L 2[a,b]空间Voherra型积分方程解的存在性

二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。

一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。

三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。

四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。

⼀阶⾮线性常微分⽅程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理上⼀节简单介绍了可求解的⼀阶常微分⽅程的解法，因为⼤部分⾮线性⽅程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。

本节主要介绍⼀阶⾮线性常微分⽅程Cauchy问题（E）dydx=f(x,y),y(x0)=y0.解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对⼀阶常微分⽅程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。

据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论⽂⾜⾜有三四百页，后来数学家Banach把Picard的⽅法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。

Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之⼀，也是⽤的最多的定理之⼀，它在线性⽅程组求解迭代⽅法的收敛性、常微分⽅程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚⾄代数⽅程解的存在性等问题中均有重要应⽤。

许多微分⽅程（组）通过转化为等价的积分⽅程再利⽤不动点理论来证明解的存在性。

本节也采⽤这⼀框架来探索⽅程（E）解的存在性。

为此，⾸先利⽤Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。

定理1 (Banach) 设X为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），f:X→X为压缩映射，即存在常数k,0<k<1，对任意x,y∈X有‖f(x)−f(y)‖≤k‖x−y‖,则映射f:X→X有且只有⼀个不动点x∈X.证明：任取x0∈X，构造Picard迭代x n+1=f(x n),n≥0.则‖x n+1−x n‖=‖f(x n)−f xn−1‖≤k‖x n−x n−1‖≤⋯≤k n‖x1−x0‖.设m>n≥0，由三⾓不等式和上式得‖x m−x n‖≤m−1∑p=n‖x p+1−x p‖≤k n1−k‖x1−x0‖,当m,n→∞时，‖x m−x n‖→0, 故序列{x n}为Cauchy列，由X的完备性知存在x∞∈X使得lim f:X\to X满⾜Lipschitz条件，显然连续.故x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).存在性得证。

理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。

对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名： 日期： 年 月 日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。

一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性吴雪蓉【摘要】The existence and uniqueness of solutions for the fourth-orderordinary differential equation and the Volterra integral equation are studied, by using Banach contracting mapping principle.The numerical solutions of these equations are discussed by MATLAB.%利用Banach压缩映射原理,研究了一类四阶常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性,并且利用MATLAB讨论了此类方程的数值解.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2017(029)002【总页数】5页(P168-172)【关键词】Banach压缩映射原理;常微分方程;积分方程;数值解【作者】吴雪蓉【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京 210023【正文语种】中文【中图分类】O175在代数方程、微分方程、积分方程、泛函方程等诸多方程问题的研究中,常常会建立与之相关的积分算子T[1-2],把所考虑的方程问题转化为求T的不动点u,即u=Tu,不动点理论是泛函分析的主要组成部分,并且有着广泛的应用价值.本文利用Banach压缩映射原理,研究一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性.以下我们给出相应的概念定理以及所讨论的方程.引理1[3] (Banach压缩映射原理).设X是完备的度量空间,d是X中的距离,设映射S:X→X满足d(Sv1,Sv2)≤kd(v1,v2),∀v1,v2∈X,其中 0<k<1,则S具有唯一的不动点u,即u=Su.讨论下述四阶常微分方程初值问题解的存在唯一性.本文除了研究Banach压缩映射原理在一类常微分方程问题中的应用,还将其应用在第二类Volterra积分方程问题中,积分方程如下:其中,,并且此积分方程的核为在方程(1)中,总假定:(ⅰ) P(x)在[-r,r]上连续;(ⅱ) 设P(x)的原函数为p(x),令,则0<a<1.于是,得到如下主要结果:定理1 假设条件(ⅰ)、(ⅱ)成立,则微分方程(1)存在唯一的解.证明令F(x)=(y,y′,y″,y(3)), 则F′(x)=(y′,y″,y(3),y(4)).设Φ(x,y0,y1,y2,y3)=(y1,y2,y3,y4)=(y1,y2,y3,Q(x)-P(x)y3),且Γ=(1,-1,1,0),那么方程(1)可转化成如下一阶微分方程:作积分算子使得注意到,如果T存在唯一的不动点,那么方程(1)存在唯一的解,因此,若∀F,G∈C([-r,r],R4), 得到令显然0<k<1.由于同理可得同理可得因此,由于由此可得故依据Banach压缩映射原理,算子T是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(1)存在唯一的解,定理1得证.对于积分方程(2),同样可以应用Banach压缩映射原理得到解的存在唯一性,主要结果如下:定理2 考虑方程(2),则积分方程(2)存在唯一的解.证明由于则当x≠0时,,当x=0时,,故当0≤t<x≤1时,令y=x-t,则0<y<1,再令M(y)=-1+(1+y)e-y,则M′(y)=-ye-y<0,因此,M(y)在(0,1)上为单调减函数,故M(y)<M(0)=0,所以当t=x时,.由此可得,作积分算子使得若对∀φ(x),ψ(x)∈C[-1,1],有令,且,则令q0(x)=(x+1)e-x,则q0′(x)=-xe-x.如果x∈(0,1],那么,所以q0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,因此,q0(x)∈[2e-1,1),则q0(x)-1∈[2e-1-1,0),故.因此p0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,故).如果x∈[-1,0),那么,所以q0(x)在[-1,0)上是一个单调增函数,因此,q0(x)∈[0,1),则q0(x)-1∈[-1,0),故.因此p0(x)在[-1,0)上是一个单调减函数,故.由此可得,|p0(x)|].从而,|Sφ(x)-Sψ(x)|≤‖φ(t)-ψ(t)‖∞×|p0(x)|≤‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞,即可得到‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞.令<1,故依据Banach压缩映射原理,算子S是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(2)存在唯一的解,定理2得证.虽然求解微积分方程有各式各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程,一般情况下,从一些实际问题中归结出来的方程,都难以求得解析解,此时可以利用MATLAB求其数值解.本节给出了求解上述四阶常微分方程初值问题以及积分方程的数值解法.例1 对于微分方程(1),取P(x)=x2,Q(x)=2xex,则方程为且P(x)在上连续,P(x)的原函数为,所以则条件(ⅰ)、条件(ⅱ)成立,依据定理1可知,方程(3)存在唯一的解.关于高阶微分方程的初值问题,原则上总可以归结为一阶方程组来求解,引进新的变量:则方程(3)即可化为如下一阶方程组:满足初值条件y1(0)=1,y2(0)=-1,y3(0)=1,y4(0)=0.数值结果如表1.图1为方程的近似解的图像.例2 用数值积分法[4]来近似求解积分方程其中,此积分方程的核为0≤t≤x≤1,自由项,定义在[0,1]上.解当0≤x<t≤1时,定义k(x,t)=0,则方程(4)可看成第二类Fredholm积分方程. 用n=6的梯形公式求其近似解,此时h=0.2,则令x=xj(j=1,…,6),得到:对上式中的定积分用有限和来代替,可得:式中φj=φ(xj),kjm=k(xj,xm),fj=f(xj).令则式(5)可写成Y=KY+F,即(I-K)Y=F,这是一个系数矩阵是下三角的矩阵的线性方程组[5],求解非常方便.下面利用MATLAB编程得到数值结果如表2.【相关文献】[1] 郭海杰. 非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2016,28(4):340-344. (GUO H J. Existence of positive solutions for nonlinear dirichlet type three point boundary value problems[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(4):340-344.)[2] 马亮亮. 变系数空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2013,25(4):341-344. (MA L L. Finite difference method for fractional convection diffusion equation with variable coefficients[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(4):341-344.)[3] 布莱基斯. 泛函分析:理论和应用[M]. 叶东,周风,译. 北京:清华大学出版社, 2009. (Haim Brezis. Analy fonctionnelle-theorie at applications[M]. YE D,ZHOU F, Translate. Beijing: Tsinghua University Press, 2009.)[4] 沈以淡. 积分方程[M]. 3版. 北京:清华大学出版社, 2012. (SHENG Y D. Integral equations[M]. The third edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2012.)[5] 李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M]. 5版. 北京:清华大学出版社, 2015. (LING Q Y, WANG N C, YI D Y. Numerical analysis[M]. The fifth edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2015.)。