数学：：《反证法》课件(北师大版选修2-2)

小于
1 2
.
4.设三个正数 a, b, 少有两个不小于 1.
c
满足条件
1 a
+
1 b
+
1 c
=2,
求证: a, b, c 中至
1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月.
证: 假设至多有 4 位学生的生日同月, 即: 生日在 1, 2, …, 12 月的学生人数都不超过 4 人. 则该班学生总数 m≤412=48人, 与该班有 49 位学生的条件矛盾, ∴假设不成立. ∴至少有 5 位学生的生日同月.
∴假设不成立. ∴ M≥ 12.
3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解, 求实数 m 的取值范围.
解: 先考虑 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上无解时 m 的取值范围.
包含两种情况: ①方程 x2 -mx+4=0 无实数解;
②方程有实数解, 但解不在 [-1, 1] 上.
设 f(x)=x2 -mx+4, 则①等价于 △=m2 -16＜0; ②等价于:
2019/8/29
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原结论词 有无穷多个
存在唯一的
对任意 x, 使…恒成立
反设词 只有有限多个 不存在或至少存在两个 至少有一个 x, 使…不成立
4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
∴△1, △2, △3 中至少有一个非负.
故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.
2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, bR), 当 x[-1, 1] 时, |f(x)| 的最

【跟踪训练】 如图所示,AB,CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB,CD不能互相平分.
【证明】连接AC,CB,BD,DA, 假设AB,CD互相平分, 则四边形ACBD为平行四边形, 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 因为四边形ACBD为圆的内接四边形, 所以∠ACB+∠ADB=180°, ∠CAD+∠CBD=180°,
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.因为ad-bc=1, 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 则a=b=c=d=0, 这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立. 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
所以∠ACB=90°,∠CAD=90°, 所以对角线AB,CD均为圆的直径,与已知条件矛盾, 所以AB,CD不能互相平分.
类型二 用反证至少有两个钝角”的否定是
______________________________.
2.已知a,b为正实数,请用反证法证明: a 1 与 b 1 中至少有一个不小于2.
2.本例1条件改为“任何三角形的内角至多有一个钝角”,则其否定为 ________. 【解析】“任何三角形的内角至多有一个钝角”的否定为存在一个三角形,其 内角有两个或三个钝角. 答案:存在一个三角形,其内角有两个或三个钝角
类型三 用反证法证明唯一性命题 【典例】已知:一点A和平面α. 求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直. 【思路导引】

马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

∵x>0,y>0,∴1+x≥2y且1+y≥2x.
两式相加得2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此1+������������<2 和1+������������<2 中至少有一个成立.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.
(√ ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( × ) (3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,
论证一种即可. ( × )
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明否定性命题
【例1】 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: √������, √������, √������ 不成等差数列.
分析:因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题 时可从假设√������, √������, √������ 成等差数列入手证明,进而推出矛盾.
证明:假设√������, √������, √������成等差数列,则有 2√������ = √������ + √������, 即 4b=a+c+2√������������.
对所有 x 成立
对任意 x不 成立
至少有 n个
至多有 n个
p或q p且q
反 设 词
一个 也没 有
至少 有两 个
存在某 个 x0 不成立
存在某 个 x0 成立
至多有 n-1 个
至少有 n+1 个
������p ������p 且������q 或������q

证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
•解题反思：
本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
例3.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
D
H
A
C
B
•解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？
本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
10
例4、 已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
6
例1、已知a是整数，2能整除a2，求证：
2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整
除a”。 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（ m为整数），则 a2 (2m 1)2 4m2 4m 1 2(2m2 2m) 1
即a2是奇数。所以，2不能整除a2。这与 已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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谢谢欣赏！
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。

设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.
∵4(m2＋m)是偶数， ∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾． ∴a一定是偶数.
这节课你有些什 么收获？
作业： 课本：P91 习题2.2 1、2、3、4
在这个前提下，若推出的结果与 定义 、 公理 、 定理 相
矛盾，或与命题中的 已知条件 相矛盾，或与 假定 相矛
盾，从而断定 命题的反面 不可能成立，由此断定 命题 的结论 成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的证题步骤 (1)作出 否定结论 的假设； (2)进行推理， 导出矛盾 ； (3) 否定假设 ，肯定结论．
2.2.2
反证法
兰州市五十九中（兰炼二中） 孙 雯
情境引入
【问题1】 广告词为：“
拥有的人们都幸福，幸
福的人们都拥有”．该广
告词实际说明了什么？
实际说的是“不拥有的人们不幸福”．
【问题2】 已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求
证：a，b，c不可能都是奇数．
你能利用综合法或分析法给出证明吗？
[例 1]
已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等
差数列，求证： a， b， c不成等差数列．
解：假设 a , b , 成等差数列,
则2 b a c , 即4b a c 2 ac
与命题条件 即2b a c 而 b ac , [思路点拨] 此题为否定形式的命题，可选用反证 相矛盾
【问题3】 a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？
a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.
新课讲解
【问题2】 已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发

2
2
【解析】假设 x +2x-1=0,则 x=-1± 2.
1
1
2
2
容易看出-1- 2< ,下面证明-1+ 2< .
1
3
2
2
要证-1+ 2< ,只需证 2< ,
9
只需证 2< ,
4
1
上式显然成立,故有-1+ 2< .
2
1
1
2
2
综上,x=-1± 2< .而这与已知条件 x> 相矛盾,
因此假设不成立,即原命题成立.
第十一页，编辑于星期五：十二点 十二分。
.固
. 思
导.学
已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同
1
时大于4 .
1
【解析】假设三式同时大于 ,
4
1
1
1
4
4
4
即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,
1
∵a,b,c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> ,
64
又(1-a)a≤(
1- +
2
2
1
1
1
4
4
4
) = ,同理,(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ ,
1
∴(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤ ,这与假设矛盾,故原命题得证.
64
第十二页，编辑于星期五：十二点 十二分。
.固
. 思
导.学
已知a与b是异面直线.求证:过a且平行于b的平面只有一个.
【解析】如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面

法。
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从
进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
变式2:
2, 3, 5 不可能成等差数列
解题反思： •证明本题时，你是怎么想到反证法的？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
.比较困难，
2
我们应采用反证法 , 证明：假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 1 ，则 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
证
明
直接证明
证明
综合法 分析法
间接证明
反证法
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ， “不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证 法
例 3：设二次函数 f (x) x2 px q ， 求证： f (1) , f (2) , f (3) 中

但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数.
【解析】在推理过程中我们将(a1-1),(a2-2),„,(a7-7)重新 分组，会有a1+a2+„+a7与1+2+„+7，这两个式子相等，从而 会得出矛盾.
答案：a1-1,a2-2,„,a7-7;
(a1-1)+(a2-2)+„+(a7-7); (a1+a2+„+a7)-(1+2+„+7).
一个特称命题“存在正整数n,有xn≤xn+1.”
3.（5分）完成反证法证题的全过程.
题目 设a1,a2,„,a7是1，2,„，7的一个全排列，
求证：p=(a1-1)(a2-2)„(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则________均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数= ________ = ________ =0.
4.（15分）已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证：a>0. 【解题提示】由于本题的证明结果从正面较难分析全面， 故应选用反证法，先假设a≤0,然后证明与已知条件矛盾.
【证明】假设a≤0，即a<0或a=0.
（1）若a=0,则abc=0,这与abc>0矛盾； （2）若a<0，则由abc>0，知bc<0,
（A）三角形中至少有一个内角不小于60° （B）四面体的三组对棱都是异面直线
（C）闭区间［a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点
（D）设a,b∈Z，若a+b是奇数，则a,b中至少有一个为奇数 【解析】选D.由于a+b是奇数，则a,b必为一奇一偶，而不是 a,b中至少有一个为奇数.