:（12）根据投影可得得结果试题解析：（1323. 已知函数（1（2）若存在成立，求.【答案】【解析】试题分析：（1）当时，原不等式可化为论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（2）由试题解析：（1）由已知时，解得；则（2.，解之得。

旅顺口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合，，则（ ）{| lg 0}A x x =≤1={|3}2B x x ≤≤A B =I A ．B ．C ．D ．(0,3](1,2](1,3]1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°3． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．205． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞eD ．a ＜e6． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直7． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ）A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i 8． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．89． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）A ．f ′（x 0）＜0B ．f ′（x 0）=0班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定10．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．D ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *），则a 10=（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）=其中a ，b∈R ．若=，则a+3b 的值为 ．14．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数的单调递增区间为__________．()2ln f x x x =-16．已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，,则在R 上的解析式为 ()f x 0x ≥2()2f x x x =-()y f x =17．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．18．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集为___________.三、解答题19．已知直线l 的方程为y=x+4，圆C 的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（Ⅱ）若P 为圆C 上的动点．求P 到直线l 的距离d 的最大值．　20．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．　21．已知命题p ：x 2﹣3x+2＞0；命题q ：0＜x ＜a ．若p 是q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．　22．已知函数，．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．23．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在岁间，旅游途中导游发现该[10,60]旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按分成5组，分[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]别记为，其频率分布直方图如下图所示．,,,,A B C D E（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；（Ⅱ）该团导游首先在三组中用分层抽样的方法抽取了名团员负责全团协调，然后从这6名团员中,,C D E 6随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自组的概率．C 24．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；（3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．旅顺口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】由已知得，故，故选D ．{}=01A x x <£A B I 1[,1]22． 【答案】C【解析】解：连结A 1D 、BD 、A 1B ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，∴EF ∥A 1D ，∵A 1B ∥D 1C ，∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角，∵A 1D=A 1B=BD ，∴∠DA 1B=60°．∴CD 1与EF 所成角为60°．故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　3． 【答案】B【解析】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g （x ）=﹣log b x=log a x ，f （x ）=a x 与∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B ，故答案为B 4． 【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B ．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．　5． 【答案】C【解析】解：由积分运算法则，得=lnx=lne﹣ln1=1因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直故选A7．【答案】B解析：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．∴=3+4i．故选：B．8．【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4故选C．9．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），∴，∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，∴，∴，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．∵，∴，∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x0＞a，又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，∴．故选：A．【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．10．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则解得a．故选C．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．11．【答案】A【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．12．【答案】C【解析】解：∵=﹣1（n∈N*），∴﹣=﹣1，∴数列是等差数列，首项为=﹣2，公差为﹣1．∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1，∴a n=1﹣=．∴a10=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．【答案】　﹣10　．【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．14．【答案】　异面　．【解析】解：把展开图还原原正方体如图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．15．【答案】⎛ ⎝【解析】16．【答案】222,02,0x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩【解析】试题分析：令，则，所以，又因为奇函数满足，0x <0x ->()()()2222f x x x x x -=---=+()()f x f x -=-所以，所以在R 上的解析式为。

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题一．方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1⋯⋯=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(⋯⋯=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．【答案】1030类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y 顺次为直线11412y x =+上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n nB x B xB x 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为____________.【答案】,(1,(n n a n x n a n -⎧=⎨+-⎩为偶数）为奇数）【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2n n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________.【解析】直线1n n A A +的斜率为11121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=， 所以111(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-⋅--=-，23n x n =+. 【答案】23n x n =+类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ） A.136B. 9C. 18D. 36【答案】C【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式()12n n n a S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， ()()()*12101n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 223n a n n =-+【解析】∵()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =， ()1112F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令12x =-， ()1012F f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴()()012f f +=，∴()()1012a f f =+=，令112x n =-，∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112x n =-，∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1221(n n a n n N n +-=+⨯=+∈）， 故选C【答案】C类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（ ）A.B.C. D.【答案】C【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得 即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又a 1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设数列{}n a 中， 11222,,11n n n n n a a a b a a ++===+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________． 【解析】111222124222211111n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++++====⨯=--+--+，所以2q =， 12b =，所以12n n b +=.【答案】12n +类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列{}n a 满足123a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452nn n a a +-≥⨯,则2017a =_________【答案】201723【答案】201723【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即452nn n a a +-=⨯，然后经过恰当的变形，将求2017a 的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-< 122n +， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________．【答案】20172类型六 下标为n a 形式的数列通项公式问题【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________． 【答案】21n a n =-【解析】()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()1111111n n n b q b bT q q q q -==-⋅---，因为21n n q T S +=，所以2211111122n n n b b d d q q a q q q ⎛⎫-⋅+=+- ⎪--⎝⎭，这是关于n 的恒等式，所以111101{0212b qda b d q +=--=-=-，解得12{1d a ==，所以()12121n a n n =+-=-．【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系21n n q T S +=，这是一个关于正整数n 的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前n 项用基本量表示，并化已知等式为nq 的恒等式，利用恒等式的知识求解1,a d ． 【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则}{n b 的通项公式____________.【答案】14-=n n b三．强化训练1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A. 64B. 65C. 71D. 72 【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，即2017为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有()1122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D.2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列{}n a 中， ()()()112141nn n n na n a n n +-+=+++，且11a =，记22ini n i a T i =+=∑，则（ ）A. 19T 能被41整除B. 19T 能被43整除C. 19T 能被51整除D. 19T 能被57整除 【答案】A3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}n a 满足*1*,2{ ,2n n n na d N a nqa N ++∉=∈（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为()0a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（ ）A. n a a =或1n n a q -= B. ()11n n a a -=- C. n a a =或()11n n a a -=- D. 1n n a q -=【答案】C4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N *，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，则a n 等于（ ） A.22sin 3n - B. 22sin 3n - C. 21cos 3n - D. 21cos 3n + 【答案】A 【解析】∵21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，∴2211cos 33n n a cos n -≤≤+， 2222sin sin 33n n a n --≤≤-+，即2251cos cos 33n n a n -≤≤-，∴2212cos sin 33n a n n =-=-，故选A.5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A. 【解析】试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n nn n a a ++-≤+=⋅，又∵232n n n a a +-≥⨯，∴需232n n n a a +-=⋅，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1112111(21)()()2212121n n n n n n a a a a a a --⋅-=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅++==--，∴2014201421a =-，故选A.6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列{}n a 满足11a =， 213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A.112n - B. 121n - C. 113n - D. 1121n -+ 【答案】B7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】由题意，得2221322433541211,1341,2591a a a a a a a a a -=⨯-=-=⨯-=--=⨯-=，222465810938251,,2155341a a a a a a -=⨯-=-⋅⋅⋅-=⨯-=-，所以()88221110i i i i i a a a ++==-=∑∑；故选A.6．8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列{}n a 满足22,{2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.则{}n a 的通项公式__________.【答案】()()2{2n n n n a n ∴=为奇数为偶数9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +⋅=，且11b =.则{}n b 的通项公式__________.【答案】()()1223{3n n n n b n -=为奇数为偶数【解析】∵，①()212n n n S S a n -+=≥，②①－②得：2211n n n n a a a a +++=-，∴()()1110n n n n a a a a +++--=，∵，∴10n n a a ++≠，∴()11,2n n a a n +-=≥ 又由得，即22220aa --=，∴222,1a a ==-（舍去）.∴211a a -=，∴{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴n a n =. 又∵13na n nb b +⋅=③()1132n n n b b n --⋅=≥④③④得：又由，可求，故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.∴112123,333n n nn n b b ---==⋅=.∴()()1223{3n n n n b n -=为奇数为偶数.10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：18 14， 18 38， 316， 332……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为i j a -，则（1）83a -=_________；（2）前20行中14这个数共出现了________次． 【答案】14411.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．【答案】12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列{}n a是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12n n n a π-=。

辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣23．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．2975．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．设m ，n ∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A ．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞） B ．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C ．[2﹣2，2+2] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （a ，b 常数，a ≠0，x ∈R ）在x=处取得最小值，则函数y=f （﹣x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C ．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．已知f （x ）为偶函数，且f （x ）=f （x ﹣4），在区间[0，2]上，f （x ）=，g （x ）=（）|x|+a ，若F （x ）=f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，）B ．（2，3）C ．（2，]D ．（2，3]二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ．14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为 ．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 ． 16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC 唯一确定，则0＜b ≤4．（2）若点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则m 的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k 的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x 的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （填序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=1时，解不等式f （x ）＜3； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为1，求a 的值．18．已知函数f （x ）=2cos 2x+sin （2x ﹣）（1）求函数f （x ）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；（2）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=2，求实数a 的取值范围．19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，先求出CU M，再由集合N能够求出N∩（∁UM）．【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴CUM=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（∁UM）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选C．2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，即可其准线方程．【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】先计算|MN|，从而有|PM|﹣|PN|=|MN|，故可确定点P的轨迹．【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2∵|PM|﹣|PN|=2∴|PM|﹣|PN|=|MN|∴点P的轨迹是射线NP故选D．4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{an }前9项的和S9====99故选：A5．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行和线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π【考点】球内接多面体．【分析】确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D 到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．10．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由可求得m+n的范围．【解答】解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，即=1，化简可得|m+n|=，整理得mn=m+n+1，由可知，m+n+1≤，解得m+n∈（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞），故选：A．11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据函数f（x）在x=处取得最小值，求得a=b，f（x）=asin（x﹣），可得f（﹣x）=asinx，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，] D．（2，3]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x﹣4），则f（x）=f（﹣x），函数的周期为4，求得在区间[﹣2，0]上，f （x ）的解析式，作出f （x ）和g （x ）的图象，通过平移，即可得到所求a 的范围．【解答】解：由函数f （x ）为偶函数且f （x ）=f （x ﹣4）， 则f （x ）=f （﹣x ），函数的周期为4，则在区间[﹣2，0]上，有f （x ）=，分别作出函数y=f （x ）在[﹣2，2]的图象， 并左右平移4个单位，8个单位，可得y=f （x ）的图象，再作y=g （x ）的图象，注意上下平移．当经过A （1，）时，a==2，经过B （3，）时，a=2，5﹣=．则平移可得2＜a ＜时，图象共有4个交点，即f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由于，即a 1+a 1q=，a 1q 3+a 1q 4=6，两式相除，可得，q=2，a 1=．则S 6==．故答案为：14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，由已知得，由此能求出椭圆C 的标准方程．故答案为：．【解答】解：由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，∵抛物线x 2=8y 的焦点为F （0，2），∴由已知得，解得a=4，b=2，∴椭圆C 的标准方程为．故答案为：．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （2），（5） （填序号） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理求得sinB ，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k 的不等式，求得k 值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l 的方程说明（5）正确．【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC 唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则12+12+m ﹣1+4＞0，即m ＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k ）（1﹣k ）＜0，解得k ＞1或k ＜﹣4，即k 的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos （2x+），故（4）错误；对于（5），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB =2，此时直线方程为y ﹣1=2（x ﹣2），即y=2x ﹣3，联立，得2x 2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）． 故答案为：（2），（5）．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…18．已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【分析】（1）化简可得解析式f（x）=sin（2x+）+1，从而可求函数f（x）的单调增区间；函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x 的取值集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．…（2）由题意，f （A ）=sin （2A+）+1=，化简得sin （2A+）=．∵A ∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc ． 由b+c=2，知bc ≤1，即a 2≥1． ∴当b=c=1时，取等号． 又由b+c ＞a 得a ＜2．所以a 的取值范围是[1，2 ）．…19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜． 【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，由此能证明数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，能求出前n 项和公式S n ．（3）由==，利用裂项求和法能证明S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）∴当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，∴当n ≥2时，，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．解：（2）由（1）得=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，∴S n =．证明：（3）由（2）知：当n ≥2时，==，∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜1+（1﹣）＜﹣＜．∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAD ，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面MBD ⊥平面PAD ．（2）以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系，求出点O ，A ，D ，B ，P ，C 的坐标，设（0＜λ＜1），平面PAD 的法向量可取：，求出平面MAD 的法向量为，利用空间向量的数量积，结合二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．求出．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10， 所以有AD 2+BD 2=AB 2，即AD ⊥BD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，所以PD ⊥平面PAD ， BD ⊂平面BDM ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E ，则有OE ⊥AD ，所以分别以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系所以点O （0，0，0），A （3，0，0），D （﹣3，0，0），B （﹣3，8，0），P （0，0，3），由于AB ∥DC 且AB=2DC ，得到C （﹣6，4，0），设（0＜λ＜1），则有，因为由（1）的证明可知BD ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量可取：，设平面MAD 的法向量为，则有，即有由由二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为． ==，解得故当M 满足：PM=PC 时符合条件．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出椭圆的两焦点坐标，设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P 的坐标；（2）设出直线PA ，PB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的二次方程，运用韦达定理，即可解得A ，B 的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；（3）设出直线AB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．【解答】（1）解：F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F 1（0，），F 2（0，﹣），设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），则由=1，得x 2+y 2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P 的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设直线PB 的斜率为k ，则直线PB 的方程为，由于过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，则直线PA ：y ﹣=﹣k （x ﹣1）．由，消去y ，得，设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），由韦达定理，得1+x B =，即有，y B =同理可得，y A =，所以为定值．（3）解：由（2）可设直线AB 的方程为，联立方程，得，消去y ，得，由判别式8m 2﹣16（m 2﹣4）＞0，得，x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=，|AB|==易知点P 到直线AB 的距离为，所以，当且仅当m=±2时取等号，满足，所以△PAB 面积的最大值为．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？ 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x ＜e 时，求导函数，可得f （x ）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧．设P 、Q 的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q ，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。

2017-2018学年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求。

全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分1．某同学通过以下步骤测出了一定高度落下的排球对地面的冲击力，将一张白纸铺在水平地面上，把棒球在水里浸湿，然后让棒球从规定的高度自由落下，并在白纸上留下球的水印．再将印有水印的白纸铺在台秤上，将球放在纸上的水印中心，缓慢地压球，使排球与纸接触部分逐渐发生形变直至刚好遮住水印，记下此时台秤的示数即为冲击力的最大值．下列物理学习或研究中用到的方法与该同学的方法相同的是（ ）A ．建立“合力与分力”的概念B ．建立“点电荷”的概念C ．建立“电场强度”的概念D ．建立“电场线”的概念2．图中的两条图线分别是甲、乙两球从同一地点、沿同一直线运动的v-t 图像，根据图像可以判断A ．两球在t=2s 时速度相同B ．两球在t=2s 时相距最近C ．两球在t=8s 时相遇D ．在2s ～8s 内，两球的加速度大小相等3．细绳拴一个质量为m 的小球，小球用固定在墙上的水平弹簧支撑，小球与弹簧不粘连，平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°，如图所示，（已知sin 370.6cos370.8︒=︒=，）以下说法正确的是A ．小球静止时弹簧的弹力大小为35mg B ．小球静止时细绳的拉力大小为35mg C ．细线烧断瞬间小球的加速度立即为gD ．细线烧断瞬间小球的加速度立即为53g 4．质量为2kg 的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，从t=0时刻开始，物体受到方向不变、大小呈周期性变化的水平拉力F 的作用。

F 随时间t 的变化规律如图所示，重力加速度210/g m s =，则物体在t=0至t=12s 这段时间的位移大小为A ．18mB ．54mC ．72mD ．198m5．伽利略曾利用对接斜面研究“力与运动”的关系，如图，固定在水平地面上的倾角均为θ的两斜面，以光滑小圆环相连接，左侧斜面顶端的小球与两斜面的动摩擦因数均为μ，小球从左侧顶端滑到最低点的时间为t 1，滑到右侧最高点的时间为t 2．规定斜面连接处为参考平面，则小球在这个运动过程中速度的大小v 、加速度的大小a 、动能E k 及机械能E 随时间t 变化的关系图线正确的是A ．B ．C． D．6．火星表面特征非常接近地球，可能适合人类居住，2010年，我国志愿者王跃参加了在俄罗斯进行的“模拟登火星”实验活动，已知半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是A．王跃在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的29倍B．火星表面的重力加速度是2 3 gC倍D．若王跃起跳时初速度不变，则他在火星上向上跳起的最大高度是3 2 h7．某带电物体所在空间形成一个电池，沿x轴方向其电势φ的变化如图所示，电子从O 点以v0的初速度沿x轴正方向射出，依次通过a、b、c、d点．（设电子的质量为m）则下列关于电子运动的描述正确的是（）A．电子在Oa间做匀加速直线运动B．电子在Od之间一直在做减速直线运动C．要使电子能到达无穷远处，粒子的初速度v0D．电子在cd间运动时其电势能一定减小8．有两根长直导线a、b相互平行放置，如图所示为垂直于导线的截面图，在图示的平面内，O点为两根导线连线的中点，M、N为两根导线附近的两点，它们在两导线连线的中垂线上，且与O点的距离相等，若两导线中通有大小相等，方向相同的恒定电流I，则，则关于线段MN上各点的磁感应强度的说法中正确的是（）A ．M 点和N 点的磁感应强度大小相等，方向相同B ．M 点和N 点的磁感应强度大小不等，方向相反C ．在线段MN 上各点的磁感应强度都不可能为零D ．在线段MN 上只有一点的磁感应强度为零9．一个正点电荷Q 静止在正方形的一个角上，另一个带电质点射入该区域时，恰好能经过正方形的另外三个角a 、b 、c ，如图所示，则有A ．a 、b 、c 三点的电势高低及场强大小的关系是2a c b a c b E E E ϕϕϕ=>==，B ．带电质点由a 到b 电势能增加，由b 到c 电场力做正功，在b 点动能最小C ．带电质点在a 、b 、c 三处的加速度大小之比是1：2：1D ．若改变带电质点在a 处的速度大小和方向，有可能使其经过三点a 、b 、c 做匀速圆周运动10．如图所示，用一轻绳将光滑小球系于竖直墙壁上的O 点，现用一细杆压在轻绳上紧贴墙壁从O 点缓慢下移，下列说法正确的是A．轻绳对小球的拉力逐渐减小B．轻绳对小球的拉力逐渐增大C．小球对墙壁的压力逐渐减小D．小球对墙壁的压力逐渐增大11．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置用来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M．C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角），此过程中下述说法正确的是（）A．重物M做匀变速直线运动B．重物M做变速直线运动C．重物M的最大速度是ωLD．重物M的速度先增大后减小12．在地面附近，存在着一有界电场，边界MN将空间分成上下两个区域I、II，在区域II中有竖直向上的匀强电场，在区域I中离边界某一高度由静止释放一个质量为m的带电小球A，如图甲所示，小球运动的v-t图象如图乙所示，不计空气阻力，则（）A．小球受到的重力与电场力之比为3：5B．在t=5s时，小球经过边界MNC．在小球向下运动的整个过程中，克服电场力做功等于重力势能的变化量D．在1s～4s过程中，小球的机械能先减小后增大二、实验题13．关于高中物理中的几个实验，下列说法中正确的是A．在“探究动能定理”的实验中，通过改变橡皮筋的长度来改变拉力做功的数值B．在“验证力的平行四边形定则”的实验中，采用的科学方法是等效替代法C．在“探究加速度与质量、力的关系”的实验中，平衡摩擦力时应将装有砝码的小桶通过定滑轮栓在小车上D．在处理实验数据时，为了描述实验中测得物理量之间的关系，可先将其在坐标系中描点，然后用一条曲线（包括直线）“拟合”这些点，采用这种图像法可减小误差14．在“描述小灯泡的伏安特性曲线”实验中，某同学选中一个标有“2.5V，0.6W”的小灯泡，除了导线和开关外，还有下列器材可供选择：电压表V1（量程6V，内阻约为6kΩ）；电压表V2（量程3V，内阻约为3kΩ）；电流表A1（量程300mA，内阻约为1Ω）；电流表A2（量程150mA，内阻约为2Ω）滑动变阻器R1（最大阻值200Ω）；滑动变阻器R2（最大阻值10Ω）直流电源E1（电动势4.5V，r1=0.8Ω）（1）实验中电压表应选_______，电流表应选_______，滑动变阻器应选_______；（填写器材代号）（2）如图1中的四个电路中应选用_______电路图进行实验．（3）做完上述实验后，该同学接着用上述所选电路分别描绘了三个电学元件的伏安特性曲线，如图2甲所示，则三个元件中属于线性元件的是_____（填写曲线代号）．然后他用图2乙所示的电路给三个元件分别供电，并测出给元件1和元件2供电时的电流和电压值，分别标在图甲上，它们是A 点和B 点．已知R 0=8.8Ω，则该电源的电动势E=_____V ，内电阻r=_____Ω．这个电源给元件3供电时，元件3的电功率P=_____W ．三、计算题：解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。